華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(八)化斜為直解三角形的常見類型練課件

九年級上冊

數(shù)學(xué)華東師大版專項(xiàng)素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(八)化斜為直解三角形的常見類型(練模型)類型一分割構(gòu)造直角三角形(一)背靠背型1.(2023西藏中考,25,★☆☆)如圖,輪船甲和輪船乙同時離開海港O,輪船甲沿北

偏東60°方向航行,輪船乙沿東南方向航行,2小時后,輪船甲到達(dá)A處,輪船乙到達(dá)

B處,此時輪船甲正好在輪船乙的正北方向.已知輪船甲的速度為每小時25海里,

求輪船乙的速度.(結(jié)果保留根號)

對應(yīng)目標(biāo)編號M9124006

解析如圖,過O作OD⊥AB于D,在Rt△AOD中,∠AOD=90°-60°=30°,OA=25×2=50(海里),∴OD=OA·cos30°=50×

=25

(海里),在Rt△ODB中,∠DOB=45°,∴OB=

OD=25

×

=25

(海里),∴輪船乙的速度為

海里/小時.2.(2023內(nèi)蒙古呼和浩特中考,18,★☆☆)如圖所示,小明上學(xué)途中要經(jīng)過A,B兩

地,由于A,B兩地之間有一片草坪,所以需要走路線AC,CB.小明想知道A,B兩地

間的距離,測得AC=50m,∠A=45°,∠B=40°,請幫小明求出A、B兩地間的距離.

(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可)

解析過C作CH⊥AB于H,如圖,在Rt△ACH中,∠A=45°,AC=50m,∴AH=CH=AC·cosA=50×

=25

(m),在Rt△BCH中,∠B=40°,CH=25

m,∴BH=

=

m,∴AB=AH+BH=

m,∴A、B兩地間的距離為

m.(二)母子型3.(2023湖南張家界中考,20,★☆☆)“游張家界山水,逛七十二奇樓”成為今年

旅游新特色.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓AB的高度,測量方案如圖,先將

無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn),測得奇樓頂端A的俯角為15°,再將無

人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q,測得奇樓底端B的俯角為45°,求奇樓AB的

高度.(結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)

對應(yīng)目標(biāo)編號M9124006

解析如圖,延長BA交PQ的延長線于C,則∠ACQ=90°,由題意得BC=225m,PQ=200m,在Rt△BCQ中,∠BQC=45°,∴CQ=BC=225m,∴

PC=PQ+CQ=425m,在Rt△PCA中,∴AC=tan∠APC·PC≈0.27×425=114.75(m),

∴AB=BC-AC=225-114.75=110.25≈110(m),故奇樓AB的高度約為110m.4.(2024山東青島二模,18,★★☆)為了響應(yīng)國家“雙減”政策,適當(dāng)改變作業(yè)的

方式,某校內(nèi)數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測量探究活動.如圖,大樓的頂部豎有一塊

廣告牌CD,同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°,沿坡面AB

向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1∶

,AB=12米,AE=27米,求廣告牌CD的高度.

測角器的高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):

≈1.41,

≈1.73,sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°

≈

解析如圖,過點(diǎn)B作BM⊥AE,BN⊥CE,垂足分別為M,N,

∵i=1∶

=

=

=tan∠BAM,∴∠BAM=30°,∴AM=

AB=6

米,∴ME=AM+AE=(6

+27)米,∵∠CBN=45°,∴CN=BN=ME=(6

+27)米,∴CE=CN+NE=(6

+33)米,在Rt△ADE中,∠DAE=53°,AE=27米,∴DE=AE·tan53°≈27×

=36(米),∴CD=CE-DE=6

+33-36=6

-3≈10.38-3≈7.4(米),故廣告牌CD的高約為7.4米.類型二填補(bǔ)構(gòu)造直角三角形5.(2023陜西師大附中期末,23,★★☆)如圖,小明家對面有一個山坡,一根電線桿

PQ直立在山坡上,小明想用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識測量電線桿的高度,設(shè)計(jì)了如下方

案:小明在家門口小廣場點(diǎn)A處,利用測傾器測得電線桿頂端點(diǎn)P的仰角∠PCE=45°,從點(diǎn)A朝著CE方向走8米到達(dá)B點(diǎn),測得電線桿頂端點(diǎn)P的仰角∠PDE=60°,電

線桿底端點(diǎn)Q的仰角∠QDE=30°,計(jì)算電線桿PQ的高度(已知:測傾器的高度AC=

BD,AC⊥AB,BD⊥AB,PQ⊥AB,結(jié)果保留根號).

解析如圖,作DH⊥PQ交PQ的延長線于H,設(shè)PQ=x米,∵∠PDE=60°,∠EDQ=30°,∴∠PDQ=∠PDE-∠EDQ=60°-30°=30°,∠DPQ=90°-∠PDE=90°-60°=30°,∴∠DPQ=∠PDQ,∴DQ=PQ=x米,∴QH=

DQ=

x(米),∴P