高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何培優(yōu)專題13與圓有關(guān)的綜合問題課件

第八章解析幾何高考培優(yōu)13與圓有關(guān)的綜合問題[培優(yōu)技法]1．圓的幾種特殊弦(1)過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦和最短弦圓的最長弦一定是直徑，因此求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦所在直線方程就是求過圓心和該點(diǎn)連線的方程；由垂徑定理知最短弦滿足其所在直線與前面所說的最長弦所在直線垂直．(2)以圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知，弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在直線垂直，因此求以圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程的方法如下：先求出中點(diǎn)(已知點(diǎn))與圓心連線的斜率(若不存在，則所求直線的斜率為0)，從而得出所求直線的斜率(若前面所求斜率為0，則此處斜率不存在)，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出所求直線方程即可．(3)兩圓相交時(shí)的公共弦求兩相交圓的公共弦所在的直線方程，只需將兩個(gè)圓的一般方程直接相減消去二次項(xiàng)即可，弦長的求解還是運(yùn)用垂徑定理．2．圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線的距離的最值問題(1)圓上的點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離的最值設(shè)圓C的半徑為r，點(diǎn)Q為圓外一點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為|QC|－r，最大值為|QC|＋r.當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)N或點(diǎn)M重合時(shí)，分別取得最小值和最大值，如圖所示．(2)圓上的點(diǎn)到定直線的距離的最值已知直線l和圓C，圓C的半徑為r，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)．過圓心C作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，交圓C于點(diǎn)M，N.①若直線l與圓相離或相切，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為|NQ|＝|CQ|－r，最大值為|MQ|＝|CQ|＋r，如圖1和圖2所示．②若直線l與圓相交，則點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為0，最大值為|MQ|＝|CQ|＋r，劣弧上的點(diǎn)到直線l的最大距離為|NQ|＝r－|CQ|，如圖3所示．

點(diǎn)撥

立足直線與圓的位置關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化是求解本類題目的關(guān)鍵．同時(shí)，在坐標(biāo)運(yùn)算中，借助圓的幾何性質(zhì)，可以大大提高運(yùn)算速度．

點(diǎn)撥

在直線與圓的問題中，題設(shè)條件通常不明確給出圓的相關(guān)信息，而是需要通過分析、轉(zhuǎn)化等途徑發(fā)現(xiàn)其中隱含的圓，再利用圓的性質(zhì)解決問題，我們稱這類問題為“隱圓問題”，此類問題在近年的高考及?？贾薪?jīng)常出現(xiàn)，難度為中高檔，解決此類問題的關(guān)鍵是能夠從題干中挖掘出“隱圓”．發(fā)現(xiàn)“隱圓”的途徑主要有：(1)利用圓的定義確定“隱圓”；(2)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的張角為直角構(gòu)造“隱圓”；(3)平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A