人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章學(xué)科特色微專題嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題學(xué)案

微專題嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考命題的熱點(diǎn)之一，?？疾槎魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)的零點(diǎn)問題，與函數(shù)的圖象性交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，設(shè)中間函數(shù)為t，通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解．類型一判斷嵌套函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)＝lnx-1x，x＞0，A．2 B．3C．4 D．5D解析：令t＝f(x)＋1＝ln①當(dāng)t＞0時(shí)，f(t)＝lnt－1t，則函數(shù)f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－12＞0，由零點(diǎn)存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t②當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函數(shù)t＝f(x)＋1，直線t＝t1，t＝－2，t＝0的圖象如圖所示．由圖象可知，直線t＝t1與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝0與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；直線t＝－2與函數(shù)t＝f(x)＋1的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)y＝f[f(x)＋1]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.解決嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般步驟(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．類型二由嵌套函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)問題【例2】已知函數(shù)f(x)＝-x2+2x，x≥0，x2-2x，x＜0，若關(guān)于x的不等式[A．2 B．3C．5 D．8D解析：由題設(shè)，分段函數(shù)的圖象如下：①若b＝0，則[f(x)]2＋af(x)－b2＜0即為[f(x)]2＋af(x)＜0.當(dāng)a＞0時(shí)，－a＜f(x)＜0，又因?yàn)殛P(guān)于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2＜0恰有1個(gè)整數(shù)解，所以其整數(shù)解必為3，且f(4)≤－a＜f(3)．又f(3)＝－3，f(4)＝－8，所以3＜a≤8.a≤0不必考慮．②若b≠0，因?yàn)閇f(x)]2＋af(x)－b2＜0有解，所以Δ＝a2＋4b2＞0，解得-a-a2+4b22＜f(x)＜-a+a由于當(dāng)f(x)＝0時(shí)，不等式的解集中含有2個(gè)整數(shù)解{0，2}，故舍去．綜上，a的最大值為8.故選D.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)，常利用數(shù)形