高中數(shù)學：導數(shù)及其應用

專題：導數(shù)及其應用

題型一導數(shù)的幾何意義

1.(2016年山東)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=.f(x)

具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

A.y=sinxB.y=lnxC.y=e'D.y=x3

2.(2016年四川)設直線4,4分別是函數(shù)/*)=《—Inx,0<x<1,圖象上點6,尸,處的切線，4與/,垂直相交于點

[lnx,x>1,

p,且小人分別與y軸相交于點A，B,則△au?的面積的取值范圍是

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+8)D.(1,+8)

3./(x)=Inx過原點的切線為,g(x)=ex過原點的切線為,

題型二發(fā)現(xiàn)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)求導處理

3.(2011湖南)設直線x與函數(shù)/(?=/,g(x)=lnx的圖像分別交于點則當|M/V|達到最小時，的

值為

1V5V2

A.1B.-C.---D.---

222

4.(2015四川)已知函數(shù)/(x)=2"g(x)=x2+ax(其中aeR).對于不相等的實數(shù)

x?x2,設〃=<?(%)-<?(/),現(xiàn)有如下命題：

X]-xzxt-x2

①對于任意不相等的實數(shù)%,馬，都有加>0；

②對于任意的4及任意不相等的實數(shù)%,々，都有“>0；i

③對于任意的a,存在不相等的實數(shù)%,々，使得"?=〃：

④對于任意的a,存在不相等的實數(shù)%,々，使得加=-n.

其中的真命題有(寫出所有真命題的序號).

題型三導數(shù)的計算

5.己知函數(shù)/(x)=@Inx+上車，其中a>0.若/(幻有極值，則它的所有極值之和為_____.

21+Vx

6.(2017浙江)已知函數(shù)/(x)=(x-j2x-l)e-*(xeg

(I)求/(x)的導函數(shù)；

(II)求/(X)在區(qū)間［；,+8)上的取值范圍.

7.(2018天津)已知函數(shù)/。)=優(yōu)，g(x)=log“x,其中”>1.

(1)求函數(shù)A(x)=/(x)—xlna的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)在點(%,/區(qū)))處的切線與曲線y=g(x)在點(無2,g(無2))處的切線平行，證明

/、2InIn。

玉+g(*2)=一一,----；

Ina

題型四求導后——解不確定分類討論

8.(2017山東)已知函數(shù)f(x)=x2+2cosx,g(x)="(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底

數(shù).

(I)求曲線y=/(x)在點(肛/(乃))處的切線方程；

(II)令〃(x)=g(x)-4f(x)(aeR),討論〃(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

9.(2016年四川)設函數(shù)/(x)=ax?-a-lnx,其中awR.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)確定。的所有可能取值，使得/(X)〉1—el在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)).

x

題型五求導后一一有解難求代入使用

10.(2016年全國H)

⑴討論函數(shù)/(x)==e，的單調(diào)性，并證明當x>0時，(x-2)e*+x+2>0；

(II)證明：當時，函數(shù)g(x)=吐手工(x>0)有最小值.設g(x)的最小值為〃⑷，求函數(shù)〃⑷的值

域.

11.(2017江蘇)已知函數(shù)/。)=丁+以2+區(qū)+1(。>0力eR)有極值，且導函數(shù)/'(X)的極值點是/(x)的零

點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)

(1)求匕關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(2)證明：h2>3a；

(3)若/(x),/'(X)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-；