上海市新川中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

新川中學(xué)2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)試卷（完卷時間90分鐘，滿分100分）一、填空題（本大題共有12題，每題3分，滿分36分）1．復(fù)數(shù)的虛部是.2．已知點在角的終邊上，則.3．若復(fù)數(shù)滿足（其中i是虛數(shù)單位），則.4．若點，，則向量的坐標是．5．函數(shù)的最小正周期為6．已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為.7．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則.8．已知、均為單位向量，且，則.9．如圖，已知點平面，點，直線，點且，則“直線直線”是“直線直線”的條件（請?zhí)顚憽俺浞址潜匾保氨匾浅浞帧?，“充要”，“非充分非必要”?0．對于空間中的點，直線，平面，有以下五個命題，真命題的有．（填上全部真命題的序號）（1）三點確定一個平面（2）垂直于同一直線的兩條直線互相平行；（3）若是異面直線，則一定存在平面過且與平行；（4）三條直線兩兩相交則這三條直線共面（5）如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；11．已知函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)的值域為．12．已知是單位向量，向量滿足.若不等式對任意實數(shù)都成立，則的取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，每題3分，滿分12分）13．已知、是平面向量的一組基底．則下列各組向量中，不能作為平面向量的一組基的是（

）A．、 B．、 C．、 D．、14．已知為復(fù)數(shù)，則下列命題不正確的個數(shù)是（

）．（1）若，則為實數(shù)；（2）若，則為純虛數(shù)；（3）若，則A．0 B．1 C．2 D．315．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足，則角的范圍是（

）A． B． C． D．16．過平面外一點引斜線段、以及垂線段，若與所成角是，，，則線段長的取值范圍是（

）A． B． C． D．三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）17．設(shè)為關(guān)于的方程的虛根，為虛數(shù)單位.（1）當(dāng)時，求的值；（2）在（1）的條件下，若，，求的取值范圍.18．如圖，棱長為2的正方體中，分別是的中點.(1)證明：四點共面；(2)求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）19．如圖，在四棱錐中，已知底面，底面是正方形，．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成的角的大?。?0．在中，角、、的對邊分別為、、.設(shè)向量，，且.(1)求角的大小；(2)若，的面積為，求的周長.21．如圖，已知是邊長為2的正三角形，點是邊的四等分點．(1)求的值；(2)若為線段上一點，且，求實數(shù)的值；(3)若為邊上的動點，求的最小值，并指出當(dāng)取最小值時點的位置．

1．【分析】利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念即可得解.【詳解】由復(fù)數(shù)虛部的概念，易知復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.2．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義直接求解.【詳解】已知點在角的終邊上，所以故答案為：【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．【分析】由已知求得，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得．【詳解】由，得，，則．故答案為：．4．【分析】由向量的坐標運算得到結(jié)果.【詳解】點，，則向量的坐標是.故答案為：.5．【詳解】試題分析：因為，所以其最小正周期是考點：三角函數(shù)周期6．2【分析】求出兩向量的數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量投影的意義即可求得答案.【詳解】由題意向量，，得向量，，故在方向上的數(shù)量投影為，故答案為：27．【詳解】試題分析：由坐標系可知考點：復(fù)數(shù)運算8．【分析】根據(jù)向量垂直時數(shù)量積等于0，可求得，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由已知、均為單位向量，且，可得，即，即，故，由于，故，故答案為：9．充要【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解即可.【詳解】因為所以當(dāng)直線直線時，面則又所以直線直線故“直線直線”是“直線直線”的充分條件，當(dāng)直線直線又故直線面又面故直線直線.故“直線直線”是“直線直線”的必要條件.故答案為：充要10．（3）（5）【分析】由空間中直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系對選項逐一判斷可得結(jié)論.【詳解】對于（1）：不共線的三點確定一個平面，故（1）錯誤；對于（2）：由正方體模型可知垂直于同一直線的兩條直線可能互相平行，可能相交，可能異面；故（2）錯誤；對于（3）：若是異面直線，在直線上任選一點，過點作直線，則可知且，所以過與有唯一平面，且，所以是異面直線，一定存在平面過且與平行；故（3）正確；對于（4）：由正方體同一頂點處的三條直線同知，三條直線兩兩相交則這三條直線共面錯誤，故（4）錯誤；對于（5）：由線面平行的性質(zhì)可知如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，故（5）正確.故答案為：（3）（5）.11．【分析】先利用二倍角公式和輔助角公式得到，利用整體思想得到的值域.【詳解】，，，，，故的值域為.故答案為：.12．【分析】結(jié)合題目條件，設(shè)，，則不等式對任意實數(shù)都成立，可轉(zhuǎn)化為，由此求出，即可得到的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，由，可設(shè)，則對任意實數(shù)，有，等價于,解得，所以，于是.故答案為：13．D【分析】驗證四個選項中的兩向量是否共線，從而得到答案.【詳解】A選項，、是平面向量的一組基底，故、為不共線的非零向量，設(shè)，故，無解，故、為不共線的非零向量，故可以作為一組基底，A錯誤；B選項，設(shè)，解得，無解，故、為不共線的非零向量，B錯誤；C選項，設(shè)，故，無解，故，為不共線的非零向量，C錯誤；D選項，，故、共線，故不能作為基底，D正確.故選：D14．C【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的基本運算，以及復(fù)數(shù)方程的運算，即可判定每個命題，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)復(fù)數(shù)，對于（1）中，由，即，解得，所以復(fù)數(shù)為實數(shù)，所以（1）正確；對于（2）中，若，可得，所以且，所以，所以為純虛數(shù)，所以（2）是正確的；對于（3）中，若，可得，所以或，解得或或，故（3）錯誤.故選：C.15．B【分析】由余弦定理的推論求得，求解即可.【詳解】因為，所以，即，所以，因為，所以，故選：B16．C【分析】畫出已知圖形，可得出是以為斜邊的直角三角形，求出的長度，則線段長的范圍即可求出.【詳解】如下圖所示：

，，.又，，、平面，平面.平面，，在中，，，.在平面內(nèi)，要使得是以為斜邊的直角三角形，則，即，因此，線段長的取值范圍是.故選C.【點睛】本題考查線段長度的取值范圍的求解，同時也考查了線面角的定義，解題的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出線面垂直，得出線線垂直關(guān)系，從而構(gòu)造直角三角形來求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.17．（1）；（2）【分析】（1）將代入方程，并根據(jù)復(fù)數(shù)相等時實部、虛部對應(yīng)相等計算的值；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式：，的值已知，再根據(jù)不等式即可求解出的取值范圍.【詳解】（1）將代入方程可得：，所以，所以有：，解得；（2）因為，所以，所以，則，解得：，所以：.【點睛】本題考查實系數(shù)方程的解以及復(fù)數(shù)的模長計算，難度較易.（1）已知實系數(shù)方程的虛根，求解方程中參數(shù)的方法：將虛根代入方程，利用復(fù)數(shù)相等計算參數(shù)值；（2）復(fù)數(shù)的模長計算：已知復(fù)數(shù)，則.18．(1)見解析(2)【分析】（1）由已知可證明和，即可證明，進而得出結(jié)果；（2），所以即等于異面直線與MN所成角，在中，求出各邊長，用余弦定理即可求出.【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié)、、.由已知可得，，，所以四邊形為平行四邊形，則.又M、N分別是、的中點，所以，且，所以，且.所以M、N、、B四點共面.（2）如圖2，連結(jié)、、.因為平面，平面，所以.因為，是的中點，所以.又，所以.同理.在中，.又，在中，有，，，由余弦定理可得，.又，所以異面直線與所成角的大小即等于直線與所成角的大小，即等于.19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.（2）利用線面角的定義求解即得.【詳解】（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，由正方形，得，而平面，所以直線平面.（2）令，連接，由（1）知，直線平面，則是直線與平面所成的角，顯然，而平面，即有，則，所以直線與平面所成的角的大小.20．(1)(2)【分析】（1）由題，得，利用正弦定理以及和差公式，誘導(dǎo)公式，逐步化簡，即可求解；（2）由題目條件，結(jié)合余弦定理和面積公式，得，，然后兩式相加即可求得本題答案.【詳解】（1）由于，故，利用正弦定理，有，又，故，由于為三角形內(nèi)角，故，因此，進而；（2）由（1）知，由余弦定理知，即.由知，即.將上面兩式相加得，故，因此的周長為.21．(1)6(2)(3)【分析】（1）利用平行四邊形法則化簡表達式，然后利用已知條件及向量數(shù)量積公式計算即可；（