相交線與平行線（學(xué)案含解析）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

18相交線與平行線

中考命翹說明

考點(diǎn)課標(biāo)要求考查角度

常以選擇題、填空題的形

①通過豐富的實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、角；②會(huì)

式考查點(diǎn)、線、面、角、

點(diǎn)、線、比較角的大小，會(huì)計(jì)算角度的和與差，會(huì)進(jìn)行簡單的角

1余角、補(bǔ)角的概念和等角

面、角度換算；③了解補(bǔ)角、余角的概念，知道等角的余角相

的余角相等、等角的補(bǔ)角

等、等角的補(bǔ)角相等.

相等的性質(zhì).

①了解對(duì)頂角的概念，知道對(duì)頂角相等；②了解垂線、

垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念，了解垂線段最短的性常以選擇題、填空題的形

相交線與質(zhì)；知道過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線；③式考查對(duì)頂角、垂線的概

2

平行線知道過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，念、性質(zhì)以及平行線的性

會(huì)過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線；④理解平行質(zhì)和判定.

線的性質(zhì)定理和判定定理，并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與論證.

知疚點(diǎn)心點(diǎn)、線、面、角

知炊點(diǎn)虢理

i.點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體.

2.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.角也可以看作由一條射線繞著

它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

3.度分秒的換算：1周角=2平角=4—直角=360。.1。=60，,「=60

4.量角器的使用：量角器的中心和角的頂點(diǎn)對(duì)齊，量角器的零刻度線和角的一條邊對(duì)齊，

做到兩對(duì)齊后看角的另一邊與刻度線對(duì)應(yīng)的度數(shù).

5.兩角間的關(guān)系：

(1)余角：如果兩個(gè)角的和等于90。,就說這兩個(gè)角互為余角.同角或等角的

余角相等.

（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180。，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.同角或等角的

補(bǔ)角相等.

6.角平分線：一般地，從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)

角的平分線.

翼曳用題

【例1】（2分）（2021?北京1/28）如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

【考點(diǎn)】幾何體的展開圖.

【分析】展開圖為兩個(gè)圓，一個(gè)長方形，易得是圓柱的展開圖.

【解答】解：???圓柱的展開圖為兩個(gè)圓和一個(gè)長方形，

.?.展開圖可得此幾何體為圓柱.

故選：B.

【考點(diǎn)】幾何體的展開圖

【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖的特征解答即可.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的展開圖.解題時(shí)勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情

形.

【例3】（3分）（2021?呼倫貝爾?興安盟14/26）74。19,30"=°.

【考點(diǎn)】度分秒的換算

【分析】先將30"化成“分”，再將195化成“度”即可.

【解答】解：30x（4=05,

60

19'+0.5'=19.5',

19.5x（—）°=0.325°,

60

74°+0.325°=74.325°,

故答案為：74.325.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算進(jìn)率和換算方法是得出正確答

案的前提.

【例4】（4分）（2021?上海11/25）70。的余角是.

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角

【分析】根據(jù)余角的定義即可求解.

【解答】解：根據(jù)定義一個(gè)角是70。，則它的余角度數(shù)是90。-70。=20。，

故答案為20。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余角的概念,掌握互為余角的兩個(gè)角的和為90度是解決此題關(guān)鍵.

ZX

知識(shí)點(diǎn)2：直線.射線和線段

._________________________________________________________________>

知疚點(diǎn)樵理

<__________________________，

1.直線的概念：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方

無限延伸的.

2.射線的概念：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn).

3.線段的概念：直線上兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.這兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).

4.線段的和差：如下圖，在線段AC上取一點(diǎn)3,則有：42+BC=AC；

AB=AC-BC-.BC^AC-AB.

1II

ABC

5.線段的中點(diǎn)：如下圖，點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB,點(diǎn)M叫做線段

A3的中點(diǎn).幾何語言：AM=MB=-AB.

2

AMB

6.直線的性質(zhì)：

（1）直線公理：經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.它可以簡單地說成：過兩點(diǎn)

有且只有一條直線（兩點(diǎn)確定一條直線）.

（2）過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條.

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小.

（4）直線上有無窮多個(gè)點(diǎn).

（5）兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn).

7.線段的性質(zhì)：

（1）線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短.也可簡單說成：兩點(diǎn)之間線段最短.

（2）連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離.

（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等.

（4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的.

喜熨用題

【例5】（3分）（2021?河北1/26）如圖，已知四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一

側(cè)的線段機(jī)在同一直線上，請(qǐng)借助直尺判斷該線段是（）

【考點(diǎn)】直線、射線、線段.

【分析】利用直尺畫出遮擋的部分即可得出結(jié)論.

【解答】解：利用直尺畫出圖形如下：

可以看出線段。與機(jī)在一條直線上.

故答案為：a.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段，射線，直線，利用直尺動(dòng)手畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【例6】（3分）（2021?包頭3/26）已知線段AB=4,在直線A8上作線段BC,使得BC=2,

若。是線段AC的中點(diǎn)，則線段的長為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離

【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點(diǎn)C在線段上，可計(jì)算出AC的長，再由。是線

段AC的中點(diǎn)，即可得出答案；②3c在線段A2的延長線上，可計(jì)算出AC的長，再由。是

線段AC的中點(diǎn)，即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意分兩種情況，

①如圖1：

II||

ADCB

圖1

VAB=4,BC=2,

：.AC=AB-BC^2,

是線段AC的中點(diǎn)，

/.AD=-AC=-x2=l；

22

②如圖2：

|II|

ADBC

圖2

?：AB=4,BC=2,

：.AC=AB+BC=6,

是線段AC的中點(diǎn)，

AD=—AC=—x6=3.

22

線段AD的長為1或3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，正確理解題目并進(jìn)行分情況進(jìn)行計(jì)算是解決本題

的關(guān)鍵.

、

知識(shí)點(diǎn)3t相交線

知識(shí)點(diǎn)梳理

1.相交線中的角：

（1）兩條直線相交，可以得到四個(gè)角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂

點(diǎn)但沒有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)

且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角.

（2）鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等.

（3）直線A3,與跖相交（或者說兩條直線AB,被第三條直線EP所截），構(gòu)成八

個(gè)角（三線八角）.其中/I與N5這兩個(gè)角分別在AB,C。的上方，并且在EE的同側(cè)，像

這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；N3與N5這兩個(gè)角都在AB,CD之間，并且在EF的

異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；/3與N6在直線。之間，并且在的同

側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角.

E

__________

A-二：___________B

34

'5

晨工口

一七:8

7

C~F

2.垂線：

（1）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直.其中

一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

直線AB,C￡）互相垂直，記作“A3，。”（或"C￡），A8”），讀作“A8垂直于CZT（或

“CO垂直于A8"）.

（2）垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.

3.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距

離.如下圖，點(diǎn)P與直線/上各點(diǎn)連接的所有線段中，PB最短，點(diǎn)尸到直線/的距離是

P8的長度.

ABCD

4.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.如下

圖，若/_LAB,OA=OB,則

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

5.角平分線的性質(zhì)定理及逆定理：

角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何語言：如下圖,

N1=N2

=PE=PF

PEYOA.PFYOB

逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.幾何語言：如下圖,

PEVOA.PFVOB

=>N1=N2

PE=PF

---------------\

蔚堂百題

【例7】（2分）（2021?北京3/28）如圖，點(diǎn)O在直線A3上，OCLOD.若NAOC=120。，

則N30Q的大小為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考點(diǎn)】垂線.

【分析】根據(jù)平角的意義求出/BOC的度數(shù)，再根據(jù)垂直的意義求出答案.

【解答】解：VZAOC+ZBOC=180°,ZAOC=120°,

ZB（?C=180°-120°=60°,

又：OC1,OD,

：.ZCOD=90°,

AZBOD=ZCOD-ZBOC=90°-60°=30°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平角及垂直的意義，理解互相垂直的意義是解決問題的關(guān)鍵.

【例8】（3分）（2021?海南9/22）如圖，己知。〃4直線/與直線a、6分別交于點(diǎn)A、B,

分別以點(diǎn)A、8為圓心，大于工A3的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)/、N,作直線MN,交

2

直線》于點(diǎn)C,連接AC,若Nl=40。，則/AC2的度數(shù)是（）

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖一復(fù)雜作圖

【分析】利用基本作圖可判斷MN垂直平分A2,則利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到CA=CB,

所以NC2A=/CAB=40。，進(jìn)而可得結(jié)果.

【解答】M：'：a//b,

：.ZCBA=Z1=4Q°,

根據(jù)基本作圖可知：垂直平分A8,

CA=CB,

：.ZCBA=ZCAB=40°,

：.ZACB=180°-2X40°=100°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖一基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段;

作一個(gè)角等于已知角；作己知線段的垂直平分線；作己知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線

的垂線）.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì).

【例9】（2分）（2021?河北12/26）如圖，直線/,機(jī)相交于點(diǎn)O.P為這兩直線外一點(diǎn)，

且。尸=2.8.若點(diǎn)尸關(guān)于直線/，根的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)尸1,尸2,則尸1,P2之間的距離可能是

.p】

m、

A.0B.5C.6D.7

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】由對(duì)稱得0P=OP=2.8,0P=。尸2=2.8,再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊,

即可得出結(jié)果.

【解答】解：連接0P1,OP2,P1P2,

:點(diǎn)尸關(guān)于直線/，根的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)尸1,尸2,

：.OPi=OP=2.8,O尸=O尸2=2.8,

OPi+OPi>PiPi,

P1P2<5.6,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵熟練掌握對(duì)稱性和三角形邊長的關(guān)

系.

【例10］（3分）（2021?青海5/25）如圖，在四邊形A8CZ）中，ZA=90°,AO=3,BC

=5,對(duì)角線平分NA8C,則△BCD的面積為（）

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】過D點(diǎn)作。于E,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=ZM=3,然后根據(jù)

三角形面積公式計(jì)算.

【解答】解：過。點(diǎn)作。EL8C于E,如圖，

A

D

平分NA2C,DELBC,DALAB,

：.DE=DA=3,

：.叢BCD的面積=—x5x3=7.5.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

【例11】（10分）（2021?赤峰20/26）如圖，在中，/ACB=90°,點(diǎn)。是斜邊A8

上一點(diǎn)，且AC=AD.

（1）作N8AC的平分線，交BC于點(diǎn)E；（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接。E,求證：DE1AB.

【考點(diǎn)】作圖一基本作圖

【分析】（1）利用基本作圖作NBAC的平分線；

（2）證明aACE學(xué)TXADE得到NADE=NC=90°,從而得到DE_LA&

：.ZCAE=ZDAE,

在△&€1￡和△ADE1中,

AC=AD

<ZCAE=ZDAE,

AE=AE

:.△ACEgAADE（SAS）,

AZADE=ZC=90°,

C.DELAB.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖一基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）.也考查

了全等三角形的判定與性質(zhì).

知聚點(diǎn)4：平行線

知以點(diǎn)梳理

1.平行線的概念：

在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號(hào)“〃”表示，如,

讀作“AB平行于CD”.

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.

2.平行線公理及其推論：

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

3.平行線的判定：

平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.簡稱：

同位角相等，兩直線平行.

平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩直線平行.簡稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，

兩直線平行.

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，兩直線平行.

4.平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，同位角相等.

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

5.兩平行線間的距離：

（1）定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平

行線之間的距離.（2）性質(zhì)：兩條平行線之間的距離處處相等.

典熨用題

【例12]（3分）（2019?河北省7/26）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符

號(hào)代表的內(nèi)容

A---------------7B

已知：如圖，zBEC=zB-zC.幺

求證：ABIICD./

證明：延長BE交派于點(diǎn)ED尸C

貝！UBEC=_^_+NC（三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之

和）.

又NBEC=NB-NC得NB=▲.

故ABIICDC@相等,兩直線平行）.

則回答正確的是（）

A.◎代表NFECB.@代表同位角

C.▲代表/斯CD.※代表A3

【考點(diǎn)】平行線的判定.

【分析】根據(jù)圖形可知※代表CD即可判斷。；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得◎代表/MC,

即可判斷A；利用等量代換得出▲代表NE/C,即可判斷C；根據(jù)圖形已經(jīng)內(nèi)錯(cuò)角定義可知

@代表內(nèi)錯(cuò)角.

【解答】證明：延長BE交C。于點(diǎn)R

則NBEC=NEFC+NC（三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和）.

又NBEC=NB+NC,得/B=/EFC.

故AB〃cr）（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，比較簡單.

【例13]（4分）（2021?安徽5/23）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中/54C=/EDE=90°,

ZE=45°,ZC=30°,AB與。尸交于點(diǎn)若BC〃EF,則的大小為（）

C.75°D.82.5°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

【分析】首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可算出/產(chǎn)和的度數(shù)，再由“兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等"，可求出NAffi小的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和可求出的度

數(shù).

【解答】解：在△ABC和△￡>￡/中，NBAC=NEDF=90°,NE=45°,NC=30°,

ZB=90°-ZC=60°,

/尸=90°-/E=45°,

'：BC//EF,

：.ZMDB=ZF=45°,

在△BA?中，ZBM￡>=180°-ZB-ZMDB=75°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)圖形，結(jié)合定理求出每個(gè)

角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

/>1

知疚點(diǎn)5：命題、定理、證明

知識(shí)南就理

*___________________________/

1.命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題.

2.命題的分類：按正確、錯(cuò)誤與否分為：真命題和假命題.

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題.

所謂錯(cuò)誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題.

3.互逆命題：一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別為另一個(gè)命題的結(jié)論和條件的兩個(gè)命題，稱為互

逆命題，如果我們把其中一個(gè)命題稱為原命題，那么另一個(gè)命題就是這個(gè)原命題

的逆命題.

4.公理：人們?cè)陂L期實(shí)踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理.

5.定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理.

6.互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么這個(gè)逆命題也可以稱為原定

理的逆定理，一個(gè)定理和它的逆定理是互逆定理.

7.證明：判斷一個(gè)命題的正確性的推理過程叫做證明.

要魚田題

【例14]（3分）（2019?安徽省12/23）命題“如果a+6=0,那么a,6互為相反數(shù)”的逆

命題為?

【考點(diǎn)】命題與定理.

【分析】根據(jù)互逆命題的定義寫出逆命題即可.

【解答】解：命題“如果。+方=0,那么。，6互為相反數(shù)”的逆命題為：

如果。，?；橄喾磾?shù)，那么a+b=O；

故答案為：如果m6互為相反數(shù)，那么。+6=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題與定理、互逆命題，掌握逆命題的確定方法是解題的關(guān)鍵.

【例15］（3分）（2019?泰州12/26）命題“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角”是

（填“真命題”或“假命題”）.

【答案】真命題.

【解答】一個(gè)三角形如果是銳角三角形，則三個(gè)角都是銳角，如果是直角或鈍角三角形，則

有兩個(gè)角是銳角，.?.三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角是真命題.

鞏宣訓(xùn)練

1.（3分）（2021?河北6/26）一個(gè)骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,它的展開圖如圖，下列判

斷正確的是（）

2.（4分）（2020?重慶B卷2/26）圍成下列立體圖形的各個(gè)面中，每個(gè)面都是平的是（）

3.（3分）（2020?陜西2/25）若乙4=23。，則/A余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

4.（3分）（2020?通遼4/26）如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使/e和/力互余的擺放

方式是（

A.

D.

5.（3分）（2020?通遼13/26）如圖,點(diǎn)O在直線AB上，NAOC=58。1728”.則N3OC的

度數(shù)是.

6.（3分）（2020?吉林11/26）如圖,某單位要在河岸I上建一個(gè)水泵房引水到C處.他們的

做法是：過點(diǎn)C作CD，/于點(diǎn)。，將水泵房建在了。處.這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)

道理是_________________

7.（3分）（2019?保定高陽縣模擬）”植樹時(shí)只要定出兩棵樹的位置，就能確定這一行樹

所在的直線”，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋其道理應(yīng)是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.直線可以向兩邊延長

D.兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離

8.（3分）（2021?通遼7/26）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判

斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.ZBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

9.（3分）（2021?吉林11/26）如圖，已知線段AB=2cv〃，其垂直平分線CD的作法如下:

（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)3為圓心，be機(jī)長為半徑畫弧，兩弧相交于C,。兩點(diǎn)；

（2）作直線CD.

上述作法中。滿足的條作為61.（填“>”或“=”）

10.（5分）（2025陜西17/26）如圖，已知直線直線,分別與Z1、及交于點(diǎn)A、B.請(qǐng)

用尺規(guī)作圖法，在線段A8上求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到/1、/2的距離相等.（保留作圖痕跡，

不寫作法）

11.（3分）（2020?河北1/26）如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）

----------------------m

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

12.（3分）（2020?青海5/28）如圖，△A8C中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分線MN交AC

于點(diǎn)。，且△DBC的周長是24cm,貝ijBC=cm.

13.（3分）（2020?新疆兵團(tuán)13/23）如圖，在x軸，y軸上分別截取。4,OB,使。4=。8,

再分別以點(diǎn)A,8為圓心，以大于工4?長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（a,

2

14.（4分）（2021?福建14/25）如圖，AD是△ABC的角平分線.若NB=90。，BD=6則

點(diǎn)D到AC的距離是.

15.（3分）（2020?海南15/22）如圖，在△ABC中，BC=9,AC=4,分別以點(diǎn)A、B為

圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直線MN,交3C邊于點(diǎn)。，

2

16.（3分）（2020?陜西17/25）如圖，已知△ABC,AC>AB,NC=45。.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法,

在AC邊上求作一點(diǎn)P,使4BC=45。.（保留作圖痕跡，不寫作法，答案不唯一）

17.（3分）（2020?寧夏14/26）如圖，在△ABC中，ZC=84°,分別以點(diǎn)A、8為圓心，以

大于工45的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N,作直線跖V交AC點(diǎn)O；以點(diǎn)8為圓

2

心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點(diǎn)E、F,再分別以點(diǎn)瓦尸為圓心，大于!所

的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線BP,此時(shí)射線族恰好經(jīng)過點(diǎn)D,則/4=度.

18.（3分）（2020?河北6/26）如圖1,已知NABC,用尺規(guī)作它的角平分線.

如圖2,步驟如下，

第一步：以B為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線54,BC于點(diǎn)D,E-,

第二步：分別以E為圓心，以6為半徑畫弧，兩弧在NABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；

第三步：畫射線3P.射線3尸即為所求.

下列正確的是（）

E'E-C

第f第二步第三步

圖2

A.a,均無限制a>0,b>—O回的長

2

C.。有最小限制，人無限制a..O,〃〈一。石的長

2

19.（3分）（2021?包頭8/26）如圖，直線4〃4,直線自交4于點(diǎn)A,交［于點(diǎn)3,過點(diǎn)3的

直線。交4于點(diǎn)若N3=5O。，Zl+Z2+Z3=240°,則N4等于（）

h

4)

43

B

A.80°B.70°C.60°D.50°

20.（4分）（2021?云南2/23）如圖，直線。與直線〃、b都相交.若。〃44=55。，則N

2=（）

2

b

A.60°B.55°C.50°D.45°

21.（3分）（2021?河南5/23）如圖，a//b,Zl=60°,則N2的度數(shù)為（）

22.（5分）（2021?新疆5/23）如圖，直線DE過點(diǎn)A,^.DE//BC.若NB=60。，4=50。,

則N2的度數(shù)為（）

B.60°C.70°D.80°

23.（2分）（2021?青海14/25）如圖，AB//CD,EFLDB,垂足為點(diǎn)E,Zl=50°,則/

24.（3分）（2020?海南6/22）如圖，已知48〃CD,直線AC和8。相交于點(diǎn)E,若ZABE=70°,

ZACD=40°,則NAEB等于（）

C.70°D.80°

25.（3分）（2020?興安盟?呼倫貝爾6/26）如圖，直線AB//CD,AELCE于點(diǎn)E,若

Z￡AB=120°,則NECO的度數(shù)是（

C.150°D.160°

26.（3分）（2020?河南4/23）如圖,4/%，l3//l4,若Nl=70。，則N2的度數(shù)為（

C.120°D.130°

27.（3分）（2020?新疆兵團(tuán)10/23）如圖，若AB〃CD,ZA=110°,貝U/l=

28.（2分）（2020?北京16/28）如圖是某劇場第一排座位分布圖.甲、乙、丙、丁四人購票，

所購票數(shù)分別為2,3,4,5.每人選座購票時(shí)，只購買第一排的座位相鄰的票，同時(shí)使自己

所選的座位號(hào)之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后順序購票，那么甲購買1,2號(hào)

座位的票，乙購買3,5,7號(hào)座位的票，丙選座購票后，丁無法購買到第一排座位的票.若

丙第一個(gè)購票，要使其他三人都能購買到第一排座位的票，寫出一種滿足條件的購票的先后

順序.

舞臺(tái)

I/I/'I/I/、I/、I/、I/\I/I/\I/\I/I/1、I■?、I/\I/I

鞏固別練解折

1.（3分）（2021?河北6/26）一個(gè)骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,它的展開圖如圖，下列判

斷正確的是（）

f

【考點(diǎn)】專題：正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字.

【分析】正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)對(duì)各選項(xiàng)

分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：根據(jù)正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，

A與點(diǎn)數(shù)是1的對(duì)面，B與點(diǎn)數(shù)是2的對(duì)面，C與點(diǎn)數(shù)是4的對(duì)面，

:骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,

，A代表的點(diǎn)數(shù)是6,B代表的點(diǎn)數(shù)是5,C代表的點(diǎn)數(shù)是4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體是空間圖形，從相對(duì)面入

手，分析及解答問題.

2.（4分）（2020?重慶B卷2/26）圍成下列立體圖形的各個(gè)面中，每個(gè)面都是平的是（）

【解答】解：A、六個(gè)面都是平面，故本選項(xiàng)正確;

B、側(cè)面不是平面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、球面不是平面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、側(cè)面不是平面，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是立體圖形的認(rèn)識(shí)，掌握平面與曲面的概念是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2020?陜西2/25）若/4=23。，則/A余角的大小是（）

A.57°B.67°C.77°D.157°

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角

【分析】根據(jù)/A的余角是90。-/4代入求出即可.

【解答】解：；NA=23。，

ZA的余角是90°-23°=67°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余的應(yīng)用，注意：如果NA和/8互為余角，那么/4=90。-/艮

4.（3分）（2020?通遼4/26）如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使/a和/月互余的擺

放方式是（）

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角

【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念、結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A./a與“互余，故本選項(xiàng)正確；

B.Na=N￡,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.Za=Z^,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.N&與/月互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2020?通遼13/26）如圖，點(diǎn)O在直線至上，NAOC=58。1728〃.則NBOC的

度數(shù)是121°42'32''.

c

【考點(diǎn)】度分秒的換算；角的概念

【分析】依據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，即可得到NBOC的度數(shù).

【解答】解：,點(diǎn)O在直線AB上，且NAOC=58/728”,

ZBOC=180O-ZAOC=180°-58°1728"=121°4232”,

故答案為：121。4232”.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的定義.解題的關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角的定義：如果兩個(gè)角互為

鄰補(bǔ)角，那么它們的和為180。.

6.（3分）（2020?吉林11/26）如圖，某單位要在河岸/上建一個(gè)水泵房引水到C處.他們的

做法是：過點(diǎn)C作CD，/于點(diǎn)將水泵房建在了。處.這樣做最節(jié)省水管長度，其數(shù)學(xué)

道理是垂線段最短.

【考點(diǎn)】垂線段最短

【分析】根據(jù)垂線段的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過點(diǎn)C作CD，/于點(diǎn)。，將水泵房建在了。處.這樣做最節(jié)省水管長度，其

數(shù)學(xué)道理是垂線段最短.

故答案為：垂線段最短.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段的定義和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

實(shí)際問題.

7.（3分）（2019?保定高陽縣模擬）“植樹時(shí)只要定出兩棵樹的位置，就能確定這一行樹

所在的直線”，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋其道理應(yīng)是（）

A.兩點(diǎn)之間，線段最短

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.直線可以向兩邊延長

D.兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離

【答案】B.

【解答】“植樹時(shí)只要定出兩棵樹的位置，就能確定這一行樹所在的直線”，用數(shù)學(xué)知識(shí)解

釋其道理是“兩點(diǎn)確定一條直線”.故答案為B.

8.（3分）（2021?通遼7/26）如圖，在RtZ\A3C中，ZACB=9Q°,根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡,

判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.NBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

【考點(diǎn)】作圖一基本作圖

【分析】由尺規(guī)作圖的痕跡可得，DELAB,AD是N3AC的平分線，根據(jù)同角的余角相等

可判斷A,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷C,證得RtZXAEZ運(yùn)RtZXACD可判定D,由于QE不

是AB的垂直平分線，不能證明

【解答】解：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可得，DELAB,AD是㈤。的平分線，

ZC=90°,

:.DE=DC,ZB+ZBDE=ZB+ZBAC=9Q°,

:.ZBDE=ZBAC,

在RtAAED和RtAACD中，

[AD=AD

\DE=DC'

.■.RtAAED^RtAACD（HL）,

AE=AC,

DE不是AB的垂直平分線，故不能證明=

綜上所述：A,C,D不符合題意，B符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可判斷出DELAB,AD是N54c的平分線.

9.（3分）（2021?吉林11/26）如圖，已知線段AB=2c〃z,其垂直平分線CD的作法如下：

（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)3為圓心，be：”長為半徑畫弧，兩弧相交于C,D兩點(diǎn);

（2）作直線CD.

上述作法中6滿足的條作為》＞1.（填“〈”或“=”）

c

A----------------------B

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖一基本作圖

【分析】作圖方法為以A,5為圓心，大于長度畫弧交于C,。兩點(diǎn).

2

【解答】解：AB=2cm,

/.半徑Z?長度〉LAB，

2

即6>1cm.

故答案為：>.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段的垂直平分線尺規(guī)作圖法，解題關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作圖方

法.

10.（5分）（2021?陜西17/26）如圖，已知直線/1〃勿直線，3分別與4、，2交于點(diǎn)A、B.請(qǐng)

用尺規(guī)作圖法，在線段AB上求作一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到&h的距離相等.（保留作圖痕跡,

不寫作法）

【考點(diǎn)】平行線之間的距離；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖一基本作圖.

【分析】作線段A8的垂直平分線得到線段A8的中點(diǎn)，則中點(diǎn)為尸點(diǎn).

【解答】解：如圖，點(diǎn)尸為所作.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖-基本作圖.理解兩平行線間的距離是解決問題的關(guān)鍵.

11.（3分）（2020?河北1/26）如圖，在平面內(nèi)作已知直線機(jī)的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）

----------------------m

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

【考點(diǎn)】垂線

【分析】根據(jù)垂直、垂線的定義，可直接得結(jié)論.

【解答】解：在同一平面內(nèi)，與已知直線垂直的直線有無數(shù)條，

所以作己知直線m的垂線，可作無數(shù)條.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直和垂線的定義.掌握垂線的定義是解決本題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2020?青海5/28）如圖，△ABC中，A5=AC=14cm,A3的垂直平分線MN交

AC于點(diǎn)O,且△O8C的周長是24cm,貝?。?C=cm.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【分析】由邊AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn)D,故AD=BD,于是將△DBC的周長轉(zhuǎn)化為

與邊長AC的和來解答.

【解答】解：：CADBL24cm,

BD+DC+BC=2Acm①，

又：MN垂直平分A3,

：.AD=BD?,

將②代入①得：AD+DC+BC=24cm,

即AC+BC=24cm,

又；AC=14cm,

.?.BC=24-14=10cm.

故填10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)；此題將垂直平分線的性質(zhì)與三角形的周長問題相結(jié)

合，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題時(shí)的巨大作用.

13.（3分）（2020?新疆兵團(tuán)13/23）如圖，在x軸，y軸上分別截取Q4,OB,使。4=05,

再分別以點(diǎn)A,8為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（a,

2

2a-3）,則a的值為.

y

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

【分析】根據(jù)作圖方法可知點(diǎn)P在/2。4的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)P到x

軸和y軸的距離相等，結(jié)合點(diǎn)尸在第一象限，可得關(guān)于。的方程，求解即可.

【解答】解：???。4=。8,分別以點(diǎn)A,8為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)

2

P,

點(diǎn)尸在N8Q4的角平分線上，

點(diǎn)尸至（Jx軸和y軸的距離相等，

又；點(diǎn)尸在第一象限，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,2所3）,

??。二2。-3,

a=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的作法及其性質(zhì)在坐標(biāo)與圖形性質(zhì)問題中的應(yīng)用，明確題中的

作圖方法及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.（4分）（2021?福建14/25）如圖，AD是△ABC的角平分線.若NB=9O。，BD=6,

則點(diǎn)。到AC的距離是—也

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【分析】由角平分線的性質(zhì)可求。石=20=若，即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作DE_LAC于E,

AD是△A8C的角平分線.ZB=90°,DEYAC,

:.DE=BD=#>,

.?.點(diǎn)。到AC的距離為6，

故答案為出■

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等是解題的關(guān)

鍵.

15.（3分）（2020?海南15/22）如圖，在△ABC中，BC=9,AC=4,分別以點(diǎn)A、B為

圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直線交BC邊于點(diǎn)。，

2

連接AD,則△ACD的周長為13.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖

【分析】根據(jù)作圖過程可得，是AB的垂直平分線，所以得也=班>,進(jìn)而可得△ACD

的周長.

【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：是9的垂直平分線，

:.AD=BD,

；.△ACD的周長MAD+OC+ACMBD+OC+ACMgC+ACng+dnlS.

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段

垂直平分線的性質(zhì).

16.（3分）（2020?陜西17/25）如圖，已知△ABC,AOAB,NC=45。.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，

在AC邊上求作一點(diǎn)P,使NMC=45。.（保留作圖痕跡，不寫作法，答案不唯一）

【考點(diǎn)】作圖—基本作圖

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個(gè)角等于已知角，在AC邊上求作一點(diǎn)P,使NPFC=45。即

可，或作5c的垂直平分線交AC于點(diǎn)尸

【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法.

17.（3分）（2020?寧夏14/26）如圖，在△ABC中，ZC=84°,分別以點(diǎn)A、3為圓心，以

大于工鉆的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N,作直線交AC點(diǎn)D;以點(diǎn)B為圓

2

心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交54、BC于點(diǎn)E、尸，再分別以點(diǎn)E、尸為圓心，大于LEF

2

的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,作射線3P,此時(shí)射線的恰好經(jīng)過點(diǎn)。，則/4=32

度.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-復(fù)雜作圖

【分析】由作圖可得是線段AB的垂直平分線，班）是4BC的平分線，根據(jù)它們的性

質(zhì)可得NA=NABD=NCBD,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解.

【解答】解：由作圖可得，是線段9的垂直平分線，5D是NABC的平分線，

:.AD=BD,ZABD=ZCBD=-ZABC,

2

:.ZA=ZABD,

:.ZA=ZABD=ZCBD,

ZA+ZABC+Z,C=180°,且NC=84°,

ZA+2ZABD=180°-ZC,

即3ZA=180°-84°,

:.ZA=32°.

故答案為：32.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法和角平

分線的作法.

18.（3分）（2020?河北6/26）如圖1,已知NABC,用尺規(guī)作它的角平分線.

如圖2,步驟如下，

第一步：以B為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線54,BC于點(diǎn)D,E；

第二步：分別以E為圓心，以6為半徑畫弧，兩弧在NABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；

第三步：畫射線3P.射線3P即為所求.

下列正確的是（）

B/B]fB空■f壟