數(shù)學(xué)名題思維學(xué)導(dǎo)課堂特色項(xiàng)目以《雞兔同籠》為例

基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂實(shí)踐研究

--以《雞兔同籠》為例

【摘要】“知識是手段，不是目的。思維才是最有效的?！苯?gòu)思維課堂，

提升學(xué)生思維品質(zhì)，首先為學(xué)生提供有思考價值的素材。然后是促進(jìn)學(xué)生從低階

思維（了解，理解，運(yùn)用）邁向高階思維（分析，綜合，創(chuàng)造）。關(guān)鍵是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)

會表示思考過程的方法。以數(shù)學(xué)名題《雞兔同籠》為例，淺談基于數(shù)學(xué)名題的思

維課堂主要問題：第一，如何引導(dǎo)學(xué)生讀有價值的數(shù)學(xué)名題？第二，如何引導(dǎo)

學(xué)生想已知未知數(shù)量關(guān)系？第三，如何引導(dǎo)學(xué)生能觸類旁通拓展延伸？拋磚引

玉。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)名題思維課堂

“知識是手段，不是目的。思維才是最有效的。”但思維的隱形增加了思維

培養(yǎng)的難度。數(shù)學(xué)課堂上很多學(xué)生學(xué)習(xí)“抄近路”，回答問題只說答案。教師追

問思考過程，表述不清，缺乏表達(dá)思考過程的能力。正因?yàn)槌橄蟮乃季S隱形于學(xué)

生的學(xué)習(xí)活動中，教師不能準(zhǔn)確把握學(xué)生思維動態(tài)。更何況學(xué)生思維品質(zhì)的提升，

不是一朝一夕的事，是一個長期積累的過程。一節(jié)課的效果不能立竿見影，所以

思維品質(zhì)的培養(yǎng)容易被老師們忽視。

如何建構(gòu)思維課堂，提升學(xué)生思維品質(zhì)呢？

首先為學(xué)生提供有思考價值的素材。數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)發(fā)展史中有一定的歷史

故事與情節(jié)，有數(shù)學(xué)著作記載或民間流傳的有代表性的數(shù)學(xué)問題。如雞兔同籠、

李白喝酒、以碗知僧、百錢白雞、韓信點(diǎn)兵……數(shù)學(xué)題之所以能成為名題，大多

數(shù)是因富含哲理且寓于生活之中，讀之妙趣橫生而又回味無窮，因此很多名題

都是大家所喜聞樂見的。以數(shù)學(xué)名題為載體，適當(dāng)介紹有關(guān)的背景知識，幫助學(xué)

生感悟深厚的數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用。思維課堂要實(shí)現(xiàn)的條

件是教師要掌握核心技術(shù)：教師自身提問的技術(shù)和激發(fā)學(xué)生提問的技術(shù)。一名優(yōu)

秀的教師，應(yīng)該是學(xué)生思維的激發(fā)者。教師課堂提問應(yīng)該是學(xué)生思維燃燒起來的

火把。讓學(xué)生有適當(dāng)?shù)臅r間和空間自主發(fā)問“為什么？”能引起學(xué)生更多的想法。

如果老師的提問馬上能讓全體學(xué)生舉手回答，那不是好問題。主題式的數(shù)學(xué)名題

往往是個大問題，能讓學(xué)生進(jìn)入探究之中……

1

然后是促進(jìn)學(xué)生從低階思維（了解，理解，運(yùn)用）邁向高階思維（分析，綜合,

創(chuàng)造）?！靶∠壬鷮W(xué)習(xí)模式”是最高品質(zhì)的學(xué)習(xí)。基于“數(shù)學(xué)名題”經(jīng)典的學(xué)習(xí)

載體，通過學(xué)生“獨(dú)立自主研讀一一小組交流合作探究一一小先生匯報解說一

同伴認(rèn)真傾聽質(zhì)問--全班師生多維互動研討”，不斷刺激學(xué)生大腦，改變學(xué)生

線性思維，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)狀聯(lián)結(jié)，形成高階思維。思維層次有高低之分，而思維方法沒

有好壞之分，運(yùn)用哪種思維方法解決什么問題卻有決策優(yōu)劣之別。羅列出可解決

問題的種種方法，選用最合理思維方法解決問題，這是思維動態(tài)的決策能力。久

而久之，這種思維能力漸漸成為不容易改變的一種慣性，即思維品質(zhì)。思維的獨(dú)

創(chuàng)性，靈活性，敏捷性，深刻性，批判性……影響學(xué)生一生的學(xué)習(xí)，工作與生活。

這就是我們所要追求的學(xué)生核心素養(yǎng)。不唯書，不唯師，不唯上的批判性思維

的培養(yǎng)，能讓學(xué)生張開創(chuàng)造、想象的思維翅膀。

關(guān)鍵是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會表示思考過程的方法。通過一些具體的辦法讓抽象的思

維顯形，如：表述法、圖表法、操作法等將內(nèi)部思維轉(zhuǎn)化為外部動作。在同伴交

流中感悟。學(xué)會傾聽不同的聲音，大膽質(zhì)疑，提出不同觀點(diǎn)，討論爭辯。在自主

學(xué)習(xí)、同伴交流、質(zhì)疑思辨的過程中提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

根據(jù)以上要素的理論分析與課堂實(shí)踐，經(jīng)過幾年來的總結(jié)提煉而成“基于數(shù)

學(xué)名題的思維課堂”模式如下：

以數(shù)學(xué)名題《雞兔同籠》為例，淺談基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂主要問題：

第一，如何引導(dǎo)學(xué)生讀有價值的數(shù)學(xué)名題？“雞兔同籠''問題是我國民間

2

廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中，今被編入北師大版、蘇教版、

人教版、北京版等不同版本不同年級的教材中。如何充分利用數(shù)學(xué)名題“雞兔同

籠”在不同年級進(jìn)行不同思維方法的有效引導(dǎo)呢？我們要遵循兒童認(rèn)知規(guī)律，科

學(xué)合理地品讀數(shù)學(xué)名題。我們安排三、四、五、六年級學(xué)生讓四位老師同課異構(gòu)，

根據(jù)各個層次的年齡特征定位不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)。三年級目標(biāo)為畫圖策略；四年級

的目標(biāo)為從逐一列表假設(shè)拓展到跳躍列表假設(shè)；五年級的目標(biāo)定位為靈活運(yùn)用逐

一、折中和跳躍假設(shè)法，并學(xué)會用兩步假設(shè)來推理出正確答案，過渡到算術(shù)假設(shè)

法；六年級的目標(biāo)則定位為方法上的求聯(lián)，通過比較畫圖、列表、算術(shù)推理、方

程假設(shè)等各種方法，把所有的方法上升為一種假設(shè)的上位思想。學(xué)生思維發(fā)展由

具體到抽象的過程顯露無疑，充分體現(xiàn)了雞兔同籠的思維價值。由此可見：不同

年級確定不同目標(biāo)，采用不同方法品讀數(shù)學(xué)名題，符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，才能真正

讀懂?dāng)?shù)學(xué)名題。

第二，如何引導(dǎo)學(xué)生想已知未知數(shù)量關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生合理選用分析法、綜合

法、假設(shè)法等數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系?！峨u兔同籠》這一數(shù)學(xué)名題關(guān)

鍵是讓學(xué)生“自主探究、小組合作、小先生展示、質(zhì)疑辨析”，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用

假設(shè)法的同時，要化無形的思維為有形思維理清已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系。思

維本身就是很無形的感覺，如果老師們能在實(shí)施過程中化無形為有形，勢必會讓

學(xué)生的思維增量。如：三年級的課中采用畫圖的策略來解決問題，針對畫圖一次

不能到位而需要調(diào)整時，老師可用不同顏色的粉筆標(biāo)出腳太多時把兔調(diào)整為雞，

或者可以用圈的方法在旁邊標(biāo)注調(diào)整的過程，這樣學(xué)生的思維過程就表達(dá)出來

了。四年級的課中，學(xué)生出現(xiàn)圖1情況：折中假設(shè)尋到最終答案的過程中，教師

如圖2情況：學(xué)生的回答是通過2次折中假設(shè)得出正確答案，此時，教師可

順勢質(zhì)疑，為什么雞的只數(shù)再次取半，而不往上推理呢？因?yàn)槟_數(shù)太少，要增加

兔的數(shù)量，發(fā)展孩子的邏輯推理能力。

五年級的課堂如圖3：通過教師的表格數(shù)據(jù)比對，調(diào)整過程用箭頭顯現(xiàn)，學(xué)

3

生調(diào)整的過程一目了然，理解起來顯然輕松。兩步列表法發(fā)展到算術(shù)法只差臨門

一腳，因此通過兩步列表法理解過程，算術(shù)法來總結(jié)思維過程就水到渠成了。

鋅;設(shè)裝中有在X只，有維y只。

由是要毒亙T得：

:y=35-xCO

j-x+y=35Nx+4V=94(g)

L2x+4y=94CIMC入Cg)不尋Nx+4(M5-x)=94

解此方程縝瘠：

Nx+2y=7O<T)

―Nx+4y=94

rx=23

-L直)7成巨)恐，2丫=94-7。

者:笑中有推23只，兔。2只。

圖3

從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗(yàn)證到表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)

律的發(fā)現(xiàn)，從列表法自然聯(lián)想到假設(shè)法，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從無序到有序、從特

殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻等方面的巨大變化，學(xué)生的思維能力也

隨之得到了極大的提升。

第三，如何引導(dǎo)學(xué)生能觸類旁通拓展延伸？三、四、五年級的課堂中呈現(xiàn)

了大量的素材，幫助孩子們舉一反三建立雞兔同籠的模型，如：日本的龜鶴算、

三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題都屬于雞兔同籠模型下的思維拓展。

學(xué)生面對“日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題”，引導(dǎo)

他們給“雞兔同籠”重新取名。不經(jīng)意的點(diǎn)撥，適時的追問，讓學(xué)生一次次跳出

那只有形的“籠子”，超越各種具體的解題方法，上升為一種更具有普適性的思

想方法與策略一一假設(shè)，從而建構(gòu)起解決這類問題的更具有一般性的“數(shù)學(xué)模

型”，通過方法遷移會一題通一類。因?yàn)?，?shù)學(xué)是一門關(guān)于“模式”的科學(xué)，探

究的是解決某類問題的“通則通法”。

很多數(shù)學(xué)名題能體現(xiàn)某種策略的優(yōu)勢。如《李白喝酒》的倒推策略、《百錢

白雞》中的替換策略、《浮屠增級》中的假設(shè)策略……通過數(shù)學(xué)名題的閱讀，探

索分析和解決問題的有效方法，積累一系列相關(guān)的思維策略，掌握一題多解或一

解多題，提高思維的靈活性、敏捷性、深刻性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性?？傊?，基于數(shù)

學(xué)名題的思維課堂能很好地優(yōu)化學(xué)生思維方式，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

4

,兒宣視角：讓小學(xué)語文教學(xué)回歸本位"

[小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中形成性考試的編制和一。果分析“1a上

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附件2:課例

5

雞兔同籠教學(xué)設(shè)計(jì)(四上)

引領(lǐng)者：何小龍

教學(xué)目標(biāo)：

1.結(jié)合解決“雞兔同籠”的問題，體驗(yàn)借助畫圖進(jìn)行嘗試與猜測的解題策略。

2.知道與“雞兔同籠”有關(guān)的數(shù)學(xué)史，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶與感染。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解并能借助畫圖法進(jìn)行嘗試與猜測

教學(xué)難點(diǎn)：

能將畫圖法這一解決策略運(yùn)用于實(shí)際

教學(xué)過程：

一、課前活動

1.介紹簡筆畫

師：大家有學(xué)過簡筆畫嗎？數(shù)學(xué)中的簡筆畫是怎樣要求的呢？

出示：用最簡單的方法畫出圖形的特征

師：一起來讀一讀。讀完后，你有何感想？

2.畫一畫

(1)用最簡單的方式畫一只雞和一只兔。(10秒)

(2)明確最簡單的畫法

二、探究新知

問題1：雞和兔一起圈在一籠子里，其中雞有2只兔有3只。一共有幾個頭？

一共有幾條腳？

1.畫圖

師：我們先來看問題一，請一位同學(xué)來讀一讀，其他同學(xué)邊聽邊思考。

師：根據(jù)數(shù)學(xué)信息，你能畫一個簡圖嗎？

生畫，師巡視并指導(dǎo)。

2.列式

師：根據(jù)我們畫的圖，你能列式解答嗎？

引導(dǎo)：雞腳數(shù)：2X2=4兔腳數(shù)：3X4=12一共腳數(shù)：4+12=16

問題2：雞和兔一起圈在一籠子里，上面數(shù)有7個頭，下面數(shù)有18條腿。

6

雞、兔各有幾只？

師：請同學(xué)們默讀，一邊讀一邊思考問題。

1.問題1與問題2有什么不同？

引導(dǎo)：問題1知道雞和兔的只數(shù)，求腳的只數(shù)；問題2知道頭的個數(shù)和腳的

只數(shù)，求雞和兔的只數(shù)。

2.你能用畫圖的方法解決這個問題嗎？

（1）生自主思考，師巡視并做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)

（2）小組交流畫法

（3）展示交流：選擇對的數(shù)幅畫，選擇對的數(shù)幅畫，并讓學(xué)生說一說他們

的方法。方法可能會有湊湊的方法，添腳法，刪腳法，主要分析后兩種。

引導(dǎo)：先畫出所有的頭；再假設(shè)7個頭都是雞，那么腳就畫了14只，還剩

下4只腳；最后把剩下的4只腳添加到雞里，每只雞添加兩只。得到雞有5只，

兔有2只。

3.驗(yàn)算結(jié)果

師：我們通過畫圖和列式得到了雞和兔的只數(shù)，那么可以用什么方法來驗(yàn)

證我們的結(jié)果是對的還是錯的呢？

4.介紹雞兔同籠

師：你知道嗎？剛才我們解決的這個問題，已經(jīng)有1500年的歷史了。

課件出示：“雞兔同籠”問題是一道有著1500年歷史的數(shù)學(xué)名題。出自我國

古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》

5.算法大全

出示算法

師：人們經(jīng)過1500年的研究，總結(jié)出了很多的計(jì)算方法，學(xué)到這里，你有

和感想？

問題3：有鶴和烏龜都圈在一個籠子里。從上邊數(shù)腦袋是6個，從下邊數(shù)腳

是18只。問烏龜和鶴各是多少只？

師：剛才我們學(xué)校了我國古代數(shù)學(xué)名題，現(xiàn)在我們走進(jìn)一百五十年前，開

看看日本的數(shù)學(xué)古典名題。你能用今天所學(xué)的方法解答嗎？

1.獨(dú)立解決

7

2.展示匯報

三、鞏固練習(xí)

師：今天這節(jié)課，我們解答了兩道古代數(shù)學(xué)問題，那能否在現(xiàn)代找到類似

的數(shù)學(xué)問題呢？一起來看看吧！

1.在一個車庫里，停了小汽車和三輪車一共6輛，這些車一共有20個輪子。

那么小汽車和三輪車各有多少輛？

2.小紅的儲錢罐里有面值10元和5元的人民幣共12張，總錢數(shù)為100元，

兩種面值的人民幣各多少張？

3.在一場籃球比賽中，一名運(yùn)動員總共投中8個球，得了19分，那么他3

分球和2分球各投中了幾個？

4.公園里有大船和小船，每條大船可以坐6人，每條小船可以坐4人。401

班共38人，租了8條船。大船和小船分別租了多少條？

板書設(shè)計(jì)：

雞兔同籠

雞兔同籠（列表法解決）五上

8

引領(lǐng)者：杜黎明

一、教材解讀

北師大版義務(wù)教育教科書五年級上冊的《雞兔同籠》是放在“數(shù)學(xué)好玩”這

一專題中的，究其實(shí)質(zhì)而言是屬于“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”領(lǐng)域的一個內(nèi)容，其目的

是讓學(xué)生通過對生活中一些現(xiàn)象的觀察與思考，從數(shù)量的角度進(jìn)行合情推理。

“課標(biāo)”指出：“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”的主要任務(wù)是幫助學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識

和經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過自主探索，合作交流，解決與生活實(shí)際密切聯(lián)系的具有一定挑戰(zhàn)性

的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力。

“雞兔同籠”是我國古代的一道數(shù)學(xué)趣題，最早見于《孫子算經(jīng)》中，1500

年來，歷代數(shù)學(xué)家們都想出了很多解決雞兔同籠問題的方法。但本節(jié)教材的編排

主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身，而是借助雞兔同籠這個載體讓學(xué)生經(jīng)

歷列表、嘗試與不斷調(diào)整的過程，從中體會并優(yōu)化解決問題的一般策略一一列表。

二、學(xué)情分析

從學(xué)生情況看，列表法對學(xué)生并不陌生，二、三、五年級都曾用列表法解決

過租車、租船等問題。但由于一些學(xué)生在課外已事先接觸過用假設(shè)法、畫圖法等

方法解決雞兔同籠問題，這樣的情況對本節(jié)課的教學(xué)造成了一定的困擾。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.結(jié)合解決''雞兔同籠”的問題，體驗(yàn)借助列表進(jìn)行嘗試與猜測的解題策

略。

2.通過討論，了解嘗試與猜測、列表策略適用于哪些問題。

3知道與“雞兔同籠”有關(guān)的數(shù)學(xué)史，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶和感染。

教學(xué)重點(diǎn)：借助“雞兔同籠”這個載體讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的

過程，從中體會出解決問題的一般策略一一列表枚舉法。

教學(xué)難點(diǎn)：解決此類問題的調(diào)整策略，即在運(yùn)用“跳躍列表法”中的調(diào)整幅

度的大小。

四、教學(xué)過程

（一）開門見山，直接解題

同學(xué)們，你知道今天咱們學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？（雞兔同籠）有聽說過雞兔同籠嗎？

是什么意思啊？

9

（二）探究新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

雞兔同籠是我國古代名題，最早見于我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》。1500

多年來，數(shù)學(xué)家們想出了各種各樣的方法來解決這個問題。今天，怎么就要用“嘗

試與猜測”的方法來解決這個問題。

1.出示：雞兔同籠，有9個頭，26條腿。雞、兔各有幾只？

學(xué)生自由讀題，思考：這個題目中告訴我們哪些數(shù)學(xué)信息？（9個頭，26

條腿。每只雞、兔的腿數(shù)作為隱含條件，如有學(xué)生說出，則講，如無則留待后面

教學(xué)過程中再點(diǎn)出。）

2.雞兔各有幾只？請你大膽猜測一下，有哪幾種可能？你們的猜測都是圍繞

哪個條件展開的？（9個頭）

3.猜測的結(jié)果很多，怎樣才能吧所有可能出現(xiàn)的情況，既不重復(fù)、又不遺漏

的記下來呢？老師想到了咱們以前學(xué)過的列表法?，F(xiàn)在咱們用表格把所有的可能

都列出來。

4.現(xiàn)在請你思考一下，列表之后，我們能夠把這個問題解決了嗎？缺少什么

條件？（要計(jì)算腿的條數(shù)）把表格補(bǔ)充完整。

5.學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡回指導(dǎo)。

6.集中反饋：

（1）按無序、有序的順序展示，引導(dǎo)出有序思考。

（2）按有正確答案、沒有正確答案的順序展示，引導(dǎo)得到正確答案之后，

要用符號標(biāo)記，而且一般來說，得到正確答案之后，可以不用再繼續(xù)計(jì)算。

7.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律

PPT出示表格范例。提問：請仔細(xì)觀察，有什么發(fā)現(xiàn)？表格中什么是變的？

什么是不變的？

（1）得出列表枚舉法的一般步驟：比較一一調(diào)整。（比較：猜測的雞兔腿數(shù)

與數(shù)學(xué)信息中的腿數(shù)進(jìn)行比較。）

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每減少一只兔，增加一只雞，腿就少2條；每增加一只兔,

減少一只雞，腿就多2條。

（3）調(diào)整的方法：腿少：加兔減雞；腿多：減兔加雞。

小結(jié)：剛才咱們用列表法逐一列出了所有的可能性，然后按照順序進(jìn)行驗(yàn)證,

直到得出正確答案為止。假如現(xiàn)在籠子里有20個頭，30個頭，咱們是不是還這

樣把所有的可能性都先列出來呢？（不需要）可以一邊有序猜測，一邊驗(yàn)證。

10

（三）運(yùn)用規(guī)律，優(yōu)化列表

剛才，我們講到雞兔同籠這個問題是1500年前《孫子算經(jīng)》中的名題，現(xiàn)

在咱們來看一看，那時候的題目是怎么樣的？

1.出示：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

能看懂嗎？誰能用現(xiàn)在的話來說一說？你能解決嗎？

2.學(xué)生嘗試：剛才我們己經(jīng)用逐一列表法解決了一個雞兔同籠問題，發(fā)現(xiàn)了

其中的規(guī)律，現(xiàn)在老師請同學(xué)們還是用列表法來解決這個雞兔同籠問題。但老師

有個要求：請你根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用更簡單、更快捷的方法來解決。

3.學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，收集典型作業(yè)。

4.集中反饋：

（1）逐一列表：讓學(xué)生評價，你覺得怎么樣？

（2）跳躍列表：剛才老師講要更簡單、更快捷的方法，我們來看一下這份

作業(yè)，跟剛才那份比較，哪里不一樣？

請這位同學(xué)來說一說，為什么從1就直接到10（或者其他數(shù)字）了？你是

怎么想的？

能不能更快捷呢？（兩步列表法）重點(diǎn)講透規(guī)律。

（3）如出現(xiàn)取中列表，也可以講一講。（如沒有，就直接略過）。

（四）拓展應(yīng)用，熟練規(guī)律。

1.（日本龜鶴算）有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿一共112條，問龜和

鶴各幾只？

2.樂樂的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，總值5.1元，1角和5角

的硬幣各多少枚？

龜鶴算直接脫胎于雞兔同籠問題，略講。

儲蓄罐問題要理清哪個是頭，哪個是腿，哪個是雞，哪個是兔。

以下為挑戰(zhàn)題：

1.100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：

大、小和尚各有多少人？

2.買一些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票

多40張，那么兩種郵票各買了多少張？

（五）梳理知識，總結(jié)全課。

11

這節(jié)課你的收獲是什么？

五、板書設(shè)計(jì)

嘗試與猜測

列表法（有序）

調(diào)整逐一列表法

腿少：加兔，減雞。跳躍列表法

腿多：減兔，力口雞。（兩步）

規(guī)律（取中）

增加1只兔，減少1只雞，少2條腿;

減少1只兔，增加1只雞，多2條腿。

六上雞兔同籠教學(xué)設(shè)計(jì)（六上）

引導(dǎo)者：于建玲

教學(xué)目標(biāo):

12

1.了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性。

2.嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，學(xué)會用算術(shù)法來解決類似于雞兔

同籠的數(shù)學(xué)問題。

3.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、猜測、假

設(shè)等數(shù)學(xué)思想和方法。

教學(xué)重點(diǎn)：用算術(shù)法解決“雞兔同籠”問題

教學(xué)難點(diǎn)：算術(shù)法與列表法在方法上的溝通

教學(xué)具準(zhǔn)備：PPT課件。

教學(xué)過程：

一、揭示課題

1.同學(xué)們，今天老師和大家一起來學(xué)習(xí)一道我國古代非常有名的數(shù)學(xué)趣題一

雞兔同籠問題，早在1500多年前我國古代的一本數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》就有這

樣記載：指名讀“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”

（PPT投影展示原題，）題目是什么意思呢？抽生回答。（籠子里有若干只雞和兔，

從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？（PPT展示今

意）

2.其實(shí)這個問題我們在五年級的時候已經(jīng)學(xué)過，當(dāng)時我們用的是什么方法？這

里的雞和兔有點(diǎn)多，為了研究方便，我們把題目里的數(shù)字改小一點(diǎn)?；睘楹啠?/p>

（板書：這也是我們在數(shù)學(xué)上解決問題時經(jīng)常用的一種策略）改為“籠子里有若

干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭；從下面數(shù)，有26條腿。雞和兔各有幾只？”

（課件出示）

二、展示情境，嘗試探究

（一）初步嘗試。

1.那咱們先用以前學(xué)過的列表法來試一試。

2.反饋學(xué)生的方法。對比這些方法。（投影展示，展示學(xué)生的各種列表法總結(jié)：

不論是哪種方法都是先假設(shè)，猜測然后再調(diào)整。如逐一列表法，中間列表法、跳

躍列表法，老師這里也有一張列表法，有什么發(fā)現(xiàn)？）

小結(jié)：你們覺得用列表法解決雞兔同籠問題怎么樣？（很繁瑣）那我們今天就把

這些假設(shè)猜測過程用算式記錄下來。板書（算術(shù)法）

（三）嘗試假設(shè)法

1.我們先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思？（就是有8只雞和0只

兔，也就是假設(shè)籠子里全是雞，也就是把里面的兔也看成雞來計(jì)算了，那把一只

4條腿的兔當(dāng)成一只2條腿的雞來算就會少算兩條腿）（課件出示配以圖，算式

一起演示）

2.假設(shè)全是雞：（板書）

8X2=16（條）（如果把兔全當(dāng)成雞一共就有8*2=16條腿）

26-16=10（條）（把兔看成雞來算，4條腿兔有當(dāng)成兩條腿的雞算，每只兔就少了

兩條腿，10條腿是少算了兔的腿）

4-2=2（假設(shè)全是雞，是把4條腿的兔有當(dāng)成兩條腿的雞。所以4-2表示是一只

兔當(dāng)成一只雞就要少算2條腿。）

104-2=5（只）兔（那把多少只兔當(dāng)成雞算就會少10條腿呢？就看10里面有幾

個2就是把幾只兔當(dāng)成了雞來算，所以10+2=5就是兔的只數(shù)。）

8-5=3（只）雞（用雞兔的總只數(shù)減去兔的只數(shù)就是雞的只數(shù)，8-5=3只雞）

5.算出來后，我們還要檢驗(yàn)算的對不對，誰愿意口頭檢驗(yàn)。

13

生：3X2+5X4=26（只），5+3=8（只）。

師：看來做對了，最后寫上答語。

3.既然可以假設(shè)全是雞，當(dāng)然也可以假設(shè)全是兔。假如全部都是兔，那又是怎么

樣的呢？自己嘗試著寫一寫算式。

4.講評配以兔的演示（指名學(xué)生上來講評）

8X4=32（條）（如果把雞全看成兔一共就有8*4=32條腿）

32-26=6（條）（把雞當(dāng)成兔來算，兩條腿的雞當(dāng)成4條腿兔算，每只雞就多了兩

條腿，6條腿是多算了雞的腿）

4-2=2（假設(shè)全是兔，是把兩條腿的雞當(dāng)成有4條腿的兔。所以4-2表示是一只

雞當(dāng)成一只兔多算了2條腿。）

6+2=3（只）雞（那要把多少只雞當(dāng)成兔來算就會多算6條腿呢？就看6里面有

幾個2就是把幾只雞當(dāng)成了兔算，所以6+2=3就是現(xiàn)在雞的只數(shù)。）8-3=5（只）

小結(jié)：剛才我們假設(shè)全是雞或全是兔，這種方法就叫假設(shè)法。這是解答雞兔同籠

問題的一種基本方法。（板書：假設(shè)法）

三、練習(xí)

1.現(xiàn)在我們就用剛才學(xué)到假設(shè)法來解決《孫子算經(jīng)》中原題，你會做嗎？

課件出示《孫子算經(jīng)》中原題學(xué)生解答并集體講評（指名說解答過程）

四、延伸、應(yīng)用

1.課件出示“做一做1”

雞兔同籠問題傳到日本時就變成了“龜鶴問題”，你認(rèn)為“龜鶴問題”與“雞

兔同籠”有什么相似之處？課件出示（龜相當(dāng)于兔，鶴相當(dāng)于雞）

再比如生活中的數(shù)學(xué)問題：小紅的儲錢罐里有面值10元和5元的人民幣共

18張，總錢數(shù)為140元，兩種面值的人民幣各多少張？它也可以看成是雞兔同

籠的問題，有什么相通之處？

2.看來雞兔問題這類問題我們不只局限算雞和兔的只數(shù)問題上，只要能用“雞

兔同籠”問題來解答的問題都可以統(tǒng)一叫做“雞兔同籠”問題。下面我們就用剛

才學(xué)到的算術(shù)法，來解決生活中這一數(shù)學(xué)問題。

3.獨(dú)立完成練習(xí)二。反饋交流。

（四）列方程解

在解決雞兔同籠問題時，除了算術(shù)法外，還有方程的方法。出示方程法的解

法，讓學(xué)生自學(xué)，并說說解題思路。要用列方程的方法就必須找到等量關(guān)系式。

通過得到到信息能寫出哪些等量關(guān)系式呢？（兔的只數(shù)+雞的只數(shù)=8；兔的腿+

雞的腿=26條腿）（課件出示）

這里我們需要求兔的只數(shù)和雞的只數(shù)，共有兩個未知數(shù)。那我們可以設(shè)一個

未知數(shù)為X,再把另一個表示出來。這道題我們可以設(shè)兔的知數(shù)為X只，根據(jù)兔

和雞共有8只。那雞的只數(shù)就可以表示成：（8-X）只），因?yàn)橐恢浑u有2條腿，

所以X只雞就共有2X條腿。一只兔有4只腳，（8-X）只兔就有4（8-X）只腳。

又因?yàn)殡u和兔共有26只腳，所以2X+4（8-X）=26

到了初中，可以用兩個未知數(shù)分別表示雞的只數(shù)和兔的只數(shù)，這樣就變成了

方程組。其實(shí)經(jīng)過了上千年的研究，解決雞兔同籠問題的方法不少于30多種，

常用的就是列表法、算術(shù)法和方程法，古代的人還用“抬腿法”和“砍足法”，

如果你感興趣可以去查找一些資料，了解一下古代人怎么解的。

五、課后總結(jié)：本節(jié)課你有什么收獲？

板書設(shè)計(jì)

14

雞兔同籠

列表法算術(shù)法方程法

（假設(shè)、猜測）（等量關(guān)系）

繁

為

簡

雞/只876543210

兔/只012345678

腿/條161820222426283032

六年級雞兔

同籠教學(xué)設(shè)計(jì)（六下）

引導(dǎo)者：龔淑華

【教學(xué)目標(biāo)】

1.復(fù)習(xí)“雞兔同籠”的基本解法，在比較、辨析、概括中經(jīng)歷再次構(gòu)建“雞兔同

籠”模型的過程。

2.應(yīng)用假設(shè)的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷溝通畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法等方法之

間的聯(lián)系與區(qū)別，提高學(xué)生歸類整理的意識，能根據(jù)自身和實(shí)際情況選擇相應(yīng)策

略。

3.在現(xiàn)實(shí)的情境中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與解決實(shí)際問題的聯(lián)系，增

強(qiáng)學(xué)生的自信心，體會數(shù)學(xué)的價值。

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)工體會各種方法之間的聯(lián)系與區(qū)別。

【教學(xué)過程】

一、游戲熱身，體會聯(lián)系

1.游戲：

我們先來做個熱身游戲:請你表示1,但不能說1。

二、自主探索，溝通聯(lián)系

（一）交流討論，復(fù)習(xí)方法。

師：今天我們一起復(fù)習(xí)《雞兔同籠》板書

籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94條腿，雞和兔

共有幾只？

師：課前同學(xué)們已經(jīng)列舉了解決雞兔同籠的多種方法，四人小組里互相介紹。

（二）交流反饋，體會聯(lián)系。

預(yù)設(shè)：

1.算術(shù)法

方法1：假設(shè)都是雞

35X2=70（條）

94-70=24（親）

兔:244-（4-2）=12（只）

雞：35—12=23（只）

師：你聽明白了嗎？4-2表示什么？（兔和雞相差兩條腿）

15

為什么12是兔的數(shù)量而不是雞的？（因?yàn)榧僭O(shè)全是雞，每增加2條腿就把

一只雞置換成一只兔，置換了12次，就是12只兔）

和他方法一樣的舉手?？梢约僭O(shè)全是兔嗎？

方法2：假設(shè)都是兔

35X4=140（條）

140-94=46（條）（多出了46只腳）

雞:464-（4-2）=23（只）

為什么？（每減少2條腿就把一只兔置換成一只雞，置換了23次，就是23

只雞）

兔：35-23=12（只）

和他想法一樣的是哪些同學(xué)？

2.列表法

頭/心雞/只.兔/只.腿/條.

35“34?，IP72/

35P33“2P74/

35-32.3P76-

35P30，4P80P

35P......Q........p

35~23r12P9今

師：你能看明白嗎？每一列分別表示什么？你發(fā)現(xiàn)了什么？（每增加2條腿就把

一只雞置換成一只兔）

3畫圖法

師：你先畫什么？為什么兩條兩條畫？（每增加2條腿就把一只雞置換成一只

兔）

4.方程法

方法1：解：設(shè)兔有x只，則雞有（35—x）只。

4x+2X（35-x）=94

4x+2X35-2x=94

4x—2x=94-70

2X=24

X=244-2

X=12

35—12=23（只）

答:兔有12只，雞有23只

方法2：解：設(shè)雞有x只，則兔有（35—x）只。

2x+4X（35-x）=94

2x+4X35-4x=94

4x-2x=140-94

2X=46

X=464-2

X=23

35-23=12（只）

16

答:兔有12只，雞有23只。

師：選用方4法的同學(xué)有哪些？還有其他方法嗎？

小結(jié)：現(xiàn)在有“畫圖法”、“列表法”、“算術(shù)法”'“方程法”'……，你認(rèn)為哪種

方法最難？（你們都認(rèn)為畫圖列表比較麻煩，慢慢地，我們把好的方法留下，不

好的扔掉了。）

師：如果由這四種公展分分類，你會怎么分？說說理由？

預(yù)設(shè)：⑴畫圖法、列表法、算術(shù)法分為一類，方程法分為一類。（方程法有X,

用字母表示數(shù)是算術(shù)與代數(shù)最顯著的區(qū)別）

⑵畫圖法、列表法分為一類，算術(shù)法、方程法分為一類。（前者是基礎(chǔ)

版，后者是提高版）

⑶畫圖法和算術(shù)法分為一類，列表法和方程法分為一類。（PPT演示講）

（畫圖法和算術(shù)法假設(shè)全部是雞或者兔算術(shù)法就是把畫圖的過程變?yōu)樗?/p>

式，畫圖的每一步都對應(yīng)一個算式。列表法和方程法也有聯(lián)系;列表法

和方程法兩邊都是未知數(shù)。如果雞是1,兔就是幾？（35-1）,如果雞是

2,兔就是幾？（）如果雞是兔就是（）每只雞兩條腿,

35-2X,35-xo

所以要乘2,兔子呢？乘4,雞腿加兔腿等于94條腿。我們發(fā)現(xiàn)列表法

和方程法也是對應(yīng)的。）

師：你比較認(rèn)同哪種分類方法？這些方法有沒有相通的地方？

（畫圖、算術(shù)法、方程法都在假設(shè)全是雞，列表法呢？如果寫在表格上，該

怎么填，見下面紅色部分，和算術(shù)法可以對應(yīng)嗎？這4種方法都在假設(shè)。他們之

間既有聯(lián)系，又有區(qū)別。）（板書：假設(shè)）

皿/小成/口缶/口瞄/莖,

3535070-差

35，34.P72-2

35~33?沙74--

35”32.76.-

363a心88相差24條腿

（只）

3s.????????.......??24+2=12

3623.12/94.

（三）介紹解法，再次聯(lián)系。

1.二元一次方程組。

這個問題，等我們到了七八年級，還要再接觸一次，怎么做呢？

17

解：設(shè)籠中有雞X只，有兔y只。

由題意可得：

ry=35-x①

rx+y=3512x+4y=94②

L2x+4y=94①代入②得2x+4(35-x)=94

解此方程組得：

r2x+2y=70①

L2x+4y=94②

rx=23

ty=12②減①得2y=94-70

答：籠中有雞23只，兔12只。

師：這叫二元一次方程，設(shè)雞為X只，兔為Y只，雞頭加兔頭等于35,雞腿加

兔腿等于94條。（PPT）

師：這種方法和小學(xué)里哪種方法一樣？（RRT）

2..“抬足法”，古人不用方程，那又怎么算呢？所有的雞都用一條腿站立，說有

的兔都用兩條腿站立，這時地上還剩下幾條腿呢？94+2=47（條），每個頭對應(yīng)

1條腿，多余幾條腿就是兔子的只數(shù)。這也是假設(shè)法。

三、應(yīng)用模型，尋找聯(lián)系

1.和雞兔同籠相類似的問題還有沒有呢？我們來玩一個闖關(guān)游戲，看誰能把問

題看得最明白。

第一關(guān)：雞兔同籠問題從中國傳到日本，變成了“龜鶴問題”

有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共104條，龜、鶴各有多少只？

你看到了什么？（龜鶴問題可以看成雞兔同籠問題來解決）

第二關(guān)

在知識競賽中，有10道判斷題，評分規(guī)定：每答對一題得2分，答錯一題要

倒扣一分。小明同學(xué)雖然答了全部的題目，但最后只得了14分，請問，他答錯

了幾題？

A2X10=20（分）

20-14=6（分）

64-（2-1）=6（題）

B2X10=20（分）

20-14=6（分）

64-（2+1）=2（題）

你認(rèn)為哪種方法是正確的，理由是什么？和今天學(xué)的雞兔同籠問題有關(guān)

嗎？

第三關(guān)

神秘的太空有一個“克洛王國”，這里的動物都非常奇特，有雙頭一腳沒有

翅膀的“雙頭蛇”，有三頭一腳一對翅膀的“獨(dú)足龍”，還有四頭兩腳兩對翅膀的

“雙飛龍”。一天“雙頭蛇”家族、“獨(dú)足龍”家族和“雙飛龍”家族在林間聚會,

“蘑菇怪”數(shù)了數(shù)發(fā)現(xiàn)這些“雙頭蛇”、“獨(dú)足龍”、“雙飛龍”一共有227個

頭，104只腳，79對翅膀。請你幫“蘑菇怪”算算到會的“雙飛龍”有多少只？

18

小組討論一下，這個問題可以用今天學(xué)習(xí)的方法來解決嗎？

（關(guān)鍵：一腳一對翅、兩腳兩對翅，說明多出來的腳就是雙頭蛇的，因?yàn)樗鼪]

有翅膀。類似于古人的抬足法。保證頭數(shù)不變進(jìn)行調(diào)整，每四只獨(dú)足龍可以和三

只雙飛龍置換。用畫圖法理解。本題綜合運(yùn)用雞兔同籠的多種策略。）

三、總結(jié)提升，內(nèi)化聯(lián)系

上了今天的復(fù)習(xí)課，你覺得我們研究了這么久有意義嗎？

（打通方法之間的聯(lián)系，從一題多解到一解多題，再到多解一題，尋找千變?nèi)f化

的表象下不變的真理，這就是數(shù)學(xué)。）

四、板書設(shè)計(jì):

畫圖法---------列表法算術(shù)法

嬲麟

35X2=70除)v

9*70=24僚)v

拓24+(42)=12(R)

i35T2=23限卜

WB

35X4=140(I)?

140-94=46僚)，

四盼(4-2)=23(R>

電35-23=1刪

19

愛迪生與助手的數(shù)學(xué)故事

引領(lǐng)者：蔣巧君

學(xué)習(xí)內(nèi)容：學(xué)習(xí)《愛迪生與助手的數(shù)學(xué)故事》，舉一反三。

學(xué)習(xí)目的：用等量轉(zhuǎn)化法解決問題

學(xué)習(xí)對象：五年級下冊或六年級上冊。

學(xué)習(xí)過程：

一、導(dǎo)入

同學(xué)們，關(guān)于愛迪生知道哪些？我們一起來看：《愛迪生與助手的故事》。

在很久很久以前，有一次在實(shí)驗(yàn)室里，愛迪生把一只燈泡交給他的助手阿

普頓，讓他計(jì)算一下這只燈泡的容積是多少。（請學(xué)生用自己的語言說說“容積”

是什么意思。）

?再看：阿普頓是普林頓大學(xué)數(shù)學(xué)系高材生，又在德國深造了一年，數(shù)學(xué)

素養(yǎng)相當(dāng)不錯。你們猜一猜，阿普頓會怎樣計(jì)算？

接著看：他拿著這只梨形的燈泡，打量了好半天，又特地找來皮尺，上下量

了尺寸，畫出了各種示意圖，還列出了一道又一道的算式。一個鐘頭過去了。愛

迪生著急了，跑來問他算出來了沒有。''正算到一半?！卑⑵疹D慌忙回答，豆大的

汗珠從他的額角上滾了下來。“才算到一半？”愛迪生十分詫異，走近一看，哎

呀，在阿普頓的面前，好幾張白紙上寫滿了密密麻麻的算式。同學(xué)們看了以后，

你們想說什么?

繼續(xù)看：“何必這么復(fù)雜呢？”愛迪生微笑著說，“你把這只燈泡裝滿水，

再把水倒在量杯里，量杯量出來的水的體積，就是我們所需要的容積?！薄芭?！”

阿普頓恍然大悟。他飛快地跑進(jìn)實(shí)驗(yàn)室，不到1分鐘，沒有經(jīng)過任何運(yùn)算，就把

燈泡的容積準(zhǔn)確地求出來了。

師問：愛迪生聰明在哪里？（師生討論中得出并板書：化燈泡的容積為水

的體積，用等量轉(zhuǎn)化法解決問題）跟阿普頓的方法比一比，有什么好處？（師生

討論中得出并板書：化繁為簡，化難為易）

［反思］諼壞手通過塵勁感人的故事，讓當(dāng)塵初步體會等蜃箝

化思馥方法的含義和童耍梯，激發(fā)起當(dāng)代名燈等量轉(zhuǎn)化思馥方法的玄

劭梯和用驅(qū)力。

二、練習(xí)

1、基本練

20

（1）方法層面的練習(xí)

師說：在數(shù)學(xué)王國里，有很多數(shù)學(xué)難題可以用等量轉(zhuǎn)化法解決。

想一想：要測量出不規(guī)則磁鐵的體積，怎么辦呢？寫出你所選用的器材及

測量方法。

①（先獨(dú)立想一想寫一寫，再同桌交流）

②班上匯報交流：怎樣想的？對嗎？為什么？

有兩種方法：

方法一：用兩個大小不一的容器，小容器放在大容器里。小容器裝滿水，

放入不規(guī)則磁鐵，溢出的水倒入量杯讀出水的體積，這時水的體積就是不規(guī)則磁

4

鐵的體積。7

老師追問：該方法是“化什么為什么”？不規(guī)則磁鐵的體積=水溢出的體

積（板書）

方法二：在一個比較大的長方體容器中裝一定的水，算出水的體積，再放入

不規(guī)則磁鐵的體積，認(rèn)真讀出水面上升的高度，求出水面上升的體積，也就是不

規(guī)則磁鐵的體積。

老師追問：該方法是“化什么為什么”？不規(guī)則磁鐵的體積=水面升高的體

積（板書）

（2）技能層面的練習(xí)

算一算：如果在一個底面長2分米，寬1.5分米的長方體容器中放入一塊鐵

塊后水面升高了0.2分米，這塊鐵塊的體積是多少？（先獨(dú)立練習(xí)，再板演交流:

怎么想的？為什么？板書“化一一為一二'）

［反思］通過用等量輅化法巧妙解決問觀的實(shí)踐法勃，初步楮耒

當(dāng)皮其市豆勒使用等量轉(zhuǎn)化恩想方法的意輛，并健"化什么名什么”。

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2、變式練

快速轉(zhuǎn)化：想一想，說一說“化一-為一-?！?/p>

(1)化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形

(2)