四川省成都市郫都區(qū)2022年高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差2．等比數(shù)列中，，則與的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．3．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間4．在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．5．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米6．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．8．設為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，若，則()A． B． C． D．9．第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內(nèi)隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為n個，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．10．已知為圓：上任意一點，，若線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為()A． B．C．（） D．（）11．已知函數(shù)，，若方程恰有三個不相等的實根，則的取值范圍為（）A． B．C． D．12．設，，，則，，三數(shù)的大小關系是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，則cosA＝_____．14．在疫情防控過程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護人員的精心治療下，第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.15．函數(shù)在的零點個數(shù)為_________.16．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項和，若，且，則公比的值為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）設數(shù)列的前n項和滿足，，，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式﹔（2）設，求證：.19．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.20．（12分）古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應全民閱讀，建設書香中國，校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學生一周課外讀書的時間，從全校學生中隨機抽取名學生進行問卷調(diào)査，統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間（單位：）的數(shù)據(jù)如下：一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求，，的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).（2）如果讀書時間按，，分組，用分層抽樣的方法從名學生中抽取20人.①求每層應抽取的人數(shù)；②若從，中抽出的學生中再隨機選取2人，求這2人不在同一層的概率.21．（12分）若函數(shù)在處有極值，且，則稱為函數(shù)的“F點”.（1）設函數(shù)（）.①當時，求函數(shù)的極值；②若函數(shù)存在“F點”，求k的值；（2）已知函數(shù)（a，b，，）存在兩個不相等的“F點”，，且，求a的取值范圍.22．（10分）誠信是立身之本，道德之基，我校學生會創(chuàng)設了“誠信水站”，既便于學生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（Ⅱ）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；（Ⅲ）已知學生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A．由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數(shù)應為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.2、A【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得出．【詳解】設與的等比中項是．

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．

∴與的等比中項

故選A．【點睛】本題考查了等比中項的求法，屬于基礎題．3、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當且時的導數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應自變量范圍，導數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題4、A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎題.5、D【解析】

根據(jù)題意，是一個等比數(shù)列模型，設，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個等比數(shù)列模型，設，所以，解得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的實際應用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.6、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．7、A【解析】

每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調(diào)研，每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.8、D【解析】

利用與的關系，求得的值.【詳解】依題意，所以故選：D【點睛】本小題主要考查函數(shù)值的計算，屬于基礎題.9、B【解析】

根據(jù)比例關系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值.【詳解】設會旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.10、B【解析】

如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，，故軌跡為雙曲線，計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，根據(jù)垂直平分線知，故，故軌跡為雙曲線，，，，故，故軌跡方程為.故選：.【點睛】本題考查了軌跡方程，確定軌跡方程為雙曲線是解題的關鍵.11、B【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為，令，，進而將方程轉(zhuǎn)化為，即或，再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根，即，①.因為，①式兩邊同除以，得.所以方程有三個不等的正實根.記，，則上述方程轉(zhuǎn)化為.即，所以或.因為，當時，，所以在，上單調(diào)遞增，且時，.當時，，在上單調(diào)遞減，且時，.所以當時，取最大值，當，有一根.所以恰有兩個不相等的實根，所以.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題.12、C【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式，將a，b，c與，比較即可.【詳解】由，，，所以有.選C.【點睛】本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎題，解題時選擇合適的中間值比較是關鍵，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計算求值得解．【詳解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案為．【點睛】本題主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，屬于基礎題．14、161【解析】

由題意可知出院人數(shù)構成一個首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由此可求結(jié)果．【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人．第15天開始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．且從第16天開始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，從第15天開始，每天出院人數(shù)構成以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則第19天治愈出院患者的人數(shù)為，，解得，第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案為：16，1．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實際問題中的應用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．15、1【解析】

本問題轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題，在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】問題函數(shù)在的零點個數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)問題.在同一直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當時，兩個函數(shù)只有一個交點.故答案為：1【點睛】本題考查了求函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.16、【解析】

將已知由前n項和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因為即又等比數(shù)列各項均為正數(shù)，故故答案為：【點睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項和關系求公比，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）分離出參數(shù)后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決，注意函數(shù)定義域.【詳解】（1）由得或①當時，由，得.由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.②當時，由，得由，得或此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和綜上：當時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）依題意，不等式恒成立等價于在上恒成立，可得，在上恒成立，設，則令，得，（舍）當時，；當時，當變化時，，變化情況如下表：10單調(diào)遞增單調(diào)遞減∴當時，取得最大值，，∴.∴的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于中檔題.18、（1）證明見解析，；（2）證明見解析【解析】

（1）由，作差得到，進一步得到，再作差即可得到，從而使問題得到解決；（2），求和即可.【詳解】（1），，兩式相減：①用換，得②②—①，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴，，公差，所以.（II）.【點睛】本題考查由與的關系求通項以及裂項相消法求數(shù)列的和，考查學生的計算能力，是一道容易題.19、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設出過原點的直線的極坐標方程，代入曲線的極坐標方程，求得的表達式，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設過原點的直線的極坐標方程為；由得，所以曲線的極坐標方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直角坐標方程化為極坐標方程，考查極坐標系下距離的有關計算，屬于中檔題.20、（1），，，中位數(shù)；（2）①三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13；②【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得，得到，，再結(jié)合中位數(shù)的計算方法，即可求解.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；②由①知，設內(nèi)被抽取的學生分別為，內(nèi)被抽取的學生分別為，利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，所以，.設一周課外讀書時間的中位數(shù)為小時，則，解得，即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為小時.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為，又因為，，的頻數(shù)分別為20，50，130，所以從，，三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13.②由①知，在，兩層中共抽取7人，設內(nèi)被抽取的學生分別為，內(nèi)被抽取的學生分別為，若從這7人中隨機抽取2人，則所有情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有21種，其中2人不在同一層的情況為，，，，，，，，，，共有10種.設事件為“這2人不在同一層”，由古典概型的概率計算公式，可得概率為.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計算等知識的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.21、（1）①極小值為1，無極大值.②實數(shù)k的值為1.（2）【解析】

（1）①將代入可得，求導討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；②設是函數(shù)的一個“F點”（），即是的零點，那么由導數(shù)可知，且，可得，根據(jù)可得，設，由的單調(diào)性可得，即得.（2）方法一：先求的導數(shù)，存在兩個不相等的“F點”，，可以由和韋達定理表示出，的關系，再由，可得的關系式，根據(jù)已知解即得.方法二：由函數(shù)存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組的兩個相異實數(shù)根，由得，分兩種情況：是函數(shù)一個“F點”，不是函數(shù)一個“F點”，進行討論即得.【詳解】解：（1）①當時，（），則有（），令得，列表如下：x10極小值故函數(shù)在處取得極小值，極小值為1，無極大值.②設是函數(shù)的一個“F點”（）.（），是函數(shù)的零點.，由，得，，由，得，即.設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增，注意到，所以方程存在唯一實根1，所以，得，根據(jù)①知，時，是函