空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 同步練習(xí)-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算-【新教材】人教A版(2019)

高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)(含解析)

一、單選題

1.已知向量為=(1,2,2)石=(-2,1,1)，則向量了在向量方上的投影數(shù)量為()

A.1B.-C.-D.在

323

2,在四棱錐S—2BCD中，底面ABC。是直角梯形，且NZ8C=90。，SA1平面ABCD,

SA=AB=BC=2AD=1,則SC與平面ABC。所成角的余弦值為()

A.漁B.-C.如D.更

3232

3,長(zhǎng)方體&44344-B1B28384的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2,則集合={x|x=

瓦瓦?硒,ie{1,2,3,4},jE{1,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

4.設(shè)x,yGR,向量1=Q,l,1),3=(lj,l),c=(2,—4,2)且Ni石,石〃高則|五+4|=

()

A.2V2B.3C.V10D.4

5.三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2,/.BAD=90°,ABAC=60°,則荏?麗等

于()

A.2B.-2C.-2V3D.2V3

6.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-41B1GA中，向量西與向量前所成的角為()

A.60°B,150°C.90°

7.如圖，在平行六面體48一A】Bi6%中，AB=1,AD

1,AAr=1,/.BAD=90°,^BAA1=^DAAr=60°,

線段AC1的長(zhǎng)為()

A.5

B.3

C.V5

D.V3

8.若Z=(2,3,—1)，b=(2,0,3)，c=(0,2,2)，則iG+U)的值為()

A.(4,6,-5)B.5C.7D.36

二、多選題

9.已知點(diǎn)尸是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果荏=(2,-1,—4)，AD=

(4,2,0),9=(一1,2,-1)下列結(jié)論正確的有()

A.B.

C.都是平面ABC。的一個(gè)法向量D.AP//BD

10.設(shè)優(yōu)另為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有()

A.片=|五『=|

C.(a'b)2=a2-I)2D.(五—fe)2=a2—2a-b+b

三、填空題

11.已知空間向量〃=(l,n,2),b=(-2,1,2),若2五-石與石垂直,則|方|=

12.空間向量方=(2,3,—2),b=如果w11，貝川同=

13.已知胃=(-2,l,l),b=(-1,1,-1)-則不在石上的投影為

14.已知向量方=(1,1,1),b=(-1,0,2),且上方+3與2N一方互相垂直，則k=

15.已知向量8=(5,3,1),3=(—2/,—|),若方與石的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)I的取值范

圍為?

16.已知空間向量之=(2，—1,1)/=(1,1,2)，則之+b=；向量熱與力的夾角

為.

五、解答題

17.已知向量3=(1,-3,2),b=(-2,1,1).

(1)求|2五+孫

(2)求力在另方向上的投影.

18.已知空間中三點(diǎn)4(2,0,-2),5(1,-1,-2),C(3,0,-4),設(shè)有=屈,b=AC

(1)若|可=3,Sx//BC,求向量己

(2)已知向量k五+3與3互相垂直，求左的值;

(3)求的面積.

19.如圖所示,三棱柱ABC—A/iCi中，M,N分別是上的點(diǎn)，且BM=2A1M,

GN=2B】N.設(shè)希=a,AC=b，AA^=c.

(1)試用區(qū)石,不表示向量標(biāo);

(2)若NB4C=90°,Z.BAA1=^CAA1=60°,AB=AC=AAr=1,求AW的長(zhǎng).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了向量投影公式，屬于基礎(chǔ)題.

利用向量3在向量五上的投影數(shù)量=萼即可求解.

【解答】

解：向量方在向量五上的投影數(shù)量=萼==2,

\a\Vl2+22+223

?響量另在向量五上的投影數(shù)量為|.

故選B.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了求線與面的夾角問(wèn)題，考查向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積，屬于中檔題.

而是平面ABC。的法向量，用而，BA,在表示在，然后直接求解而?衣以及刀和衣的

模長(zhǎng)，然后代入向量夾角計(jì)算公式解出衣和衣的夾角即可得解.

【解答】

解：由題意知衣是平面ABCD的法向量，設(shè)在，衣的夾角為9，

?.?在=屈+就+公，...衣?衣=裙須+^1+衣)=本?赤+本屈+衣2=1，

又|前1=1，|在|=J(CB+BA+AS)2=V3-

灰衣_V3

???cos(p=

函|函一3

??.SC與平面ABC。所成角的余弦值噂

故選A.

3.【答案】C

【解析】解：?.?長(zhǎng)方體41424344-B1B2B3B4的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2,

,.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則4式1』,0),A2(0,l,0),43(0,0,0),A4QO,0)，

2),B2(0,l,2),/(O,。，2),BO。，2),

則兀瓦=(-1,0，2),

與W瓦=(0,0,2)相等的向量為五瓦=瓦瓦=五瓦，

此時(shí)瓦瓦?4/1=2x2=4,

與五瓦=(0,—1,2)相等的向量為瓦瓦，止匕時(shí)不瓦-

ArB4=2x2=4，

與五瓦=(0,1，2)相等的向量為用瓦此時(shí)瓦瓦.

=2x2=4,

與瓦瓦=(1,0，2)相等的向量為田瓦，此時(shí)4瓦?瓦瓦=—1+4=3，

與瓦瓦=(—1,0,2)相等的向量為灰瓦，此時(shí)瓦瓦?瓦瓦=1+4=5，

體對(duì)角線向量為不瓦=(-1,-1,2)，此時(shí)瓦瓦?瓦瓦=1+4=5，

=(1,-1,2),A^2,A2B4=—1+4=3,

&Bi=(1J,2),ArB2-X3BI=-1+4=3

A4B2=(-1,1-2),4聞出良=1+4=5,

綜上集合="|%=不瓦?硒,ie{l,2,3,4},j6{1,2,3,4}={3,4,5),集合中

元素的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選：C.

建立空間坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

本題主要考查集合元素的計(jì)算，建立空間坐標(biāo)系，求出空間向量數(shù)量積是解決本題的關(guān)

鍵.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間向量垂直和平行的坐標(biāo)運(yùn)算，以及空間向量的模的計(jì)算，屬于較易題.

根據(jù)空間向量垂直和平行的坐標(biāo)運(yùn)算解得X,y,可得五=(1,1,1),b=(1,-2,1)，解得1+

b=(2,—1,2),再由模長(zhǎng)公式求解.

【解答】

解：a=(x,1,1),/?=(l,y,l),c=(2,-4,2);

fx+y+1=0

因?yàn)槲錩L瓦石〃3則工=工，

(2--4

解得

所以］=(1,1,1),b=(1,—2,1)，

則五+B=(2,—1,2)，

所以|五+3|=3.

故選艮

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的加減運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

將麗化為血-萬(wàn)，再利用數(shù)量積公式即可求解.

【解答】

解：由已知得麗?前=2x2x|=2,而?同=0,

因?yàn)槎?而一前，

所以荏-CD=AB-(AD-ZC)

=AB-AD-AB-AC=-2.

故選B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查向量夾角的相關(guān)知識(shí)，向量夾角除可用數(shù)量積計(jì)算之外，也可借助向量所

在直線所成的角求解，屬于基礎(chǔ)題.

建立空間直角坐標(biāo)系，表示西，而，再用數(shù)量及求解即可.

【解答】

解:根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)，DA，DC，西為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則Z(a,O,0),B{a,a,0),0),Ar(a,0,a),

故瓦仁=(0,—a,a),^AC=(—a,a,0),

則cos<~BAl，AC>=部阪==—5

又向量夾角取值范圍[0°,180°],

所以兩，前的夾角為120。.

故選D

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的基本定理及應(yīng)用和空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律.

利用空間向量的基本定理和數(shù)量積計(jì)算得結(jié)論.

【解答】

解：在平行六面體4BCD中，AB=1,AD=1,AAr=1,4BAD=90°,

Z.BAA1=Z.DAA1=60°,

,**AC^=AB+BC+CC］，

>2>>>^

i2

ACr={AB+BC+CQ)

----->2----->2------>2----->----->----->------>------>----->

=AB+BC+CQ+2-BC+2-CQ+2CQ-BC

i1

=l+l+l+0+2xlxlx-+2xlxlx-=5,

22

|ZQI=Vs.

故選c.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量加減及數(shù)量積計(jì)算，先算加法，后算數(shù)量積即可.

【解答】

解：b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5)，

a.(b+c)=2x2+2x3+(―1)x5=5.

故選艮

9.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查空間向量平行(共線)和垂直的坐標(biāo)表示、平面的法向量，屬于基礎(chǔ)題.

利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判定4BC,再由空間向量共線定理判定D.

【解答】

解：因?yàn)辄c(diǎn)J^=2x(—l)+(—l)x2+(-4)x(-l)=O，

所以血血，故A正確，

同理點(diǎn)#=4x(-l)+2x2+0x(-l)=0，可得彳瓦彳方，故2正確，

由選項(xiàng)A,2可知，都是平面ABC。的一個(gè)法向量，故C正確，

因?yàn)榍癆D(2.3.1),所以而力4而，故。錯(cuò)誤.

故答案為4BC.

10.【答案】AD

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的模以及數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

由空間向量模的定義以及數(shù)量積的運(yùn)算可直接得到答案.

【解答】

解：設(shè)向量落3的夾角為。，

對(duì)于Aa2=\a\2,正確；

對(duì)于8,萼=喀亞，顯然萼=目不成立，故錯(cuò)誤；

a\a\aa

對(duì)于C(a-K)2=a2-b>2cos20j故錯(cuò)誤；

對(duì)于。，(a—b)2=a2-2a-b+fo2?正確，

故選AD.

11.【答案】乎

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

由若21一石與另垂直，所以(21_1)?另=2日?另一12=0,得?i=|,再求模即可.

【解答】

解：,??若2方與石垂直，

???(2a-K)-K=2a-b-b2=0-

???空間向量五=(l,n,2),b=(-2,1,2)-

一--2

a-b=-2+n+4=n+2,b=4+1+4=

2(zi+2)—9=0,得7i——,

???a=(1.|,2),

?,?同=Jl+5+4=第，

故答案為延.

2

12.【答案】3

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的垂直的判斷，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)14=0先求出機(jī)的值，再代入即可計(jì)算131.

【解答】

解：?向量N=(2,3,-2),b=(2,—m,—1),_@.a1b>

???a?K=0>

???2x2—3m+2=0,解得m=2,

?**b=(2,—2,—1)，

\b\=02+(-2)2+(-1)2=3.

故答案為3.

13.【答案】2

3

【解析】

【分析】

本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.

求出五不，|五|,\b\,計(jì)算夾角的余弦，代入投影公式即可.

【解答】

解：方?另=2,|a|=V5,\b\=V3，cos<a,b>=

?，?五在另上的投影是|a|cos<a,b>=V5x3胃=誓.

故答案為這.

3

14.【答案】|

【解析】

【分析】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意先求得+%與江-涕勺坐標(biāo)，進(jìn)而可得3(k-l)+2k=0,從而即可求得結(jié)

果.

【解答】

解：ka+b=Ck-l,k,k+2\2a-b=(3,2,0)，

ka+b與2之—b互相垂直，

(ka+K)-(2a-h)=0即3(k—1)+2k=0,

解得k=|.

故答案為，

….6、,652、

15.【答案】(-3C,--)U—)

5515

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積以及夾角，屬中檔題.

根據(jù)方與石的夾角為鈍角，得五萬(wàn)＜0，當(dāng)為與石的夾角為180。，則存在4＜0,使N

0)＞從而求解.

【解答】

解：由已知得方?b=5x(-2)+3t+lx(--)=3t——,

因?yàn)槲迮c另的夾角為鈍角，所以五不V0，

即3t—胃＜0,所以tV

若五與另的夾角為180。，則存在AV0,使五=49(4V0),

即(5,3,1)=2(—2/,—|),

(5=-2A,

所以|3=仇

I1=-'

所以t=-g,

故f的取值范圍是

5515

16.【答案】3V2

60°

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的模以及利用空間向量數(shù)量積求夾角，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)空間向量模的計(jì)算公式以及空間向量數(shù)量積求夾角即可求解.

【解答】

解:由之==(1,1,2)，則2+7=(3,0,3)，

TT_______________

所以a+匕=V32+02+32=3V2,

,一ab2xl+(-l)xl+lx21

cos〈風(fēng)坊=麗=帚百再幣=5'

又向量夾角的取值范圍為[0,7T],

所以向量：與。的夾角為60。.

故答案為：3立;60°.

17.【答案】解：(1)由已知2五+1=(2,—6,4)+(—2,1，1)=(0,-5,5),

故|2N+片=Z+(_5)2+52=5V2;

(2)因?yàn)榱?1=|^|x幽

in下?了一2—3+2-3質(zhì)

所以心在加上的投影為a|g°=

vz4+1+1―春一》-

【解析】本題考查空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模以及向量的投影,屬中檔題.

(1)由已知23+3=(2,—6,4)+(—2,1，1)=(0,-5,5),求模；

(2)因?yàn)镽?了x|T”求/得到有在石上的投影.

18.【答案】解：⑴較(2,1,-2)，由于W/7前,故可設(shè)5=(2n,n,-2n),

故|/1=V4n2+n2+4n2=3向=3,

解得n=±1，

故工為(2,1,-2)或(-2,-1,2)；

2了=XB=(-1,-1,()),石=A?=(1.().-2),

kH+b=(1—k,-k,-2),

由于kW+B與石垂直，(k方+方)不=0，

則1—k+4=0,k=5；

⑶依題意ASV2,A?娓,DC3,

故由余弦定理得cosA=表|親=—盍，▲C(0,7r),

所以sin/=V1—cos2i4=犯生，

io

故三角形面積為l.|A3||AC|sin4=ix5/2xv/5x啦=-.

22102

【解析】本題考查空間向量的平行，垂直及坐標(biāo)運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積和夾角，三角

形的面積公式等.

(1)推