第03講 集合的基本運(yùn)算(提升訓(xùn)練)(解析版)-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練（人教A版2019必修第一冊）

第03講集合的基本運(yùn)算

【提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.已知集合知={。},N={x|以一4=0},若MflN=N,則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.2B.-2C.2或一2D.0,2或一2

【答案】D

【分析】

根據(jù)MnN=N,所以NqM,N={d6—4=0}中，由于a的值不確定，考慮。的值是否為0,再

進(jìn)行求解.

【詳解】

因?yàn)锳/nN=N，所以N=

當(dāng)N=0時(shí)，a=0,符合題意；

當(dāng)NO0時(shí)，N={x|ar-4=0}={&},

4

則一=a，解得a=土2,

a

綜上，實(shí)數(shù)”的值是0或2或-2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

注意題中。的取值是否為0的討論是因?yàn)榍蟾鶗r(shí)，兩邊要同時(shí)除以。，故需討論.

2.對于全集U的子集M，N,若M是N的真子集，則下列集合中必為空集的是（）.

A.（Q附）cNB.A/n（QjN）C.（犧）c（uN）D.McN

【答案】B

【分析】

根據(jù)題目給出的全集是U，M，N是全集的子集，M是N的真子集畫出集合圖形，由圖形表示出三個(gè)

集合間的關(guān)系，從而看出是空集的選項(xiàng).

【詳解】

解：集合U,M.N的關(guān)系如圖，

由圖形看出，只有(QjN)l"是空集.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，給出集合的圖形表示法,

數(shù)形結(jié)合解.

3.己知全集。=兄集合M={Xx2+x-2S0},集合N={y|y=jn},則(CuM)UN等于()

A.{小<-2或啟0}B.{x|x>1}

C.{x|x<-1或1<g3}D.R

【答案】A

【分析】

解出不等式/+X-2W0的解集，求出補(bǔ)集，根據(jù)集合的運(yùn)算法則求解.

【詳解】

解不等式x2+x-2<0得：-2<x<1,CuM=(-8,—2)|J(1,+8)，

N={y|y=>j3-x}=[0,+oo),

(CuM)UN={x\x<-2或啟0}.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查集合的基本運(yùn)算，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解二次不等式，根據(jù)集合的運(yùn)算法則求解.

4.已知集合A={x|(x+2)(x-2)<5},B={x|log2(x-a)>l,ae?/1,若Ap|8=0,則。的可能取

值組成的集合為()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.N*

【答案】D

【分析】

解不等式確定集合A6,然后由交集的結(jié)果確定參數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

A={x|(x+2)(x-2)<5}=何-3<x<3},

8={'log?(x—a)>l,aeN}={x[x>a+2,aeN},

因?yàn)锳n3=0,所以a+223，?>1.又aeN,???aeN*.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查由集合交集的結(jié)果求參數(shù)范圍，解題時(shí)可先確定兩個(gè)集合中的元素，然后分析交集的結(jié)果得出結(jié)

論.

5.設(shè)4={劃卜一2|22},B={x||x-l|<?},若4口8=0，則&的取值范圍為()

A.a<\B.0<a<lC.a<lD.0<a<3

【答案】C

【分析】

解集絕對值不等式求得A,B,結(jié)合A。8=0求得”的取值范圍.

【詳解】

由忖一2|22得x—2W—2或x—222,解得或x",所以人式—刀卜竹，”)，

山忖一1|<〃得一a<x—l<a,解得一a<x<l+a,所以3=(1—a,l+a).

當(dāng)時(shí)，B=0,Ap\B=0,符合題意.

當(dāng)。>0時(shí)，由于An3=0,所以<,,解得0<aKl.

l+a<4

綜上所述，。的取值范圍是a?l.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù)的取值范圍.

6.已知集合S={1,2,3,45,6},對于它的任一非空子集A,可以將A中的每一個(gè)元素氏都乘以(—1)及再

求和，例如A={2,3,5},則可求得和為(一1戶2+(—1?3+(-1。5=-6,對S的所有非空子集,這些和

的總和為()

A.92B.96C.100D.192

【答案】B

【分析】

確定S中每個(gè)元素在其非空子集中出現(xiàn)的次數(shù)，然后根據(jù)這個(gè)規(guī)律求和.

【詳解】

S的所有非空子集有26-1=63個(gè)，每個(gè)元素在2、=32個(gè)集合出現(xiàn)，

所以所求和的總和為32x[(—l)xl+(—1)2X2+(—1)3X3+(—1)4X4+(—1)5X5+(—1)6X6]=96.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的新定義，解題關(guān)鍵是確定S中每個(gè)兀素在其非空子集中出現(xiàn)的次數(shù).考子集的概念與個(gè)數(shù)問

題，屬于中檔題.

7.己知全集。=卜6叫％=〃,1<〃<2020},若集合A=B=U,A^B=<Z>,A,B的元素個(gè)數(shù)

相同，且對任意的neA,2"eB，則AU8的元素個(gè)數(shù)最多為()

A.20B.18C.16D.以上結(jié)果都不正確

【答案】C

【分析】

列舉出符合條件的A,8的元素，利用A,8的元素個(gè)數(shù)相同，只需讓4,8都取最大元素個(gè)數(shù)，即可得到AU8

的元素個(gè)數(shù)的最大值.

【詳解】

-.■U={xeN\x=n,\<n<2020\,A^U,B^U,

〃￡A,2〃￡8,

=時(shí)，21=2G￡/?即1￡A2E3,

同理可得，2eA,4eB,

3eA,8eB,

4GA,16eB,

5eA,32eB,

6GA,64GB,

7eA,128eB,

8eA,256e8,

9GA512e8,

10eA,1024€B,

???An3=0,A,8的元素個(gè)數(shù)相同，

，若AU8的元素個(gè)數(shù)最多，

則4={1,3,4,5,6,7,9,10},共8個(gè)元素，

8={2,8,16,32,64,128,512,1024},共8個(gè)元素，

.?.AuB的元素個(gè)數(shù)為8+8=16，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合與元素的關(guān)系，考查集合的交集、并集的運(yùn)算，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬

于中檔題.

8.已知集合4=卜愀+4<巧，3={x|y=lnx},則A[J8=（）

A.{x|-l<x<0}B.{小>4}

C.{小<-1或x>0}D.{小<-1或x>4}

【答案】C

【分析】

解不等式確定集合A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合3,再巾并集定義計(jì)算.

【詳解】

4={巾1+4</}={小<一1或%>4},3={x[y=lnx}={x|x>0},

/.Au5={x[x<-1或x>0}.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查集合并集運(yùn)算，考查解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知全集0=11,A=N)=ln(l—x2?,8={小=4*-2},則Ap|低8)=()

A.(-1,0)B.(-1,0]C.(0,1)D.[0,1)

【答案】B

【分析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合A5,然后由集合運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】

A=卜卜=ln(l-x2)}=同1-》2)0}={._]<x<]}=(_],]),

8={y|y=4i}={y|y>0}=(0,+oo),6*=(-8,0],

所以A「低町=(-1,0].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的綜合運(yùn)算，掌握對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.集合4="eN,xeZ,,=-3y-4<o1,則4口3=()

A.{2,3}B.{2,3,4}C.{-1,2,3}D.{-1,2,3,4}

【答案】D

【分析】

根據(jù)集合的表小方法和一元二次不等式的解法求得集合A={-1,2,3,4},B={y|-l<y<4},再結(jié)合集

合的交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

6

山題意，集合4x-------GN,XEZ={-1,2,3,4),

5-x

8={小2_3丁-440}={引-1"?4},

所以Ac3={-1,2,3,4}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的交集的概念及運(yùn)算，其中解答中結(jié)合集合的表示方法，以及一元二次不等式的解法

求得集合A,B是解答的關(guān)鍵，著重:考查推理與運(yùn)算能力.

11.設(shè)全集U=R，A=B={x|y=ln(l—x)},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.|x|x>11B.1x|0<x<11

C.1x|l<x<2}D.

【答案】C

【分析】

先解出集合A、3,并確定陰影部分區(qū)域所表示集合的意義，即可得出陰影部分區(qū)域所表示的集合.

【詳解】

解不等式2**2)<1=2°，即％(%-2)<0,解得0<x<2,.?.A={x|0<x<2},

B={x[y=ln(l-x)}={鄧-*>0}={x|x<l},則Ac8={x[0<x<l}.

圖中陰影部分所表示的集合為{x|xGA目/eAc8}={x[l<x<2],故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵就是確定陰影部分所表示的集合的意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

12.全集U=R,集合A=〈無言K。1,集合3={?1。82(龍一1)>2},圖中陰影部分所表示的集合為

()

A.,0]U[4,5]B.(9,0)U(4,5]

C.(-oo,0)U[4,5]D.(-w,4]U(5,yo)

【答案】C

【分析】

由圖可得，陰影部分表示的集合為Cu(AuB).求出集合A,3,Au3,即求C^AuB).

【詳解】

:集合A={x|04x<4},8={x|x>5},

由論"〃圖可知陰影部分對應(yīng)的集合為Q(ADB),又AD3={X|0VX<4或X>5},

.?.Q(AU8)=(Y,0)34,5].

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知A={xeN|y=ln(d_x-2)},8={yeN|y=,則)

A.{1,2}B.{0,1}C.{1,2,3}D.0

【答案】A

【分析】

首先確定集合A3中的元素，然后再由集合的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】

由丁一工一2>0得xv-l或x>2,，A={xcN|x>2},dvA={0,1,2),

l-|x|>0,-l<x<l,0<l-|x|<l,.,.iwe屈We，即iWyWe,又yeN3.y=l或2,即3={1,2},

；.aA)n8={l,2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的綜合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.一定要注意代表元的形式，對于與函數(shù)有關(guān)的

數(shù)集，要注意是函數(shù)的定義域還是函數(shù)的值域.

14.已知集合4=卜|1<%<2},集合8=卜卜='加_上),若4口3=4,則m的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,4]C.[l,+oo)D.[4,+oo)

【答案】D

【分析】

由408=4可得出AqB,可知解出集合3,結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)加的不等式，由此可解

得實(shí)數(shù)用的取值范圍.

【詳解】

QAI8=4且4={川1<%<2},則A=.?.3H0.

若機(jī)<0,則加—工2<0,可得B=0，不合乎題意；

若加20,則8=[xy=\lm-x2^=<x<,

所以，V^>2,解得利24.

因此，實(shí)數(shù)加的取值范圍是[4,+8).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

15.高二一班共有學(xué)生50人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門課程中選擇三門

課程進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少20人，這三門課程都不選的有10人，這三門課

程都選的有10人，在這三門課程中選擇任意兩門課程的都至少有13人，物理、化學(xué)只選一科的學(xué)生都至

少6人，那么選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)至多()

A.16B.17C.18D.19

【答案】C

【分析】

把學(xué)生50人看出一個(gè)集合U,選擇物理科的人數(shù)組成為集合A，選擇化學(xué)科的人數(shù)組成集合8,選擇生物

顆的人數(shù)組成集合C,根據(jù)題意，作出韋恩圖，結(jié)合韋恩圖，即可求解.

【詳解】

把學(xué)生50人看出一個(gè)集合U,選擇物理科的人數(shù)組成為集合A，

選擇化學(xué)科的人數(shù)組成集合B,選擇生物顆的人數(shù)組成集合C，

要使選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)最多，

除這三門課程都不選的有10人，這三門課程都選的有10人，

則其它個(gè)選擇人數(shù)均為最少，即得到單選物理的最少6人，

單選化學(xué)的最少6人，單選化學(xué)、生物的最少3人，

單選物理、生物的最少3人，單選生物的最少4人，

以上人數(shù)最少42人，可作出如下圖所示的韋恩圖，

所以單選物理、化學(xué)的人數(shù)至多8人，

所以至多選擇選擇物理和化學(xué)這兩門課程的學(xué)生人數(shù)至多10+8=18人.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，畫出集合運(yùn)算的韋恩圖是解答本題的關(guān)鍵，著重考查

數(shù)形結(jié)合思想，以及分析問題和解答問題的能力.

16.已知全集。=區(qū)，集合A={xeR|0<%,1},8={-1,0,1},則(孰4)。8=()

A.{-1}B.{1}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】C

【分析】

根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，求得24={%|》40或*>1},再結(jié)合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】

由題意，全集U=R,集合A={xeR[O<x〈l},

可得電A={x|x<0或x>l},

又由集合3={-1,0,1},所以&A)CB={-1,0}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的補(bǔ)集與交集概念及運(yùn)算，其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的概念和運(yùn)算方法是解答的關(guān)

鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力.

17.己知集合A/={H-3Wx<4},N={xk2-2x-8W0},則()

A.Mp[N=RB.MDN={H-34X<4}

C.MoN={x|-2<x<4!D.M<JN={x\-2<x<4|

【答案】B

【分析】

先分別求出集合MN,由此能求出MuN,McN.

【詳解】

,/M=^x|-3<x<41,-2x-8<o1={x|-2<x<4}

:.M<JN^{X\-3<X<4}

McN={x|—2Wx<4}

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集和并集運(yùn)算，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知集合4={(工))|)=兀+1,xeR},集合3={(x,y)|y=f,xe/?},則集合ACB的子集個(gè)

數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

因?yàn)橹本€與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知集合的交集有2個(gè)元素，可知其子集共有22=4個(gè).

【詳解】

由題意得，直線y=x+l與拋物線y=f有2個(gè)交點(diǎn)，故ACIB的子集有4個(gè).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，子集的概念，屬于中檔題.

19.己知集合4={0,1,2,3,4},8={幻》=2〃+1,〃64},則AflB等于（）

A.{1,3,5}B.{3}

C.{5,7,9}D.{1,3}

【答案】D

【分析】

首先求得集合B，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可.

【詳解】

由題意可得：3={1,3,5,7,9},則4口8={1,3}.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的表示方法，交集的定義與運(yùn)算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

20.設(shè)4={幻爐-8%+15=0},3={x|or—1=0},若4n8=8,求實(shí)數(shù)〃組成的集合的子集個(gè)數(shù)有

A.2B.3C.4D.8

【答案】D

【分析】

先解方程得集合A,再根據(jù)AnB=8得5uA，最后根據(jù)包含關(guān)系求實(shí)數(shù)”，即得結(jié)果.

【詳解】

A={x|x2-8x4-15=0}={3,5},

因?yàn)锳n8=8,所以BuA,

因此3=0,{3},{5},對應(yīng)實(shí)數(shù)a的值為0,2,,，其組成的集合的子集個(gè)數(shù)有23=8,選D.

35

【點(diǎn)睛】

本題考查集合包含關(guān)系以及集合子集，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

21.已知集合A={x|x-2K0},B={x|log,x<2},則403=

A.(0,2]B.(-oo,2]C.(0,2)D.(-8,4)

【答案】A

【分析】

解一元一次不等式以及對數(shù)不等式得到集合A和3.結(jié)合交集的定義計(jì)算即可.

【詳解】

由題可得集合A=(-8,2],8=(0,4),所以AcB=(0,2],故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了不等式的解法以及交集的運(yùn)算，需注意對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

22.設(shè)常數(shù)a《R,集合A={x|(x-1)(x-a)>0},B={x|x>a-1},若AUB=R,則a的取值范圍為()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

【答案】B

【詳解】

試題分析：當(dāng)砒=：!時(shí)，篇=舞，此時(shí)4_坪=成成立，當(dāng)蝴:￡1時(shí)，/.=闞揶瞰3白灣工，當(dāng)14f康=密

時(shí)，潮7喧：1=>相喧色，即[以耳，當(dāng)謝,《：工時(shí)，盤=久存堿，-咻翎]，當(dāng)漕=密時(shí)，潮一工上謝恒成立，

所以”的取值范圍為卜凝渭j,故選B.

考點(diǎn)：集合的關(guān)系

23.已知M,N都是U的子集，則圖中的陰影部分表示()

A.MUN

B.CU(MUN)

C.(CuM)AN

D.Cu(MClN)

【答案】B

【分析】

觀察圖形可知，圖中非陰影部分所表示的集合是AU8,從而得出圖中陰影部分所表示的集合.

【詳解】

由題意，圖中非陰影部分所表示的集合是AUB，

所以圖中陰影部分所表示的集合為AU8的補(bǔ)集，

即圖中陰影部分所表示的集合為孰(AU8),故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的venn圖的表示及應(yīng)用，其中venn圖既可以表示一個(gè)獨(dú)立的集合，也可以表示集合與

集合之間的關(guān)系，熟記venn圖的含義是解答的關(guān)鍵.

24.己知全集。=1<,集合4={尤［x<—1或x>4},B={%|-2<%<3},那么陰影部分表示的集合為

A.{x|-2<x<4}B.{x|x<3gJtr>4}

C.{x|-2<%<-1}D.{x|-l<x<3}

【答案】D

【分析】

由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為(CuA)cB,求出計(jì)算得到答案

【詳解】

陰影部分表示的集合為(C0A)cB,

A={x|-4}

CUA={x\-1<x<4}

*/B={x|-2<x<3}

.,.(CuA)c3={%[-1<x<3}

故選。

【點(diǎn)睛】

本題上要考查的是韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題

25.已知集合4=卜9-x-2>0},則&A=

A.{x|-l<x<2}B.|x|-l<x<2}

C.{X|X<-1}D{X|X〉2}D.{X|X4-1}U{X|XN2}

【答案】B

【詳解】

分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出V一工一2>0的解集，從而求得集合A,之后根據(jù)集合補(bǔ)集

中元素的特征，求得結(jié)果.

詳解：解不等式f一彳一2>0得x<—1或x>2，

所以A={x|x<-1或x>2},

所以可以求得CRA={X|-1?XV2},故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問題，在解題的過程中，需要明確

一元：次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征，從而求得結(jié)果.

26.設(shè)A、B是非空集合，定義：AXB={X|XGAU3且xeAcB}.

已知A={x|y=,2x—?},B={x|x)l},則AxB等于

A.[0,l]u（2,+oo）B.[0,l）u（2,+oo）C.[0,1]D.[0,2]

【答案】A

【詳解】

求出集合A中的函數(shù)的定義域得到:

2x-x2>0.B|Jx（2-x）>0

x>0x<0

可化為《或<

2—x202-x<0

解得0WxW2,即4={冰）WxW2}=[0,2]

,/8={x|x）l}

AuB=[o,+8）,AcB=（1,2]

則AxB=[04]u(2,+oo)

故選A

27.設(shè)函數(shù)y=j4-x2的定義域A，函數(shù)y=ln(l-x)的定義域?yàn)锽,則AcB=

A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)

【答案】D

【詳解】

由4一％220得一2Wx?2,由i-x>0得x<l,

故AAB={x|—2WxW2}fl{x|x<l}={x|—2Wx<l},選D.

【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.

28.已知集合人={123,4},B={2,4,6,8},則Af]B中元素的個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

由題意可得403={2,4},故4門8中元素的個(gè)數(shù)為2,所以選B.

【名師點(diǎn)睛】集合基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)：

(1)看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題

的前提.

(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解

決.

(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.

29.已知集合q={%€尺|1<%<3},0=1€/?，24},則255。)=

A.[2,3JB.(-2,3]C.[1,2)D.(-00,-2]U[1,+oo)

【答案】B

【詳解】

有由題意可得：&。={工|一2<%<2},

則人偏?！?-2,3].

本題選擇B選項(xiàng).

30.設(shè)集合U={L2,3,4,5,6},A={1,3,5},3={3,4,5},則距（AuB）=

A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

【答案】A

【詳解】

試題分析：因?yàn)锳D3={L3,5}U{3,4,5}={1,3,4,5},所以瘠（ADB）={1,3,4,5}={2,6},選A.

【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查集合的并集、補(bǔ)集，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，集合的基本運(yùn)算是必

考考點(diǎn)，也是考生必定得分的題目之一.

31.已知全集令={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合3={1,3,4,6,7},則集合Ac電5=

A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}

【答案】A

【詳解】

電3={2,5,8},所以Ac，,5={2,5},故選A.

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算.

32.已知集合4={。,刈刀2+;/<1,乂”2},6={（羽刈,區(qū)2,3〈2,乂丁wZ},定義集合

A十3={（芯+.,y+必）I（玉,,）wA（赴,必）e3},則A十8中元素的個(gè)數(shù)為

A.77B.49C.45D.30

【答案】C

【詳解】

因?yàn)榧狭?{（X,y）|x2+y2?l,x,yeZ},所以集合.感中有5個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)，

集合8={。4小區(qū)2,|）歸2//€2}中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形/勰題中的整點(diǎn)，集

合488={（3+*2，乂+>,2）|（.rl,^l）€A,（.v,,）€B}的元素可看作正方形其蹴稿）,中的整點(diǎn)（除去四個(gè)

頂點(diǎn)），即7'著號一埋=媚個(gè).

考點(diǎn)：1.集合的相關(guān)知識，2.新定義題型.

33.設(shè)集合A/={/〃wZ|-3</〃<2},?/={neZ|-1<n<3},則McN=

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】B

【詳解】

試題分析：依題意“={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},,MnN={-1,0,1).

考點(diǎn)：集合的運(yùn)算

34.已知集合P={x|y=Jx+2,xw尺yw/?}，Q={>,|x2+y2=4,xe/?,ye/?},則PcQ=()

A.{-2,1}B.{(-2,0),(1,例C.0D.Q

【答案】D

【分析】

求函數(shù)的定義域求得集合p.求y的范圍求得集合。，由此求得兩個(gè)集合的交集.

【詳解】

由x+220得x之一2,即。=[—對于f+J=4,ye[—2,2],也即Q=[—2,2],所以PcQ=Q.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查兩個(gè)集合的交集，考查函數(shù)的定義域和曲線的坐標(biāo)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.

35.設(shè)/={1,2,3,4,},A與8是/的子集，若Ap|B={l,3},則稱（A,B）為一個(gè)“理想配集”.那么符合此

條件的“理想配集”（規(guī)定（A5）與（8,4）是兩個(gè)不同的“理想配集”的個(gè)數(shù)是（）

A.16B.9C.8D.4

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，子集A和5不可以互換，從子集A分類討論，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【詳解】

由題意，對子集A分類討論：

當(dāng)集合A={1,3},集合5可以是{L2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4中結(jié)果；

當(dāng)集合A={1,2,3},集合8可以是{1,3,4},{1,3},共2種結(jié)果；

當(dāng)集合A={1,3,4},集合3可以是{1,2,3},{1,3},共2種結(jié)果；

當(dāng)集合A={1,2,3,4},集合5可以是{1,3},共1種結(jié)果，

根據(jù)計(jì)數(shù)原理，可得共有4+2+2+1=9種結(jié)果.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合新定義及其應(yīng)用，其中解答正確理解題意，結(jié)合集合子集的概念和計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解答

值解答額關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.

36.已知集合A={（x,y）|x2+V=i,x,ywZ},B={U,y）||x|<3,|y|<3,x,yeZ）,定義集合

A十8={（尤］+%2，乂+%）1（%，%）€4,（工2，%）€8},則A十8中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.77B.49C.45D.30

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，利用數(shù)形結(jié)合表示出集合AB燃后根據(jù)新定義中集合A十5中元素的構(gòu)成，用平面的點(diǎn)表示即可.

【詳解】

因?yàn)榧先?{（乂丫），+丫2=1,兌丫€2},所以集合A中有5個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)（包括

邊界），集合B={（x,y）l|x|43，M43,x,yeZ}中有7*7=49個(gè)元素（即49個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形A6CD中

的整點(diǎn),

集合A十3=｛（%+/,X+%）I（X，M）w4（々,％）eB）的元素可看作正方形EFGH中的整點(diǎn)（除去四

個(gè)頂點(diǎn)），即9x9-4=77個(gè).

二A十8含有77個(gè)元素.

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合表示集合的幾何意義，從而得解.

二、多選題

37.（多選）若非空數(shù)集M滿足任意X,ye",都有x+yeM,x-yeM,則稱M為“優(yōu)集”.已知A,3

是優(yōu)集，則下列命題中正確的是（）

A.4nB是優(yōu)集B.AU8是優(yōu)集

C.若AUB是優(yōu)集，則4口3或8=AD.若AU8是優(yōu)集，則是優(yōu)集

【答案】ACD

【分析】

結(jié)合集合的運(yùn)算，緊扣集合的新定義，逐項(xiàng)推理或舉出反例，即可求解.

【詳解】

對于A中，任取

因?yàn)榧螦,B是優(yōu)集，則x+yeA,x+yeB,則x+yeAplB,

x-yeAx-yeB,則x-yeAnB,所以A正確；

對于B中，取A=[x\x=2k,kwZ},B={x\x=3m,meZ},

則A={x|x=2后或x=3k,k&Z},

令x=3,y=2,則x-y=5eA(JB,所以B不正確；

對于C中，任取xeA,ye8,可得

因?yàn)锳U8是優(yōu)集，則x+yeAUax-ywAUB.

若x+ye8,則x=(x+y)-ye8,此時(shí)Au8：

若x+yeA,則x=(x+y)-yeA,此時(shí)

所以C正確；

對于D中，AU3是優(yōu)集，可得A=則AC|B=A為優(yōu)集；

或8=則=8為優(yōu)集，所以4nB是優(yōu)集，所以D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

解決以集合為背景的新定義問題要抓住兩點(diǎn)：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的

問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用

的集合的性質(zhì)的一些因素.

38.若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“十”滿足：①Va,0eG,a十beG；?3ZGG,對VaeG,

a十/=/十a(chǎn)=a：③m/wG,使VaeG，BbeG,有a十。=/=匕十a(chǎn)；④Va,dceG,

(a十份十c=a十3十c),則稱(G,十)構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對應(yīng)的(G,十)構(gòu)成一個(gè)群的是()

A.集合G為自然數(shù)集，“十”為整數(shù)的加法運(yùn)算

B.集合G為正有理數(shù)集，“十”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算

C.集合G={—1,1,為虛數(shù)單位)，“十”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

D.集合G={0,1,2,3,4,5,6},“十”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)

【答案】BCD

【分析】

根據(jù)新定義，判斷各選項(xiàng)中(G,十)是否滿足題中4個(gè)條件即可得.

【詳解】

A.G=N時(shí)，不滿足③，若/=0,則由1+8=0得人=一1紀(jì)G，若/eN*=N,則在G中設(shè)。>/,由

。+人=/得。=/—a<0eG，所以(N,+)不能構(gòu)成群；

B.G為正有理數(shù)集，①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然leG,對任意aeG，

。十1=。=1十。，③對任意正有理數(shù)”，!也是正有理數(shù)，F(xiàn)l.a?-=l=-?a,即/=1，④有理數(shù)的

aaa

乘數(shù)滿足結(jié)合律，B中可構(gòu)造群；

C.6={-1,1,一，,斗《為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證G中任意兩數(shù)(可相等)的乘積仍然屬于G；②/=1，滿足

任意aeG,有。十1=1十a(chǎn)；③/=1，滿足任意aeG，存在力eG，有a十。=。十a(chǎn)=l，實(shí)質(zhì)上有

-lx(-l)=lxl=/x(-z)=l;④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；

D.G={0,1,2,3,4,5,6),①任意兩個(gè)整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于G，②/=0,滿足對

任意awG，a十/=/十。，③/=1，/=0,0+0=0，1+6=2+5=3+4=7除以7余數(shù)為0；④加

法滿足交換律，乂a+方除以7的余數(shù)等于。除以7的余數(shù)加b除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此

Va,b,ceG,(a十b)十c=a十(b十c),D中可構(gòu)造群;

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的4個(gè)條

件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.

39.設(shè)非空集合SUR.若x,yWS,都有x+?x-y,xy&S,則稱S是封閉集.下列結(jié)論正確的是()

A.有理數(shù)集。是封閉集

B.若S是封閉集，則S一定是無限集

C.S={x|x=a+wZ}一定是封閉集

D.若S，Sz是封閉集，則S2一定是封閉集

【答案】AC

【分析】

直接利用定義性問題和集合的運(yùn)算的應(yīng)用判斷A、8、C、。的結(jié)論.

【詳解】

解：對于A：有理數(shù)集。，相加，相減，相乘還為有理數(shù)，故A正確；

對于8：若5={0},則0±0=0,0x0=0,此時(shí)，故S為封閉集，故8錯(cuò)誤;

對于C:S=S={x|x=a+&eZ},任取a2+\[?.b2eS.

所以q+'flbf+?2+5/2/2,=(a,+a2)+y/2(bt+b2)eS<4+及4—%—及瓦=(q—%)+—%)eS,

(?,+y/2bt)(a,+y/2b2)=(ata2+2b}b2)+夜(a也+bta2)eS.?故C正確;

對于。：若S1,S?是封閉集，設(shè)4，4€號，a2,b2eS2,

則4+〃,q-b^afyeS,,%+b2,a2-b2,a2b2eS2,

但是q+4,4+4不一定屬于SU'，所以不一定是封閉集，故。錯(cuò)誤；

故選：AC.

40.設(shè)4={x|x2-2x-3=0},B={x|ar-l=0},若408=8,則。的取值可以是()

1

A.0B.1C.-1D.-

3

【答案】ACD

【分析】

山408=8可得B=A,求出集合A,討論a=0和。A0，即可得”的值.

【詳解】

A={X|X2-2X-3=0}={X|(X—3)(X+1)=0}={—1,3},

由4口8=8可得8=A,

當(dāng)a=0時(shí)，3=0,滿足所以a=0符合題意；

當(dāng)a#0時(shí)，8={%|公一1=0}=6={1},

由則工=-1或工=3,可得：。=一1或。=',

aa3

綜上所述：實(shí)數(shù)a的值可以為：一1，0,-

3

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用集合子集關(guān)系確定參數(shù)問題，易錯(cuò)點(diǎn)是要注意：0是任何集合的子集，所以要分

集合8=0和集合兩種情況討論，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

41.定義A-B={X|XGA,且A*6=（A-6）D（6-A）叫做集合的對稱差，若集合

21?

A={y|y=x+2,—1Kx<3},yy=-,-<%<B,則以下說法正確的是（）

A.B=[2,10]B.A-3=[l,2）

C.A*B=（1,2]D（5,10]D.A*B=B*A

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷8=[2,10]是否正確;然后先分別計(jì)算A-5.5—A，判斷B選項(xiàng)是否正確，

然后計(jì)算A*3與B*A，判斷D選項(xiàng)是否成立.

【詳解】

21

:A={y[y=x+2,-1<X<3}=[1,5],B=<yy=-,-<%<1>=[2,10],故A正確：

x5

:定義A—8={x|xeA且xe8},

AA-B=[l,2）,B-A=（5,10],故B正確;

A*B=（A-B）u（B-A）=[l,2）o（5,10],故C錯(cuò)誤;

B*A=（B-A）u（A-B）=[l,2）u（5,10],所以A*B=3*A，故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的新定義問題，考查集合間的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.解答時(shí)，根據(jù)題意化筒集合然

后結(jié)合新定義計(jì)算法則計(jì)算即可得出答案.

42.（多選）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出

發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了

無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割，是指將

有理數(shù)集。劃分為兩個(gè)非空的子集M與N,且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個(gè)元素都

小于N中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）

A.M={x\x<0},N={小>0}是一個(gè)戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素

C.M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.〃沒有最大元素，N也沒有最小元素

【答案】BD

【分析】

根據(jù)題意舉出實(shí)例依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】

對選項(xiàng)A,因?yàn)?={x|x<0},N={x|x>0},A/UN={X|X00}HQ,

故A錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)B,設(shè)用={X€。忸<0},N={xeQ|xN0},滿足戴德金分割，

則M中沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0,故B正確；

對選項(xiàng)C,若M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素，

則不能同時(shí)滿足MuN=Q,McN=0,故C錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)D,設(shè)知=卜€(wěn)°卜<&},7V={xee|x>V2},滿足戴德金分割，

此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的新定義，同時(shí)考查學(xué)生分析問題的能力，屬于中檔題.

43.對任意A,BjR,記=APlB},并稱A十B為集合A,B的對稱差.例如,

若人={1,2,3},8={2,3,4},則A38={1,4},下列命題中，為真命題的是()

A.若A,B=R且A十B=B,則A=0

B.若A,BqR且A十3=0,則A=8

C.若4,8=R且A十8=則A=3

D.存在A,B7R,使得A十8=瘵4十RB

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)新定義及交、并、補(bǔ)集運(yùn)算，逐一判斷即可.

【詳解】

解：對于A選項(xiàng)，因?yàn)锳十B=B,所以8={x|xe任AcB},

所以A=目.8中的元素不能出現(xiàn)在A「B中，因此4=0,即選項(xiàng)A正確；

對于8選項(xiàng)，因?yàn)锳十8=0,所以0={x|xeAu6,x史AcB},

即AUB與AC8是相同的，所以A=B，即選項(xiàng)8正確；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)锳十所以{x|xeAcB}qA,

所以即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于O選項(xiàng)，設(shè)A={%,<2},8={x|x>l},則AUB=R，Ac6={x[l<x<2},

所以A十3={xWl或x22},乂AA={x|x22},

（解）u（/）={小W1或北2},（翻）n（*）=o,

所以（寤4）u（涉）={小W1或xN2},

因此A十3=瘵4十RB,即。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查新定義，考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于中檔題.考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，邏輯

推理能力.

44.對任意A,B7R,記A十8={x|xeAU2,xeACB},并稱A十B為集合A,B的對稱差.例如，若A={1,

2,3},8={2,3,4},則4缶8={1,4},下列命題中，為真命題的是（）

A.若A,BGR且4十B=B,則4=0

B.若A,81/?且4十8=0,則A=B

C.若A,BCR且A十則A1B

D.存在A,8NR,使得A十8=4A十

E.存在A,B￡R,使得A十8。6十A

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)新定義判斷.

【詳解】

根據(jù)定義A十8=[(瘵4)nB]U[An(RB)],

A.若A十B=B，則傘4口5=8,Ar\dKB-0,dKAQ5=B=>Sc6KA,Ar\dRB-0^A^B,

AA=0,A正確；

B.若A十B=0,則。AnB=0,Ac?8=0,AC\B=A=B,B正確；

C.若A十8=A,則4408=0,An'8qA,則B=C錯(cuò)；

D.A=B時(shí)，A十8=0,(腕)十(R8)=0=A十8,D正確；

E.由定義，人十3=[(瘵KB)]=B十A,E錯(cuò).

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義，解題關(guān)鍵是新定義的理解，把新定義轉(zhuǎn)化為集合的交并補(bǔ)運(yùn)算.

45.設(shè)集合M={x|(x—a)(x—3)=0},N={x|(x—4)(x—1)=0},則下列說法不正確的是()

A.若MuN有4個(gè)元素，則MPIN#。B.若MnN#0,則MuN有4個(gè)元素

C.若MUN={1,3,4},則MDNJ0D.若MPINJ0,則M|JN={1,3,4}

【答案】ABC

【分析】

首先解方程得到：M={3,“}或M={3},N=壯,4}.針對a分類討論McN,MuN即可.

【詳解】

(1)當(dāng)a=3時(shí)，M={3},MAN=0,MUN={1,3,4}；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，M={1,3},MDN={1},MUN={1,3,4}；

(3)當(dāng)a=4時(shí)，M={3,4},A/nN={4},MUN={l,3,4}：

(4)當(dāng)。工1,3,4時(shí)，M={3,a},MAN=0,MUN={l,3,4,a}；

故A,B,C,不正確，。正確

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交、并運(yùn)算，考查了學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中