高中數(shù)學(xué)典型例題-棱柱

典型例題一

例1設(shè)有四個(gè)命題：

①底面是矩形的平行六面體是長方體；

②棱長都相等的直四棱柱是正方體：

③有兩條側(cè)棱都垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體;

④對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

分析：命題①是假命題.因?yàn)榈酌媸蔷匦蔚闹逼叫辛骟w才是長方體.底面是矩形，側(cè)

棱不垂直于底面，這樣的四棱柱仍是斜平行六面體；

命題②是假命題.底面是菱形，底面邊長與棱長相等的直四棱柱不是正方體;

命題③是假命題.因?yàn)橛袃蓷l側(cè)棱垂直于義面一邊不能推出側(cè)棱與底面垂直.

命題④是真命題，如圖所示，平行六面體

ABC。-481GA中所有對(duì)角線相等，對(duì)角面⑸BDQ是

平行四邊形，對(duì)角線5口=用。，所以四邊形用BO?是

矩形，即8片，8。，同理四邊形4ACG是矩形，所以

AA.VAC,由A4〃BB,知1底面ABCD,即該平

行六面體是直平行六面體.

故選A.

說明：解這類選擇題的關(guān)鍵在于理清各種棱柱之間的聯(lián)系與區(qū)別，要緊扣底面形狀及側(cè)

棱與底面的位置關(guān)系來解題.

下面我們列表來說明平行四邊形與平行六面體的性質(zhì)的“類比”，由此，我們可以發(fā)現(xiàn)

立體幾何與平面兒何許多知識(shí)是可以進(jìn)行類比的.見表

表

平行四邊形平行六面體

①對(duì)邊平行且相等①相對(duì)的側(cè)面平行且全等

②對(duì)角線交于一點(diǎn)，且在這一點(diǎn)互相平分②對(duì)角線交于一點(diǎn)且在這一點(diǎn)互相平分

③四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方③十二條棱的平方和等于四條對(duì)角線的

和平方和

典型例題二

例2如圖，正四棱柱A8CZ）-AB|G□中，對(duì)角線BQ=8,與側(cè)面8BCC所

成角為30°,求：（1）8。與底血48CO所成角；（2）異面直線與所成角；（3）

正四棱柱的全面積.

分析：正四棱柱是一種特殊的長方體，它的兩底面

ABCD、44G2是正方形，長方體中有比較多的線面垂直

關(guān)系，而線面垂直關(guān)系往往是解決立體兒何問題的關(guān)鍵條

件.題中無論是一知線面成角，還是求線面成角，都要把它們

轉(zhuǎn)化為具體的角，落實(shí)線面成角，先要找線面垂直關(guān)系.異面

直線5,與AO所成角通過,落實(shí)為具體的

乙4。乃.正四棱柱各個(gè)面都是矩形，求面積只要用矩形面積公式.

解：（1）在正四棱柱中，?.?26，面88℃,

二NO/G是D、B與側(cè)面BB.C.C所成角，即NO|BG=30°.

BD|=8,RG=4，BC[=4框,

*/-CL是正方形,B￡=DjC,=4,

2。，平面ABCD，/.ND&D是D】B與底面ABCD所成角,

在RtZ\QOB中，BD=BR=4桓,BR=8,

D/）B

：.cosZD.BD=——,...ZD,BD=45°,

SD,2

即BQ與底面ABCD所成角為45°.

（2）,:ADHAR,

.?.NAQ8是BA與力。所成角（或補(bǔ)角）.

???24J_平面44月8,QA1AtB,

中，43=4,6￡>|=8,

cosDXB=（,=60,

即異面直線AD與8,所成角為60°.

（3）RtZ\681G中，8c=4,BC[=.

BB[—4-\/2,

S全=2（4x4+4x4拉+4x4&）=32（2及+1）.

說明：長方體是一種特殊的棱柱，充分感受其中豐富的線面垂直、線線垂直關(guān)系是靈活

解題的關(guān)鍵，各種垂直關(guān)系是解決立體幾何中證明和計(jì)算的重要條件.

典型例題三

例3如圖，已知長方體ABCO-A4G，中，棱長AA=5,A3=12,求直線用G與

平面48cA的距離.

分析：求直線到平面的距離，首先要找直線上的點(diǎn)到平

面的垂線，而找平面的垂線的?個(gè)很有用的思路是，找平面

內(nèi)一條直線與某一平面垂直，這里我們不難看出，長方體中

有平面44R4,這樣，只要作8罔，A/,又有

B】H1CB,得到ByHJ_平面BCD,A,.

解：長方體AG中，有8C_L平面44啰與，過用作6附，48于〃，又有

BC工B]H,

B]H_L平BCRA,即用〃是"G到平面ABCR的距離.

在中,由已知可得,BBt=5,4g=12,

:.AB=13,AB.H^―.

1113

即B.H是B￡到平面A,BCD,的距離為.

說明：長方體中有棱與面的線面垂直關(guān)系，正方體除此之外，還有對(duì)角線與對(duì)角面的線

面垂直關(guān)系，比如，求正方體AG中，aa與面GBO所成角.這

里，要找4G與G8。所成角，必須找4到平面G5。的垂線，

因?yàn)?。_1面44℃,在對(duì)角面AG內(nèi)，過A作A"10G于

H,則所以4"_1面68。，可以得到N4G。為

4G與面GB。所成角，在對(duì)角面AACC中可計(jì)算

NAG。=arctan42.

典型例題四

例4如圖，已知直三棱柱A6CO-44G2中，AB=AC,P為側(cè)棱8月上一點(diǎn),

BF=BC=2a,尸4=a.(1)若。為5c的中點(diǎn)，E為40上不同于A、。的任一點(diǎn),

求證：EF1FCX；(2)若44=3。，求/￡與平面A4向8所成角的大小.

分析：E點(diǎn)在A0上變化，EE為平面AO尸內(nèi)變化的一組

相交直線(都過定點(diǎn)尸)，要證明與E77垂直，必有

平面ADF.求FC1與平面ABB.A,所成角的關(guān)鍵是找G到面

ABgA的垂線，從而落實(shí)線面成角，直三棱柱中，側(cè)棱AA1

平面A/iG給找點(diǎn)G到面A⑸的垂線創(chuàng)造了方便的條件.

解：(1)VAB=AC,且。是的中點(diǎn)，ADLBC,

又；直三棱柱中8用_L平面A8C,,

:.A0_L平面86。。，AADLC.F.

在矩形8片GC中，BF=BC=2a,67=a,

/.DF=Ma,FC}-6a,DC,=V10?，

...DF2+FC；=DC；,NDFG=90",即FC,1DF,

FC}1平面ADF,J.FC11EF.

（2）過G作G"，44于HA4J_平面441J,G”，

.?.G”，平面A4乃乃，連接F"，NC/"是GF與平面A片所成角?

在等腰△ABC中，AB=AC=3a,BC=2a,：.AD=2y[2a,

在等腰△4gG中，由面積相等可得，C、Hx3a=2金x2a,

:.GH=^^a,又GF=瓜,

在RtaG“/中，sinNGF〃=^^，

...NGF"=arcsin^^

即G尸與平面A4所成角為arcsin^

說明：由于點(diǎn)E在4。上變化，給思考增加了難度，但仔細(xì)思考，它又提供了解題的

突破口，使得線線垂直成為了C”與一組直線垂直.本題的證明還有一個(gè)可行的思路，雖然

E在AO上變化，但是由于40,平面88C。，所以E點(diǎn)在平面8。上的射影是定點(diǎn)。,

ER在平面8a上射影為定直線。尸，使用三垂線定理，可由

C.F1DF,直接證明C/_LEE.三垂線定理是轉(zhuǎn)化空間

線線垂直為平面內(nèi)線線垂直的一個(gè)有力工具，再看一個(gè)例子,

正方體AG中，。是底面的中心，E是為耳上動(dòng)點(diǎn),

產(chǎn)是。Q中點(diǎn)，求A/7與0E所成角.我們?nèi)。中點(diǎn)G,

雖然E點(diǎn)變化，但0E在面AQ上射影為定直線A。，在正方形44RO中，易證

\BLAF,所以，AF10E,即A尸與0E所成角為90°.

典型例題五

例5如圖，正三棱柱的底面邊長為4,側(cè)棱長為a,過的截面與底

面成30°的二面角，分別就(1)a=3；(2)a=l計(jì)算截面的面積.

分析：要求出截面的面積，首先必須確定截面的形狀，截面與底

面成30。的二面角，如果a較大，此時(shí)截面是三角形；但是如果a較

小，此時(shí)截面與側(cè)棱不交，而與上底面相交，截面為梯形.

解：截面與側(cè)棱A4所在直線交于。點(diǎn)，取3C中點(diǎn)E,連AE、

DE,

△ABC是等邊三角形，AAE1BC,

?：A%±平面ABC,：.DE1BC.

：.NDEA為截面與底面所成二面角的平面角,

二ZDEA=30°.

?.?等邊△ABC邊長為4,...?!￡=2百.

在Rt^OAE中，DA=AEtanZDEA=2.

(1)當(dāng)a=3時(shí)，。點(diǎn)在側(cè)棱A4上，截面為△8CO,

在RtZ\OAE中，DE=yjAD2+AE2=4,

S.Rrn——BC-DE='x4x4=8.

22

(2)當(dāng)a=l時(shí)，。點(diǎn)在Ad延長線上，截面為梯形8cMN,

?；AO=2,A4]=1是△O8C的中位線，

.33

?*,S梯形BCMN=[SgBC=1X8=6.

說明：涉及多面體的截面問題，都要經(jīng)過先確定截面形狀，再解決問題的過程，本例通

過改變側(cè)棱長而改變了截面形狀，我們也可以通過確定側(cè)棱長，改變截面與底血成角而改變

截面形狀.

典型例題六

例6斜三棱柱ABC-A]B|C|中，平面A4CCJ?底面ABC,BC=2,AC=

ZABC=90\AA"C,且例=4C.

(1)求AM與平面ABC所成角；

(2)求平面4ABB1與平面48c所成二面角的大?。?/p>

(3)求側(cè)棱到側(cè)面AAtCtC的距離.

分析：按照一般思路，首先轉(zhuǎn)化條件中的面面垂直關(guān)系，由

AA=4C,取AC的中點(diǎn)O,連4。，則有A。，AC,從而有4。，平面ABC,在

此基礎(chǔ)上，4A與底面所成角以及平面與底面所成二面角都能方便地找到，同時(shí)

4。_L底面A6C也為尋找8點(diǎn)到面44CC的垂線創(chuàng)造了條件.

解：(1)取AC的中點(diǎn)。，連接4O,

?.?4A=4C,4O_LAC,?.?平面底面A8C,

4。_L底面ABC,.?./4AC為AA與底面ABC所成角.

：A4=A{C且A41A1C,ZA,AC=45°.

(2)取AB中點(diǎn)E,則DE〃BC,

VZABC=90",CBLAB,：.DEVAB.

連4E,底面ABC,...AE在平面ABC上射影為?！?

???A.ELAB,：.ZA.ED為側(cè)面與底面ABC所成二面角的平面角.

在等腰RtaAAC中，AC=2百，:.A、D=也.

在RtZ\A8C中，BC=2,D￡=1.

An

在RtaAQE中，tanZAED==V3.

11DE

：.“ED=60°,即側(cè)面AA^B與底面ABC所成二面角的大小為60°.

(3)過8作5“工AC于"，

?.?4。J_底面ABC,AAtD1BH,，8〃J_平面AACC,

在RtZ^ABC中，AC=243,BC=2,：.AB=272,

ABBC

BH==-76,即3瓦到平面AA,CtC的距離為-屈.

AD33

說明：簡單的多面體是研究空間線面關(guān)系的載體，而線面垂直關(guān)系又是各種關(guān)系中最重

要的關(guān)系，立體幾何中的證明與計(jì)算往往都與線面垂直發(fā)生聯(lián)系，所以在幾何體中發(fā)現(xiàn)并使

用線面垂直關(guān)系往往是解題的關(guān)鍵.

典型例題七

例7斜三棱柱ABC-A百G的底面△ABC是直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,

用在底面上的射影。恰好是8C的中點(diǎn)，側(cè)棱與底面成60°角，側(cè)面AAff與側(cè)面

B8CC所成角為30°，求斜棱柱的側(cè)面積與體積.

分析：片在底面ABC上射影。為中點(diǎn)，提供了線面

垂直耳。J.平面4BC,另外又有NC=90°,即AC_LBC,

又可以得到AC_L平面3B|GC,利用這兩個(gè)線面垂直關(guān)系，可

以方便地找到條件中的線面角以及二面角的平面角.

解：在底面A8C上，射影。為8C中點(diǎn).

8QL平面ABC.

二NB即為側(cè)棱B,B與底面ABC所成角，即/片8。=60°,

VZC=90\即4CL5C,又ACJ.BQ,

二4CL平面BBC。，過4作AELB乃于E,連接CE,則CE,48.

二ZAEC是側(cè)面AA,B,B與側(cè)面。。乃田所成二面角的平面角，

ZAEC=30°,

在直角aCEB中，,/ZCEB=60°,BC=2,:.CE=6，

在直角△ACE中，VACEA=30°,CE=g,

二4C=ECtan30°=1,AE=2AC=2,

在直角△耳08中，NB&D=60。,BD=^BC=1,

：.BBi=2BD=2,BlD=BBisin600=V3.

.??側(cè)面積為S^=CEBB,+AEBB^AC-AAt

=/+2+1)x2=(V5+3)x2=2(3+百加.

體積為丫=5^48cB|O=gAC8CBN=gxlx2xK=V§cm3.

說明：本例中△ACE是斜棱柱的-個(gè)截面，而且有側(cè)棱與該截面垂直，這個(gè)截面稱為

斜棱柱的直截面，我們可以用這個(gè)截面把斜棱柱分成兩部分，并且用這兩部分拼湊在一個(gè)以

該截面為底面的直棱柱，斜棱柱的側(cè)面積等于該截面周長乘以側(cè)棱長，體積為該截面面積乘

以側(cè)棱長.

典型例題八

例8如圖所示，在平行六面體ABCD-A4G。中，已知48=AO=2。，M=a,

又ZAtAD=ZDAB=NA/B=60°.

(1)求證：AAJ_截面耳RC；

(2)求對(duì)角面AACG的面積?

分析:

⑴由題設(shè)易證A4，BQ一再只需證AA1BC，即證CG，CO「而由對(duì)稱性知,

若eq_LBC,則CCX±CD、,故不必證A4,1.

(2)關(guān)鍵在于求對(duì)角面的高.

證明：(1)：6￡=AO=24，CCt=\A^a,=ZA}AD=60°,

...在ABCC中，由余弦定理，得耳。2=3。2.

再由勾股定理的逆定理，得GC，6C-

同理可證：GC1CD,.GC1平面片。C.

又GC〃A|A,AA|_L平面8］。°.

解：（2）：AB=AO,.?.平行四邊形A8C0為菱形.AC為/BA0的平分線.

作4。??._L平面AC于O,

由N4AZ)=NA|AB,知OwAC.作于M,連。/，則。MLAB.

在RfAA]AM中，AM=A1A-cos60°=^o,

在用附。"中，AO=AM-sec30°=-^.

V3

,2

在R/A41A。中，A0=JM—AO?一U.

3

又在A48c中，由余弦定理，得AC=2ga.

ACC=AC?A。=.

riVLzI1

說明：本題解答中用到了教材習(xí)題中的一個(gè)結(jié)論——經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平

面的斜線.如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線

所在的直線.

另外，還有一個(gè)值得注意的結(jié)論就是：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊所在直線

的距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線所在的直線上.

典型例題九

例9如圖所示，已知：直三棱柱ABC—AMG中，Z4CB=90°,ABAC=30°,

BC=\,AA]=n，M是CG的中點(diǎn).

求證：AB,1A{M.

分析：根據(jù)條件，正三棱柱形狀和大小及M點(diǎn)的位置都是確定的，故可通過計(jì)算求出

4M與AB{兩異面直線所成的角.

因?yàn)锽￡1C,C,BGJLAG，所以BeJ-側(cè)面AACC.AC,是斜線AB,在平面

AACC的射影，設(shè)AG與4M的交點(diǎn)為D,只需證得NMDC]=90°即可.

證明：B,C,1A,C,,與4G交于點(diǎn)G，

/.BfC,1面AAfC^.

為CG的中點(diǎn)，?,?MG=gGC=半.

在RfAAG與中，N8|AG=30°,

/.A蜴=26]G=2,4G=V3.

在RrAAG用中，

AM

\=』MC；+AC；=+（何=|^2.

在RrA44]G中，ACj=yjAA^+AjC/=Vy[6+V3=3.

又AMZ)GsM,DA且A%：MC=2,

：.MD=-A,M=-x-V2=-V2,

31322

CiD=-ACi=-x3=l.

在AMDCJ」」，M02+G02=(g收)+『=|，

:.NCQM=90°,1AG，A1M±AB,.

說明：證明兩直線垂直，應(yīng)用三垂線定理或逆定理是重要方法之一.證明過程中的有關(guān)

計(jì)算要求快捷準(zhǔn)確，不可忽視.本題證明兩異面直線垂直，也可用異面直線所成的角，在側(cè)

面AACC的一側(cè)或上方一個(gè)與之全等的矩形，平移或A用，確定兩異面直線所成的

角，然后在有關(guān)三角形中通過計(jì)算可獲得證明.

典型例題十

例10長方體的全面積為11,十二條棱長度之和為24,求這個(gè)長方體的條對(duì)角線長.

分析：要求長方體對(duì)角線長，只要求長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長即可.

解：設(shè)此長方體的長、寬、高分別為x、y、z，對(duì)角線長為/,則由題意得：

2(xy+yz+2%)=11①

、4(x+y+z)=24②

由②得：x+y+z=6,從而由長方體對(duì)角線性質(zhì)得：

/=y/x2+y2+z2=J(x+y+z)?-2(盯+yz+zx)=-\/62-11=5.

???長方體一條對(duì)角線長為5.

說明：(1)本題考查長方體的有關(guān)概念和計(jì)算，以及代數(shù)式的恒等變形能力.在求解過

程中，并不需要把x、y、z單個(gè)都求出來，而要由方程組的①②從整體上導(dǎo)出爐+y2+z2,

這需要同學(xué)們掌握一些代數(shù)變形的技巧，需要有靈活性.

(2)本題采用了整體性思維的處理方法，所謂整體性思維就是在探究數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)研

究問題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)或?qū)栴}的數(shù)的特征、形的特征、結(jié)構(gòu)特征作出整體性處理.整

體思維的含義很廣，根據(jù)問題的具體要求，需對(duì)代數(shù)式作整體變換，或整體代入，也可以對(duì)

圖形作出整體處理.

典型例題十一

例11如圖，長方體ABC?！?4GA中，A8=a，BC=b,BB、=c,并且

a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到G的最短線路的長.

。1G

分析：解本題可將長方體表面展開，可利用在平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長是兩點(diǎn)間的最短距

離來解答.

解：將長方體相鄰兩個(gè)展開有下列三種可能，如圖.

Di

Bb

（甲）

三個(gè)圖形甲、乙、丙中AG的長分別為:

7（?+Z?）2+c2=yja2+b2+c2+2ab

yja2+（b+c）2=7a2+b2+c2+2bc

7（?+c）2+b2=7a2+b2+c-+2ac

a>b>c>09

/.ah>ah>hc>0.

故最短線路的長為^a2+h2+c2+2bc.

說明：(1)防止只畫出一個(gè)圖形就下結(jié)論，或者以為長方體的對(duì)角線

AG=yla2+b2+c2是最短線路.

(2)解答多面體表面上兩點(diǎn)間，最短線路問題，一般地都是將多面體表面展開，轉(zhuǎn)化為

求平面內(nèi)兩點(diǎn)間線段長.

典型例題十二

例12設(shè)直平行六面體的底面是菱形，經(jīng)下底面的一邊及與它相對(duì)的上義面的一邊的

截面與底面成60。的二面角，面積為。，求直平行六面體的全面積.

D'

A'

AH-----------B

分析：如圖，由于。/)」面AC.作出截面與底面所成的二面角的平面角/。力。后,

因RfAD力H中ND=60°,可分別求出?！焙虳H的值.又上下底面的邊長

是相等的，便可進(jìn)一步求出全面積.

解：設(shè)平行六面體為A8CO—A'6'C'。，過。作〃為垂足，連結(jié)。力.

?；DDJ_平面A8CO,

DH1AB,ADHD=60°,

V3.1.

：.DD=—DH,DH=-DH.

22

又在菱形ABC。中，有AD=AB=BC=CD,

二截面ABC'。的面積為：S】=DHAB=Q.

側(cè)面。OCC’的面積為：S,=DDDC=DDAB=—DHAB=-Q

22

底面ABC。的面積為：S.=DHAB=-DHAB=-Q.

22

所以S*=4§2+2s3=(273+1)2.

典型例題十三

例13設(shè)有三個(gè)命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩

形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是直平行六面體.以上命題中，真命題的個(gè)數(shù)是

().

A.0B.1C.2D.3

解：甲命題是真命題，因?yàn)樗褪瞧叫辛骟w的定義；

乙命題不是真命題，因?yàn)槠叫辛骟w的側(cè)棱不一定垂直于底面；

丙命題也不是真命題，因?yàn)樗睦庵牡酌娌??定是平行四邊形.

二應(yīng)選B.

說明：要認(rèn)真搞清平行六面體、直平行六面體、長方體等特殊四棱柱的有關(guān)概念及性質(zhì).

典型例題十四

例14如圖,A^-ABC是直三棱柱,ZBCA=90°，點(diǎn)R、片分別是A蜴、A￡

的中點(diǎn).若8C=C4=CG，則BQ與4月所成角的余弦值是（）.

解：可將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線的角，取8C的中點(diǎn)E,并連結(jié)EK、EA.

'：DIF/BC=BE,

...EFJ/BD\,：.ZLEFXA是與AFX所成角.

設(shè)8c=2a,則CG=2a，C4=2a.

/?AB-1y[7.a,AFt—\[5a,AE—\[5a,

EK=BD[=《B&2+BQ：=J6a.

.AF^+EF；-AE2（氐產(chǎn)+（癡a）2_（氐f病

..cosZ.EF.A=-----------------=----------T=--------尸--------=-----

2xAF}xEF{2xj5“xj6a10

，應(yīng)選A.

說明：本題主要考查棱柱的性質(zhì)，以及兩條異面直線所成的角、勾股定理、余弦定理等

內(nèi)容：對(duì)運(yùn)算能力和空間想象能力也有較高的要求.

典型例題十五

例15如圖，已知A4G