2022年四川省內(nèi)江市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）含答案

2022年四川省內(nèi)江市高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.

1.（5分）已知集合A={x工）,B={0,1,2,3},則4cB=（）

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{0,I,2,3}

2.（5分）復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=I-i,則z的虛部等于（）

A.-iB.-1C.0D.1

-02

3.（5分）設(shè)a=2°/，b=（A）-,c=log20.3,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

4.（5分）四川省現(xiàn)在的高考模式仍要分文理科，某中學(xué)在統(tǒng)計(jì)高一學(xué)生文理科選擇意愿時(shí)，抽取了部分男、

女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如圖兩個(gè)等高條形圖：

10

O9

O8

O7

O6

O5

O4

O3

O2

O1

0

口文科口理科

根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列結(jié)論中正確的是（）

A.樣本中的女生數(shù)量少于男生數(shù)量

B.樣本中有文科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有理科意愿的學(xué)生數(shù)量

C.樣本中的男生偏愛理科

D.樣本中的女生偏愛文科

5.（5分）三棱錐A-BCD的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則（)

A.三棱錐A-BCQ的體積為3B.AC±BD

C.平面A8C_L平面BCZ）D.平面ABC_L平面ACZ）

6.（5分）已知在等比數(shù)列｛〃"｝中，41+43=3,〃3+。5=6,則4143=（）

A.2B.4C.5/2D.272

7.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不

可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程.比如在一~與一表達(dá)式中

“…”既代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻又是個(gè)定值，它可以通過(guò)方程1J=X解得x=與I，類比上述方

法，則Q2+V=（）

A.遙—]B.在ilC.V2D.2

22

8.（5分）已知拋物線C：丫2=?的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為A,M是拋物線C上的點(diǎn).若MFLx

軸，則以AF為直徑的圓截直線AM所得的弦長(zhǎng)為（）

A.2B.V2C.1D.亞

2

2

9.（5分）設(shè)S,為數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和.若Sn=n-n+a-則％=。”是“2。4=。2+。6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（5分）若函數(shù)/1（X）=asin2x+cos2x的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則/"（x）的最大值為（）

6

A.V2B.MC.2D.2M

11.(5分)已知函數(shù)/(x)滿足：對(duì)任意在R,f(x+y)=-f(x卷)，當(dāng)-1,0)時(shí)，/(x)=3，-

1,則/(k)g390)=()

A._AB.AC._1Z.D.17

992727

12.(5分)如圖，在四棱柱ABCD-AiBiCiCi中，底面ABC。為正方形，A4J_底面ABC。，AA\=2AB,

例、N分別是棱8用、上的動(dòng)點(diǎn)，且CW=8iM,則下列結(jié)論中正確的是()

A.直線A1C與直線MNN可能異面

B.三棱錐4-OMN的體積保持不變

C.直線AC與直線MN所成角的大小與點(diǎn)M的位置有關(guān)

D.直線AO與直線MN所成角的最大值為三

3

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.(5分)已知向量7=(1,1),羨(0,2>若(20％)//(xa+2b)>貝(I入=-

14.(5分)曲線了再邑在x=ir處的切線方程是.

X

15.(5分)已知A(-2,0),8(2,0),若曲線(―^)=Q(a>0.b〉0)上存在點(diǎn)「滿足?刑

abab

-\PB\=2,則k的取值范圍是.

a

16.(5分)已知函數(shù)f(x)=log0(2xJ)，數(shù)列｛如｝是公差為2的等差數(shù)列，若“if(“I)(及)

X

22

+a3r(〃3)+44/(44)=0,則數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和Sn=.

三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（12分）2021年某省約有23萬(wàn)文科考生參加高考，除去成績(jī)?cè)?00分及以上的2013人與成績(jī)?cè)?00

分以下的109600人，還有約11.87萬(wàn)文科考生的成績(jī)集中在區(qū)間［400,600）內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布如表

所示：

分?jǐn)?shù)段[400,440)[440,480)[480,520)[520,560)[560,600)

頻率0.210.260.270.180.08

（1）請(qǐng)估計(jì)該次高考文科考生成績(jī)?cè)冢?00,600）內(nèi)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代

表）；

（2）若在分?jǐn)?shù)段［480,520）和［520,560）的考生中采用分層抽樣的方法抽取5名考生進(jìn)行電話訪問(wèn)，

再?gòu)谋浑娫捲L問(wèn)的5名考生中隨機(jī)抽取3名考生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查的3名考生中至少有2

名分?jǐn)?shù)低于520分的概率.

18.（12分）如圖，在△ABC中，AC=2,NACB=120°,。是邊AB上一點(diǎn).

（1）若△CA。是以AZ）為斜邊的等腰直角三角形，求的長(zhǎng)；

（2）若。是邊A8的中點(diǎn)，Z\ABC的面積為蓊，求CQ的長(zhǎng).

ADB

19.(12分)如圖，在多面體A8CDE尸中，四邊形4BFE是正方形，四邊形ABC。是梯形，AO〃BC,ZBAD

=90°,平面ABFE_L平面ABC。，AB=AD=2BC=2.

(1)證明：BE〃平面C0F；

(2)求三棱錐尸-CDE的體積.

20.(12分)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),直線以與直線尸8的斜率之積為,，記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲

2

線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)。為曲線C上的一點(diǎn)，線段AO的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E,若△AOE為等邊三角形，求點(diǎn)。

的坐標(biāo).

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+^-

ex

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，證明：f(x)〉［?

e

請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

(本小題滿分10分)［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為fx=2cosa為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),

|y=3+2sinCl

x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為psin8=V2-

(1)寫出曲線C和直線/的普通方程;

(2)已知點(diǎn)P(2,0),直線/與曲線C交于點(diǎn)A、B,弦A8的中點(diǎn)為Q,求n_里I_的值.

IPAI?IPBI

(本小題滿分0分)［選修4-5：不等式選講］

23.己知函數(shù)/(x)=|2x+2|+|2x-3|.

(I)求不等式/(x)>7的解集；

(2)已知a>0,b>0,證明：TTTxT>2ab+4b..

a2+b2+l

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置.

1.C；2.B；3.D；4.C；5.B；6.A；7.D；8.B：9.A；10.C；11.C；12.B；

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

12

13.口；14.v=v+1；15.（0,VS）;16.n-4n；

丫九xJ.

三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.解：（1）該次高考文科考生成績(jī)?cè)冢?00,600）內(nèi)的平均分的估計(jì)值為420X0.21+460X0.26+500X0.27+540

X0.18+580X0.08=486.4.

（2）:分?jǐn)?shù)段［480,520）和［520,560）的考生人數(shù)的比為0.27：0.18=3：2,

二按分層抽樣方法在分?jǐn)?shù)段［480,520）的考生中應(yīng)抽取3乂5=3名，記為小，。2,“3.

5

在分?jǐn)?shù)段［520,560）的考生中應(yīng)抽取2x5=2名，記為從，歷，

5

?.?從上述5名考生中隨機(jī)抽取3名的所有結(jié)果為（ai,。2,。3）,（ai,。2,bi）,（m,az,歷），（m,。3,

bl）,（。1,。3,切），（41,bl,歷），（42,。3,bl）,（。2,C13,82）,（42,bl,歷），（43,bl,切）共10種，

其中至少有2名分?jǐn)?shù)低于5（20分）的結(jié)果為（m,ai,°3）,（m,。2,bi）,（m,ai?歷），（m,as,

bl）,（ai,Q3,歷），（〃2,。3,勿），（〃2,43,歷）共7種，

???進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查的3名考生中至少有2名分?jǐn)?shù)低于5（20分）的概率p」_.

10

18.解：（1）\"ZACB=120°,AC=2,△CAO是以為斜邊的等腰直角三角形，

:.CD=2,N8CC=30°,ZB=15°,

,,sinB=sin(45°-30°)=sin450cos300-cos450sin30

4

?.?在△BC。中，由正弦定理知BDCD

sin/BCDsinB

.CD-sinz^BCDi—r-

,"BD=------------=V6+V2?

sinb

⑵；S△妞c*ACB,sin/ACB=S，

BC=------------=4>

CA-sinZACB

?.?。是邊AB的中點(diǎn)，

?*-CD=CA+AD=H蔣瓶=CA-?y(CB-CA)=>1-CA得S

2+CB2+2CA-CB闿4+16-2X2X4X呆向,

???CD=V3.

19.證明：（1）如圖，過(guò)。作。G〃AB交BC于G,連接EG、FG,設(shè)EG交OF于H點(diǎn)，連接C”,

由2G〃AO,AB//DG,則四邊形A8GO為平行四邊形,

所以A8=OG,而EF〃A8且EF=AB,

貝ljDG〃EF且DG=EF,

所以四邊形EFGQ為平行四邊形，

則”為線段EG的中點(diǎn)，

又AO=2BC=8G,

在ABEG中CH為中位線,故BE〃CH,

又CHu平面CDF,BE仁平面CDF,

所以8E〃平面CDF；

解：（2）由（1）知：BE〃平面CDF,

故B到平面CDF的距離與點(diǎn)E到平面CDF的距離相等,

所以VF-CDE=VECDF=VBCDF=VF-BCD,

ffiABFElffiABCD,?ABFEHffiABCD^AB,FBLAB,FBc?ABFE,

所以FBL^ABCD.

S

則VF-BCD4ABCDXFBVXC|xBCXAB)XFBV《X1X2X2看

20.解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）（y20）,

?.?直線PA與直線PB的斜率之積為JL,

2

?%?k加=」,即上X工」

PA“PB2x+2x-22

22

xy

化簡(jiǎn)得------4-------

42

22

...曲線C的方程為手升=1卬卉0).

(2)設(shè)。Cvo,yo),E(0,r),線段AB的中點(diǎn)為。,

；A(-2,0),

y。

T-t

/.Q(三二，直線A。的斜率ky。

,直線QE的斜率kQE=六萬(wàn)

-

ADx0+2

2

y。

kAD-kQE=~----X—~—=-l,整理得v(+——=--

ykX

XQ+2X0-2022

2

22

又一'(Jy。

一=1'

42

y。(t-*)=_y()，得故E(0，

又「△ADE為等邊三角形，有|A￡>|=|AE|,

22

),整理得x*。烏-=0,

(x+2)2+y

0uu4

2>

5XO+32XO+12=O解得*0=得或刈=-6(舍去).

22

將弋入為解得_4百或

y0=---------乂4a

X。54215

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(工，生巨)或(2_4次

)-

55T~5~

21-解：(1)針(x)乒￡~(x>0)?

ex"

①當(dāng)aWO時(shí)，/(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

②當(dāng)?>0時(shí)，令f(x)=0,有X=亙，

e

?.?若xE(0,9)，則/(X)<0；若x€(且，-KJO),則/(X)>0,

ee

：.f(x)在(0,包)上單調(diào)遞減，在(且，一)上單調(diào)遞增,

ee

二綜上，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。>0時(shí)，/(%)在(0,包)上單調(diào)遞減，在(且，XQ)上單調(diào)遞增.

ee

(2)要證明/(x)即證明einx退〉」一，

AYeX-l

下面先證明：/>x+lG2O),

構(gòu)造函數(shù)〃(x)="-(x+l)(x2O),hr(x)-1,

令，(x)=0得x=O,當(dāng)時(shí)，/(x)20即〃(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，???〃(幻=)-(x+1)

(0)=0,

于是有e">x+l,x>0,

二.當(dāng)%>0時(shí)，di>x,

從而二工.

X-lV

eA

接下來(lái)只需證：einx+-2》L

xx

即證：elnx2》6

x

令F(x)=elnx」(x>O>則F'/、e1ex-1

(X)J2*=~f

xxxx

所以F(x)在(0,工)上單調(diào)遞減,(―,MO)上單調(diào)遞增,

ee

即F(x)》F(―)=0,

e

ex-\>x,

ef

0<-〈工，

產(chǎn)x

??elnx+^>}1'?

x產(chǎn)

請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

(本小題滿分10分)［選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.解：(1)由［x=2cosa消去參數(shù)心得曲線C的普通方程為/+(y-3)2=4.

ly=3+2sina

TT

由Psin(94-^-)得，psin0+pcos0=2.

將f