高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何與空間向量第1課時(shí)基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積學(xué)案

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c(diǎn)：直線與平面平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)及立體幾何中的向量方法．新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷對(duì)立體幾何解答題的考查角度基本一致，前一問(wèn)主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，將平行、垂直關(guān)系作為考查的重點(diǎn)，后一問(wèn)考查空間幾何量(空間角)的計(jì)算，尤其是二面角、線面角的計(jì)算．2．輪考點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積，空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．以小題的形式出現(xiàn)，主要考查空間幾何體體積與表面積的計(jì)算及球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題．第1課時(shí)基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積[考試要求]1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．3．能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖．考點(diǎn)一基本立體圖形1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2．特殊的棱柱(1)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．(2)側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(3)底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(4)底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體．3．正棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．4．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)5．立體圖形的直觀圖(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．結(jié)構(gòu)特征[典例1]下列命題正確的是()A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線B．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐C．棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等D．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)D[A不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線垂直于底面時(shí)才是母線；B不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；C錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且對(duì)應(yīng)邊互相平行．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是這些側(cè)棱的長(zhǎng)不一定相等．]直觀圖[典例2](2024·濟(jì)寧一中月考)已知正△ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．34a2 B．38C．68a2 D．616D[法一：如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝22O′C′＝68所以S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝6法二：S△ABC＝12×a×asin60°＝34a又S直觀圖＝24S原圖＝24×34a2＝6展開(kāi)圖[典例3](2024·長(zhǎng)沙模擬)如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為a，底面邊長(zhǎng)為b，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿每個(gè)側(cè)面爬到A1，路線為A→M→N→A1，則螞蟻爬行的最短路程是()A．a(chǎn)2+9bC．4a2+9A[正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是如圖所示的矩形，矩形的長(zhǎng)為3b，寬為a，則其對(duì)角線AA1的長(zhǎng)為最短路程．因此螞蟻爬行的最短路程為a2(1)判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可．(2)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝24S原圖形(3)用側(cè)面展開(kāi)圖求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離．跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)(多選)給出下列命題，其中真命題是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直C．在四棱柱中，若過(guò)相對(duì)側(cè)棱的兩個(gè)截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱D．存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體(2)(2024·泰安模擬)已知水平放置的△ABC按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么△ABCA．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．鈍角三角形(3)(2024·蚌埠模擬)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為()A．123 B．16C．24 D．243(1)BCD(2)A(3)A[(1)A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)二面角都是直二面角；C正確，因?yàn)檫^(guò)相對(duì)側(cè)棱的兩個(gè)截面的交線平行于側(cè)棱，又兩個(gè)截面都垂直于底面，故該四棱柱為直四棱柱；D正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形．(2)根據(jù)斜二測(cè)畫法還原△ABC在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖，則BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝3，AC＝AB＝32所以△ABC是一個(gè)等邊三角形．(3)如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，則θ＝2π在△POP′中，OP＝OP′＝12，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為PP′＝122+12考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l2．柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝13臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝13(S上＋S＋S上S球S＝4πR2V＝43πR側(cè)面積與表面積[典例4](2024·上海市通河中學(xué)月考)側(cè)面是正三角形的正四棱錐，體積為261＋3[如圖，四棱錐P-ABCD為正四棱錐，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，過(guò)P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足為O，連接OG．在Rt△POG中，PG＝32a，PO＝3a24因?yàn)轶w積為26，即13×a2×22a＝2所以正四棱錐的表面積為4×34a2＋a2＝1＋3體積[典例5](1)(2024·溫州模擬)側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是32的正四棱錐的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，則其外接球的體積為_(kāi)_______．(2)(2024·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為_(kāi)_______．(1)36π(2)1[(1)依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為32×高為32因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，故體積為36π．(2)如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1-D1MN＝VD1-A1MN求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積，特別是三棱錐的體積(即利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換)【教師備用】(2024·大同模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈．問(wèn)積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長(zhǎng)AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是()A．4立方丈 B．5立方丈C．6立方丈 D．8立方丈B[如圖，過(guò)E作EG⊥平面ABCD，垂足為G，過(guò)F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過(guò)G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，過(guò)H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由圖形的對(duì)稱性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形．則它的體積V＝VE-AQPD＋VEPQ-FMN＋VF-NBCM＝13·EG·S矩形＝13×1×1×3＋12×3×1×2＋13×1×1跟進(jìn)訓(xùn)練2(1)(2024·廣州調(diào)研)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．122π B．12πC．82π D．10π(2)(2024·天津和平區(qū)模擬)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A-B1CD1的體積為()A．43 B．C．4 D．6(1)B(2)B[(1)設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由x2＝8，得x＝22，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π．(2)如圖，三棱錐A-B1CD1是由正方體ABCD-A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A-A1B1D1，C-B1C1D1，B1-ABC，D1-ACD，又VABCD-A1VA-A1B1D1＝VC-B1C1D1所以VA-B1CD1課后習(xí)題(三十五)基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1．(人教A版必修第二冊(cè)P119練習(xí)T2改編)一個(gè)球的表面積是16π，那么這個(gè)球的體積為()A．163πB．32B[設(shè)球的半徑為R，則S＝4πR2＝16π，解得R＝2，則球的體積V＝43πR3＝322．(人教A版必修第二冊(cè)P106習(xí)題8.1T8改編)如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺(tái) B．四棱柱C．五棱柱 D．簡(jiǎn)單組合體C[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．]3．(人教A版必修第二冊(cè)P119練習(xí)T1改編)已知圓錐的表面積為12πcm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D．32B[設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2．]4．(人教A版必修第二冊(cè)P119習(xí)題8.3T2改編)如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_(kāi)_______．1∶47[設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出的棱錐的體積為V1＝13×12×12a×12b×12c＝148abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－148abc＝4748abc，所以5．一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為()A．322 B．3C．3 D．3B[平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′是直角梯形，其面積為12×(1＋2)×1＝32，則S原＝22S直＝36．(多選)(2024·青島模擬)如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是()A．四棱柱B．四棱臺(tái)C．三棱柱D．三棱錐AC[根據(jù)題圖，因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱．故選AC．]7．(2024·山東萊西模擬)若圓錐的表面積為3π，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為()A．圓錐的底面半徑為1B．圓錐的母線長(zhǎng)為2C．圓錐的體積為32D．圓錐的高為3C[設(shè)圓錐底面圓半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則有πl(wèi)=2πr，πrl+πr2=3π，解得r＝1，l＝2，圓錐的高h(yuǎn)＝l2-8．(2024·惠州調(diào)研)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問(wèn)葛藤最少長(zhǎng)多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問(wèn)題中，葛藤長(zhǎng)的最小值為()A．2丈4尺 B．2丈5尺C．2丈6尺 D．2丈8尺C[如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，則可看成一條直角邊(即圓木的高)長(zhǎng)24尺，另一條直角邊長(zhǎng)為5×2＝10(尺)的矩形，因此葛藤長(zhǎng)的最小值為2429．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．圓柱的每個(gè)軸截面都是全等的矩形B．棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形D．用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面AD[A正確；B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行；C不正確，棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)可能不相等；D正確，用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面．]10．(2024