備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)講義專題21解三角形

專題21解三角形【考點(diǎn)預(yù)料】1、角的關(guān)系2、正弦定理為的外接圓的直徑）.正弦定理的應(yīng)用：①已知兩角及一邊求解三角形.②已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一對(duì)角：若,已知角Ａ求角Ｂ.若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（銳角）.3、余弦定理（已知兩邊a,b及夾角Ｃ求第三邊c）（已知三邊求角）.余弦定理的應(yīng)用：①已知兩邊及夾角求解第三邊；②已知三邊求角；③已知兩邊及一邊對(duì)角未知第三邊.4、三角形面積公式【典例例題】例1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高二學(xué)業(yè)考試）在中，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，由正弦定理得，.故選：B.例2．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一確定，∴只有一解.方法2：如圖所示，∴只有一解.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如圖所示，∴只有一解.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵

∴角B有兩個(gè)解.

方法2：如圖所示，∵，∴，∴角B有兩個(gè)解.

故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在這樣的三角形.方法2：如圖所示，∵，∴∴此時(shí)A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.例3．（2024春·河南·高三商丘市回民中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，整理得，因?yàn)椋裕?，所以．因?yàn)榈拿娣e為，，所以，解得，，所以，則．故選:D.例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，，且，則______.【答案】5【解析】由得,由正弦定理以及得，故由余弦定理得，故答案為：5例5．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在中，三邊長(zhǎng)分別為，，，則的面積為_(kāi)_____.【答案】3【解析】由余弦定理得，所以,故面積為,故答案為：3例6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c且a：b：c=3：5：7，則___________.【答案】【解析】，∴設(shè)，.故答案為：.例7．（2024秋·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┰谥?，，，且，求：(1)求的值；(2)求的面積．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得，解得或，當(dāng)時(shí)，，與題意不符合;當(dāng)時(shí)，，符合題意.所以.（2）因?yàn)?，，所以，所以的面積例8．（2024秋·遼寧遼陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在①，②D是邊的中點(diǎn)且，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：假如選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，則．因?yàn)椋裕?）選①,由余弦定理可得，即，則．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，解得，即的最大值是8．選②,因?yàn)镈是邊的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，即．因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，解得，即的最大值是．例9．（2024·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)料）在平面四邊形ABCD中，，，，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)E，且，.(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求的值.【解析】（1）在△中，由正弦定理得，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以．?）在△中，，因?yàn)?，所以，，在△中，，，，所以，所以，所以【技能提升?xùn)練】一、單選題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由正弦定理可知，若t，則，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，則a＝b＝c，即是等邊三角形，若是等邊三角形，則A＝B＝C，則1成立，即命題p是命題q的充要條件，故選：C.2．（2024春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故選：.3．（2024春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在中，若，，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)正弦定理有，結(jié)合，，，則．故選：A4．（2024·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由正弦定理與余弦定理得，化簡(jiǎn)得.故選：A5．（2024·江西上饒·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，的面積為，所以,所以.由余弦定理得：.故選：D.6．（2024秋·貴州黔東南·高二凱里一中校考期末）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，，，則（

）A．2 B． C．4 D．16【答案】B【解析】由題意，，所以，，所以，解得或（舍去）．故選：B7．（2024秋·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在中，角的對(duì)邊分別為，且．角A等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中,,則,即，即，故，而,故，故選：B8．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）三角形兩邊之差為2，且這兩邊的夾角的余弦值為，面積為14，此三角形是（

）．A．鈍角三角形； B．銳角三角形； C．直角三角形； D．不能確定．【答案】B【解析】設(shè)三角形兩邊a，b之差為2，且這兩邊的夾角的余弦值為，則，，，由，得，解得，由余弦定理得，則，所以，所以三角形是銳角三角形，故選：B9．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他接受了如圖所示的方式來(lái)進(jìn)行測(cè)量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距20米的C，D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為，，并測(cè)得，則教學(xué)樓AB的高度是（

）A．20米 B．米 C．米 D．25米【答案】A【解析】設(shè)教學(xué)樓的高度為，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，在直角三角形中，因?yàn)?，所以，所以，在中，由余弦定理可得，代入?shù)值可得解得或（舍），故選:A.二、填空題10．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在中，若，，假如可解，則邊a的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意在中，若，則,由正弦定理得，可解，則需有，解得，故邊a的取值范圍是，故答案為：11．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）張老師在整理試題時(shí)發(fā)覺(jué)一題部分字跡模糊不清，只能看到：在中，分別是角的對(duì)邊，已知，，求邊．明顯缺少條件，張老師準(zhǔn)備補(bǔ)充條件，給出的大小，使得有兩解，則可以給出的的范圍是______．【答案】【解析】由題意可知三角形有兩個(gè)解由上圖可知：若有兩解，可知以為圓心，為半徑的圓弧與有兩個(gè)交點(diǎn)則，即,故答案為：12．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）的外接圓半徑為3，則______．【答案】【解析】因?yàn)榈耐饨訄A半徑為3，由正弦定理可得：，則有，，所以，故答案為：.13．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在中，內(nèi)角??的對(duì)邊分別為??，若的面積為，則的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】，所以，由正弦定理得．故答案為：．14．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）在銳角中，若a＝3，b＝4，三角形的面積為，則c＝______．【答案】【解析】又銳角，所以，依據(jù)余弦定理得：故答案為：15．（2024·上海·高三專題練習(xí)）在中，已知，則的面積_______．【答案】12【解析】∵，∴依據(jù)余弦定理得，∴∴，故答案為：12．16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角成等差數(shù)列，則___________.【答案】【解析】由內(nèi)角成等差數(shù)列，知：，而，∴，而由余弦定理知：，由正弦定理邊角關(guān)系，得：.故答案為：.17．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△中，角的對(duì)邊分別為．，，，則_____________．【答案】【解析】由正弦定理得，即，則，又，所以，即為銳角，所以．考點(diǎn)：正弦定理．18．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的值為_(kāi)__________.【答案】12【解析】由余弦定理可得，即，解得，則，故．故答案為：12．19．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，，則確定為_(kāi)____三角形．【答案】等腰【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得，即，故確定為等腰三角形.故答案為：等腰.20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若在中，，則面積S的取值范圍是___________．【答案】【解析】依據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值；故，又，故.故答案為：.21．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）已知a、b、c分別為的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】解析：因?yàn)?，依?jù)正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因?yàn)椋?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即所以，即面積的最大值為，故答案為：.三、解答題22．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊BC上，且．(1)求BD；(2)求的面積．【解析】（1）在中，，則，，所以，由正弦定理可得：，則.（2）在中，由余弦定理可得：，解得：.所以的面積.23．（2024秋·浙江衢州·高二浙江省龍游中學(xué)校聯(lián)考期末）從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線處并解答.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿意____________.(1)求角A；(2)若，求面積的最大值.【解析】（1）若選①，由正弦定理得：，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以；選②，由正弦定理得：，所以所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以；選③，由正弦定理得：，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.24．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）如圖，四邊形中，的面積為.(1)求；(2)求.【解析】（1）在中，由的面積，可得，由余弦定理，即.（2）在中，由正弦定理，可得，∵，則，故.25．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中項(xiàng)，且的周長(zhǎng)為6，求外接圓的半徑．【解析】（1）依據(jù)正弦定理，由，因?yàn)椋?，于是由，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)閏是a，b的等比中項(xiàng)，所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圓的半徑為.26．（2024春·河北石家莊·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，(1)求角A的大?。?2)若，求△ABC的面積．【解析】（1）依據(jù)題意，得由正弦定理可得，即得，又，所以，所以，所以.（2）由，得，又，由余弦定理可得解得，，所以.27．（2024春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知A、B、C成等差數(shù)列，且．(1)求；(2)若角B的角平分線交AC于點(diǎn)D，，求△ABC的面積．【解析】（1）由A、B、C成等差數(shù)列且，則，所以，故，且，所以，則，故，則.（2）由（1）知：，則，而，故到距離，所以，而，即，所以.，即，得，所以.28．（2024秋·江蘇南京·高三南京師范高校附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）已知a,b,c分別是三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,面積為S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分線交BC于點(diǎn)D,AD＝,求b．【解析】（1）解:由題知,則有:①,在中,由余弦定理可得:,代入①式可得:,即,由幫助角公式可得:,所以或,即或,因?yàn)?所以;（2）由(1)知,因?yàn)槠椒?所以,且有,即:,將邊和角代入可得:,化簡(jiǎn)可得:,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.29．（2024春·湖北鄂州·高三?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求的值.【解析】（1）向量與向量共線，有，由正弦定理得，∴，由，sinB>0，∴，，又，∴.（2）由（1）知，∴，，，得，由余弦定理：，∴，解得.30．（2024秋·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）中，角對(duì)應(yīng)的邊分別是，已知．(1)求角的大??；(2)若的面積，，求的值．【解析】（1）由，得：，即，即，解得或（舍去）因?yàn)?，所以．?）由，得，又，解得，由余弦定理：，故，又由正弦定理：，所以，，所以.31．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c，且，，．(1)求a的值；(2)求的值．【解析】（1）由，得，由正弦定理得，又，則，解得，即.（2），由，則，則，，．32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的面積為S，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，．(1)求；(2)求面積的最大值．【解析】（1）∵，則，∴，又∵，∴.（2）∵，即，∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，則面積，故面積的最大值.33．（2024秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大??；(2)如圖，若D是外接圓的劣弧AC上一點(diǎn)，且．求AD．【解析】（1）由邊化角可得，即，即，所以，因?yàn)?，所以，所以?所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知,在中，由余弦定理得，所以即，解得或（舍）.34．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊上的高為，求.【解析】（1）由題意可得，依據(jù)正弦定理可得，所以，又依據(jù)余弦定理可得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，由正弦定理可得，所?35．（2024秋·河南三門峽·高三統(tǒng)考期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè).(1)求A；(2)若，且成等差數(shù)列，求的面積.【解析】（1）由題意，，由正弦定理得：∴，即，∴，在中，，∴；（2）∵，且成等差數(shù)列，，由正弦定理得：，又由（1）知，∴，∴的面積；綜上，，的面積為.36．（2024秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知(1)求證：；(2)若，求的值.【解析】（1）∵，∴；（2）由，∴．37．（2024·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）記中角所對(duì)的邊分別為，已知，.(1)求；(2)若的周長(zhǎng)為，求的面積.【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，所以，在中，，所以，所以則，而，所以.（2）由（1）所以由，又，所以.因?yàn)樵谥?，，所以有，，所以，又，所以，所以，由題，其中為外接圓的半徑，所以，所以，故的面積.38．（2024秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，(1)證明：；(2)若，，求.【解析】（1）在中，由正弦定理知：，即又，可得，在中，所以，所以.（2）不妨設(shè)，則在中，由余弦定理知；在中同理可知：在中，即有解得.39．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，對(duì)角線平分的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求線段的長(zhǎng).從下面①②中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的空格中進(jìn)行求解.①△ABC的面積；②.【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?（2）選①，因?yàn)榈拿娣e，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因?yàn)槠椒?，所以，所以，選②，因?yàn)椋谥?，由余弦定理：，即，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槠椒?，所以，因?yàn)?，，由正弦定理得，，所以，又，所以，所以是直角三角形，且，所?40．（2024·高一課時(shí)練習(xí)）為了測(cè)量對(duì)岸之間距離，在此岸邊選取了相距1千米的兩點(diǎn)，并測(cè)得．求之間的距離．【