重慶市忠縣2023-2024學年七年級下學期期末數(shù)學試題（解析版）

忠縣2024年春八年級期末學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學試題（本卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題：（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有-個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．1.下列二次根式中，為最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，判斷一個根式是最簡二次根式，必須滿足兩個條件：①被開方數(shù)中不含有能開的盡方的因式或因數(shù)；②被開方數(shù)不含有分母．根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．解：A、不是最簡二次根式，不符合題意；B、，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；C、是最簡二次根式，符合題意；D、，被開方數(shù)含能開方的式子，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：C．2.下面能作為直角三角形三邊長的是（）A.2，， B.，，5 C.9，8，6 D.，1，1【答案】D【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理的逆定理判斷作答即可．解：A中，不能作為直角三角形三邊長，故不符合要求；B中，不能作為直角三角形三邊長，故不符合要求；C中，不能作為直角三角形三邊長，故不符合要求；D中，能作為直角三角形三邊長，故符合要求；故選：D．3.在統(tǒng)計學中，不是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的量是（）A.平均數(shù) B.最小值 C.中位數(shù) D.眾數(shù)【答案】B【解析】【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征量，一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差，極差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，方差與極差都是衡量一組數(shù)據(jù)偏離其平均數(shù)的大?。床▌哟笮。┑奶卣鲾?shù)．根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和最小值的意義進行判斷．解：數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征量，最小值是衡量偏離其平均數(shù)的大小的特征數(shù)，不是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的量．故選：B．4.我國古代有“不以規(guī)矩，不能成方圓”的說法，人們把“規(guī)矩”當作幾何名詞，“規(guī)”是圓，“矩”是方，所以現(xiàn)在初中以后就把長方形改為比較專業(yè)的名稱“矩形”那么要把變成“矩形”，需要增加的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了矩形的判定，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形進行判斷即可．解：∵對角線相等的平行四邊形是矩形，∴當時，變成“矩形”，故選：A．5.已知，，估計的值應(yīng)在（）A.2和3之間 B.3和4之間 C.4和5之間 D.5和6之間【答案】B【解析】【分析】本題考查二次根式混合運算，估算無理數(shù)大小，熟練掌握二次根式混合運算法則與估算無理數(shù)大小大小的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式混合運算的方法求出的值，再估算無理數(shù)的大小即可．解：∵，，∴，∵∴∴故選：B．6.若一次函數(shù)的y值隨x的增大而減小，則該函數(shù)圖象可能過點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得，再分別把四個選項中的點的坐標代入解析式中求出k的值，看是否小于0即可．解：∵一次函數(shù)的y值隨x的增大而減小，∴，A．把代入中得，解得，故A不符合題意；B．把代入中得，解得，故B不符合題意；C．把代入中得，這與事實矛盾，故C不符合題意；D．把代入中得，解得，故D符合題意；故選：D．7.在如圖所示的中，點E、F在邊上，、分別平分、，若，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，由題意推出、是解題關(guān)鍵．解：∵平分∴∵∴∴∴同理可得：∵，∴故選：C8.在中，已知，，，某同學用直尺和圓規(guī)先確定了三角形頂點A、C，在用長確定頂點B時，作出了如圖所示的兩個B點，那么這兩個B點之間的長度為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，過點C作于點D，過點C作于點D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，最后求出結(jié)果即可．解：過點C作于點D，如圖所示：則，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，∴．故選：A．9.一次函數(shù)圖象分別與x、y軸交于如圖所示點A、B，點B關(guān)于直線的對稱點為，若點C在第一象限，，點恰好落在x軸上，則點C的坐標為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接，過點C作軸于點E，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出，，根據(jù)勾股定理求出，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)軸對稱得出，，求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．解：取的中點，連接，過點C作軸于點E，如圖所示：則，把代入得：，則，把代入得：，解得：，則，∴，∵為直角三角形，為的中點，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵點B關(guān)于直線的對稱點為，∴，，∴，∴，∴，∴，∴點C的坐標為，故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)幾何綜合，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．10.如圖，點為大小是角的頂點，的兩邊分別與正方形的另兩邊交于點．對于下面說法：①；②、分別是、的角平分線；③當時，的面積最小其中正確說法的個數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，證明得出，，，即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)得出當?shù)闹底钚r，的面積最小，設(shè)，，則，當且僅當時，等號成立，此時最小，即最小，推出當時，的面積最小，證明，即判斷③．解：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，∵四邊形正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，，，∴，∴點、、在同一直線上，∵，∴，∵，∴，∴，，，∴、分別是、的角平分線，故②正確；∵，∴，∵，∴，由得：，∴，故①正確；由可得：，∵的長固定不變，為正方形的邊長，∴當?shù)闹底钚r，的面積最小，設(shè)，，則，當且僅當時，等號成立，此時最小，即最小，∴當時，的面積最小，∵，，∴，∴，，∴，∴當時，的面積最小，故③正確；綜上所述，正確的有①②③，共個，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的判定等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應(yīng)的橫線上．11.若二次根式有意義，則x的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．解：由題可知，，解得．故答案為：．12.在中，若，則______．【答案】##76度【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對角相等，進行計算求出，再根據(jù)鄰角互補求出結(jié)果即可．解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴．13.一組數(shù)據(jù)4，2，2，3，4的方差為______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了方差的計算公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方差的計算公式．一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，，，…的平均數(shù)為，則方差；根據(jù)方差的計算公式進行計算即可．解：數(shù)據(jù)4，2，2，3，4的平均數(shù)為：，數(shù)據(jù)4，2，2，3，4的方差為：．故答案為：．14.將直線向右平移2個單位，再向下平移4個單位后，所得的直線的解析式為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移，左右平移改變自變量的值：左加右減；上下平移改變因變量的值：上加下減．據(jù)此即可求解．解：由題意得：平移后所得直線的解析式為：故答案為：15.若矩形中的兩邊長分別為，則矩形較小邊上的任意一點到矩形兩對角線的距離之和為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．如圖，作于，于，連接，則即為所求；由勾股定理得，，由矩形，可得，，根據(jù)，計算求解即可．解：如圖，由題意知，，作于，于，連接，則即為所求；由勾股定理得，，∵矩形，∴，，∵，∴，解得，，故答案為：．16.把一張矩形紙片沿著它的兩條對稱軸對折后成如圖所示的圖形，然后沿虛線剪下圖①這“只角”，為了使得圖①的展開圖有一個內(nèi)角為的菱形，若，則______．【答案】##48度【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)：對角線平分一組對角，由題意得是解題關(guān)鍵．解：如圖所示：∵，∴由題意得：∴故答案為：17.已知一次函數(shù)圖形不經(jīng)過第四象限，且關(guān)于x的不等式組至少有2個整數(shù)解，則所有滿足條件的非零整數(shù)a值之積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及一元一次不等式組的整數(shù)解，根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及不等式組整數(shù)解的個數(shù)，找出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．由一次函數(shù)圖象不經(jīng)過第四象限，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，由關(guān)于x的不等式組至少有2個整數(shù)解，即可求出a的取值范圍，進而可確定a的取值范圍，再將其內(nèi)的整數(shù)值相乘即可得出結(jié)論．解：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，∴，解得：，解不等式組，得：，又∵關(guān)于x的不等式組至少有2個整數(shù)解，∴，解得：．綜上，∴所有滿足條件的非零整數(shù)a值之積為．故答案為：．18.把由各數(shù)位數(shù)字都不為0兩位數(shù)m和三位數(shù)n組成的數(shù)對稱“有效數(shù)對”．將m中的任意一數(shù)位數(shù)字作為新兩位數(shù)的十位數(shù)字，將n中的任意一數(shù)位數(shù)字作為新兩位數(shù)的個位數(shù)字，按照這種方式生成的所有新兩位數(shù)之和記為，例：，則______；設(shè)“有效數(shù)對”滿足兩位數(shù)，三位數(shù)（其中，，且x，y均為整數(shù)），交換m的十位數(shù)字和個位數(shù)字得到另一兩位數(shù)s，交換n的百位數(shù)字和個位數(shù)字得到另一三位數(shù)t，如果能被7整除，那么所有符合條件的“有效數(shù)對”的之和為______．【答案】①.172②.600【解析】【分析】本題考查了新定義，整式加減運算的應(yīng)用，根據(jù)題干提供的信息，求出即可；先求出，，然后求出，根據(jù)，能被7整除，得出能被7整除，求出，，，然后再之和即可．解：；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵能被7整除，∴能被7整除，∵，∴當時，能被7整除，∵，，∴，，，，∵當時，，，不符合題意舍去，∴“有效數(shù)對”為：，，，∴，，，∴符合條件的“有效數(shù)對”的之和為：．故答案為：172；600．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余各題10分，共78分）解答時必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上，19計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據(jù)二次根式混合運算法則，結(jié)合絕對值意義進行計算即可；（2）根據(jù)二次根式混合運算法則，結(jié)合完全平方公式進行計算即可．【小問1】解：；；【小問2】解：．20.如圖，已知，、相交于點O，C是的中點，連接．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）連接交于點F，連接，若，求．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明，，再由“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得出結(jié)論．（2）利用平行線的性質(zhì)證明是的中位線，再利用中位線的性質(zhì)即可求解．【小問1】證明：四邊形是平行四邊形（已知），，且（平行四邊形的對邊平行且相等）．∵C是的中點，∴，又點在的延長線上，，，四邊形為平行四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；【小問2】解：∵C是的中點，∴四邊形是平行四邊形∴，即點O是中點，∵四邊形為平行四邊形∴，即點F是中點，∴是的中位線，∴．21.小明在學習了三角形的中位線定理后，在梯形中，已知，E為中點，小明進一步按如下步驟作圖：作線段的垂直平分線，標出線段中點F，連接并延長交線段的延長線于點G，連接．（1）用直尺和圓規(guī)，在圖中完成小明的作圖（只保留作圖痕跡）；（2）請進步幫助小明完成證明，將編號處的正確內(nèi)容填寫在答題卡對應(yīng)位置．證明：∵E是中點，∴______，又∵，∴，在和中，由對頂角相等得______，∴，∴，在中，E為中點，F(xiàn)為中點，∴且，又∵，∴______．所以，連接梯形兩腰中點的線段平行于兩底并且等于___④___．【答案】（1）見解析（2）；②；③；④兩底之和的一半【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）分別以點為圓心，大于為半徑畫即可完成作圖；（2）根據(jù)推理過程即可求解；【小問1】解：如圖所示：【小問2】證明：∵E是中點，∴，又∵，∴，在和中，由對頂角相等得，∴，∴，在中，E為中點，F(xiàn)為中點，∴且，又∵，∴．所以，連接梯形兩腰中點的線段平行于兩底并且等于兩底之和的一半22.某村有如圖所示的一筆直公路，水源C處與公路之間有小片沼澤地，為方便公路上的人用水，擬從C處鋪設(shè)水管到公路上．已知米，米，米．（1）求的大??；（2）求鋪設(shè)水管的最小長度．【答案】（1）（2）96米【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握，如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個三角形為直角三角形．（1）根據(jù)勾股定理逆定理進行判斷，得出為直角三角形，得出的大小即可；（2）根據(jù)垂線段最短進行求解即可．【小問1】解：∵，，，又∵，∴，∴為直角三角形，；【小問2】解：過點C作于點D，如圖所示：∵垂線段最短，∴此時鋪設(shè)水管的長度最小，∵，∴（米）．答：鋪設(shè)水管的最小長度為96米．23.為了解游客在石寶寨游覽時間情況，把游覽時長x（單位：分鐘）分為五組：A：，B：，C：，D：，E：．并分“青少年組”和“中老年組”游客各隨機調(diào)查了相同游客數(shù)在石寶寨的游覽時長x，再把收集到的數(shù)據(jù)繪成了如圖所示的統(tǒng)計圖，已知“青少年組”和“中老年組”的時長眾數(shù)分別為55、57根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次共調(diào)查了多少人？求扇形統(tǒng)計圖中E扇形的圓心角大??；（2）若以組中值代表各組的實際數(shù)據(jù)，分別求“青少年組”和“中老年組”在石寶寨的平均游覽時長；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，從兩組人群的停留時長來看，哪一類人群更喜歡在石寶寨游覽？請說明理由（寫出一條理出即可）【答案】（1）本次共調(diào)查了40人，扇形的圓心角為；（2）“青少年組”和“中老年組”在石寶寨的平均游覽時長都為54分鐘（3）見解析（答案不唯一）【解析】【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?）求出青少年組人數(shù)，即可求出中老年組人數(shù)，得出總?cè)藬?shù)即可；用乘百分比即可；（2）根據(jù)平均數(shù)計算公式進行計算即可；（3）根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)意義，扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖特點進行求解即可．【小問1】解：青少年組共有（人），故中老年組也有20人，本次共調(diào)查總?cè)藬?shù)為：（人），E扇形占，圓心角，答：本次共調(diào)查了40人，扇形的圓心角為；【小問2】解：青少年組平均游覽時長，中老年組平均游覽時長，答：青少年組和中老年組在石寶寨的平均游覽時長都為54分鐘；【小問3】答：中老年組更喜歡在石寶寨游覽．因為“中老年組”的時長眾數(shù)57大于“青少年組”的時長眾數(shù)．24.如圖，設(shè)是邊長為6個單位長度的等邊三角形，動點E、F同時從點A出發(fā)，點E在邊上運動到B后折返，點F在邊上運動到C后折返，折返時間忽略．已知動點E、F在折返前都是每秒1個單位長度運動，折返后都是每秒2個單位長度運動，當返回到點A時運動停止．設(shè)運動時間為x秒，點E、F之間的距離為y．（1）請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式并注明自變量x的取值范圍；（2）在給出的平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出點E、F的距離超過4個單位長度時x的取值范圍．【答案】（1）（2）圖象見解析，當時，該函數(shù)有最大值，最大值為；（3）【解析】【分析】本題考查了函數(shù)在幾何中的應(yīng)用，涉及了等邊三角形的性質(zhì)，抓住是等邊三角形是解題關(guān)鍵．（1）由題意得是等邊三角形，分類討論、兩種情況即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)解析式即可描點作圖；（3）確定點E、F的距離為4個單位長度時x的取值即可求解；【小問1】解：由題意得：∵∴是等邊三角形當時，；當時，；∴【小問2】解：如圖所示：當時，該函數(shù)有最大值，最大值為；【小問3】解：由圖可知：當或時，點E、F的距離為4個單位長度故：當時，點E、F的距離超過4個單位長度25.如圖，設(shè)直線，直線．已知與x軸交于點A；與x軸交于點C與y軸交于點B，與直線交于點．（1）求直線、的解析式；（2）求的面積；（3）直線上是否存在動點P，使得的面積等于面積的倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）直線的解析式為；直線的解析式為（2）（3）存在，點P的坐標為或【解析】【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形，直線與坐標軸圍成的三角形面積．熟練掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．（1）把分別代入和，求出k值即可；（2）先求出A、C坐標，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）分兩和情況：①當點P在射線上時，，②當點P在射線上時，分別求解即可．【小問1】解：把分別代入和，得，解得：，∴直線的解析式為：，直線的解析式為：．【小問2】解：對于直線的解析式為；令，則，解得：