數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊3數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊4數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊2

第1課時空間中直線、平面的平行

叫川川川川川川川川川川I川川川出川川川川川川川川川H川川IOE3E3O,I課I前I預(yù)I習(xí)II州拼州川加川川"川川""伽"加I拼伽川"川"多

［教材要點(diǎn)］

要點(diǎn)空間中平行關(guān)系的向量表示

設(shè)向量/,小分別是直線/,"2的方向向量，“I，"2分別是平面a,。的法向量，則

線線平行（線線不重合）/〃mol1/m

線面平行（線不在平面內(nèi)）I//a<=>Z±ni

面面平行（兩個平面不重合）a〃//ni

狀元隨筆零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量，這是因?yàn)橹本€的方向向量

與平面的法向量分別用來描述空間直線和平面的位置，而零向量的方向是任意的，無法用零

向量來描述空間直線與平面的位置.

匿礎(chǔ)自測］

1.若直線6和/2的方向向量分別是。=（1，-1，2）,5=（-2,2,-4）,則（）

A.l\//l2B.（與/2相交

C./1與/2重合D./|〃/2或/|與，2重合

2.若平面a,夕的一個法向量分別為"?=（一，，—1）,n=（1,—113）,貝4（）

A.a//pB.a_L￡

C.a與￡相交但不垂直D.a〃4或a與尸重合

3.［多選題］下列命題中正確的是（）

A.若"1，"2分別是平面a,4的法向量，則"i〃"2Qa〃￡

B.若"1，"2分別是平面。，8的法向量，則?！ā?"「"2=0

C.若〃是平面a的法向量，且向量Q與平面a共面，則。"=0

D.若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直

4.若直線/的方向向量a=（2,2,-1）,平面a的法向量〃=（-6,8,4）,則直線/

與平面a的位置關(guān)系是.

勿勿州勿"卅勿"川勿勿勿卅勿勿削"勿勿勿川卅"卅,國回隰困?|i鹿堂］解”閱■—g

題型一直線與直線平行

B

例1如圖所示，在正方體ABCC-AiSGCi中，E,F分別為和Mi的中點(diǎn).求證:

四邊形4EG尸是平行四邊形.

方該揚(yáng)他

證明線線平行的依據(jù)與思路

證明線線平行的依據(jù)：設(shè)直線乙的方向向量分別是。，b,則要證明只需證

明a〃b,即a=/l伙2GR).利用向量證明線線平行有兩種思路：一是建立空間直角坐標(biāo)系，

通過坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示證明；二是用基向量表示出要證明的兩條直線的方

向向量，通過向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明.

跟蹤訓(xùn)練1長方體A8Cr>-A|8iGOi中，E,F分別是面對角線囪小，A|B上的點(diǎn)，且

DiE=2EBi，BF=2項1.求證：EF//AC].

題型二直線與平面平行

角度1證明直線與平面平行

例2在如圖所示的多面體中，平面AEB,AEA,EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD

=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn)，求證：A8〃平面。EG.

角度2直線與平面平行的探究性問題

例3如圖，在四棱錐P-ABCC中，方，平面A8C。，P8與底面成的角為45。，底面

ABC。為直角梯形，NA8C=NBAO=90。，%=BC=gA￡>=l.問：在棱P。上是否存在一點(diǎn)

E,使得CE〃平面RW?若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由.

方vi忸痢

1.向量法證明線面平行的三個思路

(1)設(shè)直線/的方向向量是“，平面a的法向量是“，則要證明/〃a,只需證明即

au=O.

(2)根據(jù)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線

與此平面平行，要證明一條直線和一個平面平行，在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向

量是共線向量即可.

(3)根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個

向量與這兩個不共線的向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只

要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.

2.證明面面平行的方法

設(shè)平面a的法向量為〃，平面力的法向量為則a〃/?

跟蹤訓(xùn)練2在正方體ABCQ-AiBCQi中，M,N分別是CG，81cl的中點(diǎn).求證:

〃平面48D

題型三平面與平面平行

例4如圖所示，在正方體A8C￡?-4BCi￡)i中，M,N,E,尸分別是棱4以，4A，

BiCi,GA的中點(diǎn)，求證：平面〃平面EFQB.

方Hi粗油

證明面面平行問題可由以下方法證明：

①轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行；②分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩

個法向量平行.本題采用的是方法②，解題過程雖復(fù)雜，但思路清晰，是證明平面平行的常

用方法.

跟蹤訓(xùn)練3在正方體A6C￡)-4BiG2中，E,F,G,H,M,N分別是正方體六個表

面的中心.求證：平面EFG〃平面4MN.

易錯辨析忽視直線與平面平行的條件致誤

例5已知4(1,0,0),8(0,1,1),C(l,1,0),￡)(1,2,0),E(0,0,1),則直線

CE與平面ABC()

A.直線0E與平面ABC平行

B.QEu平面ABC

C.直線OE與平面ABC相交

D.直線DE與平面ABC平行或OEu平面ABC

解析：因?yàn)辂?(-1,1,1),前=(1,0,-1),設(shè)平面ABC的一個法向量為"=(x,

y,1),則?i-AB=0,nBC=0,

一x+y+1=0,皿日x=11

所以解得所以"=(1,0,1).

x-1=0,y=o.

又DE=(—1,—2,1),

所以瓦-2,1)-(1,0,1)=0,

所以尻"L",所以0E〃平面ABC或。Eu平面ABC.

因?yàn)辂?(1,1,-1),所以前=2配+通，

所以A,B,C,。四點(diǎn)共面，

即點(diǎn)。在平面A8C內(nèi)，所以。Eu平面ABC,選B.

答案：B

【易錯警示】

易錯原因糾錯心得

本題易得直線DE的方向向量瓦與平面ABC

當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量垂直時，

的法向量垂直，進(jìn)而得到直線DE與平面ABC

直線與平面的位置關(guān)系有兩種：一是直線與

平行的錯誤解答，實(shí)際上，當(dāng)直線OE在平面

平面平行；二是直線在平面內(nèi)，具體是哪一

ABC內(nèi)，也有而與平面A8C的法向量垂直，

種，應(yīng)進(jìn)一步考查.

因此，需進(jìn)一步判斷DE是否在平面ABC內(nèi).

［課堂十分鐘］

1.若直線/的方向向量為a,平面a的法向量為“，則能使/〃a的是()

A.a=(l,0,0),“=(一2,0,0)

B.a=(l,3,5),“=(1,0,1)

C.a=(0,2,1),M=(-l,0,1)

D.a=(l,—1,3),〃=(0,3,1)

2.設(shè)平面a的一個法向量為(1,2,-2),平面p的一個法向量為(-2,-4,k),若a//p,

貝k=()

A.2B.-4

C.4D.-2

3.已知直線/i,L的方向向量分別為a，b,且a=(/i+l,0,2),5=(6,2〃-1,27),

若則2與〃的值可以分別是()

C.-3,2D.2,2

4.在正方體ABCD-A/1G。中，點(diǎn)P在線段AQ上，點(diǎn)。在線段AC上，線段PQ與

直線4。和4c都垂直，求證：PQ//BDi.

第1課時空間中直線、平面的平行

新知初探?課前預(yù)習(xí)

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：由題意知：b——2a

."i與/2平行或重合.故選D.

答案：D

2.解析：；"=—3/n,'.m//n,〃4或a與￡重合.故選D.

答案：D

3.解析：A、B不正確，C、D正確.

答案：CD

4.解析：fi-a——12+16—4=0,；./ua或/〃a.

答案：/ua或/〃a

題型探究?課堂解透

例1證明：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以血，DC,西為正交基建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方體的棱長為1,則A(l,0,0),E(0,0,i),G(0,1,1),F(l,1,i),

.?,AE=(-1,0,i),

%=(-1,0,0,西=(0,1,I),AF=(0,1,i),

.,.屈=同，EC7=AF,AEiiFQ,ECT^AF,

又：居AE,F^ECi,：.AE//FC\,EC\//AF,

二四邊形AEG尸是平行四邊形.

跟蹤訓(xùn)練1證明：

如圖所示，分別以D4,DC,所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)D4=a,DC=b,DDi=c,則得下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：

A(a,0,0),Ci(0,b,c),E(|a,|〃，c),

F(a，p.

.??FE=(-|,0,AC1=(—b,c),

FEAC

.*.=3-71.

又FE與AG不共線，AtaEF//AC,.

例2證明：平面AE8,AEu平面AEB,BEu平面AEB,

：.EFLAE,EFVBE.

又：AE_LE8,：.EB,EF,E4兩兩垂直.

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,EF,E4分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

由已知得，A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,

0),.,.麗=(0,2,2),EG=(2,2,0),而=(2,0,-2).

設(shè)平面OEG的法向量為”=(x,y,z),

令y=l,得z=—1,x——l,貝“=(—1,1,—1),

AAB?n=-2+0+2=0,即靠_L〃.

困平面DEG,

；.A8〃平面DEG.

例3解析：

分別以AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則尸(0,0,1),C(l,

1,0),￡)(0,2,0).假設(shè)在棱PC上存在符合題意的點(diǎn)E,設(shè)E(0,y,z),則屈=(0,y,z

-1),麗=(0,2,-1).VPE^PD,.力(一1)一2(z-l)=0①

VAD=(0,2,0)是平面的法向量，CE=(-1,y-\,z)

...由CE〃平面抬B,可得而，前1,y-l,z).(0,2,0)=2。-1)=0.

；.y=l,代入①式得z=”E是PO的中點(diǎn)，即當(dāng)E為P。的中點(diǎn)時，CE〃平面以區(qū)

跟蹤訓(xùn)練2證明：如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,則

D(0,0,0),Aid，0,1),仇1,1,0),M(0,1,1),咤1,1),于是西=(1,0,

1),麗=(1,1,0),而=弓，0,1).

設(shè)平面Ai8。的法向量為"=(x,>1,z),則

n?DA1=x+z=0,

n?DB=x+y=0,

取x=l,則y=-l,Z=-1,

平面48。的一個法向量為〃=(1,-1,-1).

又麗?〃=(：,0,|)-(1,-1,-1)=0,

又MNQ平面A\BD,〃平面A\BD.

例4證明：

如圖，分別以D4,DC,所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

正方體棱長為a,則D(0,0,0),A(a,0,0),At(a,0,a),￡>i(0,0,a),B\(a,a,a),

B(a,a,0),Ci(0,a,a),

；.嗚0,a),M(a,a),

E6，a,a),F(0,|,a),

AAN=(-|,0,a),

NM=(|,I，0),而=(a,a,0),DF(0,pa).

設(shè)平面AMN與平面EFCB的法向量分別為,"=（笛，》,z?和"=（尬，丫2,Z2）,

?,fm-AN=0,(-^Xt+0-yj+azx=0,

2

則一二aa

(m?NM=0,+-yx+0?z1=0,

??巾=X]=2z].取Z]■—19則X]=2,y12.

J平面AMN的一個法向量為m=(2,—2,1).

同理可得平面EFQB的一個法向量為〃=(2,—2,1).

V/n=n,：.m〃〃、，平面AMN〃平面EEDB.

跟蹤訓(xùn)練3證明：

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為2,則E(l,1,0),F(l,0,

1),G(2,1,1),H(l,1,2),M(l,2,1),MO,1,1).

.*.EF=(O,-1,1),EG=(1,0,1),HM=(0,1,-1),HN=(-1,0,-1).

設(shè),”=(X1,Z|),"=(X2,y2,Z2)分別是平面EFG和平面4MN的法向量，

由F三必得

(m-EG=0,I