多旋翼飛行器設(shè)計(jì)與控制理論 -第05講-坐標(biāo)系和姿態(tài)表示V2

多旋翼飛行器設(shè)計(jì)與控制

第五講坐標(biāo)系和姿態(tài)表示2024/7/132東方智慧渾天儀2024/7/133歐拉角、旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)三種姿態(tài)表示的變化與機(jī)體角速度的關(guān)系？核心問題大綱1.坐標(biāo)系2.歐拉角3.旋轉(zhuǎn)矩陣4.四元數(shù)5.本講小結(jié)2024/7/1341.坐標(biāo)系2024/7/135

右手定則如所上圖示，右手的拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，中指所指示的方向即是z軸的正方向。進(jìn)一步，如上圖所示，要確定旋轉(zhuǎn)正方向，用右手的大拇指指向軸的正方向，彎曲四指。那么四指所指示的方向即是旋轉(zhuǎn)正方向。本講采用的坐標(biāo)系和后面定義的角度正方向都是沿用右手定則。圖5.1右手定則下的坐標(biāo)軸和旋轉(zhuǎn)正方向1.坐標(biāo)系2024/7/136地球固聯(lián)坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系定義圖5.2機(jī)體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系的關(guān)系圖地球固聯(lián)坐標(biāo)系用于研究多旋翼飛行器相對于地面的運(yùn)動狀態(tài)，確定機(jī)體的空間位置坐標(biāo)。它忽略地球曲率，即將地球表面假設(shè)成一張平面。通常以多旋翼起飛位置或者地心作為坐標(biāo)原點(diǎn)。先讓軸在水平面內(nèi)指向某一方向，軸垂直于地面向下。然后，按右手定則確定軸。機(jī)體坐標(biāo)系與多旋翼固連，其原點(diǎn)取在多旋翼的重心位置上。軸在多旋翼對稱平面內(nèi)指向機(jī)頭（機(jī)頭方向與多旋翼+字形或X字形相關(guān)）。軸在飛機(jī)對稱平面內(nèi)，垂直軸向下。然后，按右手定則確定軸。右下標(biāo)e表示Earth，下標(biāo)b表示Body1.坐標(biāo)系2024/7/137

地球固聯(lián)坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系定義圖5.2機(jī)體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系的關(guān)系圖定義如下三個單位向量在地球固聯(lián)坐標(biāo)系中，沿著軸

的單位向量可以表示為

。在機(jī)體坐標(biāo)系下，沿著軸的單位向量滿足(注：左上標(biāo)b表示向量在機(jī)體坐標(biāo)系的表示)在地球固聯(lián)坐標(biāo)系中，沿著軸的單位向量表示為(注：左上標(biāo)e表示向量在地球固聯(lián)坐標(biāo)系的表示)2024/7/138圖5.3偏航角、俯仰角與滾轉(zhuǎn)角分步轉(zhuǎn)動示意圖可以通過轉(zhuǎn)換繞軸分別旋轉(zhuǎn)歐拉角將地球固聯(lián)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動到機(jī)體坐標(biāo)系。2.歐拉角

歐拉角定義2.歐拉角2024/7/139

歐拉角定義圖5.4歐拉角直觀表示示意圖(x軸黃色，y軸綠色，z軸藍(lán)色)2.歐拉角2024/7/1310圖5.5固定翼飛機(jī)歐拉角示意圖

歐拉角定義2.歐拉角2024/7/1311

歐拉角變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系機(jī)體旋轉(zhuǎn)的角速率為那么？2024/7/1312

歐拉角變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系如果機(jī)體旋轉(zhuǎn)的角速率為因此有注：左上標(biāo)b表示向量在機(jī)體坐標(biāo)系的表示2.歐拉角2.歐拉角2024/7/1313

歐拉角變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系進(jìn)一步可以得到奇異性問題其中當(dāng)時，可以認(rèn)為3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/7/1314

旋轉(zhuǎn)矩陣定義旋轉(zhuǎn)矩陣中的向量滿足左上標(biāo)b表示向量在機(jī)體坐標(biāo)系的表示左上標(biāo)e表示向量在慣性坐標(biāo)系的表示定義旋轉(zhuǎn)矩陣為右上標(biāo)表示從機(jī)體坐標(biāo)系b旋轉(zhuǎn)到地球固聯(lián)坐標(biāo)系e的旋轉(zhuǎn)矩陣注：det()表示求矩陣的行列式2024/7/1315從地球固聯(lián)坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)可以通過三步來完成其中3.旋轉(zhuǎn)矩陣

旋轉(zhuǎn)矩陣定義3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/7/1316

旋轉(zhuǎn)矩陣定義當(dāng)時3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/7/1317

旋轉(zhuǎn)矩陣定義由旋轉(zhuǎn)矩陣反求歐拉角奇異性問題在奇異情況下，人為設(shè)定此時，與一一對應(yīng)，但是的具體值不能唯一確定，有無窮多種組合。2024/7/1318兩個向量和的叉乘定義為其中以上圖片來自/wiki/Cross_product3.旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系3.旋轉(zhuǎn)矩陣2024/7/1319

僅考慮剛體旋轉(zhuǎn)（不考慮平動），由動力學(xué)知識可知，對任意向量求導(dǎo)（類比下圓周運(yùn)動）其中×表示向量的叉乘。我們可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系圖5.6向量求導(dǎo)的直觀表示2024/7/1320由及叉乘的性質(zhì)即可得推導(dǎo)過程中用到了叉乘的性質(zhì)：對于旋轉(zhuǎn)矩陣和任意向量，我們有采用旋轉(zhuǎn)矩陣表示避免了奇異性問題。然而，以上方程含有9個自由變量，因此求解微分方程的計(jì)算量比較大。3.旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣導(dǎo)數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系4.四元數(shù)2024/7/1321

四元數(shù)定義圖5.7愛爾蘭都柏林布魯穆橋（現(xiàn)稱為金雀花橋BroomBridge）上的四元數(shù)石碑,圖片來自/wiki/Quaternion石碑上寫著“Hereashewalkedbyonthe16thofOctober1843SirWilliamRowanHamiltoninaflashofgeniusdiscoveredthefundamentalformulaforquaternionmultiplicationi2=j2=k2=ijk=?1&cutitonastoneofthisbridge.”四元數(shù)一般用向量的形式表示為其中為四元數(shù)的標(biāo)量部分，為四元數(shù)的向量部分。對于一個實(shí)數(shù)，其四元數(shù)表示形式為，對于一個純向量，其四元數(shù)表示形式。一些運(yùn)算性質(zhì)(注：q,r,m是四元數(shù)，s為標(biāo)量，u,v為列向量)4.四元數(shù)2024/7/1322

四元數(shù)的基本運(yùn)算法則（1）四元數(shù)加、減法（2）四元數(shù)乘法4.四元數(shù)2024/7/1323

四元數(shù)的基本運(yùn)算法則（3）四元數(shù)共軛一些運(yùn)算性質(zhì)（4）四元數(shù)范數(shù)一些運(yùn)算性質(zhì)4.四元數(shù)2024/7/1324

四元數(shù)的基本運(yùn)算法則（5）四元數(shù)的逆由的定義可知，四元數(shù)的逆可以表示為（6）單位四元數(shù)當(dāng)四元數(shù)的范數(shù)時，四元數(shù)稱為單位四元數(shù)。單位四元數(shù)有如下性質(zhì)：當(dāng)四元數(shù)p,q滿足，則有4.四元數(shù)2024/7/1325

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)假如表示旋轉(zhuǎn)，而表示向量，那么在旋轉(zhuǎn)作用下，向量變?yōu)橄蛄?。我們用如下形式表示這個過程第一行是恒成立的單位四元數(shù)的物理含義是圖

5.8

單位四元數(shù)物理含義這一部分可進(jìn)一步參考ShoemakeK.Quaternions.DepartmentofComputerandInformationScience,UniversityofPennsylvania,USA,1994[Online],available:/?vbz/resources/quatut.pdf4.四元數(shù)2024/7/1326已知兩個三維單位向量。定義為到之間的角度，可以推知定義一個單位四元數(shù)，可以得到圖5.9

四元數(shù)旋轉(zhuǎn)示意圖

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)4.四元數(shù)2024/7/1327的內(nèi)積與外積相等，因此三個向量處于同一平面，且與的夾角也為，正如下圖所示。

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)（為什么能表示旋轉(zhuǎn)）圖5.9

四元數(shù)旋轉(zhuǎn)示意圖4.四元數(shù)2024/7/1328

四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)（2）坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)（1）向量旋轉(zhuǎn)注意兩者的不同！4.四元數(shù)2024/7/1329四元數(shù)與旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)換假定地球固聯(lián)坐標(biāo)系到機(jī)體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為，則有（坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)）右上標(biāo)表示從地球固聯(lián)坐標(biāo)系e旋轉(zhuǎn)到機(jī)體坐標(biāo)系b的單位四元數(shù)4.四元數(shù)2024/7/1330

四元數(shù)與歐拉角轉(zhuǎn)換根據(jù)旋轉(zhuǎn)歐拉角的順序，可得4.四元數(shù)2024/7/1331

四元數(shù)與歐拉角轉(zhuǎn)換根據(jù)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的四元數(shù)，可得這與前文所定義的從地球系旋轉(zhuǎn)得到機(jī)體系的順序一致。4.四元數(shù)2024/7/1332

四元數(shù)與歐拉角轉(zhuǎn)換當(dāng)時，發(fā)生奇異無窮多種組合在奇異情況下，人為設(shè)定4.四元數(shù)2024/7/1333

四元數(shù)變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系根據(jù)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的復(fù)合四元數(shù)得其中機(jī)體角速度攝動忽略的高階無窮小可以得到4.四元數(shù)2024/7/1334

四元數(shù)變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系對求導(dǎo)可得4.四元數(shù)2024/7/1335

四元數(shù)變化率與機(jī)體角速度的關(guān)系在實(shí)際中，可由三軸陀螺儀近似測得,此時以上微分方程為線性的！5.本講小結(jié)2024/7/1336歐拉角與機(jī)體角速度的關(guān)系旋轉(zhuǎn)矩陣與機(jī)體角速度的關(guān)系四元數(shù)與機(jī)體角速度的關(guān)系圖5.10

三種旋轉(zhuǎn)表示法之間的相互轉(zhuǎn)換奇異，非線性不奇異，維數(shù)高不奇異，維數(shù)適中多旋翼自駕儀基本用這種形式資源2024/7/1337可靠飛行控制研究組主頁課程中心(全部課件下載)/course(2)關(guān)注可靠飛行控制研究組公眾號buaarfl