橢圓軌跡求法

橢圓軌跡求法一.定義法：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一根本軌跡的定義，可用定義直接探求.例1：兩圓C1：，C2：，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：動(dòng)圓滿足的條件為：①與圓C1相內(nèi)切；②與圓C2相外切．依據(jù)兩圓相切的充要條件建立關(guān)系式解：設(shè)動(dòng)圓圓心Ｍ〔，〕，半徑為，如下圖，由題意動(dòng)圓Ｍ內(nèi)切于圓C1，∴，圓Ｍ外切于圓C2，∴，∴，∴動(dòng)圓圓心Ｍ的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且，，故所求軌跡方程為：．例2：在周長(zhǎng)為定值的△ABC中,|AB|=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)|CA|+|CB|=2a(a>3)為定值,所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,所以焦距2c=|AB|=6

因?yàn)橛?所以,由題意得此時(shí),|PA|=|PB|,P點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,±4).所以C點(diǎn)的軌跡方程為例3.①,A(3,0),B(-3,0),且三邊長(zhǎng)|AC|、|AB|、|BC|依次成等差數(shù)列，求頂點(diǎn)C的軌跡方程.②如圖,圓B：(x+1)2+y2=16及點(diǎn)A(1,0),C為圓B上任意一點(diǎn)，求線段AC的垂直平分l與線段CB的交點(diǎn)P的軌跡方程.③一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.解①:由題意,故C點(diǎn)的軌跡為以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為②故P點(diǎn)的軌跡為以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4cm的橢圓.故P點(diǎn)的軌跡方程為③圓A:,圓B:,.設(shè)動(dòng)圓半徑為r,那么由平面幾何得知:故P點(diǎn)的軌跡為A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12cm的橢圓.故所求軌跡方程為例4.設(shè)為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸正方向的單位向量，，且．求點(diǎn)的軌跡的方程；解析：由可得又知，即點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值8，又8>4所以的軌跡為以為焦點(diǎn)橢圓，故方程為例5.一束光線從點(diǎn)出發(fā),經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后,恰好穿過點(diǎn)．求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的方程;解析：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),那么,解得,∴∵,根據(jù)橢圓的定義,得===,∴,,．∴橢圓的方程為．二.待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求。例1.橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，求該橢圓的方程．分析：兩點(diǎn)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式不確定，我們可以設(shè)橢圓方程的一般形式：＝１〔，進(jìn)行求解，防止討論。解：設(shè)所求的橢圓方程為＝１〔．∵橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，∴解得，故所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．例2.(08年江蘇)三點(diǎn)P(5,2),,求以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:設(shè)橢圓方程為,由,(1)又點(diǎn)在橢圓上,故(2)由(1)、〔2〕得：.故橢圓方程為例3.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與圓交于兩點(diǎn),恰是該圓的直徑,是的斜率為,求此橢圓方程.解:設(shè)橢圓方程為,.圓的方程可化為,圓心(2,1),直徑||=.那么而在橢圓上,故有相減得:故橢圓方程可化為.的方程為代入橢圓方程得:由得故所求橢圓方程為三.橢圓的另類作法考查軌跡方程1.定長(zhǎng)線段的規(guī)那么移動(dòng)考查軌跡方程.PyP1Mxo例1.如圖,線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，且PyP1Mxo解：設(shè)那么由得得oxoxyABMN例2．從圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段且線段上一點(diǎn)，滿足關(guān)系式,求點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)那么代入,得3.由橢圓的幾何作法考查軌跡方程.例3.如圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作ANOx,垂足為N，過點(diǎn)B作BMAN，垂足為M.求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡方程。解:設(shè)那么消去得:評(píng)析:①第一類即橢圓規(guī)的理論依據(jù).②第二類很好地反映了橢圓經(jīng)過伸縮變換轉(zhuǎn)化為圓,反之亦然,以此為思路,可轉(zhuǎn)化橢圓問題為圓的相關(guān)問題解決.③第三類也是橢圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)方法.4.由動(dòng)弦的中點(diǎn)軌跡考查橢圓的軌跡方程例4.(06江西)如圖:橢圓右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于兩點(diǎn),為線段中點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.解:設(shè).那么相減得:當(dāng)時(shí),那么得mXyoFp當(dāng)時(shí),點(diǎn)mXyoFp故所求軌跡方程為5.斜率之積為常數(shù)考查軌跡方程例5.的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-6,0)、(6,0),邊AC、BC所在直線的斜率之積等于,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.解:設(shè)那么而四：轉(zhuǎn)化條件例1：設(shè)Q、G分別為的外心和重心,,,?求點(diǎn)的軌跡解析:設(shè),∵,∴又∵Q是外心,且∵

∴,即例2.M〔4，0〕、N〔1，0〕，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；