高中數(shù)學微：中點弦問題

最新高中數(shù)學精品微專題：中點弦問題

一、常用結論

22

1.橢圓中點弦問題結論（以焦點在X軸的橢圓方程三+與=1（。＞。＞0）為例）

一.b2

（1）如圖，在橢圓C中，E為弦AB的中點，貝1J&OE?女人8=---F；（證明：用點差法）

a

222

（2）注意：若焦點在y軸上的橢圓￡+5=1（4＞。＞0），則QE?心8=-會.

22

2.雙曲線中點弦結論（以焦點在x軸的雙曲線方程匚-'=1為例）

ab

（1）如圖1或圖2,E為弦AB的中點，則左0丁38=勺；

222

（2）注意：若焦點在y軸上的雙曲線當■—0=1,則女。丁左.=二

a'b'b

3.拋物線中點弦結論

（1）在拋物線/=2〃雙〃聲0）中，若直線/與拋物線相交于M、N兩點，點「（與，孔）是弦MN的中點，

弦MN所在的直線/的斜率為A“N，則即：k=&

打

（2）同理可證，在拋物線-=2py（pw0）中，若直線/與拋物線相交于M、N兩點，點「（/，先）是弦MN

的中點，弦MN所在的直線/的斜率為匕“N，則」一.%=加.即：左=且

及MNP

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二、典例【選填+解答題】

1.(2021,云南昆明市?昆明一中高三)己知橢圓0+?=1(?！??！?)的右焦點為尸，離心率乎，過點產(chǎn)

的直線/交橢圓于A8兩點，若AB中點為(U),則直線/的斜率為()

11

A.2B.-2C.--D.—

22

【答案】C

【分析】先根據(jù)已知得到。2=?2,再利用點差法求出直線的斜率.

2222

【詳解】由題得￡=也,；.4c2=2a2」4(4-b)=2a,:.a=2b.設4%,y),B(x2,y2),由題得

a2

-cf^2x,2+?2y,2=a2b2

西+々=2,y+y,=2,所以2,22,。，兩式相減得

b-x2~+a=a-b-

〃(X]+%2)(%-X2)+a“y+%)(X一%)=°，所以2〃(X]-X2)+2a2(y_%)=0，

所以=0,所以1+2左=0,.?.%=—」.

(玉一”2)2

2.【2014年江西卷(理15)]過點”(1,1)作斜率為一,的直線與橢圓C：A+相交于A5,

2a-b-

若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為

【解析】由橢圓中點弦性質(zhì)可得%/=-—=e2—1,則2，故e=注.

a-[0<e<l2

/+丁

3.12013全國卷1理科】己知橢圓E：=l(a>b>0)的右焦點為尸(3,0),過點尸的直線交E于A,B

兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為()

22

廠y二+￡

A.—+—=1B.=1

45363627

o22)

三+21廠u_廠

C.=1D.=1

2718189

【解析】”腦=-與，得與答x(—1)=一耳,

a3-1a

h21

?又9=。之二/一/，解得〃2=%/=18,

a22

22

...橢圓方程為二+二=1,

189

故選D.

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4.（2018全國卷HI第一問）已知斜率為左的直線/與橢圓C：土+2L=1交于A，B兩點,線段的中

43

點為?！?gt;0）.證明：k<——

2

【答案】證明見解析.

2222

【解析】設A（x”x）,8（%,%），則立+&=1，&+&=1,

4343

b23

上述兩式相減，則左03.的8=一彳=一巳.

a4

由題設知二---^=1,———=m,故4?機=——，于是2=-------

m>0

31

由《1m2得0Vme—，故Zv一-.

一+—<122

143

5.（2020年湖北高二期末）如圖，已知橢圓C：，+方=1（“>力>0）,斜率為-1的直線與橢圓C相交于

A,B兩點，平行四邊形。AMB（。為坐標原點）的對角線。M的斜率為'，則橢圓的離心率為______

3

旦

【答案】B

【解析】方法1：設直線45方程為y=-x+〃，設4（和%）,8（%,%），

"22

上+匕=1

由/得：（/+〃）/_2/依+/〃2=0,

y=-x+n

/A2

Ax+x2=__^7，y+%=2〃一（％+/），設

ertb

???Q4MB是平行四邊形，???。麻=a+0月，???1=%+工2，y二乂+為，

.心—_X+%_2〃一（％+%）_2》[2+b2?b21

??“OM~~~~]=a7-----1=-r=—

XX}+x2玉+x2X]+x2Q2〃23

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.c2a2-b22c瓜

??t??e——=,'.

a2a23a3

故選B.

,1

He2_1=__Lrr

2

方法2：(秒殺解)kAB-kOM=---=e-\=>\3,=—.

a?,3

[0<e<1

故選B.

6.【2019—中月考】直線y=4x+m（meR）與橢圓C：二+二=1相交于A,B兩點，設線段AB的中

32

點、為M,則動點M的軌跡方程為（）D

A.y=——+lB.y=——

6”6

C.y=+l（-V3<x<V3）D.y-<x<

2fI

7.已知橢圓2V-+工=l的一條弦的斜率為3,它與直線工=—的交點恰為這條弦的中點M,則M的坐標

75252

為（）

【答案】C

【分析】

由題意知：斜率為3的弦中點M（；,%）,設弦所在直線方程y=3x+6,結合橢圓方程可得5+%2=-b

一即

2

可求人，進而求M的坐標.

【詳解】

由題意，設橢圓與弦的交點為4%，％）,5（*2，）2），AB:y^3x+b,

則將y=3x+b代入橢圓方程，整理得：12/+6法+/—75=0,

△=36廿—48(//—75)>0

b

而X]+%2=1，故6=-2,

2-

AAB:y=3x-2,又知（萬，％）在A3上，則為=一2,

故選：C

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22

8.（2020?四川成都市?成都七中）已知橢圓G:-y+y1=l（a>b>0）的右焦點為F（3,0）,過點F的直線交橢

圓于4B兩點.若AB的中點坐標為（1,-1）,則G的方程為（）

22222222

A.------1---------1D.----------1---------1C?--------1---------1U.-------1-------1

453636272718189

【答案】D

［分析］設A（x?y,）,B（x2,y2），代入橢圓的標準方程,兩式作差可得岫=4■，由K=2，9=c?="一從,

a~a"2

即可求解.

【詳解】設4（九1,乂）,8（%,,%），則%+馬=2,乂+%=-2,烏+與=1,①與+與=1,②

a'b-a-h-

（%+々）（%-W）,（x+，2）（X-%）n.7,X一%入2（%+電）b2y1,0+11

2十72-u,??K--7；7--F，乂氏AB--~~7-7

abAB%—々。（乂+%）Q"3—12

,2i22

:W，又9=c2=/一解得〃=9,/=18,.?.橢圓方程為二+匕=1,

a22189

1VX

9.（2020?黑龍江哈爾濱市?哈師大附中）己知離心率為萬的橢圓與+乒=1（。>。〉0）內(nèi)有個內(nèi)接三角形

ABC,。為坐標原點，邊A6、BC、AC的中點分別為￡>、E、F,直線A6、BC、AC的斜率分別為

111

卻右心且均不為。，若直線8、。區(qū)在斜率之和為1，則彳+短匕=（）

【答案】c

【分析】設出橢圓方程，設出AB,。的坐標，通過點差法轉(zhuǎn)化求解斜率，然后推出結果即可.

C|v2V2

【詳解】由題意可得一=一，所以4從=342,不妨設為乙+二=1.設4（百，y）,8（%,%），C（x3,%），

a243

尤+&.=]迂+互=1,兩式作差得（W-'）（&+'二則轉(zhuǎn)3（必一X）

43'43-344（七一西）

-=一]koD，同理可得—=一7％，7—=一：七￡，所以廠+廠+1=_：（ZQD+《E+女0"）=一：，

L4kAC4kBC4Kk2k3A4

22py

10.（2020?廣東廣州市?執(zhí)信中學）已知橢圓「:0+4=1（。>6>0）的離心率為注，AA3C的三個頂點都

a2b22

在橢圓上，設它的三條邊AB，BC,AC的中點分別為￡>,E，尸，且三條邊所在直線的斜率分別占，

%2，右，且匕，&，&均不為0.。為坐標原點，則（）

A.a2：Z?2=l：2

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B.直線AB與直線0。的斜率之積為-2

C.直線8c與直線0E的斜率之積為-工

2

111

D.若直線O。，0E,OF的斜率之和為1,則1+廠+1的值為-2

欠］k2攵3

【答案】CD

【分析】由題意可得：/=?2設AQ,y),B?，%)?D*o,%).利用點差法即可得出占?&8=-g，

k?，koE=-萬，k^koF=~—?即可判斷?

【詳解】橢圓r：「+4=l(a>b>0)的離心率為正，：.e1

=1——7=—,:.cr—2b1?故A錯；

CTb~2a22

2222

設4(x，M),532，%)?。(工0，%)?工+A-=1'-T+咚=1,兩式相減可得：

abab2

2

''2==?.kfkOD=,同理行L=---，kykOF=--->故8錯，C正確.

%+%2xxa2222

又看+春+看7%+%+%)=-2,

Ty

達三

--------*

\//0-----

二

/C

22

11.(2020?廣東廣州市?執(zhí)信中學)已知直線L與雙曲線.］一［=1(?！?,?！?)相交于4,B兩點，線段

a：b

AB的中點為M,0為坐標原點，若直線L的斜率為左，OM的斜率為女2,且匕&=2,則雙曲線漸近線的

斜率等于()

萬

A.±—B.±2C.±72D.±-

22

【答案】c

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22

=1

2b2

a21，兩式相減可

【詳解】設4（5,凹）,3（工2，%），加（工，?。?，則X+%2=2x,y\+y2=2y,?/<

2.五=1

I//

另一%）x2y=0,：直線L的斜率為

仁（攵尸（）），直線OM的斜率為z2，；?*=一‘?）=勺=2,則2=夜.

-x2xaa

2

12.（2020?四川成都市?成都七中）過點P（l,4）作直線/交雙曲線y2—、r=i于4,3兩點，而P恰為弦AB

的中點，則直線/的斜率為（）.

1

A.----B.-1

16

1

C.—D.1

16

【答案】C

X

y2\

【分析】根據(jù)P為A8的中點，利用點差法，設A（x，y）,8（%,%），由,,兩式相減求解.

1

4

X]+x2__

—?1

2%1+x2=2

【詳解】設A（X，X）,B（9,月），因為P為AB的中點，則，,所以

X+%=4Ji+%=8'

2X\_i

2yF=i

將A、B代入雙曲線產(chǎn)一千=1得，，,,兩式相減得:

y,-y21%+左,乂一%121

—---,9所以上4月=力~~—=—X—=一

整理得：''I，、AD4o14?

弘+必%-%4816

22

13.（2021?全國高二）已知斜率為1的直線/與雙曲線C：廠yl（a>0,b>0）相交于6、。兩點,

屋一爐

且3。的中點為"（1,3）.則。的離心率為（）

D,1

A.2BC.3

-T2

【答案】A

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城

-=

瓦，兩式做差得心丁―一㈤O

【詳解】設8&,%）,。（々,%），＜2-

%

-=

整理得了"],而即°=＞二^=1,玉+々=2,必+%=6,代入有q=3,即

a（玉一%2）（玉+工2）為一工2。

22

C~~Cl~―/日Cc

——z—=3,可得e=-=2.

aa

14.（2020?廣州市天河中學）已知雙曲線E的中心為原點，*3,（））是E的焦點，過尸的直線/與E相交于

A，8兩點，且45的中點為朋（一2,6），則E的方程為（）

A,二上122X2y222

B.工-匕=1C.--一上-=1D.二上=1

45635436

【答案】B

2

【詳解】設雙曲線E的標準方程為3x_z=1,由題意知：c=3,即儲+萬=9①，設A（%,yi）,6a,%）,

2

*y下-

QA8的中點為加卜2,6），.?.玉+々=-4,y+%=26，又「A，5在雙曲線上，則12

%

X2官-

兩式作差得：比式_比4=0,即止卑出

a2b2a2b2

即加=0=粵口=券=一￥^又?./二一:留=-g,

%）-X2a（凹+＞2）2/5a~5axM-xF-2-35

即一名”=一1,解得：=2〃②，由①②解得：/=6,82=3,二雙曲線的標準方程為：蘭―f=I.

5a2563

r2v2

15.（2019?陜西高考模擬）雙曲線二-乜?=1的一條弦被點P（4,2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（）

369

A..x-y-2-QB.2x+y-10=0

C.x-2y=QD.x+2y-8=0

【答案】C

【解析】設弦的兩端點A（々,y）,

8（七，＞,2）＞斜率為k，

貝吟-9匕莖

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兩式相減得a-w）（%+七）=（y-%）（?+匕）,

369

即左=息二&=9（西+&）=?=」

3-七36（y+%）36x42’

二弦所在的直線方程y—2=g（x—4）,即x-2y=0.

故選：C

16.（2020?河南周口市?高三）已知雙曲線無2匕=1上有三個點A，B,C且A5，BC,AC的中點分

8

別為。，E，F(xiàn),用字母攵表示斜率，若*+喂+*=—8（點。為坐標原點，且攵如，kOE，k°F均

111

不為零），則^—+7—+7―~_______?

^AB^BC

【答案】-1

22

2

【詳解】設A（%,y）,網(wǎng)％,%），。（%,%），則%+工2=2/，,+%=2%,xt-^-=l,Xj--=1,

88

兩式相減得/）（內(nèi)+人）=（"+工[,整理可得失?■=四，即:=今，

OZ|Z2g（）KAB0

1k1k111,

同理得nF7—=丁n.P因為左前+攵0￡+%8=-8，所以1+廠+廠=-1

KBC°KAC6KABKBCKAC

22

17.（2020?全國高二課時練習）雙曲線c：=—==l（a>0力>0）的右焦點分別為F,圓M的方程為

ab~

（x—5）2+y2=2〃.若直線/與圓M相切于點P（4,l）,與雙曲線C交于A,B兩點，點P恰好為AB的中點，

則雙曲線c的方程為.

J.2

【答案】--/=1

4■

【詳解】設點A（x,,>',）,3（w，%），直線/的斜率為k,則h月=-1,所以攵=1,2〃=（4-5）2+F=2,

4—5

即心1，則5-4=1，￡￥=1.兩式相減，得』-”石+"2）=3—%）°+%）

a2b2a2b2a2b2

y.-y,h2（x,4-X）8/?24b2x2.

則女="士=寸_?4=—=—=1,即〃=4,所以雙曲線C的方程為匕一>2=].

%一乙〃（y+必）2aa4

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18.（2017?河北衡水中學高考模擬）己知雙曲線的中心在原點且一個焦點為F（g,0）,直線y=x-1與其相

2

交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為則此雙曲線的方程是

22

AEJIB.三-二=1

3443

2〉99

J-JD.二上=1

5225

【答案】D

2*)

【解析】設雙曲線的方程為］y

=l（a>0,b>0），由題意可得儲+從=7,設N（x2,y2）,

a

（252(x,+x)(x,-x)_(y+%)(y-%)

則MN的中點為|一§,一§l,得22

b22b2

z25

2x(-)2x(-°)0n25

33，即—=聲，聯(lián)立片+力2=7,解得er2，〃=5,故所求雙曲線的方程為

ar2b2

22

二-故選D.

25

2

19.已知雙曲線C：5y=13>0,匕〉0）的左焦點為尸（—。,0）,過點F且斜率為1的直線與雙曲線C交

a~

于4B兩點，若線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（2c,0）,則雙曲線C的離心率為（）

A.22.B.垃C.73D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

設線段A8的中點坐標為“（毛,%），根據(jù)4明=1，%.=-1，求出線段A6的中點M坐標，用點差法求

出a,c關系，即可求解

【詳解】設線段A8的中點坐標為（七,%）,

%=1

X.+c

則有《

%=—1

xa-2c

設4（西，%）,6（4,必），代入雙曲線方程有,

222

磐=1,與一與=1兩式相減得,

h2a2h2

第io頁共14頁

（玉一X,）（X|+x）（X-%）（x+%）_1

―2=壬―^=1

可得存一普.1=0,即4=2,b2=3a2.

a~b-a~b

c-2a,e=2.

故選:D.

20.直線/過點尸（1,1）與拋物線丁=4%交于A3兩點，若尸恰為線段A3的中點，則直線/的斜率為（）

11

A.2B.—2C.—D.---

22

【答案】A

【分析】

y=4x

利用點差法，\'2'兩式相減，利用中點坐標求直線的斜率.

1%=4%

【詳解】

設4（石,乂）,6區(qū)3），

V2=4x

'Ll/，兩式相減得才—必仁式玉一七），

%=4%2

即（y+%）（y—%）=4（七一馬），

當玉工超時，（兇+%）上」上=4,

X1-X,

因為點尸（1,1）是A8的中點，所以弘+%=2,2左=4,

解得：k=2

故選：A

21.（2019秋?湖北月考）斜率為％的直線/過拋物線）2=2px（p>0）焦點F,交拋物線于A,8兩點，點P

（xo,州）為A8中點，則領）為（）

A.定值占B.定值p

C.定值2PD.與％有關的值

【分析】設直線方程與拋物線聯(lián)立得縱坐標之和，進而的中點的縱坐標，直接求出ho的值為定值.

【解答】解：顯然直線的斜率不為零，拋物線的焦點（里，0）,

2

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設直線/為：x=w?y+E,且火=」，A(x,y),B(%',y'),

2m

直線與拋物線聯(lián)立得：y2-2pmy-p2=0,y+y'=2p〃?，

所以由題意得：和=竺^———pm,所以6o=」?pw=p,

2m

故選：B.

22.過點。(4,1)作拋物線丁=8x的弦AB,若弦AB恰被Q平分，則AB所在的直線方程為.

解：＞2=8X,y2=2mx,772=4.

由％".%=加得：kAB=4-

.?.AB所在的直線方程為y-l=4(x-4),即4x-y-15=0.

23.設6乙為拋物線x?=y的弦，如果這條弦的垂直平分線/的方程為y=—x+3,求弦所在的直

線方程.

解：x2=y,x2=2my,m=-^.弦片鳥所在直線的斜率為1.設弦公P2的中點坐標為(/，打)?由

1，曰1

-----xh=m得：=—.

kPP°2

r\*2

弦4g的中點也在直線y=—x+3上，凡=-g+3=g.弦耳g的中點坐標為(31).

.?.弦々8所在的直線方程為y—|=l-(x—g),即x—y+2=0.

24.AABC的三個頂點都在拋物線氏y2=2x上，其中4(2,2),AABC的重心G是拋物線E的焦點，則

BC邊所在直線的方程為.

【答案】4x+4y+5=0

【分析】

設B(x")"