廣西崇左市大新縣民族高級中學2023-2024學年高一下學期期末 數學試題【含答案】

崇左市大新縣民族高中2024年春季學期期末試題高一數學命題范圍：必修二第六、七、八、九章（截止第九章9.2.4）（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答題前，務必將自己的姓名、班級、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的備選答案中，只有一個是符合題意的.1．已知向量表示“向東航行”，向量表示“向南航行”，則表示（

）A．向東南航行 B．向東南航行C．向東北航行 D．向東北航行2．復數的共軛復數是（

）A． B．C． D．3．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形4．復數與（其中，為虛數單位）的積是實數的充要條件是（

）A． B． C． D．5．已知D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則A． B．C． D．6．平面與平面平行的條件可以是A．內有無數條直線都與平行B．直線，直線，且//，//C．內的任何直線都與平行D．直線//，//，且直線不在內，也不在內7．在空間直角坐標系中，已知，則四面體ABCD外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．中國古代數學家很早就對空間幾何體進行了系統的研究，中國傳世數學著作《九章算術》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式，例如在推導正四棱臺（古人稱方臺）體積公式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解．右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對應的是正四棱臺中間位置的長方體，、、、對應四個三棱柱，、、、對應四個四棱錐．若這四個三棱柱的體積之和等于長方體的體積，則四棱錐與三棱柱的體積之比為（

）A．3:1 B．1:3 C．2:3 D．1:6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分.在每小題給出的備選答案中，有多個選項符合題意的.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．為了了解參加運動會的1000名運動員的年齡情況，從中抽取了10名運動員的年齡進行統計分析.下列說法中正確的有（

）A．1000名運動員的年齡是總體 B．所抽取的10名運動員是一個樣本C．樣本容量為10 D．每個運動員被抽到的機會相等10．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結論正確的是（

）A．圓柱的側面積為 B．圓錐的側面積為C．圓柱的側面積與球面面積相等 D．三個幾何體的表面積中，球的表面積最小11．設為復數（為虛數單位），下列命題正確的有（

）A．復數的共軛復數的虛部為2 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分.12．設k為實數，若向量，且，則k的值為．13．點對應的復數是，點對應的復數是，則線段的中點對應的復數是.14．正方體的棱長擴大到原來的倍，則其表面積擴大到原來的倍，體積擴大到原來的倍.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、計算過程或證明過程.15．已知邊長為3的等邊三角形，求邊上的中線向量的模.16．如圖，空間四邊形的每條邊和，的長都等于，點，分別是，的中點.求證：，.17．從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發(fā)現他們的用電量都在之間.進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求直方圖中的值；(2)求在被調查的用戶中，用電量落在內的戶數.18．已知復數滿足，的虛部為2，在復平面上所對應的點在第一象限.(1)求；(2)若，在復平面上的對應點分別為，，求.19．如圖，點是正方體的上底面的中心，過，，A三點作一個截面．求證：此截面與對角線的交點P一定在上．

1．B【分析】如圖，設，，以，為鄰邊作平行四邊形，由平行四邊形法則可知，根據，可得平行四邊形是正方形，從而得到答案．【詳解】如圖，設，，則，，以，為鄰邊作平行四邊形，由平行四邊形法則可知．∵，，∴平行四邊形是正方形，∴方向為東南方向．∵，∴．故選：B．2．B【分析】先將復數的分母化成實數，再求其共軛復數即可.【詳解】而的共軛復數是故選：B.3．A【分析】根據平面向量加法的平行四邊形法則判斷即可.【詳解】由平面向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形為平行四邊形.故選：A4．D【分析】計算，得到即得解.【詳解】解：是實數，所以.反過來，也成立.所以充要條件是.故選：D5．A【詳解】得，故選A．或．6．C【分析】根據面面平行的判定來判斷即可.【詳解】C選項是面面平行的定義，A，B，D中，平面與平面相交時都有可能滿足.故選：C.7．A【分析】首先由四點的坐標，確定幾何體的關系，利用補體法，求四面體外接球的半徑，即可求球的表面積.【詳解】根據已知4個點的空間直角坐標可得，平面，，所以四面體ABCD可以補成長、寬、高分別為4，3，2的長方體，所以四面體ABCD外接球的半徑，所以四面體ABCD外接球的表面積為．

故選：A8．B【分析】令四棱錐的底面邊長為，高為，三棱柱的高為，寫出三棱柱、長方體和三棱柱的體積列式求解即可.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長為，高為，三棱柱的高為，所以三棱柱的體積為，長方體的體積為，因為四個三棱柱的體積之和等于長方體的體積，所以，所以，因為四棱錐的體積為，所以四棱錐與三棱柱的體積之比為.故選：B.9．ACD【分析】根據抽樣方法，利用總體、樣本、樣本容量的定義逐項判斷作答.【詳解】對于A，1000名運動員的年齡是總體，故A正確；對于B，所抽取的10名運動員的年齡是一個樣本，故B錯誤；對于C，樣本容量為10，故C正確；對于D，每個運動員被抽到的機會相等，故D正確.故選：ACD.10．ABC【分析】根據球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計算可得；【詳解】解：依題意球的表面積為，圓柱的側面積為，所以AC選項正確．圓錐的側面積為，所以B選項正確．圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，所以D選項不正確．故選：ABC11．AC【分析】利用共軛復數的定義可判斷A；利用特殊值法可判斷B；利用復數的除法化簡復數，結合復數的模長公式可判斷C；解方程可判斷D.【詳解】對于A，因為，則，其虛部為2，故A正確；對于B，取，此時，但，故B錯誤；對于C，若，則，故，故C正確；對于D，若，則，解得，故D錯誤.故選：AC.12．【分析】解方程即得解.【詳解】因為，所以.故答案為：13．【分析】利用復數的幾何意義結合中點坐標公式可求得結果.【詳解】解：由題意可得，，，則線段的中點為，則線段的中點對應的復數是.故答案為：14．【分析】設原來正方體的棱長為1，然后求出正方體的表面積和體積，再求出擴大后有表面積和體積，比較可得答案.【詳解】解：由題意，設原來正方體的棱長為1，其表面積為，體積為，則棱長擴大到原來的倍后，正方體的棱長為，則其表面積為，體積為，即表面積擴大到原來的倍，體積擴大到原來的倍.故答案為：，15．##【詳解】根據正三角形的性質，求得邊上的中線長，即可求解.【解答】如圖所示，因為是正三角形，所以邊上的中線向量的模就是三角形的高，即：，所以邊上的中線向量的模為.16．證明見解析【分析】連接，然后利用等腰三角形的性質可證得，則由線面垂直的判定可證得平面，從而可證得，同理可證得.【詳解】證明：如圖，連接，因為，為的中點，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證.17．(1)(2)70【分析】（1）由各組的頻率和為1列方程可求出的值；（2）用100乘以的頻率即可【詳解】（1）因為，所以.（2）由頻率分布直方圖，可得用電量落在內的戶數為18．(1)(2)【分析】（1）設，則可得，，，，從而可求出，進而可求出；（2）先求出，，然后可求出，的坐標，從而可求出，再利用向量的夾角公式可求得結果.【詳解】（1）設，因為，所以，因為，的虛部為2，所以，得，因為在復平面上所對應的點在第一象限，所以，，所以解得，所以.（2）因為，所以，所以，，因為，