高考數(shù)學(xué)（文）：05 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)（教學(xué)案）含解析

專題5三角函數(shù)瞬與性質(zhì)

【高考考綱解讀】

三角函數(shù)有關(guān)知識大部分是B級要求，只有函數(shù)尸4sin（GX+。）圖象與性質(zhì)是

A級要求；

試題類型可能是填空題，同時在解答題中也是必考題，經(jīng)常與向量綜合考查，構(gòu)

成中檔題.

【重點、難點剖析】

1、記六組誘導(dǎo)公式

k五

對于“〒土a,AGZ三角函數(shù)值”與“a角三角函數(shù)值”關(guān)系可按下面口訣記

憶，奇變偶不變，符號看象限、

2、正弦、余弦、正切函數(shù)圖象與性質(zhì)（下表中〃金Z）

函數(shù)y=sinxy=cosxy—tanx

小

圖象

WSz2G

JI

--乙+2^JI

'JI

JI[―五+2",I2卜"，

萬十20為增；

單調(diào)性2?弘]為增；為

JI萬為

—+2^JI,

乙減

增

3JI

"+2"為減

乙

'JI、(An)

對稱中心(kb,0)kw-Hy,02,°

l乙7

JI

對稱軸i"2x=kx無

3.y=y4sin(3才+6)圖象及性質(zhì)

JI3ji

(1)五點作圖法：五點取法，設(shè)X=3x+0,4取0,—,",—,2n來求相

乙乙

應(yīng)X值、y值，再描點作圖。

(2)給出圖象求函數(shù)表達式題目，比較難求是。，一般是從“五點法”中第一點

一，0作為突破口。

⑶在用圖象變換作圖時，一般按照先平移后伸縮，但考題中也有先伸縮后平移,

無論是哪種變形，切記每個變換總對字母X而言。

(4)把函數(shù)式化為y=/sin(3x+0)形式，然后用基本三角函數(shù)單調(diào)性求解時，

要注意4,3符號及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律：同增異減。

4、三角函數(shù)中常用轉(zhuǎn)化思想及方法技巧

(1)方程思想：sina+cosa,sina—cosa,sinacosa三者中，知一

可求二。

(2)"1"替換:sin2a+cos2a=]..

⑶切弦互化：弦齊次式可化為切.

【題型示例】

考點1、三角函數(shù)概念、誘導(dǎo)公式及基本關(guān)系式應(yīng)用

【例1】【2016高考新課標2文數(shù)】若cos(2-a)=J貝ljsin2a=()

45

(A)—(B)-(C)--(D)--

255525

【答案】D

【解析】cos—aj=28s”(：—a|-1=2-(1]—1=—,

=sin2a,故選D.

【感悟提升】在單位圓中定義三角函數(shù)，當角頂點在坐標原點，角始邊在x軸正

半軸上時，角終邊與單位圓交點縱坐標為該角正弦值、橫坐標為該角余弦值、如

果不是在單位圓中定義三角函數(shù)，那么只要把角終邊上點橫、縱坐標分別除以該

點到坐標原點距離就可轉(zhuǎn)化為單位圓上三角函數(shù)定義。

(O3Fn、

口cosa

【舉一反三】(2015?重慶，9)若tana=2tan—,則---7----)

5Ji

sinCL——

A、1B、2C、3D、4

(3叫/JI3幾、

cosa——sin-+asina+—

I5J

解析『、

sinasinasina—~

I5JI5J

JIJI

sinacos-+cosasin-

55

JIJI

sina?cos---cosasin-

55

tana

------+1

JI

tan-

52+1

=2^1=3

-----JI--1

tan-

5

答案c

JI3（Ji3IT]

【變式探究】（1）（2014?遼寧五校聯(lián)考）已知cos7+a=F且?！甓?，.，

25122J

則tana=（）

433,3

A-3B-4&-JD、±-

（2）（2014?安徽）設(shè)函數(shù)/1（x）（x￡R）滿足F（x+五）=_f（x）+sinx、當0Wx<n

（23n）

時，f（x）=0,則）

I6）

1A/31

A-B.4-C、0D、--

乙乙乙

【命題意圖】（1）本題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系式應(yīng)用、

⑵本題是函數(shù)與三角運算問題，主要考查函數(shù)三要素及三角運算。

【答案】（DB（2）A

【解析】⑴°）=康，

3

.'.sin。=一力□顯然。在第三象限，

43

.'.cos。=——故tanb=丁.故選B.

594

（2）F（JC+冗）=f（jr）+sin

f（x+2兀）—F（JC+TU）—sinx.

f（JT+2冗）=/'（jr）+sin,JT—sin.JT—干（*）.

???f（x）是以2JI為周期的周期函數(shù).

又管巨擊_務(wù)?后）,

/7TA/兀、（

■-V冗尸人一直尸sxnl-

M等）=。豹/

【感悟提升】

1、結(jié)合誘導(dǎo)公式與同角基本關(guān)系式化簡求值策略

(1)切弦互換法、

利用tan進行轉(zhuǎn)化。

cosa

⑵和積轉(zhuǎn)化法、

利用(sina±coscr)2=l±2sinacosa進行變形、轉(zhuǎn)化、

⑶常值代換法、

其中之一就是把1代換為sin2a+cos2a.

同角三角函數(shù)關(guān)系sir?a+cos2a=1和tana=皿一巴聯(lián)合使用，可以根據(jù)角

cosa

a一個三角函數(shù)值求出另外兩個三角函數(shù)值、根據(jù)tana可以把含有

cosa

sina,cosa齊次式化為tana關(guān)系式。

2、化簡求值時“三個”防范措施

⑴函數(shù)名稱和符號。

利用誘導(dǎo)公式化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)，其步

驟是：去負一脫周一化銳一求值、特別注意解題過程中函數(shù)名稱和符號確定。

(2)開方。

在利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系時若需開方，特別注意要根據(jù)條件進行討論取舍。

⑶結(jié)果整式化。

解題時注意求值與化簡最后結(jié)果一般要盡可能化為整式。

【變式探究】（1）已知a是第二象限角，其終邊上一點尸（筋乖）,且cosa得

Jl、

X，則sinaT

................、后

（2）已知。為第二象限角，sina+cosa=4~,則cos2a=

o

【解析】⑴由題意得cos°=點=半'，解得或x=f，又。是第二象限角，二戶-

他?即cos°=一坐'sin^打L_g

o+—=COSCf=—

2J4

嘲312

⑵因為sincr4-coscr——所以l+2sinocos。=三>所以2sinocos。=一三<0,又因為。為第

JJJ

二象限角，所以sina>0,cosa<0,則sina—cosa—2sin―acos_a

-J~[^

所以cos2a=cos，a-sin2a=(cosa—sina)(cosa+sina)=

J

也乖

3*3—3?

【答案】（D—平（2）一乎

【規(guī)律方法】在利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系時\一定要特別注意符號，在

誘導(dǎo)公式中是“奇變偶不變，符號看象限”，在同角三角函數(shù)平方關(guān)系中，開方

后符號也是根據(jù)角所在象限確定。

題型2、三角函數(shù)圖象

【例2】（2016?高考全國甲卷）函數(shù)y=/sin（3x+0）部分圖象如圖所示，則

/

JT、JI、

A、y=2sin2,x-B、y=2sin2x--X

Jt、JT、

C、尸2sinx-\0D>y=2sinxT

解析：根據(jù)圖象上點的坐標及函數(shù)最值點，確定4,@與中的值.

由圖象知齊尹（一3或故I，因此@二答2.又圖象的一個最高點坐標為修，2），所以Q2,且2x號

+8=汨+敬EZ）,故8=汨一副€z）,結(jié)合選項可知尸2而@一。

答案：A

71、

【舉一反三】（2015?山東，3）要得到函數(shù)y=sin4x圖象，只需將函數(shù)y

=sin4x圖象（）

JI

A、向左平移行個單位B、向右平移高個單位

X乙X乙

JIJI

C、向左平移三個單位D、向右平移w個單位

OO

(F、1

JI、JI

解析Vy=sin4x=sin4X——,

3'>_I1〃

ji、JI

???要得到y(tǒng)=sin4x圖象，只需將函數(shù)尸sin4x圖象向右平移百個單位、

JL乙

答案B

JI、

【變式探究】（2015?湖南，9）將函數(shù)F（x）=sin2x圖象向右平移。＜萬

個單位后得到函數(shù)g（x）圖象，若對滿足"（小）-8（涇）I=2為，劉，有|為一劉|

JI.

=■7,貝!J0=()

o

53TJIJIJI

解析易知泰力=如（敘一曲），wE（o,3,

由麻1）-人及）|二2及正弦出數(shù)的有界性知,

°_siUn2⑵xi=f-)1fn或一②八Isin2xi—1)

sin(2x2—2^)二-1,

的二-彳+無兀，

由①知，（出，幼€z）,

.兀，..

叔=4+w+內(nèi)兀

.?.恒1-E|mjn=三+0+(短一出)兀.：

2nun

同理由②得8二會故選D.

答案D

【舉一反三】（1）（2014?新課標全國卷I）如圖，圓。半徑為1,/是圓上定點,

〃是圓上動點，、------/

角x始邊為射線0A,終邊為射線0P,過點〃作直線0A垂線，垂足為〃將點M

到直線8距離表示成X函數(shù)Ax),則y=F(x)在［0,口］圖象大致為(

(2)(2014?四川)為了得到函數(shù)y=sin(2x+l)圖象，只需把函數(shù)尸sin2x圖象

上所有點()

A、向左平行移動;個單位長度

B、向右平行移動;個單位長度

C、向左平行移動1個單位長度

D、向右平行移動1個單位長度

【命題意圖】(1)本題主要考查函數(shù)解析式及三角函數(shù)圖象，意在考查考生識圖、

用圖能力。

⑵本題主要考查三角函數(shù)圖象，意在考查考生函數(shù)圖象變換能力以及三角函數(shù)

運算能力。

【答案】(DB(2)A

【解析】（1）由題意知，Ax）=Icosx\?sinx,

當q'f\x)=cosx?sinJT--sin2x;

,幾｝寸,f(*)=-cosx'sinx~—~sin2x>故選B.

當

（2）產(chǎn)sin2x的圖象向左平移1衿單位長度得到函數(shù)戶Sin2，+9的圖象，即函數(shù)產(chǎn)sin（2x+1）的圖象,

2

故選A.

【感悟提升】

1、函數(shù)尸4sin（3才+0）解析式確定

最大值一最小值

（1）4由最值確定，A=

2

（2）3由周期確定。

（3）。由圖象上特殊點確定。

提醒：根據(jù)“五點法”中零點求。時，一般先依據(jù)圖象升降分清零點類型、

2、作三角函數(shù)圖象左、右平移變換時，平移單位數(shù)是指單個變量x變化量，因

此由y=sin3x（3>0）圖象得到y(tǒng)=sin（。）圖象時，應(yīng)將圖象上所有點向

I（t）\,,

左（。>0）或向右（?！?）平移二4個單位，而非|。|個單位。

G）

題型三三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

例3、（2017?圖考全國卷I）已知曲線G：y=cosx,C：y=sin2x+-^-,則

I3J

下面結(jié)論正確是（）

JI

A、把G上各點橫坐標伸長到原來2倍，縱坐標不變，再把得到曲線向右平移入

6

個單位長度，得到曲線G

JI

B、把G上各點橫坐標伸長到原來2倍，縱坐標不變，再把得到曲線向左平移公

個單位長度，得到曲線G

1JI

C、把G上各點橫坐標縮短到原來5倍，縱坐標不變，再把得到曲線向右平移至

乙O

個單位長度，得到曲線C

,1冗

D、把G上各點橫坐標縮短到原來5倍，縱坐標不變，再把得到曲線向左平移高

乙JL乙

個單位長度，得到曲線G

解析：選D.因為產(chǎn)sii（2x+^=8s（2r+號嗎=??（匕+最，所以曲線Ci：產(chǎn)8sx上各點的橫坐

短到原來的拉，縱坐標不變，得到曲線y=cos2x,再把得到的曲線y=o0s2x向左平移卷個單位長度，得

到曲線y=cos/r+§=co^2x+§.故選D.

【變式探究】【2016年高考四川文數(shù)】為了得到函數(shù)y=sin（2x-攵圖象，只需把函

數(shù)、=5m2》圖象上所有點（）

（A）向左平行移動三個單位長度（B）向右平行移動三個單位長度

（C）向左平行移動?個單位長度（D）向右平行移動￡個單位長度

OO

【答案】D

【解析】由題意，為了得到函數(shù)丁=5皿2%-為=5回2（%-生）],只需把函數(shù)y=sin2x圖

36

像上所有點向右移J個單位，故選D.

6

【舉一反三】（2015?四川，4）下列函數(shù)中，最小正周期為禮且圖象關(guān)于原點

對稱函數(shù)是（）

（it）（:n:、

A、尸cos2x-\--B、尸sin2x+~

、/J\,

C、y=sin2x+cos2xD>y=sinx+cosx

（JI]

解析A選項：y=cos2入+可=—sin2x,7=H，且關(guān)于原點對稱，故選A.

答案A

(JI、

【變式探究】(2014?陜西，2)函數(shù)f(x)=cos2x-a"最小正周期是()

I

A.-yB、RC、2RD、4H

乙

2n

解析???7=虧=%...B正確、

答案B

【舉一反三】已知函數(shù)/'(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論中錯誤是()

A、尸F(xiàn)(x)圖象關(guān)于(:n,0)中心對稱

兀

B、y=f(x)圖象關(guān)于直線x=f對稱

乙

C、廣(才)最大值為當

D、Mx)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

解析［對于A選項,因為人加―工)+人力=COS(2JC—X)-siii2(2jL—x)+8sxsiii2x=—8sxsin2x+cosxsiii2x

二0,故尸人x)的圖象關(guān)于(兀,0)中心對稱,A正確;對于B選項，因^人兀一力=85(兀-兀)血2(兀-x)=cosxsiii

故產(chǎn)危)的圖象關(guān)于兀=樹稱,故B正確；對于C選項,刎=8sxsin2x=2siiixoos2x=2siiix(l

-sm2x)=2smx-2sin3x,令￡=皿兀日-1,1］,貝i］用Z)=2f-2巴在［-1,1］,貝1］方'。=2-6巴令方⑦>0

解得一gy里,故幅二&一23,在［一筆平上遞增，在［-1,一坐］與惇，i］t遞減,又H-1)

=0,《割故函數(shù)的最大值為故c錯誤；對于D選項,因為犬-力=-cosjcsiii2x+cos

xsiii2x=0,故是奇函數(shù)，又人x+%)=cos(2兀+x>sin2(27t+x)=cosxsin2x,故加是函數(shù)的周期，所以函數(shù)

既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，故D正確.

綜上知，錯誤的結(jié)論只有C,故選C.

答案C

題型四求三角函數(shù)解析式

例4、如圖，某港口一天6時到18時水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin飛二+6

+A,據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）最大值為（）

A、5B、6C、8D、10

解析由題干圖易得人必="—3=2,則4=5..,.%ax=A+3=8.

答案C

【變式探究】（2015,新課標全國I,8）函數(shù)/'（x）=cos（3牙+。）部分圖象如圖

所示，則Ax）單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.kx+-,AQZ

I4v

(1@

B.2A五-,kRZ

I4

(1閭

C.k—~,k+~,A￡Z

I4

(,1閭

D.2A—q2A+-,

I4

T51

解析由圖象知z=l,T=2.由選項知D正確、

乙J￡JL

答案D

Tl、JI、V

【舉一反三】已知函數(shù)/'(x)=sinx+cosxg(x)=2sin2-

乙

⑴若a是第一象限角，且f(a)=呼，求g(a)值;

(2)求使f(x)2g(x)成立x取值集合、

^(x)=2sni2|=1—COSJ.

..,.、3A/33

⑴由f(a)-得Zsina

又。是第一象限角，所以cosa>0.

從而g(a)=1—cosa=1--sin?a—1—

00

⑵F(x)2g(x)等價于:sin—cosx,即/sinx+cos于是

/n\1

sinx~\~~

JIJI5JI

從而2〃”+至Wx+^W2〃"+可’0

2JI

即+丁，Aez.

J

故使f(x)與g(x)成立X取值集合為

..2n、

{x|2An+-A￡Z}、

o

題型五函數(shù)尸4sin(Gx+0)綜合應(yīng)用

、.11^1總最大值為

例5、（2017.高考全國卷III）函數(shù)Ax）=-sin+cosx

6

A?二B、1

31

C,5D?二

解析：選A.解法一：,.,人工)=^不sm同（x+§+co^c—，

x+jsinx

=31Hx+

.?.當時，危)取得最大值之故選A.

解法二:?G+9+管-力專

.,.忠）=如1G+§+COS弓一亳

二^sinG+§+cofi^一五）

二^xjug+§+皿@+3

=延+瓣

6

.,"（上）由=￡.故選A.

5

【變式探究】【2016高考浙江文數(shù)】設(shè)函數(shù)/0)=$皿2^+從111%+(:,則/(x)最小正

周期()

A、與6有關(guān)，且與c有關(guān)B、與6有關(guān)，但與c無關(guān)

C、與5無關(guān)，且與。無關(guān)D、與。無關(guān)，但與c有關(guān)

【答案】B

【解析】/(x)=sin2x+bsinx+c+5sinx+c=一+〃sinx+c+—,其中當

2

b=0時，/（x）=一+。+；，此時周期是乃；當）wO時，周期為2?,而c不影響

周期、故選B、

【舉一反三】（2015?安徽，10）已知函數(shù)/'（x）=/sin（3*+。）（4以。均為

2n

正常數(shù)）最小正周期為五，當牙=〒時，函數(shù)Ax）取得最小值，則下列結(jié)論正確

o

是（）

A、r（2）＜r（-2）＜r（o）B、r（o）＜r（2）＜r（-2）

C、A-2）＜r（0）＜f（2）D、f