高中數(shù)學二次函數(shù)試題

二次函數(shù)

1.（人教A版第27頁A組第6題）解析式、待定系數(shù)法

若/（》）=/+笈+0,且/（1）=0,/（3）=0,求/（一1）的值.

變式1：若二次函數(shù)/（x）=6^+笈+C的圖像的頂點坐標為（2,—1）,與），軸的交點坐標為

（0,11）,則

A.?=l,Z?=-4,c=-11B.tz=3,Z?=12,c=11

C.a=3,b=—6,c=11D.tz=3,Z?=—12,c=11

變式2：若/（0=一*2+伍+2）%+3,%6吃。］的圖像41對稱，則。=.

變式3：若二次函數(shù)/（力=改2+云+c的圖像與X軸有兩個不同的交點A（%,0）、

22

5（X2,0）,HX,+X2=—,試問該二次函數(shù)的圖像由/（x）=—3（x—Ip的圖像向上平移幾個

9

單位得到？

2.（北師大版第52頁例2）圖像特征

將函數(shù)/（力=-3%2-6%+1配方，確定其對稱軸，頂點坐標，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值

或最小值，并畫出它的圖像.

變式1：已知二次函數(shù)〃x）=族+人淤，如果"3）=/（%2）（其中》尸々），則

X1+%2

2

2aa4a

變式2：函數(shù)/(力=無2+a+4對任意的x均有/(l+x)=/(l—x),那么/(0)、/(—I),

/(1)的大小關(guān)系是\3y

A./(1)</(-1)</(0)B./(0)</(-1)</(1)\

C./(I)</(O)</(-l)D./(-l)</(o)</(l)

變式3:已知函數(shù)/(X)=G：2+加+C的圖像如右圖所示，

請至少寫出三個與系數(shù)〃、b、C有關(guān)的正確命題.

3.(人教A版第43頁B組第1題)單調(diào)性

已知函數(shù)/(x)=x2-2x,g(x)=—2X(XG[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求/(x),g(x)的最小值.

變式1：已知函數(shù)/(x)=f+4or+2在區(qū)間(-8,6)內(nèi)單調(diào)遞減，則〃的取值范圍是

A.a>3B.a<3C.。<-3D.a<-3

變式2：已知函數(shù)/(x)=d—(a—l)x+5在區(qū)間房，1)上為增函數(shù)，那么/(2)的取值范圍

是.

變式3：已知函數(shù)=+"在[2,4]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.

4.(人教A版第43頁B組第1題)最值

已知函數(shù)/(x)=x2-2x,g(x)=x2—2X(XG[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求/(x),g(x)的最小值.

變式1：已知函數(shù)/(x)=f—2x+3在區(qū)間[0即]上有最大值3,最小值2,則,〃的取值范圍

是

A.[l,+00)B.[0,2]C.[1,2]D.(-00,2)

變式2：若函數(shù)y=+4的最大值為M,最小值為〃?，則M+機的值等于.

變式3：已知函數(shù)八%)=4*2-4辦+片-24+2在區(qū)間[0,2]上的最小值為3,求。的值.

5.(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性

已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x20時，/(%)=x(l+x).畫出函數(shù)/(x)的

圖像，并求出函數(shù)的解析式.

變式1：若函數(shù)〃力=(m一1*+(加2一］卜+1是偶函數(shù)，則在區(qū)間(F,()］上“X)是

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常數(shù)D.可能是增函數(shù)，也可能是常數(shù)

變式2：若函數(shù)/(力=以2+區(qū)+3.+耳。一是偶函數(shù)，則點(。/)的坐標是

變式3：設a為實數(shù)，函數(shù)/(乃=/+|龍一。|+1,XGR.

⑴討論f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值.

6.(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換

x?+4x+3,—3Wx<0

已知/(X)=<—3x+3,0<x<1.

—x2+6x-5,l<x<6

(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的最大值和最小值.

變式2：已知函數(shù)/。)=|/_2以+切(xeA).

給下列命題：①/(x)必是偶函數(shù)；

②當/(0)=/(2)時，/(x)的圖像必關(guān)于直線x=l對稱;

③若/一力40,則/(幻在區(qū)間［a,+8)上是增函數(shù)；

④/(x)有最大值

其中正確的序號是.③

變式3：設函數(shù)/(x)=x\x\+bx+c,給出下列4個命題：

①當c=0時，y=/(x)是奇函數(shù);

②當6=0,c>0時，方程/(x)=0只有一個實根;

③丁二/(x)的圖象關(guān)于點(0,c)對稱；

④方程/(x)=0至多有兩個實根.

上述命題中正確的序號為.

7.(北師大版第54頁A組第6題)值域

求二次函數(shù)/(x)=-2丁+6x在下列定義域上的值域:

⑴定義域為｛xcZ|0<x<3｝；(2)定義域為［—2』.

變式1：函數(shù),f(x)=—2Y+6x(—2<x<2)的值域是

A.—20,―B.(—20,4)C.f—20,—-20,|

D.

8.(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題

當具有什么關(guān)系時，二次函數(shù)/(%)=改2+笈+。的函數(shù)值恒大于零？恒小于零?

變式2：已知函數(shù)/(幻=/+始；+3—。，若xe［—2,2］時，有/(x)N2恒成立，求。的取

值范圍.

9變式1：二次函數(shù)y=ax1+b與一次函數(shù)y=ax+b(a>b)在同一個直角坐標系的圖像為

22

變式2：直線y-mx-3與拋物線C,:y=x+5mx-4m,C2:y=x+(2m-l)x+M-3,

2

C3:y=x+3/?ir-2m-3中至少有一條相交，則m的取值范圍是.

變式3：對于函數(shù)/(%),若存在xo￡R，使/(xo)=xo成立，則稱xo為/W的不動點.如果

函數(shù)f(x)=ax2+hx+l(a>0)有兩個相異的不動點?、也

⑴若xi<1<X2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱，求證加〉:；

(II)若⑶|<2且|國一改|=2,求b的取值范圍.

二次函數(shù)答案

1.(人教A版第27頁A組第6題)解析式、待定系數(shù)法

b

----=2

2a

a=30

4cic—Z?2

變式1：解：由題意可知,c"二―1,解得也=一12,故選D.

4a

-c=11

c=11i

變式2：解：由題意可知2/=l,解得兒0,.?."￡=],解得片2.

22

變式3：解：由題意可設所求二次函數(shù)的解析式為/(x)=-3(x-iy+A:,

展開得/(x)=—3/+6x—3+攵,

3-k

%+尤2=2,玉工2-T-

222

/.x,+x2=(x,+x2)—2X,X2—,即4—3"=，解得人=g.

A

所以，該二次函數(shù)的圖像是由〃尤）=一3（工-1）0~的圖像向上平移:單位得到的，它的解析

,4S

式是/（%）=-3（x-l）“+§,即/（x）=-3x2+6x--.

2.（北師大版第52頁例2）圖像特征

變式1：解：根據(jù)題意可知土也=一2,上士衛(wèi)］=處於1,故選D.

22aL2J4a

變式2：解：?."（l+x）=/（l-X）,.?.拋物線〃x）=f+px+4的對稱軸是尤=1,

一勺1即〃=-2,

.?.仆）=/一2』，.?.〃0）=4、〃T）=3+//（1）=一1+4，

故有/（一1）>/（0）>/（1），選C.ty

變式3：解：觀察函數(shù)圖像可得：

①〃>0（開口方向）；②c=l（和），軸的交點）；

③4。+2/?+1=0（和x軸的交點）；④a+8+l<0（/（l）<0）；

b

⑤-?4。>0（判別式）；@1<---<2（對稱軸）.

2a—>

3.（人教A版第43頁B組第1題）單調(diào)性。x

變式1：解：函數(shù)/（x）=f+4以+2圖像是開口向上的拋物線，

其對稱軸是x=-2。,

由已知函數(shù)在區(qū)間（-co,6）內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間（-Q。,6）應在直線x=-2a的左側(cè),

—2。>6,解得aW-3,故選D.

變式2：解：函數(shù)外力=%2一（a-i）x+5在區(qū)間右，1）上為增函數(shù)，由于其圖像（拋物線）開

口向上，所以其對稱軸x=巴?；蚺c直線x=-重合或位于直線x=工的左側(cè)，即應有—

22222

解得。42,

/（2）=4-（o-l）x2+5>7,即/⑵27.

變式3：解：函數(shù)=+質(zhì)的圖像是開口向下的拋物線，經(jīng)過坐標原點，對稱軸是

k

X=一,

2

???已知函數(shù)在［2,4］上是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間［2,4］應在直線x=K的左側(cè)或右側(cè)，

2

kk

即有七42或七24,解得左W4或Z28.

4.(人教A版第43頁B組第1題)最值

變式1：解：作出函數(shù)八%)=%2-2x+3的圖像,

開口向上，對稱軸上41,頂點是(1,2),和y軸的交點是(0,3),

；.〃?的取值范圍是1?機42,故選C.

變式2：解：函數(shù)有意義，應有一f+420,解得一2?》<2,

0<-X2+4<4N0<V-X2+4<2n0<3V-x2+4<6,

M=6,777=0,故M+〃?=6.

變式3：解：函數(shù)/(x)的表達式可化為/(x)=4+（2-2tz）.

①當0442,即0<aW4時，“X)有最小值2—2”,依題意應有2—2。=3,解得

a=一一，這個值與()KaW4相矛盾.

2

②當￡<0,即。<0時，/(0)=。2-2。+2是最小值，依題意應有/一2。+2=3,解得

a=1±^2,又。=1一&為所求.

③當1>2,即。>40寸，〃2)=16-8。+。2一2+2是最小值,

依題意應有16-8。+。2-2。+2=3,解得。=5±而，又。=5+屈為所

綜上所述，。=1—亞或。=5+廂.

5.(人教A版第43頁A組第6題)奇偶性

變式1：解：函數(shù)/(x)=(m-1)%2+(小一1卜+1是偶函數(shù)nm2-1=0=>m-±l,

當〃?=1時，〃x)=l是常數(shù)；當加=-1時，/(司=一2/+1,在區(qū)間(fO,0］上/(X)是

增函數(shù)，故選D.

變式2：解：根據(jù)題意可知應有。―1+勿=0且Z?=0,即且力=(),...點(a力)的坐

標是&4

變式3：解：⑴當a=0時，函數(shù)/(—x)=(—x)2+|-x|+l=/(x),此時，/(x)為偶函

數(shù)；

當時，f(a)=a2+1,/(—“)=/+2|。|+1,

/(a)//(—a),/(?)-/(-?),此時/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

13

(II)(z)當時，，f(x)——X+Q+1=(X——)~+6Z+-,

若a,則函數(shù)/(x)在(一8,a］上單調(diào)遞減，從而函數(shù)/(x)在(一8,a］上的最小值

為f(a)=a?+1.

若a>g,則函數(shù)/(x)在(—oo,a］上的最小值為/(g)=1+a,且/§)4/(a).

(H)當時，函數(shù)f(x)=X?+X-Q+1=(1+耳I)2-。+j3,

若a4-(，則函數(shù)/(%)在(-co,上的最小值為/(—g)=1—a,且/(—；)</(a),

若。>-；，則函數(shù)/(x)在［a,+8)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)/(x)在［a,+8)上的最小值

為f(a)=a?+1.

13

綜上，當。<一］時;函數(shù)/(x)的最小值為：一。；

當一;時，函數(shù)/(x)的最小值為1+i；

當a>g時，函數(shù)/(x)的最小值為1+a.

6.(北師大版第64頁A組第9題)圖像變換

變式2：解：若。=1力=1,則/(九)=|/一2》+1|=/-2%+1,顯然不是偶函數(shù)，所以①是不

正確的；

若。=一1,8=—4,則/(x)=|V+2x—41,滿足/(0)=/(2)，但f(x)的圖像不關(guān)于直線x=l

對稱，所以②是不正確的；

若/一則/(幻=|/一201+切=1-201+匕，圖像是開口向上的拋物線，其對稱

軸是x=a,.?./(x)在區(qū)間［a,+8)上是增函數(shù)，即③是正確的;

顯然函數(shù)/(%)=|》2一2辦+力(彳€/?)沒有最大值，所以④是不正確的.

~.\x2+bx+c,x>0

變式3：解：f(x)=x\x\+bx4-c=<,,

-x2+hx+c.x<0

(1)當c=0時，/(x)=x|x|+/?x,滿足/(—x)=—/(%),是奇函數(shù)，所以①是正確的;

X2+C,X>0

⑵當/?=0,c>0時，/(X)=x\x\+c=<

-x2+c,x<0

x2+c=0.、-x2+c=0

方程穴0=0即<或<

x>0x<0

E~+C—0——v""+c—0［―

顯然方程4—無解；方程1—的唯一解是彳=-五，所以②是正確的;

x>0x<0

(3)設(七,%)是函數(shù)/(x)=x|x|+bx+c圖像上的任一點，應有%=/Ix01+bxn+c,

而該點關(guān)于(0,c)對稱的點是(-x(),2c-%)，代入檢驗2c-%=一/I一姐)+。即

-y0=-x0|x0|-bxn-c,也即y0=xJx\(^bx+(p,所以(-x0,2c-y0)也是函數(shù)

/(x|刈法圖像上的點，所以③是正確的;

(4)若〃=-l,c=0,貝i」/(x)=x|x|-x,顯然方程x|x|-x=0有三個根，所以④是不正

確的.

7.(北師大版第54頁A組第6題)值域

變式1：解：作出函數(shù),f(x)=—2f+6x(—2<x<2)的圖如容易發(fā)現(xiàn)在卜24上是增

函數(shù)，在g；］上是減函數(shù)，求出/(-2)=-20,/(2)=4,/(|)=|,注意到函數(shù)定義不包

含x=—2,所以函數(shù)值域是(一20,^.

8.(北師大版第54頁B組第5題)恒成立問題

變式2：解法一：(轉(zhuǎn)化為最值)

/(X)22在［-2,2］上恒成立，即/(x)=爐++1-a?0在［-2,2］上恒成立.

(l)A=a~-4(1-a)40,-2-2-^2?a4—2+2\/2；

A=a2-4(l-a)>0

△2)20

<2)/(-2)>0—5<a<——2.

-->2?g--<-2

22

綜上所述—5<aW2行一2.

解法二：(運用根的分布)

⑴當一￡<—2,即a>4時，應有g(shù)(a)=/(—2)=7—3。22,即二。不存在;

2

(2)當—24一］<2,即—4Wa<4時，應有g(shù)(a)=/(—務)=———a+322,

即一2/-2Wa<2五-2,-4<a<272-2；

(3)當一■|>2,即a<-4時，應有g(shù)(a)=/(2)=7+aN2,即,：.-5<a<^l

綜上所述—5WaW2行一2.

9.(北師大版第54頁B組第1題)根與系數(shù)關(guān)系

變式1：解：二次函數(shù)y=a?+匕與一次函數(shù)圖象丁=^+匕交于兩點(。,加、(1,。+。)，

由二次函

數(shù)圖象知同號，而由8,C中一次函數(shù)圖象知異號，互相矛盾，故舍去B,C.

bb

又由a>8知，當a>b>0時，一一>一1,此時與A中圖形不符，當0>。>匕時，一二<一1,

aa

與。中圖形相符.

變式2：解：原命題可變?yōu)椋呵蠓匠倘?3=/+5mx-4m，

mx-3-x2+(2m-l)x+m2-3,

如-3=/+3/一2m-3中至少有一個方程有實數(shù)解，而此命題的反面是：“三個方程均無實

數(shù)解”，于是，從全體實數(shù)中除去三個方程均無實