高中數(shù)學(xué)解題思維與思想

《高中數(shù)學(xué)解題思維與思想》

導(dǎo)讀

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培

養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策

略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：

一、數(shù)學(xué)思維的變通性

根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案

二、數(shù)學(xué)思維的反思性

提出獨(dú)特見解，檢查思維過(guò)程，不盲從、不輕信。

三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

考察問(wèn)題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無(wú)誤。

四、數(shù)學(xué)思維的開拓性

對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題

目運(yùn)用多種不同的解法。

什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。

《思維與思想》的即時(shí)性、針對(duì)性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了

全面驗(yàn)證。

一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略

第一講數(shù)學(xué)思維的變通性

一、概念

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，

必須具有思維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。

根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：

(1)善于觀察

心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高

級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，

它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。

任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目

的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過(guò)表面現(xiàn)

象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

七以1

例或口，永和--1-1------1--+1+?■?+------------.

1-22-33-4n(w+1)

這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且

---=-一一—,因此，原式等于1—…—---1—-匚問(wèn)題很快就

〃(幾+1)nn+1223nn+\n4-1

解決了。

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、

間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，

靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問(wèn)題打開缺口，不斷深入。

Y-4-V=2

例如，解方程組1.

xy=-3

這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為-3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，工、

y是一元二次方程?一2?-3=0的兩個(gè)才艮，

所以H二?可見，

聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

(3)善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。可見，

解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方

法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化

成具體問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題

之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。

例或口，已次口—F—+—=,(abc^0,a+b+c^0),

abca+b+c

求證a、b，c三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。

恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：

(a+b)(b+c)(c+a)=0

思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一

種思維方法解決若干問(wèn)題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就

是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，

必須加以克服。

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體

體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)觀察能力的訓(xùn)練

雖然觀察看起來(lái)是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須

重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，

采用特殊方法來(lái)解題。

例1已知a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，求證J/+/+J,2+/2—c-+(b—dp

思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的

結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而

左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，4

可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。1

證明不妨設(shè)A(a,”B(c,d)如圖1-2-1所示，/\

則|AB|=J(q_c)2+S-d)2.\

|0/1|=4a1+b2,\OB\=ylc2+d2,小朗7T"

在AOAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：

|0A|+|05|>|AB|當(dāng)且僅當(dāng)0在AB上時(shí),等號(hào)成立。

因此.，y/a2+b2+y/c2+d2>yl(a-cy+(b-d)2.

思維障礙很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等,

而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離

公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，

平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。

例2已知31+2/=6x,試求的最大值。

解由3/+2『=6x得

32c

y2=—x+3x,

2

3

y2N0,「.——+3xN0,04xK2.

aiQ

又一+y2=/+3]=(x-3)2+—,

1Q

.?.當(dāng)X=2時(shí)，/+2有最大值，最大值為一一(2-3)2+-=4.

22

思路分析要求，+y2的最大值，由已知條件很快將/+y2變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

1Q

/(x)=—,(x—3)2+于然后求極值點(diǎn)的X值，聯(lián)系到>220,這一條件，既快又準(zhǔn)地

求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。

思維障礙大部分學(xué)生的作法如下：

3

由3—+2)>2=6工得y2-~~x2+3-V,

.x2+y2—x2--3-x2+3-jx=—1/(x—3)H—9,

222

Q

當(dāng)x=3時(shí)，/+y2取最大值，最大值為]

這種解法由于忽略了V20這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審

題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注

意主要的已知條件，

又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。

有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。

例3已知二次函數(shù)/(x)=ax?+bx+c=0(“>0),滿足關(guān)系

f(2+x)=f(2-x),試比較/(0.5)與/(%)的大小。

思路分析由已知條件/(2+x)=/(2-x)可知，在與x=2左右等距離的點(diǎn)的函

數(shù)值相等，說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又由

已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致

圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。

解(如圖1-2-2)由/(2+x)=/(2-x),

知/(x)是以直線x=2為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線

它與x=2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。

?.?[2-0.5|〉|2-司.?./(0.5)>/(左)

思維障礙有些同學(xué)對(duì)比較/(0.5)與/(1)的大小，只想到求出它們的值。而此題

函數(shù)/(x)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值，所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充

分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問(wèn)題，對(duì)每一個(gè)已知條

件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。

(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練

例4在AABC中，若NC為鈍角，則崢41gB的值

(A)等于1⑻小于1?大于1(D)不能確定

思路分析此題是在A48c中確定三角函數(shù)rgAJgB的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)

正切的兩角和公式fg(A+B)=3+3可得下面解法。

lTgA-tgB

解:/C為鈍角，.?.吆。<0.在人48。中4+8+。=%，。=%-(4+5)

且4、8均為銳角，

?'?tgC=tg\7T-(A+B)]=-tg(A+B)=一吆"：<0.

1-tgAtgB

,/tgA>Q,tgB>0,：.1-tgAtgB>0.即tgAtgB<1.

故應(yīng)選擇(B)

思維障礙有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基

本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。

例5若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,證明：2y=x+z.

思路分析此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，

不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知

識(shí)來(lái)證題。

證明當(dāng)x-ywO時(shí)，等式(z-x)?-4(x-y)(y-z)=0

可看作是關(guān)于，的一元二次方程(x-+(z-x)r+(y-z)=0有等根的條件，在

進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1,根據(jù)韋達(dá)定理就有：

—~~-=1即2y=x+z

x-y

若x-y=O,由已知條件易得z-x=0,即x=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式^+從=。2,又〃為不小于3的自然

數(shù)，求證：a"+b"<c".

思路分析由條件/+/=c、2聯(lián)想到勾股定理，或b、c可構(gòu)成直角三角形的三

邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。

證明設(shè)a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、。.則。是直角，A為銳角，于是

ab

sinA=—,cosA=—,JL0<sinA<1,0<cosA<1,

cc

當(dāng)〃23時(shí)，有sin"A<sin?A,cosnA<cos2A

于是有sin"A+cosnA<sin2A+cos2A=1

即(-)"+(-)"<1,

cc

從而就有a"+bn<c".

思維阻礙由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)〃的命題，一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法

來(lái)證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)

代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。

(3)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練

我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征,

聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，

往往使問(wèn)題很快得到解決，所以，進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。

<i)轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目

例11已知a+b+c=工+,+』=1,求證a、b、c中至少有一個(gè)等于1。

abc

思路分析結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表

示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。a、b、c中至少有一個(gè)為1,也就是說(shuō)a-1、b-1、c-1

中至少有一個(gè)為零，這樣，問(wèn)題就容易解決了。

證明v-+-+-=l,be+ac+ah=abc.

abc

于是(a-l)(b-l)(c-1)=abc-(ab+ac+-1)+(a+b+c)=0.

/.〃一1、b-l、c-l中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為1。

思維障礙很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者

中至少有一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問(wèn)題變

為熟悉問(wèn)題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。

例12直線L的方程為犬=一E，其中p>0;橢圓E的中心為。'(2+R,0),焦點(diǎn)

22

在X軸上，長(zhǎng)半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(g,0),問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取

值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距

離。

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線

y2=2px(1)

是，又從已知條件可得橢圓E的方程為

[X—(2+，)產(chǎn)

-----------z—+y2=i(2)

4

因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的取值范

圍。將（2）代入（1）得:

x2p-4)x+3―+2p=0.(3)

4

確定〃的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組:

(7p-4>—4(2+2〃)>0

4

2

〈》+2p〉0

7/7-4<0

在p>0的條件下，得0<p<13.

本題在解題過(guò)程中，不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題：解方程組和不等式組的問(wèn)題。

?逆向思維的訓(xùn)練

逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方

式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問(wèn)題的反面，從反面入手，使問(wèn)題得到解決。

例13已知函數(shù)/（均=2，+3+〃，求證⑴|、|〃2）卜|〃3）|中至少有一個(gè)不

小于1.

思路分析反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的

解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用

反證法。

證明（反證法）假設(shè)原命題不成立，即⑴|、|/（2）］、|/創(chuàng)都小于1。

-1<2+優(yōu)+〃<1-3<優(yōu)+〃<一1①

則休2)|<1n<-l<8+2m+〃vl=><-9<2m+n<-7②

、|八3)|<1-1<18+3/n4-n<1-19<3/71+w<-17

①+③得-11<2m+〃<-9,

與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即Y⑴|、|一（3）|中至少有一個(gè)不小于1。

⑤一題多解訓(xùn)練

由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問(wèn)題

可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真

觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。

例14已知復(fù)數(shù)z的模為2,求卜-i|的最大值。

解法一(代數(shù)法)設(shè)z=x+yi(x、yeR),

則1+y2=4.|z-i\=次+(y-i)2=j5—2y.

???|y|<2,當(dāng)y=-2時(shí)，|z-i|g=3.

解法二(三角法)設(shè)z=2(cos6+isin。)，

貝U\z-i\=J4cos2」+(2sin6-1)2=j5-4sin6.

???當(dāng)時(shí)

sin6=-lIImax=3."

解法三(幾何法),f、

???閆=2」點(diǎn)2是圓/+：/=4上的點(diǎn)，,kA

|z-i|表示z與i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。-T―o\/

如圖一所示，可知當(dāng)時(shí)，—力

12-3z=—2iIImax=3.I

解法四(運(yùn)用模的性質(zhì))上方

?.?|z-z|<|z|+|-/|=2+l=3圖IT

而當(dāng)z=-2，時(shí),\z-i\=3./.|z-z|=3.

IIIImax

解法五(運(yùn)用模的性質(zhì))

v\z-/|2=(z-i)(z-i)=zz+(z-z)z+1

=5+2/(z),(/(z)表z的虛部).

又???|/(Z)K2,」.|ZTL=9,:.|Z-L「3.

第二講數(shù)學(xué)思維的反思性

一、概述

數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解，精細(xì)地檢查思維過(guò)程，不盲

從、不輕信。在解決問(wèn)題時(shí)能不斷地險(xiǎn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問(wèn)題的方法，

它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們

的創(chuàng)造性思維。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。

v-

例1已知/(x)=ax+—,若一34/(1)40,34/(2)46,求”3)的范圍。

b

錯(cuò)誤解法由條件得

-3<a+b<0

<b

3<2a+-<6

I2

①

②

②X2-①得6<a<15

③

①X2-②得

333

④

公小,口10.b4310，小43

③+④得—<3a+-<一，n即r1一V/(3)W—.

33333

錯(cuò)誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)

f(x)=ax+~,其值是同時(shí)受。和〃制約的。當(dāng)。取最大(小)值時(shí)，b不一定取最大

b

(小)值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法由題意有

/⑴=a+b

〃2)=2a+g

i2

解得：a=-[2/(2)-/(l)],b=-[2/(l)-/(2)],

???/(3)=3。+。吟/(2)+1).

把/⑴和/⑵的范圍代入得y</(3)<y.

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。

只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。

例2證明勾股定理：已知在AABC中，ZC=90°,求證c2=a2+b2.

錯(cuò)誤證法在R/AA8C中，sin=—,cosA=—，而sin2A+cos2A=1,

cc

；.（a）2+P）2=l,即°2=“2+。2

錯(cuò)誤分析在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sir？A+COS2A=1這個(gè)公式本身是從勾股定理

推出來(lái)的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證

的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、

法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣

才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體

現(xiàn)。

(2)驗(yàn)算的訓(xùn)練

驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。通過(guò)驗(yàn)算，可以檢查解題過(guò)程的正確性，

增強(qiáng)思維的反思性。

例3已知數(shù)列3,｝的前〃項(xiàng)和S“=2"+1,求

n

錯(cuò)誤解法an=S?-S,i=(2+1)-(2"-'+1)=2"-2"-'=2"-'.

錯(cuò)誤分析顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，?,=S,=32W=1,錯(cuò)誤原因，沒有注意公式

a“=S“-S,i成立的條件是〃22(neN).因此在運(yùn)用a?=Sn-S,-時(shí)，必須檢驗(yàn)〃=1

（〃=1）

時(shí)的情形。即：an

S〃（〃之2,〃￡N）

例4實(shí)數(shù)。為何值時(shí)，圓/+y2一2〃工+〃2_]=。與拋物線,2=gx有兩個(gè)公共

點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法將圓+y2-2以+〃2-1=0與拋物線聯(lián)立，消去y,

得X2-(2a--)x+a2-1=0(x>0).①

2

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相

等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得—

a2-l<0.

171

因止匕當(dāng)。=一或一1<“<1時(shí)，圓/+/-26+“2-1=0與拋物線y2=—X有兩

82

個(gè)公共點(diǎn)。

思考題：實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x?+)"一2ax+“2一1=。與拋物線y?=gx,

(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；

(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；

(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；

(4)沒有公共點(diǎn)。

養(yǎng)成險(xiǎn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；

對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生

變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。

(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利

于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)

表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

例530支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問(wèn)需要安排多少場(chǎng)比賽？

解因?yàn)槊繄?chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)

安排29場(chǎng)比賽。

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15+7+4

+2+1=29場(chǎng)比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要

淘汰29支隊(duì)，那么必有29場(chǎng)比賽。

例6解方程/-2X+3=COSX.

考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y=(x-1)2+2,y=cosx,它們的圖象無(wú)交點(diǎn)。

所以此方程無(wú)解。

例7設(shè)a、,是方程--2履+k+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則(a-1尸+(2—的最小

值是()

49

(A)--;(B)8;(C)18;(。)不存在

4

思路分析本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：a+。=2k,a/3=k+6,

("1)2+(6-1)2-2a+\+J32-2/3+1

=(cc+/?)'—2aB—2(a+尸)+2

3、249

二4(左—)----?

44

有的學(xué)生一看到-42Q，常受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏

4

反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，

就能從中選出正確答案。

原方程有兩個(gè)實(shí)根a、，，

A=4《—4(%+6)N0,k<-2或一N3.

當(dāng)一23時(shí),(a—I)?+(￡—1)2的最小值是8;當(dāng)一?-2時(shí),(a—1產(chǎn)+(￡—1)2的最

小值是18;

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有(B)正確。

第三講數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

二、概述

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問(wèn)題時(shí)嚴(yán)

格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的

科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素

的影響，中學(xué)生的思維過(guò)程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

概念模糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。

因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容

易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。

判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維

形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。

例如，"函數(shù)y=(1)-'是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。

推理錯(cuò)誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)

合。任何一個(gè)論證都是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)密。

例如，解不等式x>L

X

解X2>1,

X

：,X>1,或X<-1.這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由X>'推導(dǎo)>1時(shí)，沒有討論X的

X

正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。

二、思維訓(xùn)練實(shí)例

思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。

(1)有關(guān)概念的訓(xùn)練

概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

知識(shí)的前提J《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》(試行草案)

2

例1、不等式log,，+2)(3x2-2x-4)〉10g(x2+n(X-3X+2).

錯(cuò)誤解法vx2+2>1,

3x~-2x-4>x?-3x+2,

2廠+x—6>0,x>一<—2.

2

錯(cuò)誤分析當(dāng)x=2時(shí)，真數(shù)1-3x+2=0且x=2在所求的范圍內(nèi)(因2〉±),說(shuō)

2

明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件

造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

正確解法?/%2+2>1

1+V131-V13

x>---------或x<-----------

3——2x—4>033

%2-3x+2>0/.*x>2或x<1

3x~—2x—4>%2—3x+2

x>一<—2

2

x>2或x<-2.

例2、求過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線，使它與拋物線V=2x僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線為y=H+l,則它與拋物線的交點(diǎn)為

Iy=kx+\,,△

\，消去），得：（kx+l）2—2x=0.

[y=2x

整理得A?/+（2%-2）x+l=0.?.?直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，

△=0,解得k='.所求直線為y=，x+1.

22

錯(cuò)誤分析此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為y=kx+l時(shí)，沒有考慮％=0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是

承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解

法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只

有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所

以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即女*0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（0,1）,所以x=0,即

y軸，它正好與拋物線V=2x相切。

當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y=l,平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個(gè)交

點(diǎn)。

設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線為y=依+1（左/0）則

y=kx+lI

{22，二公工2+（2k_2）工+1=0.令A(yù)=0,解得攵=*所求直線為

1,

V=—X+1.

2

綜上，滿足條件的直線為：

y=1,x=0,y--x+1.

（2）判斷的訓(xùn)練

造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。

①注意定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中

難免出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例3、實(shí)數(shù)加，使方程/+（相+4，w+1+2加=0至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法?.?方程至少有一個(gè)實(shí)根，

A=(m+4z)2-4(1+2mi)-m2—20>0.

m>2A/5,或機(jī)4-245.

錯(cuò)誤分析實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是

對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，

造成解法錯(cuò)誤。

正確解法設(shè)。是方程的實(shí)數(shù)根，則

a2+(用+4z)cz+1+2nii=0,

a2+ma+1+(4a+2m)i=0.

由于4、〃?都是實(shí)數(shù)，

’2

cT+1=0

二.V

4〃+2m=0

解得m=±2.

例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)F(10,0),離心率e=2,求雙曲線方程。

2

錯(cuò)解1,/x=—=4,c=10,.*.a2=40,.*.b2=c2—a2=60.

c

故所求的雙曲線方程為

4060

錯(cuò)解2由焦點(diǎn)尸(10,0)知c=10,

e=—=2,.*.a=5,b2=c2-a2=75.

a

故所求的雙曲線方程為

22

-------=i.

2575

錯(cuò)解分析這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心

在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)

產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。

正解1設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)

F(10,0),離心率e=2,由雙曲線的定義知

1(X-10)2+y2

整理得蜜

正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(〃?,())

則,。+加=10解得<c=8

cm=2.

一二2.I

a

所以=c2_42=64—16=48,

(X-2)2y2

故所求雙曲線方程為

1648

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用

我們知道：

如果A成立，那么8成立，即AnB,則稱A是8的充分條件。

如果6成立，那么A成立，即B=>4,則稱A是8的必要條件。

如果A08,則稱A是5的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)

的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。

例5解不等式GIZx-3.

錯(cuò)誤解法要使原不等式成立，只需

X-120

<x-3>0,解得3Wx<5.

x-1>(x—3)2

A>Q

A>0

錯(cuò)誤分析不等式VI28成立的充分必要條件是:<B>0或

B<0

A>B2

x—120

,而忽視了另一種情況「一1"°

原不等式的解法只考慮了一種情況.x-320

x-3<0

x—1>(x—3)~

所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)

質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。

正確解法要使原不等式成立，則

x-l>0

X—120

<x-3>0或<

x-3<0

x—12(x—3)~

3<x<5,或

」.原不等式的解集為{xll?x45}

例6（軌跡問(wèn)題）求與）,軸相切于右側(cè)，

OC:x2+y2-6x=0也相切的圓的圓心

的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法如圖3-2-1所示，

已知OC的方程為3-3尸+與=9.

設(shè)點(diǎn)P（x,y）（x>0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且0P與y軸相切于M點(diǎn),

與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得

ICPhlPM\+3,即J（x—34+丁=x+3.

化簡(jiǎn)得y2=12x（x>0）.

錯(cuò)誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件）,

而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合

題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸

正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所

以y=0（x>0月/y3）也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是V=i2x（x〉0）和

y=0（x>0且x#3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，

這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全

部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

例7設(shè)等比數(shù)列的全〃項(xiàng)和為S..若邑+S6=2Sg，求數(shù)列的公比q.

錯(cuò)誤解法S3+56=259,

。［（1一/）。1（1一46）。［（1一49）

.,--------1--------=2---------

\-q\-q\-q

整理得/（2/一/一D=0

由夕。0得方程2/—/_1=0.（2/+1）（/-i）=o,

q=一等或q=i

錯(cuò)誤分析在錯(cuò)解中，由.（1-/）+-（1-力=2。（1-/）

\-q\-q\-q

整理得/（2q6-q3-D=0.時(shí)，應(yīng)有為#0和qwl.在等比數(shù)列中，a尸0是顯然的，

但公比q完全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比q=l的情況，再在“71的情況

下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。

正確解法若4=1,則有§3=3%,$6=6%,$9=9%.

但。產(chǎn)0,即得S3+S6H2s”與題設(shè)矛盾，故qwl.

又依題意S3+S6=259,

可得產(chǎn)（1-/）二＞（1-,）

l-q\-q\-q

整理得夕3（2豚一13一D=0.即（2/+1）（/一i）=o,

因?yàn)閝wl,所以/一1/0,所以2/+1=0.

所以q=~—.

2

說(shuō)明此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)

誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來(lái)方便。但是，如果一完全以圖形的

直觀聯(lián)系為依據(jù)來(lái)進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。

例8（如圖3-2-2）,具有公共y軸的兩個(gè)///\直角坐標(biāo)平

面a和夕所成的二面角a-y軸一Q等于60°.已知/?內(nèi)的曲線C'的方程是

V=2px'(p>0),求曲線C'在a內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法依題意，可知曲線C'是拋物線，

在月內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F'(§,0),p>0.

因?yàn)槎娼莂-y軸一,等于60。，

且x'軸±y軸，x軸±y軸,所以Z.XOX12=60°.

設(shè)焦點(diǎn)尸在a內(nèi)的射影是F(x,y),那么，/位于x軸上，

從而y=0,NF'OF=60°,ZF'FO=90°,

所以。尸=。尸.cos6()o=K'=K.所以點(diǎn)pg,。)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影

2244

是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。

所以曲線U在a內(nèi)的射影的曲線方程是>2=px

錯(cuò)誤分析上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為尸是射影(曲線)的焦點(diǎn)，

其次，未經(jīng)證明默認(rèn)C'在a內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。

正確解法在△內(nèi)，設(shè)點(diǎn)M(x',y')是曲線上任意一點(diǎn)

(如圖3-2-3)過(guò)點(diǎn)M作，a,垂足為N,

過(guò)N作N”y軸，垂足為，.連接MH,

則MHJ.y軸。所以ZMHN是二面角

a—y軸一夕的平面角，依題意，NMHN=60°.

在RtAMNH中,HN=HM-cos60°=-x；

2

又知HM〃x'軸(或A/與。重合)，

HN〃x軸(或H與。重合)，設(shè)N(x,y),

1,

X=-XX=2x

則2

,=

y=yyy?

因?yàn)辄c(diǎn)M(x',y')在曲線y2-2px(p>0)上，所以y2=2P(2x).

即所求射影的方程為>2=4〃X（〃>0）.

（3）推理的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核

心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}

方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用

的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

例9設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸x在軸上，離心率e=@,已知旻P（0,3到

22

這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是求這個(gè)橢圓的方程。

22

錯(cuò)誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為二+二=15〉匕〉0）

ab

所以《=—,即a-2b.

a24

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,），）到點(diǎn)P的距離為d,

則d2=x2+（y--）2

=q2（l-二）+V-3y+-

b24

=-3（y+；）2+4/+3.

所以當(dāng)y=-（時(shí)，，有最大值，從而d也有最大值。

所以4/+3=（77）2,由此解得：。2=],a2=4.

于是所求橢圓的方程為日+/=1.

4

錯(cuò)解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正

確只是碰巧而已。由當(dāng)y=-2時(shí)，/有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒有考慮y到

的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)(x,y)在橢圓上，所以有-bWyWb,因此在求力的最

大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：

若匕<,,則當(dāng)y=—。時(shí)，d-(從而d)有最大值。

2

于是(by=3+。)2,從而解得a=77—3>工,與6矛盾。

2222

所以必有匕此時(shí)當(dāng)y=-』時(shí)，I?(從而")有最大值，

22

所以4b2+3=(近>,解得從=1,“2=4.

于是所求橢圓的方程為L(zhǎng)+/=1.

4

例10求y=_^+—^-的最小值

sinxcosx

生班128、三口18

錯(cuò)解1y=——+-—>2---------------=--------------

sinxcosxvsinxcos-xIsinxcosxI

161,1,

二?.」~~?-16,.y-16.