統(tǒng)計學教程：第4章 數(shù)據(jù)分布特征的度量

《統(tǒng)計學教程》第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量4.2.5方差和標準差

4.1.1眾數(shù)4.2.6離散系數(shù)

4.1.2中位數(shù)4.2.7標準化值

4.1.3均值

4.1.4調(diào)和平均數(shù)

4.1.5幾何平均數(shù)4.3偏態(tài)和峰度的度量

4.1.6均值、眾數(shù)和中位數(shù)的比較4.3.1偏態(tài)系數(shù)

4.1.7均值、眾數(shù)和中位數(shù)的比較4.3.2峰度系數(shù)4.2離散程度的度量

4.2.1異眾比率

4.2.3取值范圍

4.2.4平均差第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量《統(tǒng)計學教程》2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量

原始數(shù)據(jù)經(jīng)過分組整理所形成的頻數(shù)分布，直觀和概略地反映出數(shù)據(jù)分布的基本特征。頻數(shù)分布屬于對數(shù)據(jù)分布特征的初步描述，缺乏對數(shù)據(jù)分布特征的綜合度量，若需要深入地表述數(shù)據(jù)分布特征的具體特征和內(nèi)在聯(lián)系，還應對數(shù)據(jù)分布特征進行綜合性的度量。數(shù)據(jù)分布特征的度量包括三個方面的內(nèi)容，一是數(shù)據(jù)分布的集中趨勢，反映總體中各個單位的數(shù)值水平向其聚集，或者集中的中心數(shù)值；二是數(shù)據(jù)分布的離散趨勢，反映總體中各個單位的數(shù)值水平偏離中心數(shù)值的綜合程度；三是數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰度，反映各個總體單位的數(shù)值水平的分布形態(tài)是對稱或偏倚，平坦或尖聳的具體數(shù)值。

集中趨勢（CentralTendency）是指一組數(shù)據(jù)所趨向的中心數(shù)值。對集中趨勢的度量就是采用具體的統(tǒng)計方法和統(tǒng)計測度對這一中心數(shù)值的測量和計量，以一綜合數(shù)值來表述數(shù)據(jù)所趨向的這一中心數(shù)值的一般水平。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量4.1.1眾數(shù)

眾數(shù)（Mode）是一組數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的變量值，直觀地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢。眾數(shù)是度量定類數(shù)據(jù)集中趨勢的測度，一般用表示。例4.1某品牌運動服裝專賣店一批新品球衣銷售情況如下表4.1某專賣店新品球衣銷售情況件2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量4.1.1眾數(shù)

眾數(shù)（Mode）是一組數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的變量值，直觀地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢。眾數(shù)是度量定類數(shù)據(jù)集中趨勢的測度，一般用表示。

例4.1某品牌運動服裝專賣店一批新品球衣銷售情況如下表4.1某專賣店新品球衣銷售情況件2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量

例4.2利用第三章中例3.1中某學期某班35名學生統(tǒng)計學考試成績的原始數(shù)據(jù)。要求試計算計算該班35名學生統(tǒng)計學考試成績的眾數(shù)。解將該原始數(shù)據(jù)排序之后，得到有序數(shù)據(jù)如下

52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，

81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，

91，91，92，96，98

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第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量

例4.2利用第三章中例3.1中某學期某班35名學生統(tǒng)計學考試成績的原始數(shù)據(jù)。要求試計算計算該班35名學生統(tǒng)計學考試成績的眾數(shù)。解將該原始數(shù)據(jù)排序之后，得到有序數(shù)據(jù)如下

52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，

81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，

91，91，92，96，9884分在這35名學生的統(tǒng)計學考試成績的原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了4次，屬于出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，根據(jù)眾數(shù)定義，可以確定眾數(shù)為84分，即2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

利用已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)計算眾數(shù)的場合，需要運用插值公式來計算眾數(shù)的近似數(shù)值。眾數(shù)的插值公式有下限公式和上限公式。其下限公式從眾數(shù)所在組的上限出發(fā)，有

(4.1)上限公式則從眾數(shù)所在組的上限出發(fā)，有

(4.2)

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4.1集中趨勢的度量

例4.3表4.2為第三章中表3.7“某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績”中的部分數(shù)據(jù)。根據(jù)表4.2的已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)，計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績眾數(shù)的近似數(shù)值。表4.2某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

通過上限公式或下限公式的計算眾數(shù)所得到的計算結(jié)果是一致的。眾數(shù)是一個通過數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)的數(shù)值來反映集中趨勢的測度，為一位置型的代表數(shù)值，所以眾數(shù)的取值不受極端數(shù)值的影響，也不受組距分組中開口組設置的影響。當數(shù)值型數(shù)據(jù)中含有極小值和極大值時，使用眾數(shù)來度量數(shù)據(jù)的集中趨勢，可以作為其它集中趨勢測度的補充。眾數(shù)是一個適用于最低層次的定類數(shù)據(jù)的測度，因此可以用于各種量表數(shù)據(jù)的集中趨勢分析，有效使用眾數(shù)的前提是數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布存在明顯的集中態(tài)勢。

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4.1集中趨勢的度量

通過上限公式或下限公式的計算眾數(shù)所得到的計算結(jié)果是一致的。眾數(shù)是一個通過數(shù)據(jù)中頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)的數(shù)值來反映集中趨勢的測度，為一位置型的代表數(shù)值，所以眾數(shù)的取值不受極端數(shù)值的影響，也不受組距分組中開口組設置的影響。當數(shù)值型數(shù)據(jù)中含有極小值和極大值時，使用眾數(shù)來度量數(shù)據(jù)的集中趨勢，可以作為其它集中趨勢測度的補充。眾數(shù)是一個適用于最低層次的定類數(shù)據(jù)的測度，因此可以用于各種量表數(shù)據(jù)的集中趨勢分析，有效使用眾數(shù)的前提是數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布存在明顯的集中態(tài)勢?！镉懻擃}：你認為那些現(xiàn)象不適宜采用眾數(shù)來描述其集中趨勢？

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4.1集中趨勢的度量

4.1.2中位數(shù)

中位數(shù)（Median）是位于有序數(shù)據(jù)正中間位置上的變量值，中位數(shù)用其特殊的位置屬性直接地體現(xiàn)了集中趨勢的中心數(shù)值特征。中位數(shù)是度量定序數(shù)據(jù)集中趨勢的測度，一般用表示。中位數(shù)也是一種位置型的代表數(shù)值，同時中位數(shù)還是一種順序統(tǒng)計量，因此，計算中位數(shù)要求數(shù)值至少具備定序數(shù)據(jù)的性質(zhì)。中位數(shù)一旦確定，就可以根據(jù)中位數(shù)的具體取值，將全部數(shù)據(jù)分成數(shù)量相等的兩個部分，一半數(shù)據(jù)的數(shù)值小于或等于中位數(shù)；另一半數(shù)據(jù)的數(shù)值大于或等于中位數(shù)。由此可得出中位數(shù)的計算公式。當數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，有

(4.3)當數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，有

(4.4)

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4.1集中趨勢的度量

例4.4

仍然采用第三章中例3.1某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的原始數(shù)據(jù)。要求試計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的中位數(shù)。解將原始數(shù)據(jù)排序之后，得到以下有序數(shù)據(jù)52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，91，91，92，96，98

該組數(shù)據(jù)的個數(shù)為35，因此采用式(4.3)計算，排列在該組有序數(shù)據(jù)第18位上的變量值為82分，該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的中位數(shù)為82分。即2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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利用已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)計算中位數(shù)時，需要運用插值公式計算中位數(shù)的近似數(shù)值。中位數(shù)的插值公式也有下限公式和上限公式。其下限公式從中位數(shù)所在組的下限出發(fā)，為

(4.5)

上限公式從中位數(shù)所在組的上限出發(fā)，為

(4.6)4.1集中趨勢的度量2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

例4.5

表4.3為第三章“表3.7某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績”中的部分資料，為已經(jīng)分組的數(shù)值型數(shù)據(jù)。要求根據(jù)表4.3數(shù)據(jù)，計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的中位數(shù)。解運用插值公式計算該班學生統(tǒng)計學考試成績中位數(shù)的近似數(shù)值。表4.3某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

顯然，我們可以任選上限公式或下限公式來計算中位數(shù)，得到結(jié)果是相同的。中位數(shù)是一個順序統(tǒng)計量，其取值不受極端數(shù)值的影響，也不受組距分組中開口組設置的影響。當數(shù)值型數(shù)據(jù)中含有極小值和極大值時，可以使用中位數(shù)來度量數(shù)據(jù)的集中趨勢。

4.1集中趨勢的度量2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

顯然，我們可以任選上限公式或下限公式來計算中位數(shù)，得到結(jié)果是相同的。中位數(shù)是一個順序統(tǒng)計量，其取值不受極端數(shù)值的影響，也不受組距分組中開口組設置的影響。當數(shù)值型數(shù)據(jù)中含有極小值和極大值時，可以使用中位數(shù)來度量數(shù)據(jù)的集中趨勢?！镉懻擃}：你認為中位數(shù)的主要局限是什么？

4.1集中趨勢的度量2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量4.1.3均值均值（Mean）為一組數(shù)值型數(shù)據(jù)之和除以該組數(shù)據(jù)總數(shù)的商，即同一組數(shù)據(jù)的總值與其頻數(shù)的商。在大多數(shù)場合，均值采用算術(shù)平均方法計算，所以人們經(jīng)常將均值稱為算術(shù)平均數(shù)（ArithmeticalAverage）。計算均值的數(shù)據(jù)需要具備數(shù)值型數(shù)據(jù)的屬性，均值是一個數(shù)值型的集中趨勢測度。通過計算均值的運算過程，首先將各個數(shù)據(jù)之間的數(shù)量差異抽象掉了，以一個抽象性的綜合測度概括地反映事物的集中趨勢。其次將不同總體的總量規(guī)模抽象掉了，表現(xiàn)出來的只是一個一般性的代表水平，有利于不同規(guī)模的同類總體在不同空間和時間上的廣泛比較。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量1．簡單均值簡單均值（SimpleMean）是根據(jù)未分組的原始數(shù)據(jù)計算出來的均值。有

(4.7)

例4.6仍采用第三章中例3.1某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的原始數(shù)據(jù)要求試計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的均值。解采用式(4.7)計算，有

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4.1集中趨勢的度量2．加權(quán)均值加權(quán)均值（WeightedMean）是運用各組頻數(shù)作為權(quán)數(shù)對各組數(shù)值水平進行加權(quán)計算出來的均值。根據(jù)是單變量值分組還是組距分組，以及組距分組的各組數(shù)值水平代表數(shù)據(jù)是組均值還是組中值，加權(quán)均值的計算分為以下三種類型。（1）單變量值分組加權(quán)均值在單變量值分組場合，加權(quán)均值的計算公式為

(4.8)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

例4.7某機床總裝車間10個裝配小組日完成產(chǎn)品臺數(shù)情況，計算單變量值分組加權(quán)均值。表4.4某機床總裝車間10個裝配小組日完成產(chǎn)品臺數(shù)情況要求試計算單變量值分組加權(quán)均值。解采用式(4.8)計算，可得2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量（2）采用組均值計算加權(quán)均值在組距分組中，采用組均值計算加權(quán)均值時，計算公式為

(4.9)

式(4.9)中表示第j組的組均值。

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量例4.8

采用第三章中例3.1的各組均值數(shù)據(jù)。要求試計算組距分組的該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的加權(quán)均值。解依據(jù)各組中的數(shù)據(jù)數(shù)值和數(shù)據(jù)個數(shù)，按照式(4.7)的均值計算公式，計算出各組的組均值，填入表4.5中。表4.5某學期某班35名學生統(tǒng)計學考試成績的組均值和頻數(shù)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量（3）采用組中值計算加權(quán)均值在不占有原始數(shù)據(jù)和組均值數(shù)值，只擁有已分組的數(shù)據(jù)時，只有利用各組組中值采用加權(quán)的方式計算均值的近似數(shù)值。利用組中值計算均值近似值的公式為

(4.10)

式(4.10)中表示第j組的組中值。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

例4.9

根據(jù)第三章中表3.7中“某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績”的各組組中值和頻數(shù)數(shù)據(jù)。要求試采用組中值計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的加權(quán)均值。解采用式(4.10)計算。表4.6某學期某班35名學生統(tǒng)計學考試成績的組中值和頻數(shù)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量3．權(quán)數(shù)與加權(quán)結(jié)構(gòu)對于加權(quán)均值而言，有兩個因素決定著均值數(shù)值的大小，一個因素是各組的數(shù)值水平；另一個因素是各組的頻數(shù)。頻數(shù)對各組的數(shù)值水平數(shù)值起著權(quán)衡輕重的作用，所以將加權(quán)均值的計算公式中頻數(shù)稱為“權(quán)數(shù)”。在均值的計算中又將頻數(shù)分布稱為“加權(quán)結(jié)構(gòu)”，“加權(quán)結(jié)構(gòu)”更加清晰地反映了數(shù)據(jù)在各組中的分布與集中趨勢之間的聯(lián)系，及其對均值數(shù)值水平形成的影響。將式(4.8)略加變形，有

(4.11)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

均值的數(shù)學性質(zhì)：（1）各個變量值與其均值的離差和為零，即（2）各個變量值與其均值平均數(shù)的離差平方和為最小，即當取均值作為集中趨勢的測度時，各個數(shù)據(jù)的取值與集中趨勢測度的離差平方和為最小值。均值的這一數(shù)學性質(zhì)是度量離散程度，進行誤差分析和最小二乘估計等統(tǒng)計方法的基礎。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量

均值的數(shù)學性質(zhì)：（1）各個變量值與其均值的離差和為零，即（2）各個變量值與其均值平均數(shù)的離差平方和為最小，即當取均值作為集中趨勢的測度時，各個數(shù)據(jù)的取值與集中趨勢測度的離差平方和為最小值。均值的這一數(shù)學性質(zhì)是度量離散程度，進行誤差分析和最小二乘估計等統(tǒng)計方法的基礎?！镉懻擃}：試比較均值、眾數(shù)和中位數(shù)在數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢分析中的作用？2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量4.1.4調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)（HarmonicMean）是各個變量數(shù)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。因此又稱之為“倒數(shù)平均數(shù)”。1.簡單調(diào)和平均數(shù)設有個變量值為,則有簡單調(diào)和平均數(shù)的計算公式為

(4.12)

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4.1集中趨勢的度量

例4.10

設有12批A產(chǎn)品當日在某海關(guān)進口時報關(guān)的單價分別為每件25，24，25，27，26，25，24，28，26，25，26，28美元。要求試用調(diào)和平均數(shù)方法計算其平均價格。解由式(4.12)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量2．加權(quán)調(diào)和平均數(shù)（1）單變量值分組的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)在單變量值分組場合，加權(quán)均值的計算公式為

(4.13)（2）組距分組的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)在組距分組場合，仍然根據(jù)是否擁有各組組均值數(shù)據(jù)，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的計算分為兩種不同的方式。擁有各組組均值數(shù)據(jù)時，采用各組組均值計算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)；不具有各組組均值數(shù)據(jù)時，則需要采用各組組中值來計算加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的近似數(shù)值。在現(xiàn)實生活中，實際使用到的僅是一種形式上類似調(diào)和平均數(shù)的“加權(quán)調(diào)和平均數(shù)”，它是均值的一種變形。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

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4.1集中趨勢的度量3．均值的變形在擁有各組總值數(shù)據(jù)和各組變量值水平，缺少各組頻數(shù)數(shù)據(jù)時，往往采用形式上類似加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的公式，來計算加權(quán)均值。用表示各組總值，用表示這一形式上類似加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的集中趨勢測度，有

(4.14)

由式(4.14)可知，這一所謂的形式上類似加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的集中趨勢測度實際上就是均值，而不是調(diào)和平均數(shù)。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

例4.12

已知某商店商品按照優(yōu)惠價、折扣價和原價的單價和銷售總額。要求試求銷售價格的均值。解由式(4.16)表4.8某商店W商品銷售情況

4.1集中趨勢的度量2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量4.1.5幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（GeometricMean）是指各項數(shù)據(jù)的連乘積開其項數(shù)次方的算術(shù)根，一般用G表示。當對象為某種連乘積的關(guān)系，例如總比率或總速度時，則需要采用幾何平均數(shù)方法，計算其平均比率或平均速度。幾何平均數(shù)的計算公式也有簡單幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)和兩種形式：１．簡單幾何平均數(shù)。計算公式為：

(4.15)２、加權(quán)幾何平均數(shù)。加權(quán)幾何平均數(shù)計算公式為：

(4.16)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量

例4.13

某廠有四個連續(xù)作業(yè)車間，其產(chǎn)品的合格率分別為95%、96%、94%和90%。要求試計算該產(chǎn)品的平均合格率。解顯然，本題不能采用算術(shù)平均法或調(diào)和平均法，因為各車間的合格率之積＝全廠的總合格率，應采用幾何平均法來計算其平均合格率。由式(4.15)，有2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量

例4.14

設某項每年分紅一次的投資項目，10年來各年的實際收益率分別為10%，9%，8%，8%，9%，8%，9%，7%，11%，10%。要求試求該項投資10年來的平均年收益率。解平均年收益率是一項平均增長速度，需要由平均發(fā)展速度間接計算。因此需要將例4.14中的各年收益率數(shù)據(jù)（年增長速度），換算成年本利和（年發(fā)展速度），利用式(4.15)計算出該項投資10年來的平均年本利率，最后將平均年本利率扣除本金后，計算出平均年收益率。即也可以根據(jù)式(4.16)計算，有2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量3．對數(shù)均值將幾何平均數(shù)計算公式等號兩端同時取對數(shù)，幾何平均數(shù)計算公式表現(xiàn)出類似均值計算公式的形式。所以，幾何平均數(shù)又被稱為對數(shù)均值，或?qū)?shù)平均數(shù)。由式(4.15)等號兩端同時取對數(shù)，可得對數(shù)形式的簡單幾何平均數(shù)計算公式。有

(4.17)

由式(4.16)等號兩端同時取對數(shù)，可得對數(shù)形式的，具有類似加權(quán)均值計算公式形式的加權(quán)幾何平均數(shù)計算公式。有

(4.18)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量4.1.6均值、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的比較對于同一組數(shù)據(jù)，僅從數(shù)值比較的角度，有均值大于等于幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)，即。

例4.16有一組數(shù)據(jù)為4，5，6，7，8，6，7，8，9，8，請分別計算均值、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)。解：分別計算如下：

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量4.1.7均值、眾數(shù)和中位數(shù)的比較在均值、眾數(shù)和中位數(shù)這三個測度中，均值是唯一的數(shù)值型測度。均值一般采用算術(shù)平均方法計算的集中趨勢測度，對極端數(shù)值的反應比較敏感，在數(shù)據(jù)的分布出現(xiàn)偏倚時，均值受到的影響最大。眾數(shù)和中位數(shù)都是位置型的集中趨勢測度，其具體取值不受極端數(shù)值的影響。其中眾數(shù)是對應于最大頻數(shù)的數(shù)值，中位數(shù)是居于有序數(shù)據(jù)中間位置上的數(shù)值。因此，若數(shù)據(jù)的分布是對稱的，有均值、眾數(shù)和中位數(shù)三個集中趨勢測度的取值相等。當數(shù)據(jù)分布呈左偏態(tài)時，一般有均值的取值最小，其次是中位數(shù)，眾數(shù)的取值最大。在頻數(shù)分布圖上，眾數(shù)始終對應于峰頂，均值和中位數(shù)偏在峰頂?shù)淖筮叄涤衷谥形粩?shù)左邊；當數(shù)據(jù)分布呈右偏態(tài)時，一般有均值的取值最大，其次是中位數(shù)，眾數(shù)的取值最小。在頻數(shù)分布圖上，眾數(shù)還是處在對應于峰頂?shù)奈恢?，均值和中位?shù)偏在峰頂?shù)挠疫叄⑶揖灯谧钣疫叀?024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量圖4.1對稱分布圖4.2左偏分布圖4.3右偏分布2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.1集中趨勢的度量

例4.17

根據(jù)第三章中例3.1某學期某班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的原始數(shù)據(jù)。要求計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的均值、眾數(shù)和中位數(shù)，簡要分析數(shù)據(jù)的分布狀況。解由該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績均值、眾數(shù)和中位數(shù)的具體取值，可得出三者之間的數(shù)值比較關(guān)系，有則認為該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績呈左偏態(tài)，偏倚的程度不是很大，從均值角度來說，該班高分（超過均值80分）的同學較多，超過了半數(shù)。因為按分數(shù)排序處在正中間位置上同學的分數(shù)為中位數(shù)82分，高于均值80分的水平。

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量《統(tǒng)計學教程》2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.1異眾比率

異眾比率（VariationRatio）是非眾數(shù)所在組的頻數(shù)之和占總頻數(shù)的比率，一般用表示。

(4.19)

異眾比率是用于評價眾數(shù)的代表性的測度。異眾比率取值在1到0之間，一般用百分數(shù)表示。異眾比率數(shù)值越大，越趨近于1，說明眾數(shù)所在組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率越低，眾數(shù)的代表性越弱，反映數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布不存在顯著集中的態(tài)勢，無法借助眾數(shù)來反映數(shù)據(jù)的集中趨勢；異眾比率數(shù)值越小，越趨近于0，說明眾數(shù)所在組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率越高，眾數(shù)作為集中趨勢測度的代表性越強。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.18

根據(jù)例4.1某品牌運動服裝專賣店一批新品球衣的銷售情況的頻數(shù)分布數(shù)據(jù)。要求試計算眾數(shù)“SP09-05”球衣的異眾比率。解由式(4.19)，有該新品球衣的前日和當日銷售情況眾數(shù)的“SP09-05”球衣的異眾比率分別為

前日銷售情況的異眾比率為45%，當日銷售情況的異眾比率為48.33%，說明這兩天眾數(shù)“SP09-05”球衣的銷售量都超過50%，表明在此場合使用眾數(shù)“SP09-05”球衣作為該批新款球衣集中趨勢的測度是比較有效的。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.2四分位差四分位差（QuartileDeviation）為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的絕對離差，也稱為四分間距（Inter-QuartileRange），用表示。計算公式為

(4.20)

式(4.20)中的和分別為上四分位數(shù)與下四分位數(shù)。將原始數(shù)據(jù)按照由小到大，由低到高排序后得到的有序數(shù)據(jù)中，上四分位數(shù)是處在后四分之一位置上數(shù)據(jù)的數(shù)值；下四分位數(shù)是處在前四分之一位置上數(shù)據(jù)的數(shù)值。所以，也可以將上四分位數(shù)與下四分位數(shù)理解為是在計算了中位數(shù)的基礎上，將排序后的有序數(shù)據(jù)分為了大于和小于中位數(shù)的兩個部分，然后再在這兩個部分中分別計算出來的中位數(shù)。四分位差反映了處在有序數(shù)據(jù)中間位置上的50%的數(shù)據(jù)的絕對離差。因此，四分位差是與中位數(shù)相聯(lián)系的離散程度測度。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.19

仍采用例4.4中某學期某班35名學生考試成績的原始數(shù)據(jù)。要求試計算該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的四分位差。解有上四分位數(shù)與下四分位數(shù)的計算公式為

解得

52，56，62，64，65，69，70，74，75，75，76，78，78，79，79，81，82，82，83，84，84，84，84，86，87，87，88，89，89，90，91，91，92，96，98

即可計算出考試成績的四分位差為該班35名學生的統(tǒng)計學考試成績的四分位差為13分，說明處在中間位置上的一半該班同學的分數(shù)最大差距為13分，這一差異數(shù)值較小，表明82分的中位數(shù)對于集中趨勢的代表性較好。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.3取值范圍取值范圍（ValueArea）為全體數(shù)據(jù)中最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，反映了數(shù)值變量取值的變動幅度。取值范圍也稱為全距，一般用R表示，有

(4.20)

當使用樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)值與最小數(shù)值之差，來計算該組樣本數(shù)值變量取值區(qū)間，以反映總體變量取值的變動幅度時，一般稱之為極差（Range），用表示。即

(4.21)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.20

某企業(yè)一車間甲乙兩個生產(chǎn)小組的個人日產(chǎn)量件數(shù)數(shù)據(jù)如下甲組：50，55，60，70，80，85，90

乙組：67，68，69，70，71，72，73

要求試計算該車間甲乙兩個生產(chǎn)小組的個人日產(chǎn)量的取值范圍。解甲乙兩個生產(chǎn)小組的均值都為70件，采用式(4.20)，有甲組：乙組：甲組的取值范圍為40件，乙組的取值范圍為6件，表明70件的均值對于乙組個人日產(chǎn)量的集中趨勢更具有代表性，或者說乙組個人日產(chǎn)量的離散程度小，集中趨勢更為顯著。取值范圍的計算只使用了數(shù)值變量中的最大與最小兩個數(shù)值，具有計算簡潔，意義明確，易于理解的特點，但是沒有充分利用數(shù)據(jù)的全部信息，是一個粗略的，簡單的，尤其是容易受到極端數(shù)值影響的測度。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.4平均差平均差（MeanDeviation）是指全部變量值與其均值的離差的絕對值的均值，也稱為平均離差，用A.D.表示。簡單平均差計算公式為：

(4.22)

加權(quán)平均差計算公式為：

(4.23)

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.21仍然采用例4.20中甲乙兩個生產(chǎn)小組的個人日產(chǎn)量件數(shù)數(shù)據(jù)。要求試計算該該車間甲乙兩個生產(chǎn)小組的個人日產(chǎn)量的平均差。解已知均值為70件，由式(4.22)

表4.10甲乙小組的個人日產(chǎn)量的平均差計算表件甲組：乙組：平均差測度同樣表明乙組個人日產(chǎn)量的離散程度小，70件的個人日產(chǎn)量均值對于乙組的集中趨勢更具有代表性。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.5方差和標準差方差(Variance)是指全部變量值與其均值的離差的平方的均值。方差以數(shù)據(jù)的重心——均值作為基準數(shù)值來度量數(shù)據(jù)分布的離散程度，同時用平方的方式消除了變量值與均值離差數(shù)值正負相抵的問題，便于數(shù)學上的處理，方差是正態(tài)分布等概率分布的重要參數(shù)，是度量數(shù)值變量離散程度的基本測度。方差一般用或表示。根據(jù)所擁有的數(shù)值變量數(shù)據(jù)的形式不同，方差的計算可以分為以下幾種方式。

1．簡單方差計算公式當擁有未分組的數(shù)據(jù)時，采用簡單方差公式計算方差。

(4.24)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.23

再次仍然采用例4.20中某企業(yè)一車間甲乙兩個生產(chǎn)小組的個人日產(chǎn)量件數(shù)數(shù)據(jù)，并已知均值為70件。要求試計算該甲乙兩個生產(chǎn)小組個人日產(chǎn)量的方差。解由式(4.24)有

表4.12甲乙小組的個人日產(chǎn)量的方差計算表件

甲組：乙組：

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量2．加權(quán)方差計算公式當只具備已分組數(shù)據(jù)時，需要采用加權(quán)方差公式計算方差。（1）當擁有單變量值分組數(shù)據(jù)時，加權(quán)方差計算公式為：

(4.25)

例4.24

根據(jù)例4.7中某機床總裝車間10個裝配小組日完成產(chǎn)品臺數(shù)數(shù)據(jù)，并已知均值為6.8臺。要求計算該機床總裝車間裝配小組日完成產(chǎn)品臺數(shù)的方差。解由式(4.25)

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

（2）當擁有的數(shù)據(jù)為具有組均值的組距分組時，加權(quán)方差計算公式為：

(4.26)

式(4.26)中是采用各組的組均值與總體均值的離差的加權(quán)均值來反映數(shù)據(jù)分布的離散程度。存在著一個各組的組均值與各組中各個變量的實際取值之間的差異，只有在各個變量的實際取值等于各組的組均值時，式(4.26)才等于式(4.25)；當這兩者的差距越大，式(4.26)與式(4.25)之間的差距也就越大，并且有式(4.26)計算的數(shù)值小于式(4.25)計算的數(shù)值。式(4.25)是與方差的定義一致的測度，而式(4.26)只是式(4.25)近似計算。4.2離散程度的度量2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量（3）當擁有的數(shù)據(jù)為不具有組均值的組距分組時，需要采用組中值近似地替代組均值計算加權(quán)方差，這時計算公式為

(4.27)

式(4.27)不僅存在式(4.26)以各組的組均值近似替代各組中各個變量的實際取值所產(chǎn)生的誤差，而且還存在以各組的組中值近似替代各組的組均值所產(chǎn)生的誤差。所以式(4.27)也只能是對式(4.25)近似計算。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量3．標準差由于方差的量綱是變量原有量綱的平方，在實際使用時有所不便。因此，人們常常采用具有與變量一致的量綱的測度，方差的算術(shù)平方根——標準差。標準差（StandardDeviation）為方差的算術(shù)平方根，即全部變量值與其均值的離差的平方的均值的算術(shù)平方根。有簡單標準差計算公式和加權(quán)標準差計算公式。

(4.28)(4.29)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.6離散系數(shù)離散系數(shù)（CoefficientofVariation）為同一總體的標準差與均值的比值。通過采用標準差除以同一數(shù)據(jù)的均值，不僅將分子分母量綱相同相互約去，同時還剔除了均值數(shù)值水平，得到了一個沒有量綱的相對數(shù)測度，這就是離散系數(shù)。計算離散系數(shù)的主要目的就是消除標準差的量綱和數(shù)值水平上的差異，使其成為一個抽象的，純粹反映數(shù)據(jù)分布離散程度的測度，一個具有廣泛的直接的可比性的離散程度測度。從形式上看，離散系數(shù)是一個相對的比值，一個相對數(shù)。離散系數(shù)的計算公式為：

(4.30)

離散系數(shù)一般用百分數(shù)表示。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.26

已知某公司A、B兩種產(chǎn)品2005年的日產(chǎn)量及其標準差數(shù)據(jù)。要求試計算A、B兩種產(chǎn)品2005年的日產(chǎn)量的離散系數(shù)，對該公司A、B兩種產(chǎn)品生產(chǎn)過程的均衡性進行比較分析。解采用式(4.30)，有表4.152005年某公司產(chǎn)品的日產(chǎn)量的離散系數(shù)計算表

由此例可以看出，標準差的數(shù)值水平是由純粹的數(shù)據(jù)分布離散程度（可用離散系數(shù)表示），和數(shù)據(jù)分布集中趨勢的中心數(shù)值（一般用均值表示），這兩者共同作用的結(jié)果。例如，A產(chǎn)品日產(chǎn)量的標準差3噸，等于離散系數(shù)60%，乘上均值5噸。

2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量4.2.7標準化值標準化值（StandardScore）是以變量值與其均值的差除以同一數(shù)據(jù)的標準差的比值，也稱為標準分數(shù)，或Z分數(shù)。其計算公式為：

(4.31)

標準化值的分子為第i個變量值與其均值的差，一般稱為數(shù)據(jù)的中心化，表現(xiàn)為變量值與其均值的絕對距離。標準化值的分母為標準差，通過用標準差除以中心化后的數(shù)據(jù)，來消除標準化值的量綱和絕對水平，剔除不同的數(shù)據(jù)分布離散程度在量綱和數(shù)值水平上的差異，使離散程度不同的數(shù)據(jù)之間具備了廣泛的可比性。使數(shù)據(jù)具有了普遍的可加性和直接的可比性。2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.2離散程度的度量

例4.27某中學有A、B兩位同學期末考試5門功課的考試成績?nèi)绫?.16所示。要求采用標準化值，對某中學A、B兩位同學考試成績進行評價。解根據(jù)式(4.31)，計算出A、B兩位同學考試成績的標準化值總分。表4.16某中學A、B兩位同學期末考試成績的標準化值總分計算表第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.3偏態(tài)和峰度的度量《統(tǒng)計學教程》2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.3偏態(tài)和峰度的度量4.3.1偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)（Skewness）是指數(shù)據(jù)分布偏倚的方向和程度。偏態(tài)系數(shù)是度量數(shù)據(jù)分布偏離對稱分布的方向和程度的測度。偏態(tài)系數(shù)一般采用三階中心矩與標準差三次方的比值來度量數(shù)據(jù)分布的偏倚。有簡單偏態(tài)系數(shù)計算公式為

(4.32)

加權(quán)偏態(tài)系數(shù)計算公式為

(4.33)2024年7月11日/*《統(tǒng)計學》

第4章數(shù)據(jù)分布特征的度量

4.3偏態(tài)和峰度的度量

偏態(tài)系數(shù)采用標準差的三次方數(shù)值去除三階中心矩，消除三階中心矩在具體量綱和均值水平上的不可比性質(zhì)，構(gòu)造出一個具有廣泛可比性質(zhì)的度量數(shù)據(jù)分布的偏倚的方向和程度的綜合測度。

圖4.4數(shù)據(jù)分布偏態(tài)的示意圖偏態(tài)系數(shù)的取值為0時，表示數(shù)據(jù)為完全的對稱分布；為負數(shù)時，表示數(shù)據(jù)為負偏態(tài)，或左偏態(tài)；偏態(tài)系數(shù)的取值為正數(shù)數(shù)時，表示數(shù)據(jù)為正偏態(tài)，或右偏態(tài)。偏態(tài)系數(shù)的絕對數(shù)值越小，表示數(shù)據(jù)偏倚的程度越小，絕對數(shù)值越大，表示數(shù)據(jù)偏倚的程度越大。2024年7月11日/