備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層練習(xí)第八章平面解析幾何第2講兩條直線的位置關(guān)系

第2講兩條直線的位置關(guān)系1.[2024山東鄄城第一中學(xué)校考]若直線y＝x＋2k＋1與直線y＝－12x＋2的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（AA.（－52，12） B.（－25C.[－52，－12] D.[－25解析將兩直線方程聯(lián)立得y＝x+2k+1，y＝－12x+2，得x＝2－42.[2024天津耀華中學(xué)?？糫已知A（－2，4），B（－4，6）兩點(diǎn)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則a的值為（A）A.1或2 B.3或4 C.3 D.4解析由題意得｜－2a+4+1｜a2+1＝｜－4a+6+1｜a2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，則2a3.已知直線l1：xsinα＋y－1＝0，直線l2：x－3ycosα＋1＝0，若l1⊥l2，則sin2α＝（A）A.35 B.－35 C.23 解析因?yàn)閘1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin24.[2024河北衡水模擬]已知點(diǎn)（a，b）在線段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，則a2+b2-2A.[2，18] B.[2，38]C.[0，38] D.[0，210－2]解析畫(huà)出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的圖象如圖.（a，b）是圖中線段上隨意一點(diǎn)，a2＋b2表示原點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離的平方，易知圖中線段的端點(diǎn)分別為（－2，4），（6，－2），到原點(diǎn)距離的平方分別為20，40，由原點(diǎn)到線段的距離d＝|-10|32＋a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故選B.5.已知點(diǎn)A（3，－1），B（5，－2），且點(diǎn)P在直線x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（C）A.（1，－1） B.（－1，1）C.（135，－135） D.（－2，解析點(diǎn)A（3，－1）關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A'（1，－3），直線A'B與直線x＋y＝0的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，直線A'B的方程為y+3－2+3＝x－15－1，即y＝14x－即點(diǎn)P坐標(biāo)為（135，－135）時(shí)，｜PA｜＋｜PB｜6.m是實(shí)數(shù)，直線l1：x－my－2＝0與直線l2：mx＋y＋2＝0交于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則｜OQ｜的最大值是（B）A.2 B.22 C.23 D.4解析解法一由x－my即點(diǎn)Q（2－2mm2因?yàn)閙是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以｜OQ｜＝2-2mm2+12+-2m+2m2+12=8(m2+1)m2+12=解法二易知直線l1恒過(guò)定點(diǎn)A（2，0），直線l2恒過(guò)定點(diǎn)B（0，－2），且l1⊥l2.連接AB，數(shù)形結(jié)合（如圖所示）可知，點(diǎn)O，Q均在以AB為直徑的圓上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.7.[多選/2024青島檢測(cè)]已知直線l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），則（ACD）A.直線l2過(guò)定點(diǎn)（－3，－1）B.當(dāng)m＝1時(shí)，l1⊥l2C.當(dāng)m＝2時(shí)，l1∥l2D.當(dāng)l1∥l2時(shí)，兩直線l1，l2之間的距離為1解析對(duì)于A，解法一直線l2的方程可化為2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2x－y+5=0，x－y+2=0，解得x＝－3解法二在直線l2的方程中分別令m＝－1與m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直線l2過(guò)定點(diǎn)（－3，－1），故A正確.對(duì)于B，若l1⊥l2，則有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正確對(duì)于C，若l1∥l2，則有4·[－（m＋1）]－（－3）·（m＋2）＝0，解得m＝2，當(dāng)m＝2時(shí)，l1與l2不重合，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)l1∥l2時(shí)，由對(duì)選項(xiàng)C的分析可得此時(shí)直線l2的方程為4x－3y＋9＝0，則l1，l2之間的距離為｜4－9｜42＋（－38.[2024安徽合肥聯(lián)考]過(guò)直線2x－y＋4＝0與3x－2y＋9＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x-2y+1＝0的直線方程是2x＋y解析由3x－2y+9=0，2x－y+4=0，解得x=1，y=6，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6）.因?yàn)樗笾本€與直線x－2y＋1＝0垂直，所以所求直線的斜率為－112＝－2，所以所求的直線方程是9.已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A（4，－1），兩條角平分線所在直線的方程分別為l1:x－y－1=0和l2：x－1＝0，則BC邊所在直線的方程為2解析由題知，A（4，－1）不在這兩條角平分線上，因此l1，l2是角B，角C的角平分線所在直線.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為A1（x1，y1），關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)為A2（x2，y2），則A1，A2均在邊BC所在的直線上.由y1+1x1－4×1=－1，x1+42－y1－12－1=0，得x1=0，y1=3，所以A1(0,3).因?yàn)閘2：x＝1，所以易得y2＝－10.過(guò)點(diǎn)A（0，73），B（7，0）的直線l1與過(guò)點(diǎn)（2，1），（3，k＋1）的直線l2和兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k＝（BA.－3 B.3 C.－6 D.6解析若l1和l2與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓，則l1⊥l2.（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）易知直線l1的斜率k1=73-7=-13，直線l2的斜率k2＝k+1－13－211.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cosθ，sinθ）到直線x－my－2＝0的距離.當(dāng)θ，m變更時(shí)，d的最大值為（C）A.1 B.2 C.3 D.4解析解法一由題意可得d＝｜c(diǎn)osθ－msinθ－2｜m2+1＝｜msinθ－cosθ+2｜m2+1＝｜m2+1（mm2+1sinθ－1m2+1cosθ）+2｜m2+1解法二易知點(diǎn)P（cosθ，sinθ）在單位圓x2＋y2＝1上，直線x－my－2＝0恒過(guò)定點(diǎn)A（2，0）.如圖所示，作OB垂直該直線，垂足為B，則由圖可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是單位圓的半徑），所以dmax＝3，此時(shí)A，12.[多選/2024山西呂梁統(tǒng)考]已知點(diǎn)A（－2，1），B（1，1），且點(diǎn)P在直線l:x+y+A.存在點(diǎn)P，使得｜PA｜＝2B.存在點(diǎn)P，使得PA⊥PBC.存在點(diǎn)P，使得2｜PA｜＝｜PB｜D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值為29解析設(shè)P（a，－a－3）.對(duì)于A，若｜PA｜＝2，則(a+2)2＋(－a－3－1)2＝2，即a2+6a+8=0，解得a對(duì)于B，當(dāng)a＝－2時(shí)，直線PA的斜率不存在，又kPB＝23≠0，此時(shí)PA與PB不垂直；當(dāng)a=1時(shí)，直線PB的斜率不存在，又kPA＝－53≠0，此時(shí)PA與PB不垂直；當(dāng)a≠－2且a≠1時(shí)，kPA＝－a－4a+2，kPB＝－a－4a－1，若PA⊥PB，則kPAkPB＝－a－4a+2·－a－4a－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0對(duì)于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，則2（a+2）2＋（－a－3－1）2＝（a－1）2＋（－a－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝14對(duì)于D，設(shè)A（－2，1）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A'（a，b），則b－1a+2=1，－2+a2＋1+b2+3=0，解得a＝－4，b＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝故選ACD.13.已知點(diǎn)A（5，0），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在直線y＝x＋2和y＝x上，且PQ與兩直線垂直，則｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB｜的最小值為5＋2.解析設(shè)Q（x0，x0），因?yàn)橹本€PQ與兩直線垂直，所以｜PQ｜＝2，則P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(x0－5)2＋x02＋(x0-1)2＋(x0－3)2，此式可理解為點(diǎn)Q(x0，x14.[新定義題]定義點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距離為d＝ax0＋by0＋ca2＋b2.已知點(diǎn)P1，P2A.若d1－d2＝0，則直線P1P2與直線l平行B.若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l平行C.若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直D.若d1d2＜0，則直線P1