平行四邊形-7-9教師版

一第九講平行四邊形

【分析】首先，如果要求剪切后能重新進(jìn)行拼接，就說(shuō)明能夠在圖中找到長(zhǎng)度相等的

線段.而由于原四邊形是任意四邊形，那么就需要構(gòu)造一些相等的線段.在

本題中，能直觀想到的，就是做各邊的中點(diǎn).而考慮到題目要求我們切兩刀

拼成一個(gè)平行四邊形，所以應(yīng)該連結(jié)對(duì)邊的中點(diǎn)E、F、G、H,如下左圖

所示.

之后進(jìn)行拼接，按照相等的線段拼在一起的原則進(jìn)行拼接，如下右圖所示.

■知識(shí)總結(jié)

立足中考,剖析統(tǒng)考，明確方向.

中

A要求B要求C要求

考

要會(huì)識(shí)別平行掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)會(huì)運(yùn)用平行四邊形的知識(shí)解

求四邊形用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.決有關(guān)問(wèn)題.

例

題

例1、例2例3、例4、例5、例6、例7

分

配

期

①題量與難度均高于中考要求；

末

②熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定進(jìn)行題R的計(jì)算與證明；

要

③對(duì)構(gòu)造平行四邊形和三角形的中位線定理的應(yīng)用有較高要求.

求

L做題之前清點(diǎn)解題方法與技巧，就如同上戰(zhàn)場(chǎng)之前清點(diǎn)武器一樣重要！卜

一、平行四邊形定義

平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行

AB//CD}…巾,

四邊形（如圖），記作“CM5CD”.平行四邊形的1=>四邊形45co叫

表示一般按一定的方向依次表示各頂點(diǎn)，如右圖的二AD//BC]

A

平行四邊形不能表示成口2的也不能表示成B做平行四邊形

LJADBC.

二、平行四邊形的性質(zhì)

A/——7。四邊形池CD為平行四邊形

①平行四邊形的對(duì)邊平行且相等//=>AB//CD,AD//BC.

Bc==

A/-----7。四邊形池CD為平行四邊形

②平行四邊形的對(duì)角相等；

RZ____/=>ZL4=ZC,NB=ND-

6C

為7°四邊形皿CD為平行四邊形

③平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

BL^OX/C=>CL4=OC,OB=OD.

④平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心就是兩

卷2。四邊形.D為平行四邊形，

條對(duì)角線的交點(diǎn)；連接四邊上任意一點(diǎn)和平行四邊

E、廠為任意兩點(diǎn)，

形的對(duì)稱中心，與另一條邊相交于一點(diǎn)，則這兩個(gè)

Bc^>OE=OF.

點(diǎn)關(guān)于平行四邊形的對(duì)稱中心對(duì)稱.F

0c=S/SDOC=^ADO4

AD/XAOB且△COD

⑤平行四邊形中重要結(jié)論：/\AOD9KOB

BCAABC色ACDA

三、平行四邊形的判定

—D黑?黑｝n四邊形皿8是

①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊

形BL——(平行四邊形

人」7。唱〃呼卜四邊形血力是

②一組對(duì)邊平行n相等的四邊形是平行四邊形B乙Y平行四邊形

尸7。%:黑｝n四邊形皿CD是

③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

BL——'c平行四邊形

發(fā)二￡｝二＞四邊形相。是

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形~~4平行四邊形

OA=OC=-AC

n四邊形

⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

OB=OD=-BD

Be2

池。是平行四〕2形

四、三角形中位線

1.定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段；A

2.定理：三角形中位線平行于三角形的第三邊且DE//BC,i\,DE=-BC

2

等于第三邊的一半.

BL-------iC

3.三角形中位線里隱含重要性質(zhì)：

A

EF、GE、GF是&48C的三

①三角形的三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全

條中位線，則有

等的二角形.

AAEGm八EBFg△CFGgAFGE

g/\/\c

A

EF、GE、GF是&45C的三

②三角形的三條中位線將原二角形劃分出三個(gè)面A

條中位線，則有

積相等的平行四邊形.

SoAEFG=^nEBFG=^EFCG

小ca

EF、GE、GF是A45C的三

A條中位線，則有：

③三角形的三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)A

為原三角形的周長(zhǎng)的一半，其面積為原三角形面積①CAETO=萬(wàn)^/\ABC

的四分之一.

?^/\EFG=_7sc

4A25

c

’題目雖小，陷阱重重，易暈易錯(cuò)，深埋其中.T

【例1】考點(diǎn)突破一角

（1）在平行四邊形ABCD中，NA:N8NC:ND的值可能是（）

A.1:2:3:4B.2:2:3:3

C.2:3:2:3D.2:3:3:2

考點(diǎn)突破一邊

（2）4B、C、。在同一平面內(nèi)，從①AB〃C￡）；②AB=CD；③BC=AD；?BC//AD,

這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABC。是平行四邊形的選法有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

考點(diǎn)突破——對(duì)角線

⑶下面給定的條件中，能畫出平行四邊形的是（）

A.以60cm為一對(duì)角線，8cm、10cm為兩邊鄰邊；

B.以6cm、10cm為對(duì)角線，8cm為一邊；

C.以60cm為一對(duì)角線，20cm、34cm為兩條鄰邊；

D.以20cm、36cm為對(duì)角線，22cm為一邊.

考點(diǎn)突破——計(jì)算

⑷ABCD的周長(zhǎng)是120cm,對(duì)角線AC,5。相交于點(diǎn)。，5OC比AOB的周長(zhǎng)小10cm,則

AB=,BC=.

考點(diǎn)突破——構(gòu)造

⑸已知三角形ABC,若存在點(diǎn)。使得以A,8,C,O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則這樣的點(diǎn)。

有個(gè).若已知ABC的周長(zhǎng)為3則以所有。點(diǎn)圍成的多邊形周長(zhǎng)為一.

考點(diǎn)突破——面積

（6）如圖，平行四邊形A6CD中,P是形內(nèi)任意一點(diǎn)，AABP,ABCP,ACDP,4ADP的面積分

別為力邑,邑,54則一定成立的是（）D

k

A.S]+S2>S3+S4B.S]+S2=S3+S4

C.S]+S2Vs3+S4D.S]+S3=S2+4AB

考點(diǎn)突破——應(yīng)用

⑺如圖，四邊形ACED為平行四邊形，DF垂直平分BE,甲乙兩蟲同

時(shí)從A點(diǎn)開始爬行到F點(diǎn)，甲蟲沿著A-D-E-F的路線爬行

A-C-B-F的路線爬行，若它們的爬行速度相同，則（）

A.甲蟲先到B.乙蟲先到

C.兩蟲同時(shí)到D.無(wú)法確定

/心--------------JR

【解析】(1)C(2)B(3)D(4)AB=35cm,BC=25cm,(5)3,6(6)D⑺C

【教師備選】已知:如圖，A45c中，,AB=8,DE//AC,DF//AB,

)RDE+DF=____.

【解析】8,提示：DE=BE,DF=AE,nDE+DF=AB=8.

【教師備選】已知：如圖：AB//CD,AD//BC,AD=5,3E=8,AZ)C￡■的面積為6,則四邊形加CD

的面積為.

【解析】20

［教師備選】如圖DABCD中點(diǎn)E在邊加上，以BE為折痕,將44BE

向上翻折，點(diǎn)一4正好落在。上的點(diǎn)尸，若八3的周

長(zhǎng)為8,△打》的周長(zhǎng)為22,則尸C的長(zhǎng)為____.

【解析】7提示：由BF=AB,EF=AE,則nNEUZ周長(zhǎng)為

22+8=3,得BC+BF=BC+AB=15,所以

FC=22-15=7.

【教師備選】對(duì)于下列說(shuō)法，正確的請(qǐng)給出證明，錯(cuò)誤的請(qǐng)舉出反例.

(1)一颯邊平行,一組解相等的皿形是平行四邊形.

(2)一颯邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形.

⑶一組對(duì)邊相等,一組雌相等的形是平行四邊形.

(4)一組對(duì)邊相等,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

(5)一颯邊平行,一條抽線平分另T隨哪四邊形是平行隨形

(6)一組對(duì)角相等,一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

⑺對(duì)角線四等分四邊形的面積，則這個(gè)四邊形是平行四邊形.

【解析】⑴正確；⑵錯(cuò)誤(提示：等腰梯形)

⑶錯(cuò)誤.加圖所示，在四邊形二88中，AB=CD,/B=ND,

但四邊形"CD不是平行四邊形.(構(gòu)造辦法：作和

AADC,便.4B=CD,AC=AC,ZB=ZD，BCAD.然

后將邊/C重合，則可得到四邊形皿CD)

(4)錯(cuò)誤.如圖所示，在四邊形/BCD中，4D=3C,AO=OC,

但四邊形4BCD不是平行四邊形.(構(gòu)造辦法：作平行四邊

形AB'CD,在DB'上取懸B或延長(zhǎng)D&至點(diǎn)B,使

BC=RC,連接皿即得)

⑸正確.如圖所示，在四邊形45CD中，AB//CD,4C平

分BD于O(即OB=OD).在△。①和中，因?yàn)?/p>

AB//CD,貝4ZzlBOtNCZ,Z￡AO=ZDCO,而

OB=O.,故AQ4B9國(guó)CD,從而OA=OC,故四邊形

MCD是平行四邊形.

(6)錯(cuò)誤.如圖所示，ZABC=ZADC,OB=OD,但四邊

形ABCD不是平行四邊形.

正琳Si-SQOB_OD\^(根據(jù)對(duì)角線互相

⑺nABCD

Si=s4nOA=ocJ

平分)

【例2】已知：如圖平行四邊形ABC。,E、F是直線3。上兩點(diǎn)，且

DE=BF.求在：AE=CF.（呈少用2種方法胡答）

【解析】方法一

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD=BC,AD/7CB.

?\ZADB=ZCBD,

.\ZADE=ZCBF.

VDE=BF.

.,.AAZ)E^ACBF(SAS),

AE=CF.

方法二：???四邊形ABC。為平行四邊形,

AB=DC,AB//DC

：.ZABD=ZCDB

又,：DE=BF

：.DE+BD=BF+BD

即EB=FD

：.AABE^/\CDF(SAS)

AE=CF

方法三：

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

連結(jié)AC交3。于O,

貝UOA=OC,0B=OD.

?:DE=BF,

：.OD+DE=OB+BF,

即：OE=OF.

?：NAOE=ZCOF,

.,.AAO￡^ACOF(SAS),

AE=CF.

方法四：連結(jié)AC交于O,

分別連結(jié)AF、EC.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

OA=OC,OB=OD.

:?DE=BF,

：.OD+DE=OB+BF,

即：OE=OF.

四邊形AECF為平行四邊形，

AE=CF.

【點(diǎn)評(píng)】已知平行四邊形求線段相等的問(wèn)題，往往是利用已知平行四邊形的性質(zhì)，證三角形全等

或構(gòu)建新的平行四邊形，得證線段相等.此題可用多種方法解答，充分復(fù)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)及

判定的重要性質(zhì).

【建議】前三種方法實(shí)質(zhì)為同一種方法一證全等，重點(diǎn)講解方法四，傳遞一種新的思維方式：

證明等量關(guān)系時(shí)，不再以全等三角形方法為首選，也可嘗試構(gòu)造平行四邊形的方法.

以不變應(yīng)萬(wàn)變，尋找題目靈魂.

9

會(huì)大技巧：i.構(gòu)造平行四邊形

2.三角形中位線定理的應(yīng)用.

技巧1：構(gòu)造平行四邊形開拓一種新的思維習(xí)慣，它可以解決有關(guān)線段或角關(guān)系的問(wèn)題.其作

用為：將離散的線段或角集中，其本質(zhì)為：線段的平移.

（教師備選、例3、鋪墊及拓展為集中線段的題，例4為集中角的題，例5及拓展為新

課標(biāo)主流的題）

2：遇到中點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)想中位線.

【教師備選】如圖所示，為等邊三角形，尸是內(nèi)任一點(diǎn)，

PD//AB,PE//BC,DF//AC,若△48C的周長(zhǎng)為12,

貝！17Y）+依+母'等于多少？

【分析】方法1：構(gòu)造要求的三條線段各自分離，可通過(guò)，構(gòu)造平行四邊形,

把離散的線段轉(zhuǎn)到一邊.方法很多，以下列出兩種，答案為4.

移到23上移到5c上

方法2:極限法，把尸放在月點(diǎn)處，F(xiàn),E與A重合,D與B重合,AB為所示.

【鋪墊】（09西城教研組精編）初二上一經(jīng)典題目：在等腰中，。為.州上一點(diǎn)，E為/C延

長(zhǎng)線上一點(diǎn)，目BD=CE,DE交BC于F.求證：DF=EF.

【分析】八上很多輔導(dǎo)書上都有此題，方法都是構(gòu)造“8”字形,證明全等三角形.如圖1,過(guò)Z）點(diǎn)作

C￡1的平行線，交BC于G,證△I*G冬NFC.我們“舊題新解”，聯(lián)想到平行四邊形的對(duì)

角線互相平分，于是構(gòu)造平行線證線段相等，出以點(diǎn)為對(duì)角線的平行四邊形.在圖1的基

礎(chǔ)上連結(jié)刀C和EG得圖2,證四邊形DGEC為平行四邊形.我們還可以過(guò)H作石G〃48交

延長(zhǎng)線于G,連結(jié)DG、族得圖3,下面給出詳解.再次體驗(yàn)由全等三角形到平行四邊

形的過(guò)渡.

【解析】證明：過(guò)E作EG〃48交5。延長(zhǎng)線于G,連結(jié)Z?G、BE.

ZABC=ACGE

VAB=AC

：.ZABC=ZACB

：.ZABC=AGCE

：.ACGE=AGCE

：.CE=GE

VBD=CE

：.BD=GE

：.BD//GE

：.四邊形BDGE為平行四邊形.

ADF=FE.

【例3】已知，在等腰AABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=EC,連結(jié)DE.

求證:DE>B

【分析】結(jié)合鋪墊題目及解答，很快得到解法一.

【解析】解法一：

過(guò)E作EG//AB交BC延長(zhǎng)線于G,連結(jié)DG,BE.過(guò)D作

ENLBC于N.

ZABC=ZCGE

?/AB=AC

/.ZABC=ZACB

ZABC=ZGCEE

：.ZCGE=ZGCE

/.CE=GE

VEN±CG

/.CN=GN

BD=CE

BD=GE

ABD//GE

四邊形BDGE為平行四邊形

A,DF=EF,BF=FG

易證△DFMgZkEFN

；.FM=FN

；.BM=GN

.?.BM=CN

；.BC=MN=2FM

VDF>FM

.*.DE>BC

解法二

思路：也可以平移線段DE或BC,造平行四邊形，同時(shí)將BD、CE轉(zhuǎn)移到同一三角形中.

證明：過(guò)B作BG〃DE,連結(jié)CG、GE,GE交BC延長(zhǎng)線于

Ho

四邊形BDEG為平行四邊形

BD=GE

ZABC=ZCHE

?/AB=AC

ZABC=ZACB

/.ZABC=ZHCE

ZECH=ZCHE

?/CE=BD

/.CE=GE

ZCGE=ZGCE

在AGCH中，ZCGH+ZCHG+ZGCH=180

ZGCE+ZHCE+ZGCH=90

BC±CG

/.BG>BC

/.DE>BC

【點(diǎn)評(píng)】方法一本質(zhì)是構(gòu)造了以DE為對(duì)角線的平行四邊形，實(shí)現(xiàn)將線段DE轉(zhuǎn)移到線段BC所

在直線上。

【例4】如圖，在四邊形ABCD中，AB/7CD,AB+BC=AD+CD.求證：四邊形ABCD為平行四邊形

【分析】從已知條件出發(fā)，重點(diǎn)考慮AB+BC=AD+CD的應(yīng)用.結(jié)

合所要證明的結(jié)論，我們只需證明

AB=CD.先將AB+CD,AD+CD分別并為一條線段，所

以我們分另!J延長(zhǎng)AB、CD,使BE=BC,DF=AD,得AE=CF.已

知AB〃CD,貝U.AE//CF

【解析】證明：如圖，延長(zhǎng)AB至E,使BE=BC,連結(jié)CE.延長(zhǎng)CD至E使DF=AD,連結(jié)

AFo

,/AB+BC=AD+CD

AB+BE=CD+DF

即AE=CF

VAB/7CD

.,.AE//CF

四邊形AECF為平行四邊形

；.AF=CE,ZE=ZF

AD=DF,BC=BE

NFAD=NF,NBCE=NE,

：.ZF=ZFAD=ZBCE=ZE

在AADF和ACBE中

ZF=ZE

AF=CE

ZFAD=ZBCE

AAADF^ACBE

/.AD=BC

AB=CD

/.AB//CD

四邊形ABCD為平行四邊形。

【例5】在4ABC中,AB=AC,D、E分別為人86(2上任意兩點(diǎn),滿足8口=人￡.求

證：DE>-BCo

2

【分析】本題形式簡(jiǎn)潔，條件少而分散，結(jié)論也不簡(jiǎn)單.我們還是從結(jié)論

突破，由問(wèn)題將已知條件串起來(lái).

思路一：聯(lián)想兩點(diǎn)之間線段最短，構(gòu)造三角形，證明DE+DE2BC,如

圖(1)；

思路二：利用垂線段最短，造直角三角形，先需構(gòu)造出工BC的線段，如

2

圖(2).

【解析】方法一：證明：如圖(1),過(guò)B作BF幺DE,連結(jié)EF、CF。

四邊形BDEF為平行四邊形

ABD^EF

/.ZFEC=ZA

AB=AC,BD=AE

/.AD=CE

EF=AE

DAE^ACEF(SAS)

/.DE=CF

BF=FC

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短：BF+FC>BC

2DE>BC,-DE>BC

2

方法二：證明：如圖（2）,取AB、AC中點(diǎn)M、N,連結(jié)MN.過(guò)D作DF〃MN,交AC于F,

過(guò)N作NG/7AB交DF于G.

；.MN〃BC,MN=-BC

2

四邊形DMNG為平行四邊形

；.DM=GN,DG=ZNGF=ZADF

VAB=AC

1/B=/

???AM=BM=AN=CN

???DB=AE

???AD=CE,

???AD-AM=CE—CN

即DM=EN

???EN=GN

J/GEN=ZNGE

VDF/7MN,MN〃BC

???DF〃AB

???/ADF=/B,/AFD=/C

???/ADF=ZAFD

J/NGF=ZNFG

在4EGF中，ZGEF+ZEFG+ZEGF=180

???NEGF=90

AEGIDG

根據(jù)垂線段最短

.\DE>DG

.,.DE>MN,DE>-BC

2

【拓展】（2008海淀二模）在△ZBC中，AB>AC,D,E分別為4B,/C上兩點(diǎn)且助;位.求

證：DE<BC.

【分析】此題思路與例4一致，通過(guò)平移線段出平行四邊形，將DE、3c集中到一起.難點(diǎn)為怎樣證

明與平移后線段的大小關(guān)系？解決問(wèn)題關(guān)鍵是怎樣處理BZ）=C￡■即EC=EF?聯(lián)想等腰

三角形的軸對(duì)稱性，作NCE尸的平分線EG,即為CF的垂直平分線.

【解析】證明：過(guò)3作昉縉出，連結(jié)EF,作NCZ》的角平分線，交3c于G.

四邊形8DEF為平行四邊形.

：.DE=BF,BD=EF

VBD=CE

：.CE=EF

VACEG=AFEG

：.ACEG色AFEG

：.FG=GC

在尸G中，BG+FG>BF

:.BG+CG>BF

：.BC>DE.

【點(diǎn)評(píng)】此題雖然是證兩條線段的不等關(guān)系，但實(shí)際上是利用將長(zhǎng)的線段分成兩部分放在同一三角形

中，用三角形三邊關(guān)系解決.注意，此題不是用三角形中“大角對(duì)大邊”解決.

【例6】（中考題）閱讀下列材料：

小明遇到一個(gè)問(wèn)題：5個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個(gè)

新的正方形.

他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片①繞AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處,

依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個(gè)新的正方形DEFG.

請(qǐng)你參考小明的做法解決下列問(wèn)題：

⑴現(xiàn)有5個(gè)形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示.請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)平行

四邊形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可）；

（2）如圖4,在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA

的中點(diǎn)，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個(gè)新的平行四邊形MNPQ.請(qǐng)?jiān)趫D4中探究平行四

邊形MNPQ面積的大?。ó媹D并直接寫出結(jié)果）.

圖3圖4

【分析】依葫蘆畫瓢，照貓畫虎.

【解析】

⑴拼接成的平行四邊形是平行四邊形ABCD（如圖3）。

2

⑵正確畫出圖形（如圖4）.平行四邊形MNPQ的面積為不。

【拓展】（2008山東濰坊）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)&、4、4、

4和q、c八G、q分別4B和CD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)為、

星和2、3分別是8C和。4的三等分點(diǎn)，已知四邊形

AB2C4D2的積為1,則平行四邊形488面積為

【解析】|

【教師備選】已知：如圖所示，在四邊形4BCD中，E、尸分別為.45、CD的中點(diǎn).

求證：EF<^AC+BD）.

【分析】利用中位線構(gòu)造出長(zhǎng)為的線段并將線段集中.

22

【解析】證明：取皿的中點(diǎn)連結(jié)和EA/.

?:E、F是AB、CD中點(diǎn)，

：.EM=^BD,FM=^AC.

^'：EF<EM+FM,

：.EF<-（AC+BD）.//\\

B（

【點(diǎn)評(píng)】此題還可以求證EF<1（.4D+BC）,方法是取或8Z）的中

點(diǎn)?

C

【鋪墊】如圖，在四邊形」38中，“、N分別為.切、3C的中點(diǎn)，片7\

A

BD=AC,助和.4。相交于點(diǎn)O,分別與.4C、3。相交v/2^--\

于E、F,求證：OE=OF.I/E八7

【分析】此題為09年秋季精英班第十二講習(xí)題6,思路同上一題（教師A

備選題）.心"

【解析】取且8中點(diǎn)尸，連結(jié)MP、NP.大/\

利用中位線可得

MP=-BD=NP=-AC,

A1

22P

：.ZPMN=ZPNM

'：MP//BD,NP//AC

：.Z.OFE=乙OEF

：.OE=OF

【例7】已知：如圖所示，在AABC中,D、G分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BD=CGM、N分別是BG、CD

的中點(diǎn)，過(guò)MN的直線交AB于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)Q,求證：AP=AQ.

【分析】不難發(fā)現(xiàn)，若連結(jié)DG則與鋪墊題一樣.

【解析】連DG,找DG的中點(diǎn)E,連ME、NE,

：M、N分別是BG與CD的中點(diǎn)。

；.ME〃AB,ME=-BD,

2

NE/7AC,NE=-GC.

2

，NAPQ=NEMN,ZAQP=ZENM.

VBD=GC,

；.EM=EN,

/.ZEMN=ZENM，

ZAPQ=ZAQP,

AP=AQ.

【點(diǎn)評(píng)】還可以取BC的中點(diǎn).方法總結(jié)：已知四邊形對(duì)角線中點(diǎn),

位線.

好題恒久遠(yuǎn)，一道永流傳，精彩不容錯(cuò)過(guò)！b

to

【例8】(中考題改編)實(shí)驗(yàn)與探究

(1)在圖1,2,3中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)(如圖所示)，寫出圖1,2,

3中的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，它們分別是(5,2),,；

(2)在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo)(如圖所示)，求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

(點(diǎn)C坐標(biāo)用含a,b,c,d,e,f的代數(shù)式表示)；

歸納與發(fā)現(xiàn)

(3)通過(guò)對(duì)圖1,2,3,4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形ABCD處于

直角坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(ab),B(cd),C(mn),D(ef)(如圖4)時(shí)，則四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐

標(biāo)a,c,m,e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b,d,n,f之間的等量關(guān)系為(不必證明)；

運(yùn)用與推廣

⑷在同一直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)G(-51，n5，S(51，p9,"(2,0).請(qǐng)求出所有使得以GS,H,P為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P坐標(biāo).

【解析】(D(e+c,d),(c+e-a,d)

(2)分別過(guò)點(diǎn)A,B,C,D作x軸的垂線，垂足分別為》與￡,2,分別過(guò)A,D作AE，BB1

于E,DFLCC］于點(diǎn)F.

在平行四邊形ABCD中，CD=BA,又：BB/ZCCj。y木

ZEBA+ZABC+ZBCF=ZABC+ZBCF+ZFCD=180

ZEBA=ZFCD

又：ZBEA=ZCFD=90------1?--!_!--->X

o|5dqz

ABEA^ACFD.

/.AF=DF=a-c,BE=CF=d-b,

設(shè)C(x,y),由e-x=a-c得*=6+<2也ss

由y-f=d-b,得y=f+d-b.C(e+c-a,f+d-b)。

(此問(wèn)解法多種，如利用對(duì)角線互相平分，利用坐標(biāo)中點(diǎn)公式)

(3)m=c+e-a,n=d+f-b,或m+a=c+e,n+b=d+f。

⑷若為平行四邊形的對(duì)角線，由⑶可得《(-2,7)。

若SH為平行四邊形的對(duì)角線，由⑶可得P?(3,2)。

若GH為平行四邊形的對(duì)角線，由⑶可得P3(l,-2).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)有耳(-2,7),P2(3,2),P3(l,-2).

快.總.結(jié)」

1.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形(J)

2.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形(義)

3.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊行(X)

4.平行四邊形為中心對(duì)稱圖形(J)

5.平行四邊形為軸對(duì)稱圖形.(X)

6.三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.(J)

7.經(jīng)過(guò)平行四邊形中心的直線，把平行四邊形分成的兩個(gè)四邊形面積相等(J)

【建議】1.教師可通過(guò)以上幾題或自行補(bǔ)充，對(duì)平行四邊形性質(zhì)、判定及三角形中位線知識(shí)進(jìn)行總結(jié)；

2.該部分題型以口述為主，并讓學(xué)生感受到收獲知識(shí)的喜悅.

*IR固精煉

學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦樂乎……

同學(xué)們最后一個(gè)環(huán)節(jié)啦，流血流汗不流淚，掉皮掉肉不掉隊(duì)…

1.如圖，在AABC中，EF為AABC的中位線，D為BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），AD與EF交于

點(diǎn)O,連接DE、DFo要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件_________________.（只添加

一個(gè)條件）

【解析】BD=CD,OE=OF,DE〃AC等

2.平行四邊形的一邊的長(zhǎng)為10cm,則這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線

的長(zhǎng)可以是（）.

A.4cm,6cmB.6cm,8cm

C.8cm,10cmD.10cm,12cm

【解析】D

3.已知四邊形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)0,如果只給出條件“AB〃CD”

那么還不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，給出以下四種說(shuō)法：

①如果再加上條件"BC=AD"，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形.

②如果再加上條件“NBAD=NBCD"，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形.

③如果再加上條件"AO=OC"，那么四邊形ABCD一定是平行四邊形.

④如果再加上條件“NDBA=NCAB"，那么平行四邊形ABCD一定是平行四邊形.

其中正確的說(shuō)法是（）

A.①和②B.①、③和④C.②和③D.②、③和④

【解析】C

4.如圖，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16cm,AC,BD相交于點(diǎn)0,

OE±AC于0,則4DCE的周長(zhǎng)為.

【解析】8cm

5.如圖，E,F是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的點(diǎn)，B

CE=AF.請(qǐng)你猜想：BE與DF有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？

并對(duì)你的猜想加以證明.

【解析】猜想：BE〃DF,BE=DF.

證法一：：四邊形ABCD是平行四邊形，

BC=AD,Z1=Z2.

又：CE=AF,AABCE^ADAF,

BE=DF,Z3=Z4.

；.BE〃DF.

證法二：連接BD,交AC于點(diǎn)O,連結(jié)DE,BF.

四邊形ABCD是平行四邊形，...BO=OD,AO=CO.

又：AF=CE,；.AE=CF,，EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形.

.,.BE^DFMBE=DF.

6.已知：如圖所示，在AABC中，AB>AC,AD平分NBAC,BE垂直AD延長(zhǎng)線于E,M是BC中點(diǎn).

求證：EM=1(AB-AC)

【解析】延長(zhǎng)BE交AC的延長(zhǎng)線于G,易證.AABE^AAGE

ABE=GE,AB=AG.

又：BM=CM,

ME=1CG=1(AG-AC)=1(AB-AC).

【習(xí)題編輯思路】有效復(fù)習(xí)平行四邊形性質(zhì)、判定及中位線應(yīng)用.

小故事?

成功就是簡(jiǎn)單的事情重篋做

曾經(jīng)有一位世界銷售冠軍，連續(xù)十幾年端售比賽他都是拿第一名，隨著時(shí)間慢慢的過(guò)去，

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