2024河南中考數(shù)學備考專題：二次函數(shù)圖象與性質綜合題 對稱性、增減性、最值問題【課件】

二次函數(shù)圖象與性質綜合題2024中考備考重難專題課件對稱性、增減性、最值問題二次函數(shù)圖象與性質綜合題

課堂練兵

課后小練1

典例精講23對稱性、增減性、最值問題考情分析年份題號題型分值解題關鍵點設問形式202321解答題10(1)將B(0，c)轉化為A(c，0)(2)根據(jù)拋物線上點與對稱軸的距離，判斷出點M的位置；分類討論點M，N的坐標；根據(jù)二次函數(shù)增減性確定最值(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)求拋物線上動點Q縱坐標的取值范圍典例精講例

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2－2tx＋t2－t.(1)求拋物線的頂點坐標(用含t的代數(shù)式表示)；解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，∴拋物線的頂點坐標為(t，－t)；看到這個能想到什么？完全平方式例

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2－2tx＋t2－t.(2)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在拋物線上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.①若y1的最小值是－2，求y1的最大值；畫出草圖，標出對稱軸t－1≤x1≤t＋2與對稱軸的關系？t－1在對稱軸左側t＋2在對稱軸右側當x1=t時，y1取最小值最大值在哪??？直線x=t＋2離對稱軸較遠從圖像發(fā)現(xiàn)了什么?當x1=t＋2時，y1取最大值(2)①∵y＝(x－t)2－t，∴拋物線的對稱軸為直線x＝t.∵1>0，∴拋物線開口向上．∵t－1≤x1≤t＋2，∴當x＝t時，y1的最小值為－t.∵y1的最小值是－2，∴t＝2.∵|t－1－t|＝1，|t＋2－t|＝2，∴當x＝t＋2時，y1最大＝(t＋2－t)2－t＝4－t＝4－2＝2，即y1的最大值為2；例

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2－2tx＋t2－t.(2)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在拋物線上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.②若對于x1，x2，都有y1＜y2，直接寫出t的取值范圍．由題可得y2－y1>0，將x1，x2代入y2－y1>0并用含t的代數(shù)式表示【解法提示】∵點P(x1，y1)，Q(x2，y2)在拋物線y＝(x－t)2－t上，∴y1＝(x1－t)2－t，y2＝(x2－t)2－t.∵對于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2－y1＝(x2－t)2－t－(x1－t)2＋t＝(x2－t)2－(x1－t)2＝(x2－x1)(x2＋x1－2t)>0，∴(Ⅰ)當

時，由①知，x2>x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t>t＋2，∴t＜－

.由②知，x2＋x1>2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t<0，∴t<0，即t＜－

；(Ⅱ)當

時，由③知，x2＜x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t＜t－1，∴t>1.由④知，x2＋x1＜2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t>3，∴t>，綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為t＜－

或t>.②t<－

或t>.方法總結求拋物線上點的縱坐標最值或取值范圍的一般步驟：第一步

畫草圖，求出對稱軸（直線x=t）；第二步

結合草圖，判斷兩端點x1，x2（取值范圍為x1≤x≤x2）與對稱軸（直線x=t）

的位置：位于對稱軸的同側，還是異側.若位于同側，則只根據(jù)增減性確定

確定最值的位置（即兩端點處）；若為異側，則頂點處為其中的一個最值

點，另一個最值，根據(jù)離對稱軸的距離確定（或根據(jù)對稱性轉移到同側，

根據(jù)增減性確定）；第三步

取最值處的x值代入函數(shù)解析式，確定最值或取值范圍.對稱軸最值開口方向對稱軸同側x1≤x≤x2

對稱軸異側x1≤x≤x2a＞0y1＞y2最小值：離對稱軸越近端點縱坐標最大值：離對稱軸越遠端點縱坐標

yt最小，y1最大最小值：頂點的縱坐標最大值：離對稱軸越遠端點縱坐標利用對稱性將將兩點轉化到同側，根據(jù)增減性比較大小對稱軸最值開口方向

兩端點在對稱軸同側x1≤x≤x2兩端點在對稱軸異側x1≤x≤x2a＜0

y1＞y2最大值：離對稱軸越近端點縱坐標最小值：離對稱軸越遠端點縱坐標

yt最大，y2最小最大值：頂點縱坐標最小值：離對稱軸越遠端點縱坐標利用對稱性將將兩點轉化到同側，根據(jù)增減性比較大小課堂練兵練習

在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－4ax＋c(a＜0)與x軸交于A(1，0)，B兩點，與y軸交于點C.(1)若OC＝2OB，求拋物線的解析式；

得出對稱軸可得B點坐標依據(jù)OC＝2OB可得C點坐標解：(1)∵拋物線的對稱軸為直線x＝

＝2，拋物線與x軸的交點為A(1，0)，B，∴B(3，0)，∴OB＝3.∵OC＝2OB，∴OC＝6.∵a＜0，∴拋物線開口向下，∴C(0，－6).把A(1，0)，C(0，－6)代入y＝ax2－4ax＋c中，得

，解得∴拋物線的解析式為y＝－2x2＋8x－6；課堂練兵練習

在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－4ax＋c(a＜0)與x軸交于A(1，0)，B兩點，與y軸交于點C.(1)若OC＝2OB，求拋物線的解析式；

一題多解點C(0，c)B(，0)已知A(1，0)將已知點坐標代入拋物線解析式練習

在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－4ax＋c(a＜0)與x軸交于A(1，0)，B兩點，與y軸交于點C.(2)若點P(x0，m),Q(，n)在拋物線上，且m＜n，求x0的取值范圍．第一步：畫出草圖第二步：根據(jù)m＜n，討論P，Q與對稱軸的位置當點P在對稱軸的同側或異側，根據(jù)二次函數(shù)增減性求出x0取值范圍答題步驟確定對稱軸，Q的位置求出點Q關于對稱軸對稱的點對點P分類討論綜合寫出結論(2)已知拋物線的對稱軸為直線x＝2，a＜0，∴Q(，n)與(，n)關于對稱軸對稱，當點P在對稱軸的左側(含頂點)時，y隨x的增大而增大，由m＜n，得x0＜

；當點P在對稱軸的右側時，y隨x的增大而減小，由m＜n，得x0＞

.綜上所述，x0的取值范圍為x0＜

或x0＞

.課后小練練習1

(2023河南題組小卷)已知拋物線y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5與x軸交于A、B兩點(A、B不重合)，頂點為P.(1)當m＝2時，求線段AB的長度；解：(1)當m＝2時，y＝2x2－8x＋7，當y＝0時，2x2－8x＋7＝0，解得x1＝

，x2＝

，∴AB＝練習1

(2023河南題組小卷)已知拋物線y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5與x軸交于A、B兩點(A、B不重合)，頂點為P.(2)若點P到x軸的距離與點P到y(tǒng)軸的距離相等，求該拋物線的解析式；(2)∵拋物線y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5與x軸有兩個交點，∴b2－4ac＝16m2－8(2m2＋2m－5)＝－16m＋40＞0，解得m＜

，∵y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5＝2(x－m)2＋2m－5，∴頂點P的坐標為(m，2m－5)，∵點P到

x軸的距離與點P到y(tǒng)軸的距離相等，∴|m|＝|2m－5|，即m＝2m－5或m＝－(2m－5)，解得m＝5(舍)或m＝

，∴該拋物線的解析式為y＝2(x－

)2－

＝2x2－

x＋

；練習1

(2023河南題組小卷)已知拋物線y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5與x軸交于A、B兩點(A、B不重合)，頂點為P.(3)當2m－5≤x≤2m－2時，y的最小值為2，求m的值．(3)拋物線的解析式為y＝2x2－4mx＋2m2＋2m－5＝2(x－m)2＋2m－5，分三種情況討論：①當m＞2m－2，即m＜2時，x＝2m－2時有最小值，則2(2m－2－m)2＋2m－5＝2，整理，得2m2－6m＋1＝0，解得m1＝

(舍去)，m2＝

；②當2m－5≤m≤2m－2，即2≤m≤5時，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴m＜

，則當2≤m＜

時，頂點P的縱坐標為最小值，則2m－5＝2，解得m＝

(舍去)；③當m＜2m－5，即m＞5時，拋物線與x軸無交點，故不符合題意．綜上所述，m的值為

.練習2(2023河南逆襲卷)已知拋物線y＝ax2＋bx＋3(a，b均為常數(shù)，且a≠0)的對稱軸為直線x＝2.(1)求拋物線頂點M的坐標和b的值(用含a的代數(shù)式表示)；解：(1)由題意得，

，解得b＝－4a，∴，∴拋物線頂點M的坐標為(2，3－4a)；練習2(2023河南逆襲卷)已知拋物線y＝ax2＋bx＋3(a，b均為常數(shù)，且a≠0)的對稱軸為直線x＝2.(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)都在此拋物線上，且x1＜2＜x2，x1＋x2＜4，若a＞0，試比較y1與y2的大小，并說明理由；(2)y2＜y1.理由如下：由題可知，拋物線的對稱軸為直線x＝2，∴A(x1