矩陣分析 課件 3.2 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

3.1Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的定義定義3.7形如的方陣叫作階Jordan塊。特別的，一階方陣叫作一階Jordan塊。定義3.8由若干個Jordan塊組成的分塊對角矩陣其中為階Jordan塊，時，這個矩陣叫作n階Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，記為

J或當(dāng)定理3.8如果任意若不計

J中的Jordan塊的排列順序，則

J由A唯一確定。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，則Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J的對角元素就是

A的特征值。對角矩陣也是一個Jordan矩陣，它的每個Jordan塊是一階的。Jordan矩陣特征值恰是對角線元素，對角線上方的次對角線的的元素可能為1或0。在Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J中，不同Jordan塊的對角元素Jordan塊本身就是一個Jordan矩陣?？赡芟嗤部赡懿煌?。因為相似矩陣有相同的特征值，因此，若矩陣

A與一個都與一個Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，（ⅰ）特征向量法2、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計算Step1求特征值及其代數(shù)重數(shù)，Step2對每個特征值，確定其對應(yīng)的Jordan塊。是

A的單特征值，則只對應(yīng)一個一階Jordan塊如果是

A的重特征值，計算的幾何重數(shù)則共對應(yīng)個以的Jordan塊，這些Jordan塊的階數(shù)Step3A的所有特征值對應(yīng)的所有Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣設(shè)

A的互不相同的特征值為

代數(shù)重數(shù)指特征值的重數(shù)如果之和等于即為

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

幾何重數(shù)指特征值對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)幾何重數(shù)小于等于代數(shù)重數(shù)。為對角元素例3.4如果求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（1）解

可求得

A特征值為特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量故

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（2）A的特征值為由可知以為特征值的Jordan塊有階數(shù)之和為3。注：當(dāng)矩陣

A的某一特征值重數(shù)較高時，對應(yīng)的Jordan塊的解個，這兩個Jordan塊中，一個一階塊，一個二階塊，故階數(shù)可能無法確定。例3.4如果求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（ⅱ）初等變換法Step1

求出的全部初等因子為Step2對每個初等因子，確定其對應(yīng)的Jordan塊

Step3

A的所有初等因子對應(yīng)的所有Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣注：上述Step1中，可能有相同的。且當(dāng)任意一個

n階復(fù)矩陣

A可以對角化的充分必要條件為的初等因子全是一次的。即為

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。時，例3.5求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（1）解初等因子為則

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（2）因此的初等因子為所以

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解例3.5求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（ⅲ）行列式因子法求

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。Step1

求的

n個行列式因子Step2

根據(jù)定理3.4推論，求的不變因子；Step3

求

A的全部初等因子和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。行列式因子法是利用行列式因子與初等因子的關(guān)系例3.6求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：解選取計算得的一個三階子式由于，所以從而于是

A的不變因子為即

A的初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（1）例3.6求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（2）解不變因子為初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為A的行列式因子為3、相似變換矩陣

A與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，即存在一個可逆矩陣

P，那么如何求矩陣

P呢？通過求解線性方程組就可以求出

P.Step1

將

P按列分塊寫成，則有Step2

由于J的對角線元素為

A的特征值，對角線上方平行線可化為如下方程組的形式：即其中或1Step3

依次求解這些方程即可求得使得上元素為0或1，因此例3.7求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J，并求出可逆矩陣

P，解可求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為令，由可得即分別求解三個方程可得，可選取所以，使得例3.8求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J，并求出可逆矩陣

P，使得解可求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為令，由可得即即為特征值的兩個線性無關(guān)的特征向量，的通解為若令，方程無解。若令，方程依然無解。由于方程組設(shè)再代入由可知時方程有解。不妨取，即可求得的解為可取，故所用的相似變換矩陣為注：從例3.7和例3.8可知，相似變換

P不是唯一的。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪設(shè)其中則計算的關(guān)鍵是計算定理3.9階Jordan塊的

k次冪，其中多項式特別的，當(dāng)為2階Jordan塊時，設(shè)多項式，則當(dāng)為3階Jordan塊時，由定理3.9，例3.9已知