高中數學必修二第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關系》解答題 (12)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點'直線'平面之間的位置關系》解答題(12)

1.如圖，在四邊形A8CD中，已知48〃CO,直線A5,BC,AD,OC分別與平面a相交于點E,

G,H,F,求證：E,F,G,”四點必定共線.

2.用符號表示下列語句，并畫出圖形：

(1)點A在平面a內但在平面/?外；

(2)直線。經過平面a內一點A,a外一點B;

(3)直線a在平面a內，也在平面口內.

3.如圖，空間四邊形A8CC中，E、F分別是AB和C8上的點，G、

，分別是C。和4。上的點，且EH與fG相交于點K求證：EH,

BD,FG三條直線相交于同一點。

4.在三棱柱4BC-A1B1G中，側面7L41GC_L底面ABC,441=

ArC=AC=AB=BC=2,且點。為AC中點.

(1)證明：4O_LBC；

(2)求三棱錐G-ABC的體積.

5.如圖，在直三棱柱人打^一為a的中，^ACB=90°,AC=BC=1AAr=1,D,E分別是棱CC】、

BBi的中點.

(1)證明：41E14D.

(2)求點A到平面481D的距離.

6.如圖，在三棱錐P—ABC中，PAJ.AB,PA1BC,AB1BC,PA=AB=BC=2,。為線段

4c的中點，E為線段尸C上一點.

(1)求證：PA1BD；

(2)求證：平面BDE1平面PAC；

(3)當PA〃平面8DE時，求三棱錐E—BCD的體積.

7.如圖,BE1平面4BC￡>,四邊形4BEF為矩形，四邊形ABC。為直角梯形，乙4DC=90°,AB//CD,

AD=AF=CD=2,AB=2AD.

(1)求證：AC1CE-,

(2)求三棱錐E-BCF的體積.

8.如圖，在長方體4BC。-41B1GD1中，點E,尸分別在棱BB1上,

且2DE=ED「BF=2F/.證明：

(1)當月B=BC時，EF14C；

(2)點G在平面AEF內.

9.在正四棱柱4BC0中，點M,N分別在棱4久,CCi上，且AM=2M4,CN=2CN.

D…

證明：（I）點。在平面/MN內；

（口）MN1BD.

10.如圖所示，在空間四邊形ABC"（不共面的四邊形稱為空間四邊形）中，E,F,G,”分別為A8,

BC,CD,D4的中點.求證：四邊形EFG"是平行四邊形.

A

11.如圖所示，在正方體A8CQ—&B1GD1中，E,F,G分別是AB,

BB、,8C的中點，求證：AEFGfGDAi.

12.如圖，設不全等的△ABC與不在同一個平面內，且

BC//B、(\,CA"C\A\,求證：AAltBB「CQ三線共點.

13.如圖，在正方體4BCD—aBiCi￡)i中，CD］與。G相交于點O,求證：AO1ArB.

14.已知M,N分別是底面為平行四邊形的四棱銖P-4BCD的棱AB,PC的中點，平面CMN與平

面尸A。交于PE,求證：

(1)MN〃平面PAD：

(2)MN//PE.

15.如圖，在正四面體4一BCD中，點E,尸分別是A8,BC的中點,A

點G,〃分別在C。，4。上，S.DH=4-AD,DG=-4CD.

(1)求證：直線EH,FG必相交于一點，且這個交點在直線8。上;

(2)若4B=2,求點8到平面EFGH的距離.

16.如圖，在直三棱柱ABC—4aG中，點￡、尸在側棱8/、CG上，

且&E=2EB,￡F=2FC,點。、G在側棱AB、AC上，且BD=2DA,

CG=2GA.

(I)證明：點G在平面EF。內；

(H)若NB4C=90。，AB=AC=1,AAr=2,求二面角4一4當一G

的余弦值.

17.正方體2"。一4/1(71。1中，E為。5的中點，試判斷BO】與面4EC的位置關系，并說明理由.

18..如圖所示，P為平行四邊形ABCQ所在平面外一點，M、N分別為A8、PC的中點，平面PADn

平面PBC=I.

(1)求證：BC//1；

(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論.

19.如圖，在空間四邊形48-CO中，H,G分別是AO,C。的中點，E,尸分別是邊AB,8c上的

占日更=些=1

息'旦FBEB3

A

求證：直線E”，BD,FG相交于一點.

20.如果一條直線與一個平面垂直，那么就稱直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中,

求由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數.

【答案與解析】

1.答案：【證明】???48//CD,AAB,C￡＞確定一個平面..又?:ABa=E,ABcEea,EE/?,

即E為平面a與￡的一個公共點.

同理可證F,G,”均為平面a與口的公共點，?.?若兩個平面有公共點，那么它們有且只有一條通過公

共點的公共直線，F(xiàn),G,”四點必定共線.

解析：略

2.答案：

解：（1）4ea,4￡C?（如圖①）

(2)/1Ga,Bea,AE.a,Ba,a如圖②)

(3)an/?=a.(如圖③),

解析：

本題考查了通過符號語言表示文字語言，考查數形結合，是一道基礎題.

根據點、直線、平面之間的關系畫出圖形即可.

3.答案：證明：???直線EHCI直線FG=K,

???KGEH,EHABD

.-.K€平面ABD；

同理：Ke平面BCD；

???平面ABDn平面BCD=BD-,

???Ke直線BD；

即：EH、FG、80三條直線相交于一點.

H

B

解析：本題考查了點線面的關系和證明，點，直線，平面的基本性質和推論.屬于基礎題.

證明點在直線上，在利用直線屬于平面的關系，證明點在平面上.再利用平面之間的交線，證明點

在交線上，即可得到三條直線相交于同一點.

4.答案：證明：(1)AAt=ATC,且。為AC的中點.起----------刁仁

Ax01AC.

又?.,平面4&GC_L平面ABC,平面A41QCn平面力BC=AC,

且4。u平面4&GC,

4。1平面ABC.

BCu平面ABC,

A101BC.

解：(2)■：A^//AC,&GC平面ABC,ACc5FffiABC,

〃平面ABC.

即G到平面ABC的距離等于&到平面ABC的距離.

由(1)知40，平面ABC且40=yjAAj-AO2=V3.

???三棱錐的體積：

^C1-ABC~Al-ABC=.SAABC,4。=,、鼻X2Xy/3XV3=1.

解析：(1)推導出4。，AC,從而4。1平面ABC,由此能證明4。IBC.

(2)由41C1//ZC,得4G〃平面ABC.從而G到平面ABC的距離等于4到平面ABC的距離，從而三棱

錐G-4BC的體積I/QTBC=匕L4BC=gS-Bc.&0.

本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系

等基礎知識，考推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程

思想、數形結合思想，是中檔題.

5.答案：(1)證明：如圖：連接QE,

C\4

p

由直三棱柱ABC-4BlG知CG1BC,

???BCLAC,又有CQn4C=C,CG，4Cu平面4CC14,

BC，平面4CC14,

???D,E分別為的中點，則CE〃BC,

DE1平面ACG&,ADu平面4CG&,

???DE1AD,

222

■：ArD+AD=4=AAr,

所以AD_L4iD,AXDC\DE=D,4￡),DEu平面&CE,

AAD_L平面4DE,ArEu平面&DE,

.41/7,L.4Z)；

(2)解：連接4當，設點A到平面&Bi。的距離為d,

?l?BdiG,BiCUCG,41clecG=Ci,

4iG，CGu面acGAi，BGi面402,

由于。知，［SAABM-d=-S^A1AD-BiG，

易知三角形&DB1為邊長為企的正三角形，面積為產，

g|j|x^-d=|x|xV2xV2xl，解得d=竽.

點4到平面4B1D的距離d=等.

解析：本題主要考查線面垂直的判定和性質定理及點到面距離求法，屬中檔題.

(1)由4010E,4。1可得AO1平面&DE,從而證明&EJ.4。；

(2)由于以_公8鐘=VB1_AA1D,即可求點A到平面的距離.

6.答案：解：(1)證明：因為P4_L48,PA1BC,S.ABdBC=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以PA_L平面ABC.

又因為BOu平面ABC,所以241BO；

(2)證明：因為力B=BC,。為AC的中點，所以BD14C.

由(1)知，PA1BD,且PACAC=4,ACPAC,P4u平面PAC,

所以BD_L平面PAC,

又BDu平面BDE,

所以平面BDE_L平面PAC；

(3)因為PA〃平面BOE,PAu平面PAC,平面PACfl平面8DE=DE,

所以PA〃DE,

因為。為AC的中點，所以DE=?PA=1,BD=DC=?

由(1)知，PAiT-ffiABC,所以OE1平面ABC,

所以三棱錐E-BCD的體積1/=；BD?DC?DE=；.

63

解析：本題考查線線垂直，面面垂直以及三棱錐體積的求法，屬于中檔題.

(1)先證明PA1平面ABC,然后根據線面垂直性質定理可得線線垂直；

Q)BD1平面PAC,根據面面垂直判定定理證明即可；

(3)因為P4〃平面BDE,所以P4〃OE,所以06_1平面48。，進而求出體積.

7.答案：解：(1)如圖，過點C作CM_L4B,垂足為M,

D

C

因為四邊形ABC。為直角梯形，AB//CD,所以乙4DC=NZMB=90。,

所以AD_L4B,

所以CM〃/ID,

所以四邊形AOCM為矩形，

所以AM=CD=2,

又因為4B=2AD=4,所以BM=AB-AM=2.

AC=y/AD2+CD2=2^2,

同理可得BC=2V2.

所以4c2+B(;2=432,所以ACJ.BC.

因為BE_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以BE1AC,

又因為BEu平面BCE,BCu平面3CE,BECBC=B,

所以4C，平面BCE.

又因為CEu平面8CE,所以AC_LCE.

(2)因為BE_L平面ABCD,CMu平面ABCD,

所以BE1CM,

又因為CM1AB,BEu平面ABER

ABABEF,BEdAB=B,

所以CM，平面ABEF,

所以/_BCF=VC-BEF=：x：xBExEFxCM=；x2x4x2=g.

3263

解析：本題主要考查線線垂直的判斷，三棱錐的體積計算.屬于基礎題.

(1)利用BE，平面ABC。線面垂直的性質定理可得BE_LAC,再根據勾股定理可得AC_L8C,由線面

垂直的判斷定理可得ACJ■平面BCE,即可證明；

(2)先證明CM是三棱錐E-BCF以面3EF為底面的高，根據三棱錐體積公式即可求得.

8.答案：解：(1)因為4BC0-&B1GD1是長方體，所以BBi_L平面ABCD,而ACu平面4BCD,所

以AC1BBi，

因為ABC。-4B1GD1是長方體，且4B=BC,所以ABCQ是正方形，所以4c1BD,又BDClBB】=B.

所以4cl平面BBiA。，又因為點E,F分別在棱。劣，BBi上，所以EFu平面^當名。，

所以EF1AC.

(2)取441上靠近4的三等分點M,連接DiM,GF,MF.

因為點E在DD],且2DE=ED「所以ED〃/1M,且ED=AM,

所以四邊形4ED1M為平行四邊形，所以。iM〃4E,且=4E,

又因為尸在BBi上，且2F=2FBi，所以AiM〃FB。且&M=FBi，

所以為平行四邊形，

所以FM〃/FM=A1B1,即FM〃CiD「FM=GD「

所以為平行四邊形，

所以C1AV/C/,

所以4E〃GF,所以4,E,F,G四點共面.

所以點G在平面AEF內.

解析：(1)因為ZBCD-4B1C1D1是長方體，fiXB=BC,可得ACJL平面^當?！?，因為EFu平面

88也。，所以EF_LAC.

(2)取44i上靠近&的三等分點M,連接。例，GF,MF.根據已知條件可得四邊形AEDiM為平行四邊

形，得DM/AE,再推得四邊形GDiMF為平行四邊形，所以DiM〃C］F,根據直線平行的性質可得

AE/Z^F,所以A,E,F,G四點共面，即點C］在平面AEF內.

本題考查直線與平面垂直的判定，考查直線平行的性質應用，是中檔題.

9.答案：解：(1)取BBi上靠近8的三等分點G,連接。例，DN,GN,GA.

因為點N在CG上，且QN=2CN,所以NG〃BC,且NG=BC,

又因為ABCD為正方形，所以AO〃8C,且AO=BC,

所以AO〃NG,HAD=NG,

所以四邊形A￡WG為平行四邊形，所以ON〃/1G,且DN=AG,①

在平面4BB141內，M在上，且4M=2M&,所以4W〃8傳，且4M=B1G,所以4M為平

行四邊形.

所以AG=MBX,(2)

由①②得，DN〃MB］，所以D,N,M,a四點共面?

所以點O在平面B】MN內.

(2)因為4BC0-4聲道［。1是正四棱柱，所以A4i_L平面ABCD,而BOu平面ABCD,

所以BD1.441，

又因為AC1BD,又ACn441=4

所以BD_L平面4&C1C,

又因為點〃，N分別在棱44「CCi上，所以MNu平面441C1C,

所以B。1MN.

解析：本題考查平面的性質、線面垂直的判定及性質，屬中檔題.

(1)取BBi上靠近B的三等分點G,可得四邊形ACWG為平行四邊形，又AG"MB、,AG=MBr,

得O,N,M,Bi四點共面，即結論成立；

(2)根據正四棱柱的性質可得4的1平面48cQ,利用線面垂直的性質可得BD144「再利用線面垂

直的判定定理可知8。_L平面4&。也，即有石。1MN.

10.答案：證明：因為E”是△ABO的中位線，所以科BD.

同理所以EH/G,

所以四邊形EFGH為平行四邊形.

解析：本題考查平面的基本性質.

要證四邊形EFG”是平行四邊形，只需證明FG〃EH,且FG=EH即可，依據平行公理證明即可.

11.答案：證明：如圖所示，連接&C.因為G,尸分別為BC,SB1的中點，所以GF〃8iC.

又ABCD-AiBiG。]為正方體，所以CD2AB，=AB,

由基本事實知IC。

所以四邊形為&CD為平行四邊形，

所以4。=B、C.

又B、C〃FG,由基本事實知4/V/FG.

同理可證&CJ/EG,DCJ/EF.

又NZM1G與"GF,乙4/G與NEFG,與/GEF的兩條邊分別對應平行且均為銳角，

所以NZMC=Z.EGF,Z-A^DC-i=乙EFG,/.DC^A1=Z.GEF.

所以△EFGfC1DA1.

解析：

本題考查三角形相似的判定，和直線與直線平行，基礎題；

利用題意證明&D〃FG.DCJ/EF,NDG41=4GEF,即可求證，

12.答案：證明：不妨設4844為，則四邊形A&BiB為梯形，???力必與BBi相交，設其交點為S,

則S6AAltSeBB「又?:BBru平面BCqBi，:.S€平面

同理可證，Se平面ACQAi，.?.點S在平面BCQBi與平面4CC1&的交線上，

即S6CG，二A4,BB],CCi三線共點.

解析：本題考查平面的基本性質及應用，屬于基礎題.

由平面的基本事實3,即可解答.

13.答案：證明,.?4BCD-4B1GD1是正方體，

4也=BC,

???四邊形&。傳8是平行四邊形，

:.A[B//D\C,

.??直線A0與所成角即為直線AO與AC所成角,

如圖，連接AC,ADX,易證4C=4。],

又。為CCi的中點，.?.AO_LCiC,

AO1AXB.

解析：本題考查線線垂直的證明，屬于基礎題.

先證明418〃。修，只需證401%C,即可的結果.

14.答案：證明：（1）如圖，取DC中點Q,連接MQ,NQ,

???NQ是APDC的中位線，

■■NQ//PD,

vNQC平面PAD,PDu平面PAD,：.NQ〃平面PAD,

■■■M,。分別是AB,0c的中點，且四邊形ABC。是平行四邊形,MQ//AD,

???MQC平面PA。，ADPAD,MQ〃平面PAO,

?:MQCNQ=Q,且MQ,NQu平面MNQ,

.,?平面MNQ〃平面PAD,

MNu平面MNQ,

MN〃平面PAD-,

(2)由(1)得，平面MNQ〃平面PAD,

平面PECn平面MNQ=MN,平面PECn平面PAO=PE,

由面面平行的性質定理得，MN//PE.

解析：本題考查線面平行的判定以及空間中直線與直線位置關系的判定，涉及面面平行的判定與性

質，屬于中檔題.

(1)取OC中點Q,連接M。，NQ,先證平面MNQ〃平面PAD,MNu平面MN。，從而得到結論MN〃

平面PAD；

(2)平面PECn平面MNQ=MN,平面PECn平面PAD=PE,從而得出結論MN〃PE.

15.答案：(1)證明：因為E尸二工AC，GH--AC'所以GH二1EF，

242

故E,F,G,”四點共面，且直線E/7,FG必相交于一點，

設EHCFG=M,因為MWEH,EHABD,所以MW平面A8D,

同理：平面BCD,而平面力BDC平面BCD=BD,

故MeBD,

即直線E”，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上；

(2)解：連結EG,BG,點A到平面EFGH的距離為d,正四面體的棱長為2,

則該正四面體的高為亞，所以E到平面BFG的距離為在，

33

113

DH=-AD,DG=-CD.CG=",

442

點E，尸分別是A8,BC的中點，CF=1,

在4CFG中，由余弦定理可得：FG=VCF2+CG2-2xCFxCGxcos60°=—>

2

在等腰梯形EFGH中可得：G到EF的距離為越，而G到BF的距離也為逆，

44

所以△BFG的面積與^BFG的面積相等，

由%-BFG=0-EFG可得：|-yx|xlX^=jxdx|x^Xl，

可得d=漁，

3

故點B到平面EFGH的距離為漁.

3

解析：（1）證明MC平面AB￡>,M6平面BCD,然后證明這個交點在直線80上；

（2）連結EG,BG,點A到平面EFG”的距離為d,正四面體的棱長為2,求出E到平面8FG的距離，

通過/_BFG=VB-EFC求解點B到平面EFGH的距離.

本題考查平面的基本性質的應用，空間點、線、面距離的求法，等體積法的應用，考查學生分析問

題解決問題的能力，是中檔題.

16.答案：（I）證明：連接DG,

???BD=2DA,CG=2GA,

AD_AG_1

AB~AC~3’

???DG//BC,

?.?直三棱柱ABC-AB?,???BB]=CG，

■：BrE=2EB,CXF=2FC,BE=CF,BE//CF,

四邊形BCFE是平行四邊形,

EV//EC,

DG//EF,

???DG和E尸共面，即點G在平面EFD內.

(II)解：-：/.BAC=90°,-.BA1AC,1A^,

又1平面A/iG，故AB】，AC1，441兩兩垂直,

以公為原點，以&G，公當所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系&-xyz,如圖所示,

則4式0,0,0),4(0,2,0),6(1,0,0),8式0,0,1),

.?.福=(0,-2,1)，麗*=(1,-2,0)，

齊?福*=0—2y+z=0

設平面ABiG的法向量為元=（x,y,z）,則即

齊.溫=0'x—2y=0

令y=1可得劉=(2,1,2),

又五B=（1,0,0）為平面的一個法向量,

22

???cos<AiQ，n>=

|再引同一1X3-3

???二面角4-ABr-G的余弦值為|.

解析：（I）證明。G//EF即可得出結論；

（口）建立空間直角坐標系，求出平面和ABiG的法向量，計算法向量的夾角得出二面角的大小.

本題考查了平面的性質，考查空間向量與二面角的計算，屬于中檔題.

17.答案：解：BA〃平面ACE.

下面證明：如圖所示，連接5。與AC相交于點O,連接E0.

所以。。=OB,DE=ED]，

所以0E是X的中位線，

E0//BD1,

■：E0u平面ACE,BD]C平面ACE,

BD1〃平面ACE.

解析：本題考查空間中直線與平面的位置關系，線面平行的判定，考查空