高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重點(diǎn)突破(人教A版必修第一冊)23三角恒等變換(原卷版+解析)

常考題型23三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2.二倍角公式①②；；③3.降冪公式4.輔助角公式：(其中)5.半角公式（1）.（2）.（3）.6.常用結(jié)論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④1.萬能公式（1）（2）（3）其中2.和差化積公式3.積化和差公式4.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．5.常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等6.湊角基本思路先判斷角是否是2倍關(guān)系：（1）若是2倍關(guān)系，則單倍角乘以2變成同倍角；（2）若不是2倍關(guān)系，則為同倍角，則采用誘導(dǎo)公式或兩角和差公式，將兩角進(jìn)行相加減（異號相加，同號相減）7.三角函數(shù)的簡單恒等變換(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)探究一：兩角和與差的三角函數(shù)若，，且，是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C．或 D．或思路分析：思路分析：根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡求解即可．【變式練習(xí)】1．已知?角滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．182．已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．探究二：二倍角公式和半角公式的應(yīng)用已知，且，則等于（

）A．0 B． C． D．2思路分析：思路分析：根據(jù)余弦的二倍角公式以及可得，進(jìn)而可得，代入即可求值.【變式練習(xí)】1．，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．探究三：萬能公式的應(yīng)用已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：求出，由兩角和的正切公式展開，結(jié)合已知求得和，然后求得，再由兩角差的正弦公式計(jì)算．【變式練習(xí)】1．已知，，則（

）A．3 B． C． D．2．已知直線的傾斜角為，則的值是．A． B． C． D．探究四：降冪公式的應(yīng)用已知函數(shù)，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.【變式練習(xí)】1．已知，，則=（

）A．2 B．-2 C． D．2．若，，則（

）A． B． C． D．探究五：三角恒等式的化簡與求值問題已知，均為銳角，，則＝______．思路分析：思路分析：由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入即可求出值．【變式練習(xí)】1．已知，則的值是____.2．已知，，均為銳角，則___．一、單選題1．已知銳角、滿足，，則等于（

）A． B．或C． D．2．已知，則（

）A． B．1 C． D．23．已知，則的值為（

）A．0 B．C． D．0或±4．已知，則等于（

）A． B．C． D．5．若，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知，為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．若，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為2 B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱11．已知函數(shù)，則（

）A．圖象的對稱中心為B．圖象的對稱軸方程為C．的增區(qū)間為D．的最大值是，最小值是12．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C．的值域?yàn)镈．的單調(diào)遞減區(qū)間為，三、填空題13．函數(shù)的最大值和最小值是、，則________.14．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是___________．①函數(shù)的最小正周期為

②時(shí)，取得最大值③在上單調(diào)遞增

④的對稱中心坐標(biāo)是15．若，則___________.16．?dāng)?shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關(guān).黃金分割常數(shù)也可以表示成，則_________.四、解答題17．求解下列問題：(1)已知，為第二象限角，求和的值；(2)已知，，，為銳角，求的值.18．已知，．求：(1)的值．(2)的值．19．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）在中,，求角.20．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。?1．已知函數(shù)．(1)求方程在上的解集；(2)求證：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且22．設(shè)函數(shù).(1)設(shè)，在處取得最大值，求；(2)關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有12個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.?？碱}型23三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式①兩角和與差的正弦公式②兩角和與差的余弦公式③兩角和與差的正切公式2.二倍角公式①②；；③3.降冪公式4.輔助角公式：(其中)5.半角公式（1）.（2）.（3）.6.常用結(jié)論①兩角和與差的正切公式的變形：②③④1.萬能公式（1）（2）（3）其中2.和差化積公式3.積化和差公式4.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．5.常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等6.湊角基本思路先判斷角是否是2倍關(guān)系：（1）若是2倍關(guān)系，則單倍角乘以2變成同倍角；（2）若不是2倍關(guān)系，則為同倍角，則采用誘導(dǎo)公式或兩角和差公式，將兩角進(jìn)行相加減（異號相加，同號相減）7.三角函數(shù)的簡單恒等變換(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)探究一：兩角和與差的三角函數(shù)若，，且，是方程的兩個(gè)根，則（

）A． B． C．或 D．或思路分析：思路分析：根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡求解即可．答案：B【詳解】解：、是方程的兩個(gè)根，，，，，即、,，則，則，故選：B．【變式練習(xí)】1．已知?角滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．18答案：C【詳解】，，、均為銳角，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．的最小值為8．故選：C2．已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，，所以，故選：B探究二：二倍角公式和半角公式的應(yīng)用已知，且，則等于（

）A．0 B． C． D．2思路分析：思路分析：根據(jù)余弦的二倍角公式以及可得，進(jìn)而可得，代入即可求值.答案：C【詳解】由得，因?yàn)?，所以，進(jìn)而得，故，所以，故選：C【變式練習(xí)】1．，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】．故選：D.2．已知，則（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】由，得，，，，所以.故選：A.探究三：萬能公式的應(yīng)用已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：求出，由兩角和的正切公式展開，結(jié)合已知求得和，然后求得，再由兩角差的正弦公式計(jì)算．答案：C【詳解】由得，所以，又，所以，由，解得，或（舍去，此時(shí)不是銳角），，是銳角，，，則，所以．故選：C．【變式練習(xí)】1．已知，，則（

）A．3 B． C． D．答案：A【詳解】由①，，所以②，由①②可得③，由①③得，，所以角為第二象限角，所以為第一、三象限角，，故選A.2．已知直線的傾斜角為，則的值是．A． B． C． D．答案：C【詳解】試題分析：，選C.探究四：降冪公式的應(yīng)用已知函數(shù)，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用平方關(guān)系、降冪及輔助角公式可得，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求最小正周期.答案：B【詳解】由題設(shè)，，所以最小正周期為.故選：B【變式練習(xí)】1．已知，，則=（

）A．2 B．-2 C． D．答案：D【詳解】因，，則，所以.故選：D2．若，，則（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】∵所以，又因?yàn)?，，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，．故選：C．探究五：三角恒等式的化簡與求值問題已知，均為銳角，，則＝______．思路分析：思路分析：由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，把各自的值代入即可求出值．答案：【詳解】，都是銳角，，又，，所以，，則．故答案為：.【變式練習(xí)】1．已知，則的值是____.答案：【詳解】，兩邊平方，可得，可得，．故答案為：2．已知，，均為銳角，則___．答案：【詳解】因?yàn)闉殇J角，且，則有，，又，則，又為銳角，所以．故答案為：一、單選題1．已知銳角、滿足，，則等于（

）A． B．或C． D．答案：C【詳解】，為銳角，，，所以，，，所以的值等于.故選：C．2．已知，則（

）A． B．1 C． D．2答案：D【詳解】∵，∴.故選：D.3．已知，則的值為（

）A．0 B．C． D．0或±答案：C【詳解】因?yàn)閮墒较嗉涌傻?，?故選：C.4．已知，則等于（

）A． B．C． D．答案：D【詳解】解：，即，解得（舍去）.故選：D.5．若，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D6．已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】，因?yàn)椋?，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有個(gè)最值點(diǎn)和4個(gè)零點(diǎn)，由圖像得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7．已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，于是，所以．故選：B8．已知，為銳角，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】因?yàn)?，又所?∵，為銳角，且，∴，即，∴，∴，∴，∴的取值范圍為.故選：A二、多選題9．若，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．答案：BC【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，從而，于是，所以，從而．故選：BC.10．已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為2 B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱答案：ABC【詳解】因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故A正確.最小正周期是，故B正確.將代入，可得，則其圖像關(guān)于直線對稱，故C正確.當(dāng)時(shí)，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱．故D錯(cuò)誤.故選:ABC.11．已知函數(shù)，則（

）A．圖象的對稱中心為B．圖象的對稱軸方程為C．的增區(qū)間為D．的最大值是，最小值是答案：ACD【詳解】；對于A，令，解得：，此時(shí)，的對稱中心為，A正確；對于B，令，解得：，的對稱軸為，B錯(cuò)誤；對于C，令，解得：，的增區(qū)間為，C正確；對于D，，，最大值是，最小值是，D正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱C．的值域?yàn)镈．的單調(diào)遞減區(qū)間為，答案：AC【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，故函?shù)為周期函數(shù)，A對；對于B選項(xiàng)，，為偶函數(shù)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，不妨考慮函數(shù)在上的值域即可，當(dāng)時(shí)，則，，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的值域也為，因此，函數(shù)的值域?yàn)?，C對；對于D選項(xiàng)，考慮函數(shù)在上單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為、，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)在上的減區(qū)間為、、，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、、，D錯(cuò).故選：AC.三、填空題13．函數(shù)的最大值和最小值是、，則________.答案：1【詳解】設(shè)，即，即，即，所以，兩邊平方并化簡得，設(shè)關(guān)于的方程的兩根是，則，而不等式的解為：，即分別是函數(shù)的最小值和最大值，所以.故答案為：1.14．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是___________．①函數(shù)的最小正周期為

②時(shí)，取得最大值③在上單調(diào)遞增

④的對稱中心坐標(biāo)是答案：①③【詳解】；對于①，的最小正周期，①正確；對于②，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不取最大值，②錯(cuò)誤；對于③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，③正確；對于④，令，解得：，此時(shí)，的對稱中心為，④錯(cuò)誤.故答案為：①③.15．若，則___________.答案：【詳解】解：因?yàn)?，即，所?故答案為：.16．?dāng)?shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關(guān).黃金分割常數(shù)也可以表示成，則_________.答案：2【詳解】.故答案為：2.四、解答題17．求解下列問題：(1)已知，為第二象限角，求和的值；(2)已知，，，為銳角，求的值.答案：(1)，(2)【詳解】（1）由于，為第二象限角，所以，所以.（2）由于，為銳角，所以，由于，，所以，所以.18．已知，．求：(1)的值．(2)的值．答案：(1)．(2)．【詳解】（1）依題意，，則，，，