2025屆高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題(人教版新高考新教材)考點規(guī)范練34　基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積

考點規(guī)范練34基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積一、基礎(chǔ)鞏固1.下列說法正確的是()A.棱柱的兩個底面是全等的正多邊形B.平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形C.{直棱柱}?{正棱柱}D.{正四面體}?{正三棱錐}2.已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形,頂點在底面的投影為底面的中心,若該四棱錐的體積為433,則它的表面積為(A.8 B.12 C.4+83 D.203.(2021北京,8)某一時間段內(nèi),從天空降落到地面上的雨水,未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度,稱為這個時段的降雨量(單位:mm).24h降雨量的等級劃分如下:等級24h降雨量(精確到0.1)小雨≤9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中,某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中,該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如圖所示),則這24h降雨量的等級是()A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨4.在封閉的正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若AB=6,AA1=4,則V的最大值是()A.16π B.32πC.12π D.43π5.(2022新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3 C.1.4×109m3 D.1.6×109m36.點A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90°,若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為()A.2π B.4π C.8π D.16π7.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,則該棱臺的體積為.

二、綜合應(yīng)用8.(多選)已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均為正方形,其中AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=2,則下列說法正確的是()A.該四棱臺的高為3B.AA1⊥CC1C.該四棱臺的表面積為26D.該四棱臺外接球的表面積為16π9.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為()A.33 B.23 C.3 D.110.如圖,一把斧子,它的斧頭由鐵質(zhì)鍛造,斧頭的形狀可以近似看成由上下兩個多面體組合而成,上部是一個長方體,下部是一個“楔(xie)形”,其尺寸如圖標注(單位:cm).已知鐵的比重為7.87g/cm3,斧頭上用作安裝斧柄的洞眼仍看作實心,則這只斧頭的質(zhì)量(單位:g)所在的區(qū)間為()A.(800,1200) B.[1200,1600)C.[1600,2000) D.[2000,2400)11.已知四邊形OABC的直觀圖O'A'B'C'如圖所示,O'A'=3B'C',O'A'⊥E'C',SOABC=8,C'D'∥y'軸,C'E'=22,D'為O'A'的三等分點,且靠近點O',則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體的體積為()A.1523π B.48πC.383π D.1212.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.

三、探究創(chuàng)新13.(2022全國Ⅱ,文19)小明同學(xué)參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)證明:EF∥平面ABCD;(2)求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).14.一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體,已知該正方體的棱長為2,如果任意轉(zhuǎn)動該正方體,液面的形狀都不可能是三角形,那么液體體積的取值范圍為.

考點規(guī)范練34基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積1.D選項A中兩個底面全等,但不一定是正多邊形;選項B中一般的棱柱不能保證側(cè)棱與底面垂直,即截面是平行四邊形,但不一定是矩形;選項C中{正棱柱}?{直棱柱},故A,B,C都錯;選項D中,正四面體是各條棱均相等的正三棱錐,故正確.2.B如圖,設(shè)底面中心為O,則VP-ABCD=13×2×2×PO=433又底面是邊長為2的正方形,可得該四棱錐的斜高為12+(故該四棱錐的表面積為2×2+4×12×2×23.B由題意知,一個半徑為2002=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為2002×150300=50(mm),高為所以積水深度d=13π×502×150π×4.D正三角形ABC的邊長為6,其內(nèi)切圓的半徑為r=3<2,所以在封閉的正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的球的半徑最大值為3,所以其體積為V=43πr3=43π,5.C由題意可得,此棱臺的高h=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故該棱臺的體積V棱臺=13h(S1+S2+S1·S2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+1.4×10即增加的水量約為1.4×109m3.故選C.6.D由題意,知S△ABC=3,設(shè)△ABC所在球的小圓的圓心為Q,則Q為AC的中點.當(dāng)DQ與面ABC垂直時,四面體ABCD的體積最大,最大值為13S△ABC·DQ=3解得DQ=3.如圖,設(shè)球心為O,半徑為R,則球心O在DQ上,且在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,解得R=2,則這個球的表面積為S=4π×22=16π.故選D.7.766如圖所示,正四棱臺中四邊形AA1C1連接AC,A1C1,過點A1作A1G⊥AC,交AC于點G,則A1G為棱臺的高.在正四棱臺中,∵AC=22,A1C1=2,∴AG=AC在Rt△A1AG中,A1G=A則棱臺體積V=13(S四邊形A1B1C1D1+S四邊形8.AD如圖,將該四棱臺補成四棱錐S-ABCD,連接AC,BD交于點O,連接A1C1,B1D1交于點O1,連接SO,則SO過點O1,且SO⊥平面ABCD,所以O(shè)O1為該四棱臺的高.因為AB=22,A1B1=2,可知△SA1B1與△SAB相似比為1∶2;所以SA=2AA1=4,又由已知得AO=2,所以SO=23,所以O(shè)O1=3,即該四棱臺的高為3,A正確;因為SA=SC=AC=4,所以AA1與CC1的夾角為60°,不垂直,B錯誤;該四棱臺的表面積為S=S上底+S下底+S側(cè)=8+2+4×(2+22)2×142因為上下底面都是正方形,所以外接球的球心在OO1上.連接OB1,在Rt△O1OB1中,由OO1=3,B1O1=1,得OB1=2=OB,即點O到點B與點B1的距離相等,則該四棱臺外接球的半徑r=OB=2,故該四棱臺外接球的表面積為16π,D正確.9.C如圖,過A作AD垂直SC于D,連接BD.因為SC是球的直徑,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC為公共邊,所以△SAC≌△SBC.因為AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=13S△ABD·SC由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=23.所以AD=同理BD=3.又AB=3,所以△ABD為正三角形所以VS-ABC=13S△ABD·SC=13×12×(3)2·sin60°×410.A觀察圖形可知,幾何體由一個長方體、一個三棱柱和兩個三棱錐組成.長方體的體積為3×5×5=75(cm3),三棱柱的體積為12×3×5×5=752(兩個三棱錐的體積為2×13×12×3×5×52=252(cm3所以這只斧頭的質(zhì)量為7.87×125=983.75(g).11.B因為C'E'=22,C'D'∥y'軸,O'A'⊥E'C',所以C'D'=1由直觀圖知原圖形為梯形,在梯形OABC中,CD是梯形的高,CD=2C'D'=2,OA=O'A',BC=B'C',所以O(shè)A=3BC.由SOABC=12×(OA+BC)×CD=12×4BC×2=8,得BC=2又因為D'為O'A'的三等分點,所以D為OA的三等分點,所以梯形OABC為等腰梯形.四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積,即V=13π×CD×(42+4×6+62)-13π×CD×22故選B.12.415如圖所示,連接OD,交BC于點G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x,三棱錐的高h=D因為S△ABC=12×23x×3x=33x所以三棱錐的體積V=13S△ABC·h=3x2令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,則f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間2,5所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=所以三棱錐體積的最大值為41513.(1)證明如圖,取AB的中點M,BC的中點N,連接MN,ME,NF.因為△ABE是正三角形,所以ME⊥AB.又平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,ME?平面ABE,所以ME⊥平面ABCD.同理,FN⊥平面ABCD.所以ME∥FN.又ME=FN=32×8=4所以四邊形EMNF是平行四邊形,從而EF∥