高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)-利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與存在性問題》專項練習(xí)題（附答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)-利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與存在性問題》專項練習(xí)題（附答案）常見考點考點一恒成立問題典例1．已知函數(shù)（e是自然對數(shù)的底數(shù)）曲線在點處的切線為。(1)求ab的值(2)若不等式在上恒成立求正實數(shù)m的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）求導(dǎo)由切線為可得運算即得解（2）參變分離可得令求導(dǎo)分析單調(diào)性可得的最小值為分析即得解(1)可得因為曲線在點處的切線為。所以解得。(2)由（1）知∵不等式在上恒成立∴在上恒成立即在上恒成立。令∵當(dāng)時解得。∴當(dāng)時為減函數(shù)當(dāng)時為增函數(shù)∴的最小值為∴∴正實數(shù)m的取值范圍為。變式1-1．已知函數(shù)．(1)證明：直線都不是曲線的切線(2)若使恒成立求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)設(shè)出切點可得切線的斜率根據(jù)斜率相等進而構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間即可證明（2）由使恒成立轉(zhuǎn)化為再利用導(dǎo)數(shù)法求出在的最大值即可求解。(1)由題意可知的定義域為由得直線過定點若直線與曲線相切于點則即設(shè)則所以在上單調(diào)遞增又從而當(dāng)且僅當(dāng)時成立這與矛盾。所以直線都不是曲線的切線。(2)由得若使恒成立轉(zhuǎn)化為即可。令則令則所以所以在上是單調(diào)遞減所以故在上是單調(diào)遞減當(dāng)時取得最大值為即。所以實數(shù)的取值范圍為【點睛】解決此題的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩點求斜率再根據(jù)同一切線斜率相等即可證明對于恒成立問題通常采用分離常數(shù)法進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題利用導(dǎo)數(shù)法即可求解。變式1-2．已知函數(shù)。(1)當(dāng)時求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)若恒成立求實數(shù)a的值?！敬鸢浮?1)遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為(2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）當(dāng)時求得令得到且即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）求得設(shè)當(dāng)時不滿足題意當(dāng)時得到單調(diào)遞增設(shè)有唯一的零點使得結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到再令結(jié)合單調(diào)性求得即可求解。(1)解：當(dāng)時函數(shù)其定義域為可得令可得單調(diào)遞增又由當(dāng)時可得單調(diào)遞減當(dāng)時可得單調(diào)遞增所以的遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為。(2)解：由可得設(shè)當(dāng)時可得單調(diào)遞增當(dāng)時不滿足題意當(dāng)時由單調(diào)遞增設(shè)有唯一的零點即當(dāng)時可得單調(diào)遞減當(dāng)時可得單調(diào)遞增所以因為可得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以所以因為恒成立即恒成立令可得當(dāng)時單調(diào)遞增當(dāng)時單調(diào)遞減所以即又由恒成立即所以。變式1-3．已知函數(shù)（）恰有兩個極值點且．(1)求實數(shù)的取值范圍(2)若不等式恒成立求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)后分析其導(dǎo)數(shù)的零點（2）將代入后消去然后為不等式恒成立問題換元后分類討論最值(1)∵依題意得為方程的兩不等正實數(shù)根∴令當(dāng)時當(dāng)時∴在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減且當(dāng)時∴解得故實數(shù)的取值范圍是(2)由（1）得兩式相減得∵令∴即令則需滿足在上恒成立∵令則（）①當(dāng)時∴在上單調(diào)遞減∴∴在上單調(diào)遞增∴符合題意②當(dāng)時∴在上單調(diào)遞增∴∴在上單調(diào)遞減∴不符合題意③當(dāng)時∴在上單調(diào)遞增∴∴在上單調(diào)遞減∴不符合題意綜上所述實數(shù)的取值范圍是。考點二存在性問題典例2．已知函數(shù)。(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)若存在使得成立求實數(shù)a的取值范圍。【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）求得對進行分類討論由此求得的單調(diào)區(qū)間。（2）根據(jù)（1）的結(jié)論對進行分類討論由結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍。(1)已知函數(shù)定義域為①當(dāng)時x+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減②當(dāng)時函數(shù)在單調(diào)遞增③當(dāng)時x+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。綜上所述時在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減時在單調(diào)遞增時在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。(2)若存在使得成立即使得。由（1）可知當(dāng)時在上單調(diào)遞增不滿足當(dāng)時x-0+遞減極小值遞增所以即令∴∴在上單調(diào)遞減又∵由得。綜上實數(shù)a的取值范圍為。變式2-1．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性(2)已知若存在時使不等式成立求的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)?！窘馕觥俊痉治觥?1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷的符號作答。(2)對給定不等式作等價變形借助(1)脫去法則“f”分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)再求出函數(shù)最值作答。(1)函數(shù)求導(dǎo)得：令則即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減而則當(dāng)時即所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減。(2)當(dāng)時因且則由(1)知在單調(diào)遞減則存在不等式成立令則當(dāng)時當(dāng)時因此函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減于是得所以的取值范圍是?！军c睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題將給定不等式等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)探討解決問題。變式2-2．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時求的單調(diào)區(qū)間(2)若存在使得成立求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(2)。【解析】【分析】（1）當(dāng)時得出的定義域并對進行求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出的單調(diào)區(qū)間（2）將題意等價于在內(nèi)有解設(shè)即在上函數(shù)對進行求導(dǎo)令得出分類討論與區(qū)間的關(guān)系并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)和最小值結(jié)合從而得出實數(shù)的取值范圍。(1)解：當(dāng)時可知的定義域為則可知當(dāng)時當(dāng)時所以的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為。(2)解：由題可知存在使得成立等價于在內(nèi)有解可設(shè)即在上函數(shù)令即解得：或（舍去）當(dāng)即時在上單調(diào)遞減得又所以當(dāng)時即時在上單調(diào)遞增得不合題意當(dāng)即時則在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增即不符合題意綜上得實數(shù)的取值范圍為?！军c睛】思路點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立的綜合問題：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)區(qū)間問題應(yīng)先確定函數(shù)的定義域否則寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題要注意分類討論和化歸思想的應(yīng)用（2）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問題的一般步驟是：構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和最值再進行相應(yīng)證明。變式2-3．已知函數(shù)(1)若求函數(shù)的極值(2)設(shè)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(3)若存在使得成立求a的取值范圍．【答案】(1)極小值為無極大值(2)單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為。(3)【解析】【分析】（1）研究的單調(diào)區(qū)間進而求出的極值（2）先求再解不等式與求出單調(diào)區(qū)間注意題干中的的條件（3）先把題干中的問題轉(zhuǎn)化為在上有再結(jié)合第二問研究的的單調(diào)區(qū)間對a進行分類討論求出不同范圍下的求出最后結(jié)果(1)當(dāng)時定義域為令得：當(dāng)時單調(diào)遞增當(dāng)時單調(diào)遞減故是函數(shù)的極小值點的極小值為無極大值(2)定義域為因為所以令得：令得：所以在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減。綜上：單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為。(3)存在使得成立等價于存在使得即在上有由（2）知單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為所以當(dāng)即時在上單調(diào)遞減故在處取得最小值由得：因為故。當(dāng)即時由（2）知：在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增在上的最小值為令因為所以則即不滿足題意舍去綜上所述：a的取值范圍為【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用二是函數(shù)的零點不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性極(最)值問題處理．鞏固練習(xí)練習(xí)一恒成立問題1．已知函數(shù)。(1)求在處的切線方程(2)當(dāng)時不等式恒成立求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可（2）分離變量可得利用導(dǎo)數(shù)可求得由此可得的取值范圍。(1)又在處的切線方程為(2)當(dāng)時由得：令則令則當(dāng)時在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增即實數(shù)的取值范圍為?！军c睛】方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問題解決恒成立問題的基本思路是采用分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間關(guān)系即由得由得。2．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時討論的單調(diào)性(2)當(dāng)時恒成立求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減(2)【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)先確定導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及零點即可確定的單調(diào)性（2）當(dāng)時當(dāng)時參變分離得構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得再構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性后即可求出實數(shù)a的取值范圍．(1)當(dāng)時易得在上遞增又故當(dāng)時單調(diào)遞增故當(dāng)時單調(diào)遞減所以在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減(2)當(dāng)時不等式恒成立可得當(dāng)時由恒成立可得恒成立設(shè)則可設(shè)可得設(shè)由可得恒成立可得在遞增即在遞增所以即恒成立即在遞增所以再令可得當(dāng)時在上遞增當(dāng)時在遞減所以所以綜上可得?！军c睛】本題關(guān)鍵點在于參變分離構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后通過因式分解將導(dǎo)數(shù)變?yōu)樵侔逊肿拥囊蚴綐?gòu)造成函數(shù)確定后即得的正負進而求解。3．已知函數(shù)。(1)若在上是減函數(shù)求實數(shù)的取值范圍(2)當(dāng)時若對任意的不等式恒成立求實數(shù)的取值范圍。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)得到即可求出的取值范圍（2）把題意轉(zhuǎn)化為分類討論：當(dāng)時求出當(dāng)時轉(zhuǎn)化為令利用導(dǎo)數(shù)求出即可求出實數(shù)的取值范圍。(1)因為所以令得則的單調(diào)遞減區(qū)間為因為在上是減函數(shù)所以即故的取值范圍是(2)由題知：則即當(dāng)時恒成立則當(dāng)時令則則當(dāng)時遞減當(dāng)時遞增故則綜上所述實數(shù)的取值范圍是．4．已知函數(shù)(1)當(dāng)時求曲線在點（0f（0））處的切線方程(2)當(dāng)且時]恒成立求b的取值范圍?！敬鸢浮?1)(2)【解析】【分析】（1）求出然后算出即可（2）由條件可得恒成立構(gòu)造函數(shù)則原不等式等價于在上恒成立然后可證明然后得在上單調(diào)遞增然后即可求解。(1)當(dāng)時則又因為所以曲線在點（0f（0））處的切線方程為。(2)恒成立即恒成立。等價于恒成立。構(gòu)造函數(shù)則在上恒成立等價于在上恒成立。因為所以令函數(shù)則顯然是增函數(shù)則在上單調(diào)遞增所以故從而可得在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時恒成立。所以所以即b的取值范圍是[-1+∞）【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題第二問的關(guān)鍵是將原不等式變形構(gòu)造出函數(shù)屬于函數(shù)的同構(gòu)類型解答的關(guān)鍵是觀察不等式的特點變成同一函數(shù)在兩個變量處的取值。練習(xí)二存在性問題5．己知函數(shù)。(1)當(dāng)時求的單調(diào)區(qū)間。(2)存在使得成立求整數(shù)的最小值?！敬鸢浮?1)增區(qū)間為無單減區(qū)間(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可求得結(jié)果（2）由題意可知存在使得構(gòu)造函數(shù)其中利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍可求得整數(shù)的最小值。(1)解：當(dāng)時該函數(shù)的定義域為則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立故函數(shù)的增區(qū)間為無單減區(qū)間。(2)解：存在使得成立即令其中則令則令對任意的恒成立故函數(shù)在上為增函數(shù)則即對任意的恒成立則函數(shù)為增函數(shù)。因為所以存在使得當(dāng)時此時函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時此時函數(shù)單調(diào)遞增所以設(shè)則令則對任意的恒成立故函數(shù)在上為增函數(shù)則即對任意的恒成立故函數(shù)在為增函數(shù)故即即因為為整數(shù)所以整數(shù)的最小值為?！军c睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立可根據(jù)以下原則進行求解：（1）（2）（3）（4）。6．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)證明：存在使得不等式有解（e是自然對數(shù)的底）。【答案】(1)討論見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)對原函數(shù)求導(dǎo)后利用判別式對進行分類討論即可(2)理解“有解”的含義構(gòu)造函數(shù)將原不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值。(1)的定義域為R①當(dāng)時有兩個不等實數(shù)根為：時單調(diào)遞增時單調(diào)遞減時單調(diào)遞增②當(dāng)時所以在上單調(diào)遞增(2)不等式等價于所以只需證的最大值大于1因為又所以時等號成立所以設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增單調(diào)遞減因為所以存在使不等式有解?！军c睛】對于第二問使用函數(shù)的縮放法是核心對原函數(shù)由于的不確定性使得求其最大值很困難“化繁為簡”“化難為易”的數(shù)學(xué)思想就顯得特別重要通過本題的計算應(yīng)該能夠體會到這種數(shù)學(xué)思想在以后的數(shù)學(xué)計算中遇到很復(fù)雜的計算應(yīng)該首先考慮這種數(shù)學(xué)思想。7．已知函數(shù)。(1)當(dāng)時證明函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點(2)若存在使不等式成立求的取值范圍。【答案】(1)證明見解析(2)或【解析】【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式然后討論函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)零點的