2023學(xué)年人教A版高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)講義第9講 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（解析版）

第九講指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

教材要點(diǎn)學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向

1.指數(shù)函數(shù)的概念數(shù)學(xué)抽象水平1水平11.理解指數(shù)函數(shù)的

概念與意義，掌握指【考查內(nèi)容】指數(shù)函

2.指數(shù)函數(shù)的圖像和

邏輯推理水平1水平1數(shù)函數(shù)的定義域、值數(shù)的圖像與變換，求

性質(zhì)

域的求法。定義域、值域，比較

3.指數(shù)函數(shù)的定義域大小，討論指數(shù)復(fù)合

數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平22.能畫出具體指數(shù)

和值域函數(shù)的單調(diào)性或求參

函數(shù)的圖像，能根據(jù)

數(shù)范圍。

指數(shù)函數(shù)的圖像說(shuō)

明指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?！究疾轭}型】選擇題、

解答題第一問

4.指數(shù)函數(shù)圖像的交3.掌握指數(shù)函數(shù)的

直觀想象水平1水平2

換性質(zhì)并會(huì)應(yīng)用，能利【分值情況】5—12

用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)分

性比較累的大小。

知識(shí)通關(guān)

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=tf(a>0,且叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是K.

知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

定義域：R

值域：(0,+°°)

過點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=l

性質(zhì)

當(dāng)x>0時(shí)，，y>l；當(dāng)x>0時(shí)，OVyVl；

當(dāng)x<0時(shí)，，0<y<l當(dāng)x<0時(shí),y>l

在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

題型一指數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用(2)函數(shù)>=(-3)、的底數(shù)為一3<0,故不是指

數(shù)函數(shù)；

規(guī)律方法判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

(3)函數(shù)y=-3'中的指數(shù)式3"前的系數(shù)不是

(1)定義域必須是實(shí)數(shù)集R；

1,所以不是指數(shù)函數(shù)；

(2)自變量是x,x位于指數(shù)位置上，且指數(shù)位

(4)函數(shù)y=(n—3)"的底數(shù)滿足0<n—3<1,

置上只有尤這一項(xiàng)：

符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù)。

(3)指數(shù)式只有一項(xiàng)，并且指數(shù)式的系數(shù)為1；

答案A

【變式訓(xùn)練1】

(1)若函數(shù)^=(2。-1廠+。一2為指數(shù)函數(shù),

則。的值為()

例1、給出下列函數(shù)：

A.0B.-C.1D.2

(l)y=x*；(2)y=(-3)*；(3)y=-3"；2

(4)丁=(“一3尸，其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()(2)已知指數(shù)函數(shù)/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,4),

A.1B.2C.3D.4則/(—'+/(—?的值等于

解析：

解析：

(1)函數(shù)y=J中的自變量了在底數(shù)位置上，

(1)y=(2a—1『+“一2為指數(shù)函數(shù)，則應(yīng)滿

不在指數(shù)位置上，故不是指數(shù)函數(shù)；

足J2a—IwO,解得a=2

<7—2=0

(2)設(shè)/(工)=優(yōu)，???/(%)過點(diǎn)(2,4),

?，.4=a2,又a>0,且。w1,

.二a=2,/.f(x)=2',

???/§)+/([)=2；+2T考例2、(1)函數(shù)火x)=2a「i-3m>0,且aWl)的圖象

恒過的定點(diǎn)是________.

答案(1)D(2)—(2)如圖所示，曲線6(2，。3，。4分別是指數(shù)

2

x

函數(shù)％=優(yōu),必=b\y3=c，,”=d的圖像,判

題型二指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用

斷。力,c,d,l的大小關(guān)系是_____

規(guī)律方法處理函數(shù)圖象問題的策略

c2C3

(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1),

求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0,

求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點(diǎn).

(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、

x

上下平移).0

(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性.

(3)若指數(shù)函數(shù)y=(2a-1y在R上為單調(diào)遞

(4)指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)與丁="的圖像的特點(diǎn)：函數(shù)，則。的取值范圍是()

①若a>b>l,(誰(shuí)底越大，越偏向坐標(biāo)軸)(0,1)B.g,+8)C.(1,1)D.(1,+8)

即當(dāng)x<0時(shí)，總有1〉bx〉a*>0；

析：

當(dāng)％=0時(shí)，總有ax—hx—1；

(1)??1=爐的圖象過定點(diǎn)(0,1),

當(dāng)x〉0時(shí)，總有優(yōu)>

?,?令x+l=0,即X=-1,則“￥>=—1,

0<〃<a<1

故式x)=2"”-3的圖象過定點(diǎn)(—1,-1).,,2go

⑴y=2卜=《/、t,故選B.

■(-r,x<o

(2)作直線x=l,觀察圖像與直線x=l的

交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)越高，a越大可知，

(2)從曲線的變化趨.勢(shì)，可以得到函數(shù)4x)為減

b<a<\<d<c

函數(shù)，從而有0<4</；從曲線位置看，是由函數(shù)

(3)???y=(2。一1戶在口上單調(diào)遞減，

y=ar(0<a<1)的圖象向左平移卜個(gè)單位長(zhǎng)度

0<2a—1<1>解得一<a<l,得到，所以一b>0,即b<0.

2

答案(1)B(2)D

則a的取值范圍是己,1)

2題型三指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域問題

答案(1)(-1-1)規(guī)律方法指數(shù)型函數(shù)y=/⑶定義域、值域的求法

(2)h<a<\<d<c

(1)定義域：函數(shù)的定義域與y=Ax)的定義

(3)(1,1)域相同.

(2)值域：①換元，f=/(x).

【變式訓(xùn)練2】(1)函數(shù)>=2川的圖象是()

②求a=/(x)的定義域?yàn)閤WD

③求/=於)的值域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)兀v)=“'f的圖象如圖所示，其中a,b

為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

例3、求下列函數(shù)的定義域、值域。

3,

(1)

A.a>\,b<0B.a>\,Z?>0

A

C.0<a<1,h>0D.0<a<l,b<0(2)y=4'-2+1

解析:

(3)y=V1-3'?.?函數(shù)y=3*在R上是增函數(shù)，...xWO,

解析：故函數(shù)y=FF的定義域?yàn)?一8,0］,

(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽(對(duì)一切XGR,3*H-1)由于x?0,/.0<3'<1,

0<1-3'<1,.\0<71-3'<1

1+3、1+3*

V

故函數(shù)y=71-3的值域?yàn)椋?,1)o

又???3'>0,1+3、>1,

.\0<—^―

<1,

V

1+3【變式訓(xùn)練3】求下列函數(shù)的定義域和值域.

,1<一心

<0,

0<1———<1,

1+3,

二值域?yàn)?0,1)

(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,

解析：(1)要使函數(shù)式有意義，

,1,3

x2xx2

y=(2)-2+l=(2-1)+則x—4工0,解得xw4

1

.??函數(shù)丁=2工的定義域?yàn)閧刈％。4},

?/2V>0,

13

.?.2*=：,即x=—1時(shí)，y取最小值己,

即函數(shù)y=2一的值域?yàn)閧y|y>0,且ywl}

3

同時(shí)y可以取一切大于［的實(shí)數(shù)，

(2)要使函數(shù)式有意義，則―國(guó)NO,

3

二值域?yàn)椋郇D,+8)解得x=0

4

.?.函數(shù)y=(|產(chǎn)的定義域?yàn)閧XIX=0},

(3)要使函數(shù)式有意義，則1—3'20,

即3A<1=3°

即函數(shù)y=(|產(chǎn)的值域?yàn)?9}

<16

(3)由己知，函數(shù)的定義域?yàn)镽。即函數(shù)y=(上產(chǎn)2X-3的值域?yàn)?0,16]

VX2-2X-3=(X-1)2-4>-4

思維拓展

.".(1/-2-3<(1)-4=16

又山j(luò)-3>o,

2

根據(jù)y=2,在R上是增函數(shù)，得

2L8>2L5>2144,即％>%>%

考向一利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較指數(shù)式的大小

規(guī)律方法(2)由題意有，

(1)歸類：根據(jù)實(shí)際問題常將其分成三類：

一類是負(fù)數(shù)；一類是大于。小于1的數(shù)；

一類是大于1的數(shù)，再對(duì)三類數(shù)比較大小。

(2)若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

得出結(jié)果。

(3)若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同

底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；

不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)分別

09048

例4、（1）設(shè)％=4-,y2=8-,%=，即(|)；>(/〉(；)；>(芋

則（）

【變式訓(xùn)練4】

A.%>%>%B.%>%>%

&2Q3,2

c.%>%>%D.弘>%>%(1)設(shè)。=(g)5,A=(M)5,C=(w)5,則

1221111-。，瓦C的大小關(guān)系是()

（2）比較q）3,q）3,（,3,（,2這四個(gè)數(shù)的大小

A.a>c>bB.a>h>c

解析：C.c>a>bD.b>c>a

（1）4°9=21-8,80-48=21-44,（I）-'-5=2”,(2)設(shè)函數(shù)/(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖像

關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=3v-l,

則有()(2)指數(shù)不等式的解法

(1)形如優(yōu)>〃的不等式，可借助y=優(yōu)的

單調(diào)性求解。如果a的值不確定，需分0<a<l

和a>1兩種情況討論。

(2)形如優(yōu)>6的不等式，注意將6化為以a

為底的指數(shù)幕的形式，再借助>=優(yōu)的單調(diào)性

求解。

解析：(3)形如a*>"的不等式，可借助圖像求解，

2

(1)；基函數(shù)y=必在(0,+8)上為增函數(shù),

b

，a>c；

?+2v

2例5-1、討論函數(shù)/(%)=(1)-的單調(diào)性，并求

又???y=(g)，為R上的減函數(shù)，所以C>〃

其值域。

故a>c>b

解析：

(2)；/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

令t=—J+2x,則y=g)‘

:f(x)=3*-1在[l,+oo)上是增函數(shù),

2

?/y=(］),在(—8,+8)上是減函數(shù)，

而/=—V+2x在(—8,1］上是增函數(shù)，在［1,+00)上

是減函數(shù)，

???/(X)在(一8,1］上是減函數(shù)，在［1,+00)上是增函

數(shù)。

考向二與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性t=—x~+2x——(x-1)"+1<1

(1)復(fù)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷

y=1)?-,>y>—,

t=g(x)增增減減

2

所以函數(shù)/(x)的值域?yàn)?/p>

y=f3增減增減

例5-2、(1)設(shè)函數(shù)/(x)=J2X,X-0貝ij滿足

1,x>0

y=f[g(x)]增減減增/(x+l)v/(2幻的x的取值范圍是()

A.(-oo,-l］B.(0,+oo)

c.(-1,0)D.(-oo,0)結(jié)合圖像可知，要使/(x+l)</(2x),則需

x+l<0,

(2)已知函數(shù)++若,、x+1>0

\2x<0或《解得尤<0

22x<0

/(?-1)+/(2?)<0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍。2x<x+1

解析：

(2)由于均為增函數(shù)，二為減函數(shù)，

(1)當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)/(x)=2-x是減函數(shù)，則e

/(x)>/(0)=1。作出/(%)的大致圖像如圖所示,但一J_為增函數(shù)，

e

所以可得/(x)在R上遞增。又/(-x)+/(x)

1,1

-—/—2x+eA-e'+丁+2x+cx——y=—Q_3)~H—,

22

=0

.?.當(dāng)f=3時(shí)，ymin=1；

可得/(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)f=l時(shí)，y=|

則/(。-1)+/(2。2”0,max

即有/(2/)4一/9-1)=/(1一")，

即有2a2<\-a,

解得一1<aW—

2

答案(1)D(2)[-1,-]

2

【變式訓(xùn)練5-2】

【變式訓(xùn)練5-1】(1)已知函數(shù)/(x)=3*—(；)*,則/(x)()

若0WxW2,求函數(shù)y=4'”—3-2"+5的最大值

A.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

和最小值。

B.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

解析：

C.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

X-L1

y=42-32+5=萬(wàn)(2，)2一3.2*+5D,是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

2*+1

令2,=f，則1Wf44,(2)若函數(shù)/。)二不；一是奇函數(shù)，則使

2—。

/(x)>3成立的x的取值范圍為()(2)由題意，知/(x)=—/(—x),即

A.(-00,-1)B,(-1,0)C,(0,1)D.(l,+00)2'+12二+1

2x-a~~2-x-a

解析：

所以(1—。)(2'+1)=0,解得。=1,

(1)定義域?yàn)镽,

2V+1

由〃一幻=《『一3'=—/(幻所以〃幻二不「，

z—1

可知/(x)為奇函數(shù)，2*+1

由/(x)=^~^>3,得1<2*<2,

?.?y=(g),在R上是減函數(shù)，

所以0<x<l

答案(1)B(2)C

y=3*在R上是增函數(shù)，

函數(shù)/(x)=3v-(1)r在R上是增函數(shù)

摩A組基礎(chǔ)演練

一、選擇題

1.函數(shù)>=(。2—4“+4)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則。的值是()

A.4B.1或3

C.3D.1

a>0

解析：由題意得<awl得〃=3,故選C.

。2-4。+4=1

答案C

2.下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是.（）

A.y=（-3）vB.y=-3"

C.y=3iD.y=（；），

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義y=a'（a>0且arl）,可知只有D項(xiàng)正確.故選D.

答案D

3.函數(shù)y=d」S>i）的圖象是（）

解析：當(dāng)x20時(shí)，尸加的圖象與指數(shù)函數(shù)尸/3>1）的圖象相同,

當(dāng)x<0時(shí)，>=加與>=。-，的圖象相同，由此判斷B正確.

答案B

4.若-1</?<0,則函數(shù)的圖象一定在（）

A.第一、二、三象限

B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、二、四象限

解析：-：a>\,且一1<*0,故其圖象如圖所示.

答案A

5.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

①y=g尸］;且aWl）;③y=l七

④尸g）"-L

A.0個(gè)B.1個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè).

解析：由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正一確.

答案B

6.函數(shù)y=（小一1》在R上是（）

A.增函數(shù)B.奇函數(shù)

C.偶函數(shù)D.減函數(shù)

解析：由于0〈小一1<1,所以函數(shù)y=（小一1>在R上是減函數(shù),

1）=（5—1尸=夸旦yu）=5-1,

則負(fù)一1）刊1），且一一1）片一式1）,

所以函數(shù)y=（小一1尸不具有奇偶性.

答案D

二、填空題

7.指數(shù)函數(shù)_/U）=爐+1的圖象恒過定點(diǎn)

解析：由函數(shù)y=a'恒過（0,1）點(diǎn)，可得當(dāng)x+1=0,

即x=-1時(shí)，y=l恒成立，

故函數(shù)恒過點(diǎn)(一1,1).

答案(一1,1)

8.函數(shù)4x)=3后7i的定義域?yàn)?

解析：由x—1N0得

所，以函數(shù)火x)=3[x—1的定義域?yàn)閇1,+°°).

答案[1，+°0)

9.函數(shù)人的=3廠3(1令?5)的值域?yàn)?

解析：因?yàn)?aW5,所以一2<%—3W2,

而函數(shù)_/(x)=3'是單調(diào)遞增的，

于是有，>)W32=9,

即值域?yàn)?g,9]

答案4,9]

9

2Xx>3

10.給出函一數(shù)/(x)=4'一則貝2)=________.

/(x+l),x<3

解析：<2)=火3)=23=8.

答案8

11.圖中的曲線Ci，Ci，Ci，C4是指數(shù)函數(shù)尸〃的圖象，而｛坐|，巾，”｝，

則圖象Ci，C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的函數(shù)的底數(shù)依次是，，，.

解析：由底數(shù)變化引起指數(shù)函數(shù)圖象變化的規(guī)律，在y軸右側(cè)，底大圖高，在y軸左側(cè)，底大圖低.

則知C.2的底數(shù)＜G的底數(shù)＜1＜C4的底數(shù)＜C3的底數(shù)，而常坐＜?。技樱?/p>

1

故G，C2,C3,C4對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)依次是坐,-n小

3

答案坐；.n小

三、解答題

12.已知函數(shù)4x)=aLi(xeO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,g),其中。＞0且aWl

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)y=/(x)("x20)的值域.

解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)(22)，

2

所以則

(2)由(1)得人外=(2)1。20),

由元20,得x—12—1,

所以所求函數(shù)的值域?yàn)?0,2].

答案（1）,（2）（0,2]

2

13.已知貝*）=*-2乂3，+4,x€[-l,2].

⑴設(shè)—3。xW[—1,2],求f的最大值與最小值；

（2）求式x）的最大值與最小值.

解析：⑴設(shè)f=3",VxG[-l,2],函數(shù)f=3"在上是增函數(shù),

故有g(shù)w/W9,故f的最大值為9,

t的最小值為去

⑵由40=9,一2X3、+4=F—2r+4=Q-l）2+3,

可得此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為/=1,且

故當(dāng)f=l時(shí)，函數(shù)段）有最小值為3,

當(dāng)f=9時(shí)，函數(shù)兀0有最大值為67.

答案（1）9,-（2）67,3

3

B組提升突破

一、選擇題

.1.函數(shù)了=等（0＜。＜1）的圖象的大致形狀是（）

H-I

解析：當(dāng)x>0時(shí)，y="(0<a<l),故去掉A、B,

當(dāng)x<0時(shí)，y——cf.,與y=〃(0<a<l,x<0)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故選D.

答案D

2.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)/x)=(“2—l尸的值,總大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.\<\a\<yf2B.回<1

C.|a|>lD.|?|>^2

解析：依題意得標(biāo)一1>1,a2>2,

答案D

/?、/一2x

3.函數(shù)y=的值域?yàn)?)

11

A.—,+ooB.—co,—C.(-8,2]D.(0,2]

22

解析：由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/-2x=(X-1)2-1￡[-1,4-00),

因此y=e(0,2]，

2,

、/-2%

即函數(shù)y=的值域?yàn)?0,2].

答案D

(3—a)x—3,尤47

4.若函數(shù)/(x)=5，中單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)0的取值范圍匙)

A.B.*3)C.(1,3)D.(2,3)

(3-。)工一3,屬，7

解析：???函數(shù)/(%)=:6r單調(diào)遞增，

a,x>7

3-a>0

9

：Aa>\解得

4

(3-Q)X7-3Ka

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是；,3].

答案B

5.已知函數(shù)/(X)=3*+32T,則()

A.“X)在(0,2)單調(diào)遞增B./(X)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱D.y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

9

解析：t=3x>Q,y=t+~,

t

9

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖像特征，y=r+‘在(0,3)單調(diào)遞減，在(3,+8)單調(diào)遞增，

t

r=3,在R上單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，當(dāng)fe(0,3),

即xe(—8,l),函數(shù)J'(X)=3'+32T單調(diào)遞減，

當(dāng)，￡(3,+8),即(1,4-00),

函數(shù)/(x)=3,+327單調(diào)遞增，

所以選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤；

由/(2-x)=32T+32-T)=32-X+由=/(x),

y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱，選項(xiàng)c正確;

由/⑴=6,/(—1)==，y=/(x)的圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱，選項(xiàng)D,錯(cuò)誤.故選C.

答案C

6.已知g(x)為偶函數(shù)，〃(x)為奇函數(shù)，且滿足g(x)-〃(X)=2*.若存在.W-1』］，使得不等式

mg(x)+〃(x)?O有解，則實(shí)數(shù)加的最大值為()

33

A.-B.--C.1D.-1

55

解析：???g(x)為偶函數(shù)，〃(x)為奇函數(shù)，且g(x)-/?(x)=2"」，

g(-X)-力(f)=g(x)+=2f□

0~X-?l

U□兩式聯(lián)立可得g(x)=-；,h(x)==—^.

/、/、2'—2T4'-12

由根-g(x)+〃(x)WO得陽(yáng)=q=l--—,

'，'，2x+2-x4'+l4'+l

2

\y=\一一--在xe[T5為增函數(shù)，

4+1

□|I=|.故選：A.

I4+1Jmax5

答案A

二、填空題

3X

7.函數(shù)yu)=#y的值域是.

解析：函數(shù)y=/(x)=d，即有3，=芳,

由于3'>0,則一7>0.

解得0<