決勝2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘 10 三角形問題（學(xué)生版）

決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專題10三角形問題

【考點(diǎn)1】三角形基礎(chǔ)知識(shí)

【例1】1.（2020?湛江）如圖，在口43。中，ZA=3O°,NB=5O°,CO平分ZAC3,則/ADC的度

數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

【變式1-1］（2020?浙江紹興?中考真題）長(zhǎng)度分別為2,3,3,4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木

棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.7

【變K1-2】（2020?甘肅天水?）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和5,第三邊長(zhǎng)是方程Y—8x+12=0的根，

則該三角形的周長(zhǎng)為.

【考點(diǎn)2】全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】（2020?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，NB=ZT>=90。，點(diǎn)E,尸分別在43,AD

上，AE=AF>CE=CF,求證：CB=CD.

【變式2-1]（2020?山東東營(yíng)?中考真題）如圖1,在等腰三角形ABC中，乙4=120°,48=4。,點(diǎn)0、E分

別在邊AB、AC上，4。=4瓦連接8瓦點(diǎn)〃、N、P分別為?！?、BE、8c的中點(diǎn).

圖1中，線段MW、NP的數(shù)量關(guān)系是,ZMVP的大小為:

（2）探究證明

把口4）石繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判斷△MNP的形狀，并說明

理由；

（3）拓展延伸

把口4）上繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,AB=3,請(qǐng)求出△MVP面積的最大值.

【叟龍2-2】（2020?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直

線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.

（問題解決）

（1）如圖1,若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

（類比探究）

（2）如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理

由.

A

【考點(diǎn)3】等腰三角形與等邊三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

[例3]（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）（1）（操作發(fā)現(xiàn)）

如圖1,在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，口ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

①請(qǐng)按要求畫圖：將DAbC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B',點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.連

接BB';

②在①中所畫圖形中，ZAB'B=

（2）（問題解決）

如圖2,在R匯ABC中,BC=1,ZC=90°,延長(zhǎng)CA到D,使CD=L將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

到AE,連接DE,求NADE的度數(shù).

（3）（拓展延伸）

如圖3,在四邊形ABCD中，AE±BC,垂足為E,NBAE=NADC,BE=CE=1,CD=3,AD=kAB（k

為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）.

圖1

【空式3-1]（2020?四川涼山?中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊A45C邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外）,

點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā).

(1)如圖1,連接AQ、CP求證：MZ?e=AC4P

（2）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M,NQMC的大小是否變化？若

變化，請(qǐng)說明理由;若不變，求出它的度數(shù)

⑶如圖2,當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M,NQMC的大小是否變化?

若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù).

【變式3-2】（2020?吉林中考真題）如圖，DABC是等邊三角形，43=4?！?，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2c〃?/s

的速度沿A3向點(diǎn)3勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作PQLA8,交折線AC-C8于點(diǎn)。，以P。為邊作等邊三角形

PQD,使點(diǎn)A,。在PQ異側(cè).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（（）<%<2）,△PQ。與口ABC重疊部分圖

（1）AP的長(zhǎng)為.cm（用含x的代數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)點(diǎn)。落在邊上時(shí)，求x的值.

（3）求）'關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【考點(diǎn)4】直點(diǎn)三角形的性質(zhì)

【例4】（2020?云南中考真題）如圖，四邊形ABC。是菱形，點(diǎn)，為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A8的延

長(zhǎng)線上，CEYAB,垂足為E,點(diǎn)尸在A。的延長(zhǎng)線上，垂足為尸.

R

（1）若44Q=60。，求證：四邊形是菱形;

（2）若CE=4,△ACE的面積為16,求菱形ABCD的面積.

【文式41】（2019?黑龍江中考真題）一張直角三角形紙片ABC,ZACB=90SAB=10,AC=6,點(diǎn)

。為8C邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)。的直線折疊，使直角頂點(diǎn)。落在斜邊A8上的點(diǎn)E處，當(dāng)ABDE是直

角三角形時(shí)，則CD的長(zhǎng)為.

【玄代生2］（2020?海南中考真題）如圖，在R/0ABC中，NC=90。,乙鉆。=30。,4。=比利,將心［：43。

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到用△AB'C,使點(diǎn)C落在AB邊上，連接66',則88'的長(zhǎng)度是（）

C.43cmD.2\/3cm

【考點(diǎn)5】和似三角形的內(nèi)定與性質(zhì)的應(yīng)用

［例5］（2020?上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊A3、AZ）上，BE=DF,

CE的延長(zhǎng)線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

⑴求證：△BECS^BCH；

⑵如果8E2=AJR?AE,求證：AG=DF.

5-1］（2020?山東濟(jì)南?中考真題）在等腰A48C中，AC=BC,口AZ5E是直角三角形，NOAE=90。,

ZADE=-ZACB,連接5。，BE,點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，連接CF.

2

⑴當(dāng)NC48=45。時(shí).

①如圖1,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出NEA8與NCBA的數(shù)量關(guān)系是.線段BE與線段C尸

的數(shù)量關(guān)系是;

②如圖2,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊A3上時(shí)，(1)中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰AA8C底邊上的高CM,并取BE的中點(diǎn)N,再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解決問題；

思路二：取OE的中點(diǎn)G,連接AG,CG,并把DC4G繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形

全等或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題.

(2)當(dāng)NC48=30。時(shí)，如圖3,當(dāng)頂點(diǎn)。在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段C尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【支K5-2](2020?湖南益陽?中考真題)定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的

夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列

問題：

(1)如圖1,正方形ABC。中，E是C。上的點(diǎn)，將MCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),使8c與重合，此時(shí)點(diǎn)E的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸在D4的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEOF為“直等補(bǔ)''四邊形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形A3CD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5,CD=\,AD>AB,點(diǎn)8到直線AO

的距離為BE.

①求BE的長(zhǎng).

②若M、N分別是AB、AO邊上的動(dòng)點(diǎn)，求AMNC周長(zhǎng)的最小值.

【考點(diǎn)6】銳角三角國(guó)教及其應(yīng)用

[例6]（2020?山東日照?中考真題）閱讀理解:

如圖1,RtZkABC中，a,b,c分別是NA,NB,NC的對(duì)邊，NC=90。，其外接圓半徑為R.根據(jù)銳角

三角函數(shù)的定義：sinA=—,sinB=-,可得一^―=—^―=c=2R,即：—“―=”-也=-0-=2R,

ccsinAsinBsinAsinBsinC

（規(guī)定sin90°=l）.

探究活動(dòng)：

如圖2,在銳角△ABC中，a,b,c分別是NA,NB,NC的對(duì)邊，其外接圓半徑為R,那么：」一

sinA一

hr

—-______用〉、=或〈連接），并說明理由.

sinBsinC

事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形.

初步應(yīng)用：

在△ABC中，a,b,c分別是NA,NB,NC的對(duì)邊，NA=60。，ZB=45°,a=8,求b.

綜合應(yīng)用：

如圖3,在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小鳳同學(xué)測(cè)量一古塔的高度，在A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂C的仰角為15。,

又沿古塔的方向前行了100,〃到達(dá)8處，此時(shí)A,B,O三點(diǎn)在一條直線上，在8處測(cè)得塔頂C的仰角為

45。，求古塔的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.（73=1.732,sinl5—上一?）

【支式6-1】（2020?湖北荊門?中考真題）如圖，海島8在海島A的北偏東30。方向，且與海島A相距20海

里，一艘漁船從海島8出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75。方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島A出發(fā)，向

正東方向航行.2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處.

（1）求NABE的度數(shù)；

（2）求快艇的速度及C,E之間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin15、0.26,cos150?0.97,tan15°?0.27,8=1.73）

【支灰6-2］（2020?山東淄博?中考真題）如圖，著名旅游景區(qū)B位于大山深處，原來到此旅游需要繞行C

地，沿折線A-CTB方可到達(dá).當(dāng)?shù)卣疄榱嗽鰪?qiáng)景區(qū)的吸引力，發(fā)展壯大旅游經(jīng)濟(jì)，修建了一條從A

地到景區(qū)B的筆直公路.請(qǐng)結(jié)合NA=45。，NB=30。，BC=100千米，、歷M.4,退R.7等數(shù)據(jù)信息，解

答下列問題：

（D公路修建后，從A地到景區(qū)B旅游可以少走多少千米？

（2）為迎接旅游旺季的到來，修建公路時(shí)，施工隊(duì)使用了新的施工技術(shù)，實(shí)際工作時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增

加25%,結(jié)果提前50天完成了施工任務(wù).求施工隊(duì)原計(jì)劃每天修建多少千米？

壓軸精練

1.（2020.廣西玉林?中考真題）如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35度方向，B島在A島

的北偏東80度方向，C島在B島的北偏西55度方向，則A,B,C三島組成一個(gè)（）

北

▲

B

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形

2.（2020?湖北荊門?中考真題）nABC中，AB=AC,ABAC=120°,BC=273.。為BC的中點(diǎn),

記;亞氏則△EBD的面積為（）

A36口「布口有

D?lz?\J?

4848

3.（2020?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，在口人6。中，AB=AC,分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧分別交于E,F,作直線EF,。為8c的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn).若BC=4,DABC面積

為10,則8A/+MD長(zhǎng)度的最小值為（）

2

4.（2020?寧夏中考真題）如圖擺放的一副學(xué)生用直角三角板，ZF=30°,NC=45°，AB與DE相交于點(diǎn)

G,當(dāng)EF//BC時(shí),NEGB的度數(shù)是（）

A.135°B.120°C.115°D.105°

5.（2020.山東棗莊.中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)A在％軸的正半軸上,

ZAQB=/B=30°,04=2,將A4O8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)6'的坐標(biāo)是（）

A.卜+B.^—y/3,3^C.2+VsjD.（-3,V^）

6.（2020?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，矩形A8CD中，2。為對(duì)角線，將矩形ABC。沿8E、B/所在直線折疊,

使點(diǎn)A落在2。上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在30上的點(diǎn)N處，連結(jié)EF.已知AB=3,3c=4,則EF的長(zhǎng)為（）

A.3B.5C.D.屈

7.（2020?江蘇南通?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=2,NABC=60。，NACB=45。，。是BC的中點(diǎn)，直

線/經(jīng)過點(diǎn)。，AELl,BF±l,垂足分別為E,F,則AE+BF的最大值為（）

C.26D.372

8.（2020?四川綿陽?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，NA=/C=90。，DF〃BC,/ABC的平分線BE

交DF于點(diǎn)G,GHLDF,點(diǎn)E恰好為DH的中點(diǎn)，若AE=3,CD=2,則GH=（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2020?四川綿陽?中考真題）在螳螂的示意圖中，AB〃DE,AABC是等腰三角形，ZABC=124°,ZCDE

=72°,則NACD=()

10.（2020?湖北中考真題）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn).若BO=8,CD=6,連接A。，則AO的最

大值與最小值的差為.

A

11.（2020?湖北黃石?中考真題）匈牙利著名數(shù)學(xué)家愛爾特希（P.Erdos,1913-1996）曾提出：在平面內(nèi)有H個(gè)點(diǎn),

其中每三個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形，人們將具有這樣性質(zhì)的〃個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛爾特希點(diǎn)集.如圖，

是由五個(gè)點(diǎn)A、B、C、。、。構(gòu)成的愛爾特希點(diǎn)集（它們?yōu)檎暹呅蔚娜我馑膫€(gè)頂點(diǎn)及正五邊形的中心構(gòu)成）,

則ZADO的度數(shù)是.

12.（2020?遼寧營(yíng)口?中考真題）如圖，/MON=60°,點(diǎn)4在射線ON上，且。4=1,過點(diǎn)4作42」ON

交射線OM于點(diǎn)5,在射線ON上截取AM2,使得4A2=AIBI；過點(diǎn)4作A2&_LON交射線OM于點(diǎn)&,

在射線ON上截取A2A3,使得4/3=4282；?,?；按照此規(guī)律進(jìn)行下去，則A2020B2020長(zhǎng)為.

13.（2020?廣東深圳?中考真題）如圖，已知四邊形ABC。，AC與8。相交于點(diǎn)O,ZABC=ZDAC=90°,

1BOI，則》

tanZACB-

2'~OD

33CUD

14.（2020?四川宜賓?中考真題）在直角三角形ABC中，NACB=90",。是AB的中點(diǎn)，BE平分NABC交

AC于點(diǎn)E連接CD交BE于點(diǎn)O,若AC=8,BC=6,則OE的長(zhǎng)是

15.（2020.貴州黔南?中考真題）如圖所示，在四邊形4BCO中，ZB=90°,AB=2,8=8.連接AC,

ACA.CD,若sinNACB=！，則AO長(zhǎng)度是.

3

,D

B口--------0c

16.（2020?江蘇常州?中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=28。，分別以AC、8C為邊在線段43

的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG,連接EC、EG,則tanNC￡G=.

17.（2020?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，在VABC中,AB=AC,點(diǎn)P在BC上.

（1）求作:ZSPCD,使點(diǎn)D在AC上，且APCDsaABP；（要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在⑴的條件下，若/APC=2/ABC,求證:PD//AB.

18.（2020.廣西河池?中考真題）（1）如圖（1）,已知CE與AB交于點(diǎn)E,AC=BC,Z1=Z2.求證:

△ACE^ABCE.

（2）如圖（2）,已知CD的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)E,AD=BC,Z3=Z4.探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由.

19.（2020?山東荷澤?中考真題）如圖1,四邊形ABCO的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O，OA=OC,

OB=OD+CD.

4D'A

pD

圖1圖2

(1)過點(diǎn)A作AE//O。交8□于點(diǎn)E，求證：AE=BE；

⑵如圖2,將AABD沿AB翻折得到△ABD.

①求證：BD'HCD

②若AD'//BC,求證：CD2=20DBD.

20.(2020?貴州黔東南?中考真題)如圖1,Z\ABC和△￡>&都是等邊三角形.

探究發(fā)現(xiàn)

(□△BC。與△4CE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說明理由.

拓展運(yùn)用

(2)若8、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，ZADC=30°,AD=3,CD=2,求8。的長(zhǎng).

(3)若8、C、E三點(diǎn)在一條直線上(如圖2),且△ABC和的邊長(zhǎng)分別為1和2,求△AC。的面積及

AO的長(zhǎng).

21.(2020?遼寧沈陽?中考真題)如圖，在矩形A8CD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊45和邊CO的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N,與邊AO交于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)。.

(1)求證：△AQW也△CON；

⑵若A8=3,AD=6,請(qǐng)直接寫出4E的長(zhǎng)為

22.（2020?四川眉山?中考真題）如圖，口48。和都是等邊三角形，點(diǎn)8、C、E三點(diǎn)在同一直線

上，連接80，AD，BD交AC于點(diǎn)、F.

(1)若ALP=DF.DB，求證：AD=BF\

(2)若44D=90°,BE=6.

①求tanNDBE的值；

②求。產(chǎn)的長(zhǎng).

23.（2020.湖南郴州?中考真題）如圖1，在等腰直角三角形ADC中，NADC=90°,AO=4?點(diǎn)七是AD的

中點(diǎn)，以O(shè)E為邊作正方形OEFG,連接AG,CE.將正方形。EFG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a(00<a<90°).

（1）如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷AAGO與是否全等，并說明理由；

②當(dāng)CE=C。時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H,求GH的長(zhǎng).

⑵如圖3,延長(zhǎng)CE交直線AG于點(diǎn)P.

①求證：AG1CP；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

24.（2020?黑龍江朝鮮族學(xué)校中考真題）AABC中，點(diǎn)D在直線AB上.點(diǎn)E在平面內(nèi)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線

上，ZE=ZBDC,AE=CD,ZEAB+ZDCF=180°.

（1）如圖①，求證AD+BC=BE；

（2）如圖②、圖③，請(qǐng)分別寫出線段AD,BC,BE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明;

3

（3）若BEJ_BC,tan/BCD=-,CD=10,則AD=.

4

25.