九師聯(lián)盟2021屆高三1月聯(lián)考試題（老高考） 數(shù)學(xué)（文）含答案

高三文科數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡，上

對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。

4.本試卷主要命題范圍：高考范圍。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={—6,—3,-1,0,2,4,5},B={x|x2-2x-8<0},則AAB=

A.{-6,-1,0,2}B.{-3,-1,0,2,4}C.{-1,0,2}D.{-1,0,2,

4）

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z—i=iz+3（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=

A.-l-2iB.-l+2iC.l-2iD.l+2i

3.某校擬從1200名高一新生中采用系統(tǒng)抽樣的方式抽取48人參加市“抗疫表彰大會(huì)”，如果

編號(hào)為237的同學(xué)參加該表彰大會(huì)，那么下列編號(hào)中不能被抽到的是

A.327B.937C.387D.1087

4.摩索拉斯陵墓位于哈利卡納素斯，在土耳其（TURKEY）的西南方，陵墓由下至上分別是墩座

墻、柱子構(gòu)成的拱廊、四棱錐金字塔以及由四匹馬拉著的一架古代戰(zhàn)車(chē)的雕像，總高度45米,

其中墩座墻和柱子圍成長(zhǎng)、寬、高分別是40米、30米、32米的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的上底面與

四棱錐的底面重合，頂點(diǎn)在底面的射影是長(zhǎng)方形對(duì)角線交點(diǎn)，最頂部的馬車(chē)雕像高6米，則

陵墓的高與金字塔的側(cè)棱長(zhǎng)之比大約為（注：V674七25.962）

A.2.77B.2.43C.1.73D.1.35

9

5.若a=log23?log35,b=k)g方一，c=2°",則

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為

44911265

A.一B.—C.—D.----

531113309

7.長(zhǎng)征路公共汽車(chē)10分鐘一班準(zhǔn)時(shí)到達(dá)紅旗車(chē)站，假設(shè)公共汽車(chē)到站后每人都能上車(chē)，則任

一人在紅旗車(chē)站等車(chē)少于6分鐘的概率是

3I23

A.-B.-C.一D.-

4255

8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為ai+a2=—,a3+a4=―,則S5=

28

1052115327

A.——B.——C.—D.——

81642

ex-l

9函.數(shù)f(x)=?sinx在區(qū)間［-it,兀］上的圖象大致為

ex+l

2

4On

A

7T7t7萬(wàn)

10.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+(p)(0<o)<4,l<pl<—)>f(-則f(x)=

21212

717t,Tl,71

A.sin(2x——)B.sin(3x——)C.sin(3xH---)D.sin(2xH----)

43

11.在正方體ABCD-AIBICIDI中，P為底面ABCD的中心，E為線段AQi上的動(dòng)點(diǎn)（不包括

兩個(gè)端點(diǎn)），Q為線段AE的中點(diǎn)?，F(xiàn)有以下結(jié)論:

BC

①PE與QC是異面直線；②過(guò)A,P,E三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形;

③平面APE_L平面BDDiBi；④PE//平面CDDC。

其中正確結(jié)論的序號(hào)是

A.①④B.②③C.②④D.①③

12.點(diǎn)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m(m>0)的點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且

與拋物線C相切的直線/與y軸相交于點(diǎn)Q,則tan/FPQ=

I—1y/m+12

A7mB.-C------------D.―/

y/m2y/m+1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-2y>0

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件<x—y—2W0,貝Uz=x+y的最小值為。

y>0

14.若單位向量a,b滿(mǎn)足(a—2b)，a,則a與b的夾角為。

15.在數(shù)列｛aj中，ai=l,an+i—an=9—2n,則數(shù)列｛aj中最大項(xiàng)的數(shù)值為。

22

16.已知雙曲線C：=一之*=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,A為雙曲線C的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作

ab

x軸的垂線，與雙曲線C交于P,若直線AP的斜率是雙曲線C的一條漸近線斜率的百倍，

則雙曲線C的離心率為O

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(本小題滿(mǎn)分12分)

在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,asinB=百bcosA。

(1)求角A的大??；

(2)若AB-AC=6,a=,求sinB+sinC。

18.(本小題滿(mǎn)分12分)

西瓜堪稱(chēng)“盛夏之王”，清爽解渴，味甘多汁，是盛夏佳果，西瓜除不含脂肪和膽固醇外，含

有大量葡萄糖、蘋(píng)果酸、果糖、蛋白氨基酸、番茄素及豐富的維生素C等物質(zhì)，是一種營(yíng)養(yǎng)

豐富、純凈、食用安全的食品.炎熱的夏季里，人們都會(huì)吃西瓜來(lái)消暑解渴，某西瓜種植戶(hù)統(tǒng)

計(jì)了2020年6月、7月、8月、9月共計(jì)120天天氣“炎熱”還是“涼爽”使得西瓜銷(xiāo)售“暢

銷(xiāo)”還是“滯銷(xiāo)”的列聯(lián)表如下：

西瓜暢銷(xiāo)(單位:天)西瓜滯銷(xiāo)(單位:天)總計(jì)

天氣炎熱7020

天氣涼爽20a

總計(jì)

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為西瓜的銷(xiāo)量好壞與天氣因素有關(guān)？

(3)若利用分層抽樣的方法在西瓜滯銷(xiāo)的天數(shù)里，按天氣炎熱、天氣涼爽抽取6天，再?gòu)倪@6

天中隨機(jī)抽出2天，求這2天天氣情況不同的概率。

附：K2=-------------------------,其中n=a+b+c+d。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

k1.3232.0722.7013.841

P（K，h）0.250.150.100.05

19.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖1中，多邊形ABCDE為平面圖形，其中AB=AE=G，BE=BC=2,CD=4,BE//CD,

BC1CD,將AABE沿BE邊折起，得到如圖2所示四棱錐P-BCDE,其中點(diǎn)P與點(diǎn)A重合。

圖1圖2

(1)當(dāng)PD=jn時(shí)，求證：DE_L平面PCE；

(2)當(dāng)平面PBE_L平面BCDE時(shí);求三棱錐P-CDE的體積。

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)f(x)=--a+^x2+2ax+l(a?R)。

32

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求f(x)的極大值和極小值;

(2)當(dāng)aW6時(shí)判斷f(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由。

21.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知橢圓C：「+與=1(。＞人＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2且垂直于x軸的直線

a~b~

_3

與C交于M,N兩點(diǎn)，且M的坐標(biāo)為(1,-)o

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)F2作與直線MN不重合的直線/與C相交于P,Q兩點(diǎn)，若直線PM和直線QN相交于

點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T在定直線上。

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。

22.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為＜(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為

x=]+cosa

-(a為參數(shù))。以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系。

y=sina

(1)求直線/和曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)已知A是曲線C上一點(diǎn)，B是直線I上位于極軸所在直線上方的一點(diǎn)，若|0B|=2,求AAOB

面積的最大值。

23.(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)a,b,cGR,且a+b+c=L

(1)求證：a2+b2+c2＞；

(2)用max{a,b.c}表示a,b,c的最大值，求max{a+b,b+c,c+a}的最小值。

高三文科數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.C由3={1|-2Vz<4}?所以人口8={-1,0.2}.故選C.

2D,=空=（3+以1+i）=±j=]+2L故選口

~1-i（l+iXl-i）21十八收0；D.

3.A依據(jù)題意?抽樣間隔為25,又237除以25的余數(shù)為12,故所抽取的編號(hào)為12+25A（A=0?1?…,47）?所以327不符

合.故選A.

4.C根據(jù)長(zhǎng)、寬分別是10米、30米得金字塔的底面對(duì)角線長(zhǎng)50米.可算出四棱錐高7米?所以側(cè)棱長(zhǎng)為，72+25,=

而,則陵塔的高與金字塔的側(cè)梭長(zhǎng)之比大約為聾=N1.73.故選C.

5/674

QIQA

=

5.Balog25>2.6=1（^;2&m=lo&5=a?r<2,有c<Za<Zb.故選B.

6.A/=1時(shí)?S=l;i=2時(shí)?S="1*；i=3時(shí).5=萬(wàn)且一=卷;i=1時(shí)?5=百，一=強(qiáng)」=5不滿(mǎn)足條件?退出循環(huán)?輸出

+3TT+4

故選A.

7.D設(shè)上一班車(chē)離站時(shí)刻為人則該人到站的時(shí)刻的一切可能為（f“+10）.若在該站等車(chē)少于6分鐘?則到站的時(shí)刻為

（，+4.，+10）.所以所求概率為靠=等.故選D.

=?!■?可得5=1,所以4

8.B設(shè)公比為q（q>0）?有=得.故選R

Cx——1fl1八"-1

9.A由=E'、inS）=K-inL/8.可知/⑺為偶函數(shù).又由當(dāng)我[°,用時(shí)必,）=司?

sinI'O.故選A.

瑞+a=H穴.

10.A由題意有V（舟曲62）?兩式作差得券=（生一舟）小瓦?扁￡2）.有3=2（包一舟）S?&￡Z）.又由

7兀心,乙

旅+廣壇”

0VY4?可得w=2呼=*—1a￡Z）.又由I夕IV}■?可得y=一關(guān),故有/Cr）=sin（2L^）.故選A

11.B連接PC,因?yàn)镻為正方形ABCD的中心,所以P是八（、的中點(diǎn)，乂Q為線段AE的

中點(diǎn)?所以PQ〃CE.從而P、Q、E、C四點(diǎn)共面?即PE與QC共面?則①錯(cuò)謨;連接兒（；.

過(guò)E作EF〃AC交GR于點(diǎn)F?連接CF.則四邊形ACFE是正方體過(guò)A、P、E:點(diǎn)的

截面（因?yàn)镋F〃4g〃AC，且EFVAG=AC）?易證四邊形ACFE為等腰梯形?故②

正確；可證AP_L平面BDDJ3「結(jié)合APU平面APE?可得平面APE_L平面HDD.B,.則

③正確；假設(shè)PE〃平面CDD"；.又PEU平面ACFE.平面CDD"；D平面ACFE=

CF.所以PE〃（下?又EF〃P（'?所以四邊形PCFE為平行四邊形?從而EF=PC=+AC

=*1AC.所以EF是△?1?口的中位線.即E是AR的中點(diǎn).這與“E為線段上的動(dòng)點(diǎn)”矛盾?故④錯(cuò)誤.

12.B由拋物線的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)點(diǎn)。位于第一象限?可得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（，〃.2，茄）?設(shè)宜線/的方程為、=內(nèi)工一，〃）+

11y2=41,

2々?聯(lián)立方程消去工后整理為栩2-4y+8，嬴-4厲〃=0,有4=16-4屐8//—4后w）=0,

〃D+2Vm.

布，由一2/贏+1=0.解得K=J=.可得直線/的方程為y=4+4；.令y=0.得上=一"，,直線/與工軸的交點(diǎn)

vmvtn

D的坐標(biāo)為（一處0）.所以|DF|=l+，〃.又|PF|=，〃+1?所以|PF|=|DF|?所以NFPQ=/FDP.所以ian/FPQ=

tanNFDP=&=與.故選B.

13.6網(wǎng)出可行域?如圖所示?當(dāng)直線工+'，=0過(guò)點(diǎn)A(4?2)時(shí)?=取得最大值.故j=4+2產(chǎn)

=6./

/1a?h1.r-2尸匕2)

14.由(a—2b)J_a.得(a—2b)?a=0.即a?6=彳?所以cos<a.b)=??.[b|="F'又

〈。?力〉€[0,尋所以《。.吩=手.*/

15.17當(dāng)時(shí)一)+(a._1—a1)+…+3-ai)+4i=<11一2〃〉+《13-2〃)+…+7+1=95—1)一

2X也產(chǎn)+1=——+10〃-8=一(〃-5)2+17?所以數(shù)列｛/｝中最大項(xiàng)的數(shù)值為17.

16.2設(shè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為3.0)?雙曲線(、的離心率為〃?不妨設(shè)點(diǎn)P位于第一象限?可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一9)?點(diǎn)八的

任n—r

坐標(biāo)為Q.0),宜線/V5的斜率為士=芝三力=寧=7+】?又由'=>\/勺金=.有e+l=/3(/—1)?

整理為J—2=0?解得，=2或*?=-1(舍).

17.解:《D由正弦定理.得sinAsinBr/?sinBcosA,.......................................................................................................2分

因?yàn)閟inB>0,所以sinA=&cosA,即unAf/5?......................................................................................................4分

由0VAV”?得A=^,.........................................................................................................................................................6分

⑵由題意?得<〃cos^=6?即儀=12?...............................................................................................................................8分

由余弦定理.得a=#+—一加?即/=(〃+c)2—3加.

由a=K及慶=12?解得〃+c=7,....................................................................................................................................10分

由正弦定理.得卷=卷=急?即肅器/=就X,

7X區(qū)"-

2_7>/39

所以sinB+sin。=(〃+0仙.12分

/I3

18.解：(110=120—70—20-20=10?.....................................................................................................................................1分

(2)填寫(xiě)列聯(lián)表如下:

西瓜暢銷(xiāo)(單位:天)西瓜滯銷(xiāo)(單位:天)總計(jì)

天氣炎熱702090

..................................................................................................................................Q4

天氣涼爽201030

總計(jì)9030120

120X(70X10-20X20)2

-90X30X90X30""-1.481V2.072.

故沒(méi)有85%的把握認(rèn)為西瓜的銷(xiāo)量好壞與天氣因素有關(guān).................................................7分

⑶天氣炎熱的天數(shù)為20X親=4天,分別記作明〃",?.

天氣涼爽的天數(shù)為10X親=2天.分別記作.r、y.

從這6天中隨機(jī)抽取兩天包括的基本事件為(a,〃)、(a,c)、(■,△)、、(a,y)、"九c)、(〃")、(仇”)、(〃?y)、(c?t/)、

(c.?r)、(c.y)、(d.x)、(d,y)、(”?、)?共15個(gè)...........................................................9分

這2天天氣不同的基本事件為(a.z)、(a.y)、(。?上)、(僅y)、(C?E)、(e?y)、(d.i)、(d?y).共8個(gè).............11分

故這2天天氣情況不同的概率為春.................................................................12分

19.(1)證明：由BE〃CD.3cLeD.3E=B('=2,CD=4.易求CE=DE=272.

所以C^+Q^nCD2,所以DEJ_CE.................................................................................................................................2分

因?yàn)镻EM,PD=/IT?所以DE'+P^MllnPD2?所以DE±PE...........................................................................3分

又PEn('E=E.PE.CEU平面PCE.

所以DEJ_平面PCE..............................................................................................................................................................6分

⑵解：如圖?取BE的中點(diǎn)O,連OP.P(A)

因?yàn)锽P=EP=—?BE=2,所以O(shè)P_L3E?OP=6...............................................8分

因?yàn)槠矫鍼BE_L平面BCDE,。匕LBE?平面PBEC平面BCDE=BE,OPU平面PBE.//\

所以()。_1_平面比'。匹....................................................10分p//}\\

所以O(shè)P為三棱錐P-CDE的高?\[0/'、、\

因?yàn)锳CDE為直角三角形,DE±CE,V//、'\

1I/o----------------------

所以％十X2v^X2&Xa=弩4................................12分

20.解:⑴當(dāng)〃=】時(shí)./(/)=￡一等工2+如+].則/⑺=/-31+2=(1-1)(/-2)........................................1分

由/(外V0?得1VZ2;由/"(幻>0得zVl或=>2.

所以/(外在(一8.1)和(2,+8)上是增函數(shù)?在(1.2)上是減函數(shù).........................................2分

所以i=l是八外的極大值點(diǎn)?工=2是/G)的極小值點(diǎn).

所以人力的極大值為/⑴二,的極小值為八2)=條............................................4分

z

(2)/(>r)=/2—(a+2)z+2a=(j-a)(1—2)(4>0),......................................................................................5分

①當(dāng)a40時(shí).j-a恒正?于是?當(dāng)0V#V2Hj./(x)<0;當(dāng)x>2Bj./(x)>0.

所以/(工)在(0?2)上是減函數(shù)?在(2.+8)上是增函數(shù).

所以工=2是人力的極小值點(diǎn).且f(2)=2a~^<0.

19

又/(0)=l>0,/(4)=y>0.

所以八公在(0,2)和(2?4)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)?

即當(dāng)a40時(shí),八外在(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)............................................................7分

②當(dāng)0VaV2時(shí).列表如下：

-T(O.a)aQ.2)2(2.4-00)

+0—0+

八外增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

考慮到/Q)烏一空?a2+2d24-l=ya2(6-u)+l>0,/(0)=l>0.

當(dāng)/⑵=2〃一方V0.即OVaV卷時(shí)?因?yàn)?(4)=學(xué)〉0.所以/⑺在(0,+M內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)/(2)=2〃一《=0.即時(shí)?/(外在(0,+8)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

6O

當(dāng)]2)二加一J>。,即卷VaV2時(shí),fGr)在(0,+8)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)........................................9分

③當(dāng)a=2時(shí)/(6=(i-2)220,則人%)在(0,+8)上為增函數(shù).

所以/Cr)>/(0)=l>0?故/(外在(0.+8)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)..............................................10分

④當(dāng)2V.&6時(shí).列表如下：

(0.2)2(2,a)a(d.4-oo)

+0—0t

人工)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)

考慮到/(0)=1>0?/(力的極大值/⑵=2。一1>0,/(力的極小值/(4)=卷1(6—”)+1>0.

所以人工)在(0.+8)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)...................................................................11分

綜上?當(dāng)av]■時(shí)小力在(0?+8)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)〃■時(shí)?/(公在(0,+8)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)?shù)?46時(shí)J(外在(0,+8)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)...........................................................12分

21.(1)解：由題意.得「2(1，0)?氏(一1,0)?且°=1,...............................................................................................1分

則為=|MK|+|MF?|=J(-1-1)2+(1-0)?+日=4?即a=2?..............................................................2分

所以.............................................................................3分

故橢圓C的方程為?+[=1...................................................................................................................................

4分

⑵證明：由⑴及的對(duì)稱(chēng)性.得點(diǎn)的坐標(biāo)為（.一等）...............................................

CN15分

設(shè)直線/的方程為y=M，一D.點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為

+=

聯(lián)立方程JT1消去'格整理為（4萬(wàn)+3）工2一8必工+必2-]2=0?

ly=/（?r—D,

_i_8工止一12

所以=.................................................................6分

宜線PM的斜率為三

H線PM的方程為,v-4)<.r-l).

.3“々-D+毋3

“+方

支線QN的斜率為x-\一上+工―2?

x21t

宜線的方程為了+普=（五三）”-）

QN4+1,..............................................................8分

將直線PM和直線Q.Y方程作差消去y后整理為（尹二?+小三卜/一口二？.

4JT]4ZJCQ4

可得（為+&卜/一

D=2,.........................................................................................9分

8-

而由」-+]二町+了=2=_巧+1