2025八年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)14.1.4 第3課時(shí) 整式的除法1

2025八年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)14.1.4第3課時(shí)整式的除法1第3課時(shí)整式的除法1．掌握同底數(shù)冪的除法法則與運(yùn)用．(重點(diǎn))2．掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則．(重點(diǎn))3．熟練地進(jìn)行整式除法的計(jì)算．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入1．教師提問：同底數(shù)冪的乘法法則是什么？2．多媒體展示問題：一種液體每升含有1012個(gè)有害細(xì)菌，為了試驗(yàn)?zāi)撤N殺菌劑的效果，科學(xué)家們進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)1滴殺菌劑可以殺死109個(gè)此種細(xì)菌．要將1升液體中的有害細(xì)菌全部殺死，需要這種殺菌劑多少滴？學(xué)生認(rèn)真分析后完成計(jì)算：需要滴數(shù)：1012÷109.3．教師講解：以前我們只學(xué)過同底數(shù)冪的乘法的計(jì)算方法，那么像這種同底數(shù)冪的除法該怎樣計(jì)算呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：同底數(shù)冪的除法【類型一】直接用同底數(shù)冪的除法進(jìn)行運(yùn)算計(jì)算：(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.解析：利用同底數(shù)冪的除法法則即可進(jìn)行計(jì)算，其中(1)應(yīng)把(－xy)看作一個(gè)整體；(2)把(x－2y)看作一個(gè)整體，2y－x＝－(x－2y)；(3)注意(a2＋1)0＝1.解：(1)(－xy)13÷(－xy)8＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.方法總結(jié)：計(jì)算同底數(shù)冪的除法時(shí)，先判斷底數(shù)是否相同或變形為相同，再根據(jù)法則計(jì)算．【類型二】逆用同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算已知am＝4，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．解析：先逆用同底數(shù)冪的除法，對(duì)am－n－1進(jìn)行變形，再代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．解：∵am＝4，an＝2，a＝3，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷3＝eq\f(2,3).方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是逆用同底數(shù)冪的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.【類型三】已知整式除法的恒等式，求字母的值若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a、m、n的值．解析：利用積的乘方的計(jì)算法則以及整式的除法運(yùn)算得出即可．解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5.方法總結(jié)：熟練掌握積的乘方的計(jì)算法則以及整式的除法運(yùn)算是解題關(guān)鍵．【類型四】整式除法的實(shí)際應(yīng)用一顆人造地球衛(wèi)星的速度為2.88×107m/h，一架噴氣式飛機(jī)的速度為1.8×106m/h，這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機(jī)的速度的多少倍？解析：求人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機(jī)的速度的多少倍，用人造地球衛(wèi)星的速度除以噴氣式飛機(jī)的速度，列出式子：(2.88×107)÷(1.8×106)，再利用同底數(shù)冪的除法計(jì)算．解：(2.88×107)÷(1.8×106)＝(2.88÷1.8)×(107÷106)＝1.6×10＝16.則這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機(jī)的速度的16倍．方法總結(jié)：用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的運(yùn)算可以利用單項(xiàng)式的相關(guān)運(yùn)算法則計(jì)算．探究點(diǎn)二：零指數(shù)冪若(x－6)0＝1成立，則x的取值范圍是()A．x≥6B．x≤6C．x≠6D．x＝6解析：∵(x－6)0＝1成立，∴x－6≠0，解得x≠6.故選C.方法總結(jié)：本題考查的是0指數(shù)冪，非0數(shù)的0次冪等于1，注意0指數(shù)冪的底數(shù)不能為0.探究點(diǎn)三：單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算．(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(eq\f(1,2)x2y6z)．解析：先算乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可．解：(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z；(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷(eq\f(1,2)x2y6z)＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷eq\f(1,2)x2y6z＝18x4y2z.方法總結(jié)：掌握整式的除法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，有乘方的先算乘方，再算乘除．探究點(diǎn)四：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式【類型一】直接利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．解析：根據(jù)多項(xiàng)式除單項(xiàng)式，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加．解：原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.方法總結(jié)：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加．【類型二】被除式、商式和除式的關(guān)系已知一個(gè)多項(xiàng)式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，請(qǐng)求出這個(gè)多項(xiàng)式．解析：根據(jù)被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系解答．解：根據(jù)題意得：2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，則這個(gè)多項(xiàng)式為4x4＋2x2＋3x－2.方法總結(jié)：“被除式＝商×除式＋余式”是解題的關(guān)鍵．【類型三】化簡求值先化簡，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.解析：利用去括號(hào)法則先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)除法法則進(jìn)行化簡，最后把x與y的值代入計(jì)算，即可求出答案．解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y＝[2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y]÷x2y＝x－y，把x＝2015，y＝2014代入上式得：原式＝x－y＝2015－2014＝1.方法總結(jié)：熟練掌握去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，整式的除法的法則．三、板書設(shè)計(jì)同底數(shù)冪的除法1．同底數(shù)冪的除法法則：am÷an＝am－n(m，n為正整數(shù)，m>n，a≠0)．2．同底數(shù)冪的除法法則逆用：am－n＝am÷an(m，n為正整數(shù)，m>n，a≠0)．從計(jì)算具體的同底數(shù)冪的除法，逐步歸納出同底數(shù)冪除法的一般性質(zhì)．講課時(shí)要多舉幾個(gè)具體的例子，讓學(xué)生計(jì)算出結(jié)果．最后，讓學(xué)生自己歸納出同底數(shù)冪的除法法則．性質(zhì)歸納出后，應(yīng)注意：(1)要強(qiáng)調(diào)底數(shù)a不等于零，若a為零，則除數(shù)為零，除法就沒有意義了；(2)本節(jié)不講零指數(shù)與負(fù)指數(shù)的概念，所以性質(zhì)中必須規(guī)定指數(shù)m、n都是正整數(shù)，并且，要讓學(xué)生運(yùn)用時(shí)予以注意．第3課時(shí)整式的除法教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能了解整式的除法的運(yùn)算性質(zhì)，并會(huì)用其解決實(shí)際問題．2．過程與方法經(jīng)歷探究整式的除法的運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)冪的意義，發(fā)展推理能力和有條件的表達(dá)能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀感受數(shù)學(xué)法則、公式的簡潔美、和諧美．重、難點(diǎn)與關(guān)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：整式的除法法則．2．難點(diǎn)：整式的除法法則的推導(dǎo)．3．關(guān)鍵：采用數(shù)學(xué)類比的方法，引入整式的除法法則．教學(xué)方法采用“問題解決”教學(xué)方法．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入【情境引入】問題：一種數(shù)碼照片的文件大小是28K，一個(gè)存儲(chǔ)量為26M（1M=210K）的移動(dòng)存儲(chǔ)器能存儲(chǔ)多少張這樣的數(shù)碼照片？你是如何計(jì)算的？【教師活動(dòng)】組織學(xué)生獨(dú)立思考完成，然后先組內(nèi)交流（4人小組），接著再全班交流，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，應(yīng)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想化陌生為熟悉，鼓勵(lì)學(xué)生算法多樣化，同樣強(qiáng)調(diào)算理的敘述．【學(xué)生活動(dòng)】完成課本P159“問題”，踴躍發(fā)言，利用除法與乘法的互逆關(guān)系，求出216÷28=28=256．【繼續(xù)探究】根據(jù)除法的意義填空，并觀察計(jì)算結(jié)果，尋找規(guī)律：（1）77÷72=7()；（2）1012÷107=10()；（3）x7÷x3=x()．【歸納法則】一般地，我們有am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正整數(shù)，m>n）．文字?jǐn)⑹觯和讛?shù)的冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【教師活動(dòng)】組織學(xué)生討論為什么規(guī)定a≠0？二、應(yīng)用新知根據(jù)除法的意義填空，并觀察結(jié)果的規(guī)律：（1）72÷72=（）；（2）1005÷1005=（）（3）an÷an=（）（a≠0）觀察結(jié)論：（1）72÷72=72－2=70；（2）1005÷1005=1005－5=1000；（3）an÷an=an－n=a0（a≠0）規(guī)定a0=1（a≠0），文字?jǐn)⑹鋈缦拢喝魏尾坏扔?的數(shù)的0次冪都等于1．【法則拓展】一般，我們有am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m≥n），即文字?jǐn)⑹鰹椋和讛?shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．三、探究1.計(jì)算：（1）（x5y）÷x3；（2）（16m2n2）÷（2m2n）；（3）（x4y2z）÷（3x2y）【學(xué)生活動(dòng)】開始計(jì)算，然后總結(jié)歸納，上臺(tái)演示，引入課題．W【歸納法則】單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．鞏固練習(xí)1．（－4a2b）2÷（2ab2）2．－16（x3y4）3÷（－x4y5）2；W3．（2xy）2·（－x5y3z2）÷（－2x3y2z）4；4．18xy2÷（－3xy）－4x2y÷（－2xy）．提問：“（6xy+8y）÷（2y）”如何計(jì)算？相互討論．計(jì)算：（1）（x3y2+4xy）÷x（2）（xy3－2xy）÷（xy）完成計(jì)算并討論多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除可以用分配律將它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，再利用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則進(jìn)行計(jì)算．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加．四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃芙處熖釂柺娇偨Y(jié)：1．同底數(shù)冪的除法法則2．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則3．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則五、布置作業(yè)，專題突破板書設(shè)計(jì)整式的除法1、同底數(shù)冪的除法法則例：am÷an=am－n練習(xí)：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，m>n）2．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則3．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則14．1.4整式的乘法第1課時(shí)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、多項(xiàng)式相乘1．探索并了解單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算．(重點(diǎn))2．熟練應(yīng)用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入1．教師引導(dǎo)學(xué)生回憶冪的運(yùn)算公式．學(xué)生積極舉手回答：同底數(shù)冪的乘法公式：am·an＝am＋n(m，n為正整數(shù))．冪的乘方公式：(am)n＝amn(m，n為正整數(shù))．積的乘方公式：(ab)n＝anbn(n為正整數(shù))．2．教師肯定學(xué)生的回答，并引入課題——單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、多項(xiàng)式相乘．二、合作探究探究點(diǎn)一：單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式【類型一】直接利用單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(1)(－eq\f(2,3)a2b)·(eq\f(5,6)ac2)；(2)(－eq\f(1,2)x2y)3·3xy2·(2xy2)2；(3)－6m2n·(x－y)3·eq\f(1,3)mn2(y－x)2.解析：運(yùn)用冪的運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．解：(1)(－eq\f(2,3)a2b)·(eq\f(5,6)ac2)＝－eq\f(2,3)×eq\f(5,6)a3bc2＝－eq\f(5,9)a3bc2；(2)(－eq\f(1,2)x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－eq\f(1,8)x6y3×3xy2×4x2y4＝－eq\f(3,2)x9y9；(3)－6m2n·(x－y)3·eq\f(1,3)mn2(y－x)2＝－6×eq\f(1,3)m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.方法總結(jié)：(1)在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；(2)注意按順序運(yùn)算；(3)不要丟掉只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母因式；(4)此性質(zhì)對(duì)于多個(gè)單項(xiàng)式相乘仍然成立．【類型二】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式與同類項(xiàng)的綜合已知－2x3m＋1y2n與7xn－6y－3－m的積與x4y是同類項(xiàng)，求m2＋n的值．解析：根據(jù)－2x3m＋1y2n與7xn－6y－3－m的積與x4y是同類項(xiàng)可得出關(guān)于m，n的方程組，進(jìn)而求出m，n的值，即可得出答案．解：∵－2x3m＋1y2n與7xn－6y－3－m的積與x4y是同類項(xiàng)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3m＋1＋n－6＝4，,2n－3－m＝1，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝3，))∴m2＋n＝7.方法總結(jié)：單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式就是把它們的系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘，結(jié)合同類項(xiàng)，列出二元一次方程組．【類型三】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用有一塊長為xm，寬為ym的矩形空地，現(xiàn)在要在這塊地中規(guī)劃一塊長eq\f(3,5)xm，寬eq\f(3,4)ym的矩形空地用于綠化，求綠化的面積和剩下的面積．解析：先求出長方形的面積，再求出矩形綠化的面積，兩者相減即可求出剩下的面積．解：長方形的面積是xym2，矩形空地綠化的面積是eq\f(3,5)x×eq\f(3,4)y＝eq\f(9,20)xy(m)2，則剩下的面積是xy－eq\f(9,20)xy＝eq\f(11,20)xy(m2)．方法總結(jié)：掌握長方形的面積公式和單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．探究點(diǎn)二：單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【類型一】直接利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(1)(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab；(2)－2x·(eq\f(1,2)x2y＋3y－1)．解析：先去括號(hào)，然后計(jì)算乘法，再合并同類項(xiàng)即可．解：(1)(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab＝eq\f(2,3)ab2·eq\f(1,2)ab－2ab·eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,3)a2b3－a2b2；(2)－2x·(eq\f(1,2)x2y＋3y－1)＝－2x·eq\f(1,2)x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.方法總結(jié)：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．【類型二】單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式乘法的實(shí)際應(yīng)用一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬(a＋2b)米，壩高eq\f(1,2)a米．(1)求防洪堤壩的橫斷面積；(2)如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？解析：(1)根據(jù)梯形的面積公式，然后利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算；(2)防洪堤壩的體積＝梯形面積×壩長．解：(1)防洪堤壩的橫斷面積S＝eq\f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a(2a＋2b)＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab.故防洪堤壩的橫斷面積為(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)平方米；(2)堤壩的體積V＝Sh＝(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab.故這段防洪堤壩的體積是(50a2＋50ab)立方米．方法總結(jié)：通過本題要知道梯形的面積公式及堤壩的體積(堤壩體積＝梯形面積×長度)的計(jì)算方法，同時(shí)掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【類型三】化簡求值先化簡，再求值：3a(2a2－4a＋3)－2