專題4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）-新高一《數(shù)學(xué)》初升高銜接考點必殺50題（人教A版2019）解析版

第第頁專題4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）一、單選題1．已知定義域為的函數(shù)在上有1和3兩個零點，且與都是偶函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（

）A．404 B．804 C．806 D．402【答案】A【分析】根據(jù)兩個偶函數(shù)得的對稱軸，由此得函數(shù)的周期，10是其一個周期，由周期性可得零點個數(shù)．【詳解】因為與都為偶函數(shù)，所以，，所以圖象關(guān)于，軸對稱，所以為周期函數(shù)，且，所以將劃分為.而共201組，所以，在中，含有零點，共2個，所以一共有404個零點.故選：A.2．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.考點：本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)鍵.3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有6個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)的圖象，將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點的個數(shù)，再利用一元二次函數(shù)根的分布即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象如下：若方程有6個不同的實數(shù)根，令，結(jié)合圖象可知與函數(shù)的圖象有三個交點，則；等價于關(guān)于的一元二次方程在上有兩個不同的實數(shù)根，所以需滿足，解得，即的取值范圍是.故選：C4．某企業(yè)為了響應(yīng)落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備．在過濾過程中，污染物含量M（單位：mg/L）與時間t（單位：h）之間的關(guān)系為（其中，k是正常數(shù)）．已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉的污染物，則過濾掉的污染物需要的時間約為（結(jié)果精確到0.1h，參考數(shù)據(jù)：）（

）A．3.0h B．3.3h C．6.0h D．6.6h【答案】B【分析】由題意可得，進而得，利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系可得，再用換底公式結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可知，所以，設(shè)過濾的污染物需要的時間為，則，所以，所以.故選：B.5．已知函數(shù)，如果關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：方程的解的個數(shù)就是函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù)，作出函數(shù)的圖象，當(dāng)時，且為減函數(shù)，當(dāng)時，，在上，函數(shù)遞減，在上，函數(shù)遞增，原點顯然是它們的一個交點，如果，則是開口向下的拋物線，與只能還有一個交點，不符題意，當(dāng)然顯然不符題意，在時，除原點是交點外，在一定有一個交點，那么由題意在上，兩函數(shù)圖象也有兩交點，此時方程為，即方程有兩個不同的實解，整理得，，（舍去），記，，，又的對稱軸為，所以在上有兩個不等實根．綜上，的范圍是．故選A．考點：方程根的分布，數(shù)形結(jié)合思想．【名師點睛】在很多情況下我們對于一些比較復(fù)雜的方程不能使用常規(guī)的方法去解，也不能使用求根公式，以至于無法求解，那么我們采用數(shù)形結(jié)合思想，將方程的跟轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的交點，通過作圖可以很好的解答出來．本題通過圖像我們可以清楚的看出k在什么范圍內(nèi)兩個函數(shù)它們交點的個數(shù)，從而大大的簡化了我們做題，提高了做題的效率．二、多選題6．已知函數(shù)和的零點分別是和，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的零點、函數(shù)圖象的對稱性化簡已知條件，結(jié)合圖象、零點存在性定理、不等式的性質(zhì)等知識求得正確答案.【詳解】由得；由得，和的圖象關(guān)于直線對稱，直線和直線垂直，也即直線的圖象關(guān)于對稱.由解得，設(shè).設(shè)直線與的圖象交于點，①，設(shè)直線與的圖象交于點，②，則，A選項正確.，而①-②得，對于函數(shù)，在上遞增，，所以，所以，B選項正確.對于函數(shù)，在上遞增，，所以，所以，C選項錯誤.，則，所以，對于和，兩者分別平方得，所以.而，，D選項正確.故選：ABD【點睛】本題解題的突破口在于數(shù)形結(jié)合的思想方法，首先要注意觀察題目所給已知條件間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化后畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析對稱性、零點等，從而達到解題的目標(biāo).7．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個實根，則的取值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】BD【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象如下，故當(dāng)或時，有兩個實根.故選：BD.8．（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為y＝x【答案】BD【分析】根據(jù)圖表逐項判斷即可【詳解】在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD9．如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量與凈化時間（月）的近似函數(shù)關(guān)系：的圖象．以下說法正確的有（）A．每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等.B．第4個月時，剩留量就會低于.C．污染物每月的衰減率為.D．當(dāng)剩留時，所經(jīng)過的時間分別是，則.【答案】BC【分析】由于y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的圖象經(jīng)過點（2，），所以＝a2，從而可求得，然后根據(jù)解析式逐個分析判斷即可【詳解】解：∵y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的圖象經(jīng)過點（2，），∴＝a2，∴a＝，即．故1月到2月，減少的有害物質(zhì)質(zhì)量為，2月到3月，減少的有害物質(zhì)質(zhì)量為，故每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等是錯誤的，即A錯，當(dāng)t＝4時，有害物質(zhì)的剩留量，故B正確，污染物每月的衰減率為，故C正確，當(dāng)剩留時，所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則，，，則，，，則t1+t2＝t3，故D錯，故選：BC．10．下列選項正確的是（

）A．若的定義域為，則的定義域為B．函數(shù)的值域為C．的值域為D．已知，若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ABC【分析】由求得的范圍可判斷A；令，原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域即可判斷B；將函數(shù)變形利用基本不等式求最值可判斷C；將去絕對值得分段函數(shù)，作出與的圖象，數(shù)形結(jié)合求得的范圍可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：因為的定義域為，所以，解得：，所以的定義域為，故選項A正確；對于B：，可得，所以，所以函數(shù)的值域為，故選項B正確；對于C：因為，所以，所以，所以的值域為，故選項C正確；對于D：，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示：由可得，所以，解得：，當(dāng)直線過點時，，可得，所以若函數(shù)與的圖象有三個交點，則，所以方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是，故選項D不正確；故選：ABC.三、填空題11．已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，，，且，，則實數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)含有絕對值函數(shù)的圖象的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列不等式且，解不等式即得的取值范圍.【詳解】函數(shù)如圖所示，由于的圖象關(guān)于對稱，由，所以可得，又，所以，因此，故，且，解得.故答案為：.12．定義：如果在函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，滿足f(x0)＝，則稱函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(0,2)【分析】設(shè)x0為均值點，由已知可得：關(guān)于x0的方程＝f(x0)有實數(shù)根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，結(jié)合題意列不等式可得：－1＜m－1＜1，問題得解.【詳解】因為函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，設(shè)x0為均值點，所以＝m＝f(x0)，即關(guān)于x0的方程－＋mx0＋1＝m在(－1,1)內(nèi)有實數(shù)根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以實數(shù)m的取值范圍是(0,2)．.【點睛】本題主要考查了新概念知識的理解及方程思思，還考查了轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于難題．13．已知函數(shù)，若方程有3個實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有3個交點，根據(jù)分段函數(shù)解析式確定的區(qū)間性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點情況，進而求k的范圍.【詳解】由題意，方程有3個實數(shù)根，即為與有3個交點，由的解析式知：當(dāng)時，；當(dāng)時，對稱軸為且；圖象如下圖示：∴當(dāng)且僅當(dāng)時，與有3個交點，即有3個實根.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法確定參數(shù)的范圍.14．已知函數(shù)，若有兩個零點，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個零點得出的范圍，再根據(jù)單調(diào)性求出范圍，取交集可得答案.【詳解】因為有兩個零點，所以，解得或；因為在上單調(diào)遞增，所以；綜上可得實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.15．已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為有一個零點，有兩個零點，結(jié)合零點分布分析運算．【詳解】根據(jù)題意得：有一個零點，有兩個零點若有一個零點，則當(dāng)時，有兩個零點則可得，得故答案為：．四、解答題16．首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？【答案】(1)400噸；(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.【分析】（1）由題設(shè)平均每噸二氧化碳的處理成本為，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.（2）根據(jù)獲利，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼額度.【詳解】（1）由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為；當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故該當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.（2）不獲利，設(shè)該單位每個月獲利為S元，則，因為，則，故該當(dāng)單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.17．已知函數(shù).（1）若，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知且，，求證：方程在區(qū)間上有實數(shù)根.【答案】⑴見解析;⑵;⑶見解析.【詳解】試題分析：（1）利用判別式定二次函數(shù)的零點個數(shù)：（2）零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)問題，利用判別式處理即可；（3）方程在區(qū)間上有實數(shù)根，即有零點，結(jié)合零點存在定理可以證明.試題解析：⑴,當(dāng)時，，函數(shù)有一個零點；當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點⑵已知，則對于恒成立,即恒成立；所以,從而解得.⑶設(shè)，則,在區(qū)間上有實數(shù)根，即方程在區(qū)間上有實數(shù)根.點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．18．惠州市某商店銷售某海鮮，經(jīng)理統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如下圖所示.該海鮮每天進貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價處理，削價處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店該海鮮每天的進貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤為元.（1）求商店日利潤關(guān)于日需求量的函數(shù)表達式.（2）根據(jù)頻率分布直方圖，①估計這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù).②假設(shè)用事件發(fā)生的頻率估計概率，請估計日利潤不少于620元的概率.【答案】（1）（2）①15.32公斤②0.4【解析】（1）根據(jù)條件列分段函數(shù)關(guān)系式，即得結(jié)果；（2）①根據(jù)組中值求平均數(shù)，②先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定日利潤不少于620元對應(yīng)區(qū)間，再求對應(yīng)區(qū)間概率.【詳解】（1）當(dāng)時當(dāng)時所求函數(shù)表達式為：．（2）①由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；這50天商店銷售該海鮮日需求量的平均數(shù)為：（公斤）②當(dāng)時，，由此可令，得所以估計日利潤不少于620元的概率為.【點睛】本題考查函數(shù)解析式以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和概率，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19．某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻，無須建造費用，因此甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為x米（）.(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，試求a的取值范圍.【答案】(1)4米；(2).【分析】（1）由題意得出甲工程隊報價元關(guān)于左右兩側(cè)墻的長度的函數(shù)，利用均值不等式求最小值即可；（2）由題意得不等式恒成立，分離參數(shù)后，利用均值不等式求最小值即可得解.【詳解】（1）因為屋子的左右兩側(cè)墻的長度均為米（），底面積為12平方米，所以屋子的前面墻的長度均為米（），設(shè)甲工程隊報價為元，所以（元），因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)左右兩面墻的長度為米時，甲工程隊報價最低為元.（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故當(dāng)時，無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能竟標(biāo)成功.20．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)偶函數(shù)，理由見解析(2)【分析】（1）首先判斷函數(shù)定義域，再利用對數(shù)運算法則得出即可判斷其為偶函數(shù)；（2）將函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象有兩個交點的問題，畫出函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù),理由如下：由題意可得函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱；易知，，所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，等價于，即，令，所以函數(shù)與有兩個交點，畫出函數(shù)的圖象如下：由圖可知，當(dāng)夾在和之間時，函數(shù)與有兩個交點，所以，即實數(shù)的取值范圍為.21．對于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一階不動點，若滿足，則稱為函數(shù)的二階不動點，（1）設(shè)，求的二階不動點．（2）若是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且為函數(shù)的二階不動點，求證：也必是函數(shù)的一階不動點；（3）設(shè)，，若在上存在二階不動點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見解析（3）【分析】（1）若，則，由，能求出函數(shù)的二階不動點．（2）由題意，記，則，若，與假設(shè)相矛盾；若，與假設(shè)相矛盾；從而，由此能證明也必是函數(shù)的一階不動點．（3）函數(shù)在上單調(diào)遞增，若在，上存在二階不動點，則在，上也必存在一階不動點；推導(dǎo)出方程在，上有解，由此能出的取值范圍．【詳解】解：（1）若，則，由，得，解得，函數(shù)的二階不動點為，證明：（2）是函數(shù)的二階不動點，，記，則，若，則由在區(qū)間上為增函數(shù)，有，即，這與假設(shè)相矛盾；若，則由在區(qū)間上為增函數(shù)，有，即，這與假設(shè)相矛盾；，即，是函數(shù)的一階不動點，命題得證；

解：（3）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由（2）可知，若在上存在二階不動點，則在上也必存在一階不動點；反之，若在上存在一階不動點，即，那么，故在上也存在二階不動點．所以函數(shù)在上存在二階不動點等價于在上有解，即方程在上有解，在上有解，由可得，，的取值范圍是．22．某高科技公司研究開發(fā)了一種新產(chǎn)品，生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的每天固定成本為元，每生產(chǎn)件，需另投入成本為元，每件產(chǎn)品售價為元（該新產(chǎn)品在市場上供不應(yīng)求可全部賣完）．（1）寫出每天利潤關(guān)于每天產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)每天產(chǎn)量為多少件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大．【答案】（1）；（2）每天產(chǎn)量為件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大為.【分析】（1）根據(jù)（利潤）（總售價）（總成本），將利潤寫成分段函數(shù)的形式；（2）計算利潤的分段函數(shù)的每一段的最值，然后再進行比較求得利潤最大值.【詳解】（1）因為每件產(chǎn)品售價為元，所以件產(chǎn)品售價為元；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以：；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時有最大值；當(dāng)時，，取等號時，即時，有最大值；且，所以當(dāng)每天產(chǎn)量為件時，該公司在這一新產(chǎn)品的生產(chǎn)中每天所獲利潤最大.【點睛】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，難度一般.求解分段函數(shù)的最值時，必須要考慮到每一段函數(shù)的最值，然