江蘇省揚州市2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中專題復(fù)習(xí)勾股定理部分

揚州市八年級上學(xué)期期中專題復(fù)習(xí)勾股定理部分本資料以2023年揚州市各大區(qū)縣期中考試題目匯編而成，旨在為學(xué)生期末復(fù)習(xí)理清方向！一、單選題1．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）下列條件中，不能判斷（a、b、c為三邊，、、為三內(nèi)角）為直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）若一個三角形的三邊長分別為3，4，4.5，則這個三角形的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形3．（22-23八年級下·黑龍江佳木斯·期中）的三邊為且，則（

）A．邊的對角是直角 B．邊的對角是直角 C．邊的對角是直角 D．是等腰三角形4．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊、，現(xiàn)將折疊，使點B與點A重合，折痕為，則的長為（

）A． B． C． D．5．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，把長方形紙片ABCD折疊，B、C兩點恰好重合落在AD邊上的點P處,已知∠MPN＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么矩形紙片ABCD的面積為（

）A．26 B．28.8 C．26.8 D．286．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，一支長為的鉛筆放在長方體筆筒中，已知筆筒的三邊長度依次為，，，那么這根鉛筆露在筆筒外的部分長度x的范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題7．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB＝2，則圖中陰影部分的面積和為．8．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）下圖是公園的一角，有人為了抄近道而避開橫平豎直的路的拐角，而走“捷徑”，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“路”．已知米，米，只為少走米的路．9．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖所示，中，，，，求的長，如果設(shè)，則可列方程為．10．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面積依次為2、4、3，則正方形D的面積為．11．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）小明家有一塊如圖所示的地，其中陰影部分是兩個正方形，其他的是兩個直角三角形和一個正方形，米，米，小明家打算在陰影部分的土地上種花生，則種花生的面積為米2．12．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖所示，一棵大樹在距地的B處折斷，著地處A與樹根C的距離比著地處A與折斷處B的距離少，則原樹高為m．13．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，已知長方體的長，寬，高分別為3cm，4cm，12cm，在其中放入一根細(xì)棒，則細(xì)棒的最大長度可以是cm．14．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾?”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長?”．根據(jù)題意求出繩索的長為尺．三、解答題15．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）已知C、B、D在同一條直線上，且，．(1)求證：；(2)若設(shè)，，，試?yán)眠@個圖形驗證勾股定理．16．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，已知點與公路上的?？空镜木嚯x為，與公路上另一停靠站的距離為，停靠站之間的距離為，且．(1)求修建的公路的長；(2)一輛貨車從點到點處走過的路程是多少？17．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖1，蕩秋千是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推送（水平距離）時，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長度？18．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，作△ACE≌△BCD．（1）求證：AE⊥BD．（2）若AD＝1，CD＝3，試求出四邊形ABCD的對角線BD的長．19．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，對角線AC⊥BC．（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．20．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知，，，．技術(shù)人員通過測量確定了．(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點A經(jīng)過點B再到點C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開辟一條從點A直通點C的小路，請問如果方案落實施工完成，居民從點A到點C將少走多少路程？(2)這片綠地的面積是多少？21．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）公股定理神奇而美麗，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個全等的直角三角板和直角三角板，頂點F在邊止，頂點C、D重合，連接、．設(shè)、交于點G．，，（），．請你回答以下問題：(1)請猜想與的位置關(guān)系，并加以證明．(2)填空：=___________（用含有c的代數(shù)式表示）(3)請嘗試?yán)么藞D形證明勾股定理．22．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，將矩形沿對角線翻折，點B落在點F處，交于點E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求圖中陰影部分的面積．23．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）當(dāng)t為幾秒時，BP平分∠ABC；（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動．當(dāng)t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？24．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，對一個數(shù)學(xué)問題做如下探究：【問題背景】如圖①，在四邊形中，，，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的思路是：將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)到處，點B、C分別落在點A、E處（如圖②），易證點C、A、E在同一條直線上，并且是等腰直角三角形，所以，從而得出結(jié)論：．【理解圖形】（1）在圖①中，若，則．【提升應(yīng)用】（2）如圖③，，，若，求的長．（用含a、b的代數(shù)式表示）．（3）如圖④，，點P為的中點，若點E滿足，，點Q為的中點，則．25．（22-23八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒．(1)點運動結(jié)束，運動時間______；(2)當(dāng)點P到邊、的距離相等時，求此時t的值；(3)在點P運動過程中，是否存在t的值，使得為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．26．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B，D作AB⊥BD，DE⊥BD，連結(jié)AC，CE．（1）已知AB=3，DE=2，BD=12，設(shè)CD=x．用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最?。坎⑶蟪鏊淖钚≈?；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．27．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖1，在中，，，，．將繞點O依次旋轉(zhuǎn)、和構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù)．(1)請利用圖1證明勾股定理；(2)請利用圖1說明，并說明等號成立的條件；(3)請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：如圖2，在四邊形中，，．若，則這個四邊形的最大面積為__________．28．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）新定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形．(1)【初步嘗試】如圖1，已知中，，，，P為上一點，當(dāng)__________時，與為積等三角形；(2)【理解運用】如圖2，與為積等三角形，若，，且線段的長度為正整數(shù)，求的長；(3)【綜合應(yīng)用】如圖3，已知和為兩個等腰直角三角形，其中，，，F(xiàn)為中點．請根據(jù)上述條件，回答以下問題．①的度數(shù)為__________°．②試探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并寫出解答過程．29．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，中，，，，若點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，設(shè)運動時間為秒（）．(1)若點在上，且滿足，求此時的值；(2)若點恰好在的角平分線上，求此時的值：(3)在運動過程中，當(dāng)為何值時，為等腰三角形．30．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）定義：我們把三角形某邊上高的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的“中偏度值”．(1)如圖，在中，，，，求中邊的“中偏度值”；(2)在中，，，邊上的高，求中邊的“中偏度值”參考答案：1．D【詳解】A、∵，∴，是以為直角的直角三角形，不符合題意；B、∵，∴，是以為直角的直角三角形，不符合題意；C、∵，，∴，是以為直角的直角三角形，不符合題意；D、∵，，∴，，，不是直角三角形，符合題意；故選：D．2．A【詳解】，不能構(gòu)成直角三角形，是銳角三角形，故選：A．3．A【詳解】解：∵，∴，即，∴邊的對角是直角，故選：A．4．A【詳解】解：設(shè)，將一張直角紙片折疊，使點與點重合，折痕為，，．在中，，則，，整理得：，解得：，即的長為．故選：A．5．B【詳解】∵在△MPN中，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，∴MN=，∴BC=PM+MN+PN=12，過點P作PE⊥MN于點E，∴S△PMN=MNPE=PMPN，即PE=6，解得PE=，∴矩形ABCD的寬AB=，∴S矩形ABCD=ABBC=.故選B.6．B【詳解】解：由題意知，當(dāng)鉛筆垂直于筆筒底部放置時，鉛筆露在筆筒外的部分長度x最大，最大值為，由勾股定理得，長方體的對角線長為，當(dāng)鉛筆沿著長方體的對角線放置時，鉛筆露在筆筒外的部分長度x最小，最小值為，∴這根鉛筆露在筆筒外的部分長度x的范圍是，故選：B．7．2【詳解】解：設(shè)兩條直角邊是a，b，斜邊是c，則a2+b2＝22，∵AH2+CH2=AC2,∴AH=CH=b，同理：CF=BF=a，AE=BE=×2=，∴S陰影＝×（a）2+×（b）2+×（）2＝×（a2+b2）+1＝×4+1＝2，故答案為2．8．20【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，則：AC==50m所以少走的路為40+30-50=20m．故答案為20．9．【詳解】解：，，，，，，即，則可列方程為，故答案為：．10．9【詳解】由題意得，正方形E的面積為2+4=6，則正方形D的面積6+3=9.故答案為：911．25【詳解】兩個陰影正方形的面積和為（米2）．故種花生的面積為米2．故答案為：．12．18【詳解】解：由題意得，，，，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，∴，即原樹高為，故答案為：18．13．13【詳解】底面的對角線的長=長方體相對兩個角的連線=即細(xì)棒的最大長度可以是13cm．故答案為：13．14．14.5【詳解】解：延長到地面于，過作地面于，如圖所示：設(shè)繩索有x尺長，根據(jù)題意及所作輔助線，四邊形是矩形，則，在中，，，，則102＋（x＋1?5）2＝x2，解得：x＝14.5，即繩索長14.5尺，故答案為：14.5．15．(1)見詳解(2)見詳解【詳解】（1）證明：，，，又，；（2）解：，，，，梯形的面積，梯形的面積，，即．16．(1)(2)【詳解】（1）解：，，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的長是；（2）解：在中，（），故一輛貨車從點到處的路程是．17．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長為，則，在中，，∴，解得：，答：繩索的長度是．18．（1）證明見詳解；（2）BD=．【詳解】解：（1）設(shè)BD交AE于F，交AC于G∵△ACE≌△BCD．∴∠EAC=∠DBC，∵∠ABC＝∠BAC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-45°-45°=90°，∴∠CGB+∠GBC=90°，∴∠FAG+∠AGF=∠GBC+∠CGB=90°，∴∠AFG=180°-（∠FAG+∠AGF）=180°-90°=90°，∴AE⊥BD．（2）連接DE，∵△ACE≌△BCD．∴AE=BD，CE=CD，∠ACE=∠BCD，∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠BCD-∠ACD=∠BCA=90°，∴△DCE為等腰直角三角形，∴∠EDC=45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDA=∠EDC+∠CDA=45°+45°=90°，在等腰直角△DCE中，CD=CE=3,∴DE=,在Rt△ADE中，AD=1，DE=，∴AE=，∴BD=AE=．19．（1）12；（2）84．【詳解】（1），是直角三角形，，；（2），，是直角三角形，則四邊形ABCD的面積為，，，即四邊形ABCD的面積為84．20．(1)(2)【詳解】（1）如圖，連接，∵，，，∴，∴，答：居民從點A到點C將少走路程．（2）∵，．，∴，∴是直角三角形，，∴，，∴，答：這片綠地的面積是．21．(1)，見解析(2)(3)見解析【詳解】（1）解：證明：（2）解：=故答案為：（3）解：=即22．(1)見解析(2)【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，∴，∵折疊，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴，解得，，∴，∴．23．（1）3秒；（2）6秒或13秒或12秒或10.8秒；（3）4秒或12秒【詳解】解：（1）作PD⊥AB于D，如圖1所示：則∠ADP＝∠BDP＝90°，∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝8（cm），∵BP平分∠ABC，∴∠PBD＝∠PBC，在△PBD和△PBC中，，∴△PBD≌△PBC（AAS），∴BD＝BC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4cm，設(shè)PC＝PD＝xcm，則AP＝（8﹣x）cm，在Rt△ADP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴t＝3，即當(dāng)t為3秒時，BP平分∠ABC；（2）①若P在邊AC上時，BC＝CP＝6（cm），如圖2所示：此時用的時間為6秒，△BCP為等腰三角形；②若P在AB邊上時，有三種情況：a、若BP＝BC＝6cm，如圖3所示：此時AP＝4cm，AC+AP＝12（cm），即P運動的路程為12cm，所以用的時間為12秒，∴t＝12秒時，△BCP為等腰三角形；b、若CP＝BC＝6cm，過C作斜邊AB的高CD，如圖4所示：則BD＝PD，由面積法得：CD＝＝＝4.8（cm），∴BD＝＝＝3.6（cm），∴BP＝2BD＝7.2cm，∴P運動的路程為：AC+AB﹣BP＝8+10﹣7.2＝10.8（cm），∴t＝10.8秒，△BCP為等腰三角形；c、若BP＝CP時，如圖5所示：則∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC，∴PA＝PB＝AB＝5（cm）．∴P運動的路程為：AC+AP＝8+5＝13（cm），∴時間t為13秒時，△BCP為等腰三角形；∴t為6秒或13秒或12秒或10.8秒時△BCP為等腰三角形；（3）分兩種情況：①P、Q沒相遇前，當(dāng)P點在AC上，Q在AB上，如圖6所示：則AP＝8﹣t，AQ＝16﹣2t，∴8﹣t+16﹣2t＝12，∴t＝4；②當(dāng)P、Q相遇后，當(dāng)P點在AB上，Q在AC上，如圖7所示：則AP＝t﹣8，AQ＝2t﹣16，∴t﹣8+2t﹣16＝12，∴t＝12；∴t為4秒或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．24．（1）；（2）；（3）或【詳解】解：（1）在中，，由題意得，，故答案為：。（2）如圖，取線段中點O，連接，并延長到E，使得，連接，∵O是線段的中點，，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴是正方形，，，，根據(jù)題意結(jié)論得：，，∴，∵O是線段的中點，，，，，，，∵，∴；（3）當(dāng)點E在直線的左側(cè)時，如圖，連接，，點P是的中點，，，點Q是的中點，，，，∵，∴由勾股定理可求得：，由題目條件的證明過程可知：，，；當(dāng)點E在直線AC的右側(cè)時，如圖，連接，同理可知：，由勾股定理可求得：，由（2）的結(jié)論可知：，∴；綜上所述，的長為或．25．(1)(2)(3)存在，或3或或【詳解】（1）解：中，，，，，，點從點出發(fā)，以每秒的速度沿折線運動，點運動結(jié)束，運動時間（秒），故答案為：；（2）解：當(dāng)點P到邊、的距離相等時，平分，如圖，過作于，平分，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得，，，；∴當(dāng)點P到邊、的距離相等時，的值為；（3）解：根據(jù)題意，可分四種情況：①如圖，當(dāng)在上且時，，而，，，，是的中點，即，；②如圖，當(dāng)在上且時，；③如圖，當(dāng)在上且時，過作于，則，中，，，；④如圖，當(dāng)在上且時，，．綜上所述，當(dāng)或3或或時，為等腰三角形．26．（1）；（2）C是AE和BD交點時，AC+CE的值最小，最小值為13；（3）10【詳解】（1）在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB=3，DE=2，BD=12，CD=x，則BC=，AC+CE=；（2）如圖1所示：C是AE和BD交點時，AC+CE的值最小，過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，則AB=DF=3，AF=BD=12，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE=；（3）如圖2所示，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=4，ED=2，DB=8，連接AE交BD于點C．設(shè)CD=x，則BC=，∵AE=CE+AC=，∴AE的長即為代數(shù)式的最小值．過點A作AF∥BD交ED的延長線于點F，得矩形ABDF，則AB=DF=4，AF=BD=8．在Rt△A