2024年中考數(shù)學(xué)【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點考點02代數(shù)證明與因式分解(原卷版+解析)

壓軸熱點考點02代數(shù)證明與因式分解一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．2．設(shè)表示非負整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和，例如：．則的值為（

）A．28127 B．28128 C．28107 D．281173．現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片各4塊（邊長如圖，）．嘉嘉準(zhǔn)備從中挑選一些紙片緊密拼接成一個正方形，下列無法實現(xiàn)的方案是（

）A．2塊甲、1塊乙、4塊丙 B．1塊甲、4塊乙、4塊丙C．4塊甲、1塊乙、4塊丙 D．1塊甲、1塊乙、2塊丙4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點M(?2，c)．若自變量x取?4，?，1，3時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，y4，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．某校數(shù)學(xué)興趣小組探究出一種新的計算兩位數(shù)的平方運算的方法，具體做法如圖1，2，3所示．按照這種方法，如圖4所示結(jié)果是一個兩位數(shù)的平方，則這個兩位數(shù)是（

）A．69 B．79 C．91 D．936．如圖，將一張正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的面積為，則無蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．97．已知關(guān)于的兩個多項式，．其中a為常數(shù)，下列說法：①若的值始終與無關(guān)，則；②關(guān)于x的方程始終有兩個不相等的實數(shù)根；③若的結(jié)果不含的項，則；④當(dāng)時，若的值為整數(shù)，則x的整數(shù)值只有2個．以上結(jié)論正確的個數(shù)有(

)A．4 B．3 C．2 D．18．下列命題中，假命題的個數(shù)是（

）①；②分解因式：；③的算術(shù)平方根是3；④如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)；⑤在一次數(shù)學(xué)答題比賽中，五位同學(xué)答對題目的個數(shù)分別為7，5，3，5，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．某市2020年的扶貧資金為a萬元，比2019年增長了x%，計劃2021年的增幅調(diào)整為上一年的2倍，則這3年的扶貧資金總額將達到（

）A．a(chǎn)(3+3x%)萬元 B．a(chǎn)(+2+2x%)萬元C．a(chǎn)(3+x%)萬元 D．a(chǎn)()萬元二、填空題10．如圖，是等腰直角三角形，，在內(nèi)構(gòu)造第一個正方形，使點、在直角邊上，、在斜邊上；在內(nèi)構(gòu)造第二個正方形，使點、在直角邊上，、在斜邊上；在內(nèi)構(gòu)造第三個正方形，使點、在直角邊上，、在斜邊上；依次下去，則第2個正方形的邊長為．

11．已知實數(shù)，且，記代數(shù)式，記分別為代數(shù)式的最大值與最小值，則的值為．12．若一個各位數(shù)字均不為的四位數(shù)（，，，，，，為整數(shù)）滿足：把的千位數(shù)字作為十位數(shù)字，的十位數(shù)字作為個位數(shù)字組成的兩位數(shù)與的和記作，的千位數(shù)字與個位數(shù)字的倍的和記作，如果的各位數(shù)字之和與的和是一個正整數(shù)的平方，則稱這個四位數(shù)為“賡續(xù)數(shù)”，正整數(shù)稱“賡續(xù)元素”；當(dāng)，時，最小“賡續(xù)數(shù)”為；若“賡續(xù)數(shù)”滿足前兩位數(shù)字之和與后兩位數(shù)字之和相等，且為整數(shù)，則滿足條件的最大為.13．[輸入x]→[平方]→[減去]→[輸出A]（1）把多項式A分解因式為；（2）當(dāng)時，多項式A的值為．14．我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有《詳解九章算法》，對數(shù)的運算進行了深入研究與總結(jié)．類比其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計算問題．現(xiàn)已知a，b為實數(shù)，且，計算可得：，，，…，由此求得．15．下列四個代數(shù)式①，②，③，④，若，則代數(shù)式的值最大的是．（填序號）．16．添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項式的結(jié)果是．三、解答題17．學(xué)校準(zhǔn)備在植物園周圍增設(shè)由大小相同的等邊三角形組成的柵欄，當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形（如圖）；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形（如圖）；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形（如圖）……根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分鏤空的等邊三角形的個數(shù)為_______．(2)當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分鏤空的等邊三角形的個數(shù)為_______．（用含的代數(shù)式表示）(3)已知每個等邊三角形的面積均為，如果學(xué)校植物園周圍柵欄的總面積要達到，那么至少需要灰色等邊三角形多少個？18．如圖，研究平面內(nèi)若干條直線的交點情況，記直線條數(shù)為，交點個數(shù)的最大值為．如圖1，當(dāng)時，；如圖2，當(dāng)時，；如圖3，當(dāng)時，．(1)當(dāng)時，______；(2)試寫出關(guān)于的表達式．當(dāng)時，求的值．19．已知，．(1)化簡整式，并求時的值；(2)若．①將因式分解；②若為整數(shù)，直接寫出整式能否被16整除．20．嘉淇上小學(xué)時得知“一個數(shù)的各個數(shù)字之和能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除”，她后來做了如下分析：嘉淇的分析：∵為整數(shù)，5為整數(shù)，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．(1)通過計算驗證能否被3整除；(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；(3)設(shè)是一個四位數(shù)．，，，分別為對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請論證“若能被3整除，則這個數(shù)可以被3整除”．壓軸熱點考點02代數(shù)證明與因式分解一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值、二次根式的性質(zhì)化簡、負指數(shù)冪、去括號合并同類項計算即可．【詳解】當(dāng)時，不成立；當(dāng)時，，，故該選項錯誤；B、，故該選項錯誤；C、，故該選項正確；D、，故該選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查絕對值、二次根式的性質(zhì)化簡、負指數(shù)冪、去括號合并同類項，熟記運算法則是關(guān)鍵．2．設(shè)表示非負整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和，例如：．則的值為（

）A．28127 B．28128 C．28107 D．28117【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：從而得到，再求出；，，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，；；，，∴．故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片各4塊（邊長如圖，）．嘉嘉準(zhǔn)備從中挑選一些紙片緊密拼接成一個正方形，下列無法實現(xiàn)的方案是（

）A．2塊甲、1塊乙、4塊丙 B．1塊甲、4塊乙、4塊丙C．4塊甲、1塊乙、4塊丙 D．1塊甲、1塊乙、2塊丙【答案】A【分析】根據(jù)拼接前后面積相等，分別表示出每個選項的面積和，觀察能否寫出完全平方式即可得【詳解】解．A、無法配方，故A無法實現(xiàn)，符合題意；B、，故B可以實現(xiàn)，不符合題意；C、，故C可以實現(xiàn)，不符合題意；D、，故D可以實現(xiàn)，不符合題意；故選：A．【點睛】考查因式分解的應(yīng)用、完全平方公式、圖形拼接前后的面積不變性，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算．4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點M(?2，c)．若自變量x取?4，?，1，3時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3，y4，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】先求得該圖象的對稱軸為x=-=-1，不妨設(shè)a>0，根據(jù)各點橫坐標(biāo)與對稱軸的距離大小得到y(tǒng)4>y1>y3>y2，再對條件分解因式，即可判斷．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點M(?2，c)，∴4a-2b+c=c，即b=2a，二次函數(shù)的解析式為y=ax2+2ax+c，∴該圖象的對稱軸為x=-=-1，不妨設(shè)a>0，∵，∴y4>y1>y3>y2，A、若，即，則不一定大于0，故該選項不符合題意；B、若，同理得：，則不一定大于0，故該選項不符合題意；C、若，同理得：，則不一定小于0，故該選項不符合題意；D、若，同理得：，則一定小于0，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，因式分解的應(yīng)用，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求出y4>y1>y3>y2是解題的關(guān)鍵．5．某校數(shù)學(xué)興趣小組探究出一種新的計算兩位數(shù)的平方運算的方法，具體做法如圖1，2，3所示．按照這種方法，如圖4所示結(jié)果是一個兩位數(shù)的平方，則這個兩位數(shù)是（

）A．69 B．79 C．91 D．93【答案】B【分析】觀察發(fā)現(xiàn)表格中倒數(shù)第二行的數(shù)字是十位數(shù)字的倍與個位數(shù)字的乘積，即可得到答案．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)表格中倒數(shù)第二行的數(shù)字是十位數(shù)字的倍與個位數(shù)字的乘積，故個位數(shù)為，設(shè)所求的數(shù)字的十位數(shù)為，則，解得，故答案為，故選B．【點睛】本題主要考查根據(jù)觀察找到規(guī)律，找到正確的規(guī)律是解題關(guān)鍵．6．如圖，將一張正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的面積為，則無蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出原正方形鐵皮的邊長為，從而得到原正方形鐵皮的面積為，即，解得，從而得到無蓋箱子的外表面積為，即可得到答案．【詳解】解：正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的邊長為，原正方形鐵皮的面積為，又正方形鐵皮的面積為，，解得，無蓋箱子的外表面積為，故選：D．【點睛】本題考查方程的實際應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出各個邊長，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解是解決問題的關(guān)鍵．7．已知關(guān)于的兩個多項式，．其中a為常數(shù)，下列說法：①若的值始終與無關(guān)，則；②關(guān)于x的方程始終有兩個不相等的實數(shù)根；③若的結(jié)果不含的項，則；④當(dāng)時，若的值為整數(shù)，則x的整數(shù)值只有2個．以上結(jié)論正確的個數(shù)有(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)，的值始終與x無關(guān)，可得；根據(jù)，利用判別式，可得關(guān)于x的方程始終有兩個不相等的實數(shù)根；根據(jù)，當(dāng)時，的結(jié)果不含的項；④根據(jù)，由的值為整數(shù)，可得，求出x的值．【詳解】解：①∵，，∴，∵的值始終與x無關(guān)，∴，故①不符合題意；②，∵，∴關(guān)于x的方程始終有兩個不相等的實數(shù)根，故②符合題意；③，∵的結(jié)果不含的項，∴，解得；故③符合題意；④當(dāng)時，，∴，∵的值為整數(shù)，∴，解得或，故④符合題意；綜上，②③④符合題意；故選：B．【點睛】本題考查整式的運算，熟練掌握整式的加減乘除運算法則，一元二次方程判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．下列命題中，假命題的個數(shù)是（

）①；②分解因式：；③的算術(shù)平方根是3；④如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)；⑤在一次數(shù)學(xué)答題比賽中，五位同學(xué)答對題目的個數(shù)分別為7，5，3，5，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①，②分解因式：，③的算術(shù)平方根是，，④如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么Δ=4-4a>0，a<1，且a≠0，⑤把7，5，3，5，10，從小到大排列：3，5，5，7，10，中位數(shù)為5．【詳解】①，∵，故此命題是假命題；②分解因式：，∵，故此命題是假命題；③的算術(shù)平方根是3，∵，故此命題是假命題；④如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ=4-4a>0，a<1，且a≠0，故此命題是假命題；⑤在一次數(shù)學(xué)答題比賽中，五位同學(xué)答對題目的個數(shù)分別為7，5，3，5，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，∵五個數(shù)從小到大排列為：3，5，5，7，10，∴中位數(shù)為：5．故此命題是真命題．故假命題有4個．故選D．【點睛】本題考查了積的乘方，分解因式，算術(shù)平方根，一元二次方程根的判定，中位數(shù)，熟練掌握積乘方的法則，用平方差公式分解因式，算術(shù)平方根的定義，一元二次方程的定義與根的判別式，中位數(shù)的定義及求法，是解決此題的關(guān)鍵．9．某市2020年的扶貧資金為a萬元，比2019年增長了x%，計劃2021年的增幅調(diào)整為上一年的2倍，則這3年的扶貧資金總額將達到（

）A．a(chǎn)(3+3x%)萬元 B．a(chǎn)(+2+2x%)萬元C．a(chǎn)(3+x%)萬元 D．a(chǎn)()萬元【答案】D【分析】根據(jù)題意分別表示出2019年的扶貧資金和2021年的扶貧基金，再求得三年的扶貧基金總額即可．【詳解】∵2020年的扶貧資金為a萬元，比2019年增長了x%，∴2019年的扶貧資金為萬元，∵2021年的增幅調(diào)整為上一年的2倍，∴2021年的扶貧資金為萬元，∴這3年的扶貧資金總額將達到萬元，故選：D．【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出2019年和2021年的扶貧基金．二、填空題10．如圖，是等腰直角三角形，，在內(nèi)構(gòu)造第一個正方形，使點、在直角邊上，、在斜邊上；在內(nèi)構(gòu)造第二個正方形，使點、在直角邊上，、在斜邊上；在內(nèi)構(gòu)造第三個正方形，使點、在直角邊上，、在斜邊上；依次下去，則第2個正方形的邊長為．

【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長為，，都是等腰直角三角形，得出，根據(jù)列出方程，得出第個正方形的邊長為,同理得出前幾個正方形的邊長，進而得出第個正方形的邊長，即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為，∵，都是等腰直角三角形，∴∴解得：，即第個正方形的邊長為,設(shè)第二個正方形的邊長為，∵，都是等腰直角三角形，∴∴解得：，同理可得第3個正方形的邊長為，∵……，第個正方形的邊長為∴第2個正方形的邊長為，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．已知實數(shù)，且，記代數(shù)式，記分別為代數(shù)式的最大值與最小值，則的值為．【答案】4【分析】由得到，則．根據(jù)可求a的取值范圍為，由此可得代數(shù)式的最大值與最小值，從而解決問題．【詳解】∵，∴，∴．∵，∴，∴∴當(dāng)或時，有最大值，為，當(dāng)時，有最小值，為，∴．故答案為：4【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值是解題的關(guān)鍵．12．若一個各位數(shù)字均不為的四位數(shù)（，，，，，，為整數(shù)）滿足：把的千位數(shù)字作為十位數(shù)字，的十位數(shù)字作為個位數(shù)字組成的兩位數(shù)與的和記作，的千位數(shù)字與個位數(shù)字的倍的和記作，如果的各位數(shù)字之和與的和是一個正整數(shù)的平方，則稱這個四位數(shù)為“賡續(xù)數(shù)”，正整數(shù)稱“賡續(xù)元素”；當(dāng)，時，最小“賡續(xù)數(shù)”為；若“賡續(xù)數(shù)”滿足前兩位數(shù)字之和與后兩位數(shù)字之和相等，且為整數(shù)，則滿足條件的最大為.【答案】【分析】當(dāng)，時，可知，，則，當(dāng)時，可以取得最小值，且，據(jù)此即可求得答案．根據(jù)和為整數(shù)，可求得為整數(shù)，可得或，分情況逐一討論即可求得答案．【詳解】∵，，∴四位數(shù)．∴，．∴．∴當(dāng)時，可以取得最小值．又，∴．∵，∴．∵為整數(shù)，∴為整數(shù)．又，，∴或．①當(dāng)時．根據(jù)題意可知，，，．，．∴．∴．∴不符合題意．②當(dāng)，且，，時．根據(jù)題意，得，，．∴．∵為正整數(shù)，∴．∴．∴，，，不符合題意．③當(dāng)，且，，時．根據(jù)題意，得，，．∴．∵為正整數(shù)，∴．∴．∴．綜上所述，符合條件的的最大值為．故答案為：，．【點睛】本題主要考查實數(shù)，能采用分類討論的思想分析問題是解題的關(guān)鍵．13．[輸入x]→[平方]→[減去]→[輸出A]（1）把多項式A分解因式為；（2）當(dāng)時，多項式A的值為．【答案】4【分析】（1）先根據(jù)運算程序?qū)懗龆囗検紸，再利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）把代入多項式A中，利用平方差公式即可得到答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得；故答案為：；（2）當(dāng)時，，故答案為：4．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，因式分解，注意二次根式要先化簡再代入求值．14．我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有《詳解九章算法》，對數(shù)的運算進行了深入研究與總結(jié)．類比其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計算問題．現(xiàn)已知a，b為實數(shù)，且，計算可得：，，，…，由此求得．【答案】【分析】先根據(jù)題意求出，進而推出，由此代值計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，因式分解的應(yīng)用，正確推出是解題的關(guān)鍵．15．下列四個代數(shù)式①，②，③，④，若，則代數(shù)式的值最大的是．（填序號）．【答案】③【分析】利用作差法比較大小即可．【詳解】解：∵，令②-①得：，∴②＞①，令③-②得：，∴③＞②，令③-④得：，∴③＞④，∴代數(shù)式的值最大的是③，故答案為：③【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，利用不等式性質(zhì)比較代數(shù)式的大小，解題的關(guān)鍵是掌握作差法比較大?。?6．添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式可以用如下方法分解因式：①；又比如多項式可以這樣分解：②；仿照以上方法，分解多項式的結(jié)果是．【答案】【分析】直接根據(jù)添項、拆項的方法進行因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查添項與拆項法對多項式進行因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運用提公因式法，也考查了學(xué)生的觀察能力和整體思想．三、解答題17．學(xué)校準(zhǔn)備在植物園周圍增設(shè)由大小相同的等邊三角形組成的柵欄，當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形（如圖）；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形（如圖）；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形（如圖）……根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分鏤空的等邊三角形的個數(shù)為_______．(2)當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分鏤空的等邊三角形的個數(shù)為_______．（用含的代數(shù)式表示）(3)已知每個等邊三角形的面積均為，如果學(xué)校植物園周圍柵欄的總面積要達到，那么至少需要灰色等邊三角形多少個？【答案】(1)(2)(3)至少需要灰色等邊三角形個【分析】本題考查了圖形規(guī)律及一元一次方程的應(yīng)用，以鏤空的等邊三角形和灰色鏤空的等邊三角形的拼圖為背景，關(guān)鍵是掌握規(guī)律性問題的解決方法，探究規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．（）觀察第個圖案可知：中間的一個灰色鏤空的等邊三角形對應(yīng)個鏤空的等邊三角形，第個圖案可知增加一個灰色鏤空的等邊三角形，變成了個鏤空的等邊三角形，增加了個鏤空的等邊三角形，從而據(jù)此規(guī)律即可得解；（）觀察第個圖案，有個鏤空的等邊三角形；第個圖案，有個鏤空的等邊三角形；，依次計算可解答；（）由（）中的規(guī)律可知：，解方程即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形；當(dāng)柵欄頂部是個灰色等邊三角形時，其余部分共個鏤空的等邊三角形；故答案為：；（2）解：第個圖案：鏤空的等邊三角形有：（個），第個圖案：鏤空的等邊三角形有：（個），第個圖案：鏤空的等邊三角形有：（個），第個圖案：鏤空的等邊三角形有：（個），……第個圖案：鏤空的等邊三角形有：個，故答案為：；（3）解：，，按此規(guī)律鑲嵌圖案，需要灰色鏤空的等邊三角形個．18．如圖，研究平面內(nèi)若干條直線的交點情況，記直線條數(shù)為，