人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章 空間向量與立體幾何章末檢測卷（一）

章末檢測卷(一)

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.與向量a=(—1,2,—3)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是()

A.(一|,*2)B停號(hào),2)

C.(2,4,-4)D.(—1,2,-4)

(答案］B

K解析I。=一翡，—*2),故選B.

2.在正方體ABC。一ALBCLDI中，底面ABCD的對角線交于點(diǎn)O,且為=a,OB=

b,則疵i等于()

A.—a—bB.a+b一bD.2(a—b)

K答案』A

K解析』B^Cx=BC=Bb+OC=BO-OA=-OA-OB=-a-b.

3.已知直線/過點(diǎn)P(l,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面a過直線/與點(diǎn)

M(l,2,3),則平面a的法向量不可能是()

A.(L—4,2)B.g,—L3)

C.1一1,—￡)D.(0,—1,1)

K答案ID

I［解析I因?yàn)橥琭=(0,2,4),直線/平行于向量a,若用是平面a的法向量，

=：Q

則必須滿足一’把選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)D不滿足，故選D.

m-PM=0.

4.已知a=(2,-1,3),b=(—L4,-2),c=(l,3,A),若a,b,c三向量共

面，則實(shí)數(shù)%等于()

A.lB.2C.3D.4

R答案』A

I[解析I若向量a,b,c共面，則c=xa+M>,其中x,y￡R,

即(1,3,A)=(2x,—x,3x)+(—y,4y,—2y)=(2x-y,—x+4y,3x—2y),

f2x—y=1,

—x+4y=3,解得x=l,y=l,7=1.故選A.

13x—2y=A,

Q

5.若向量。=(1,九2),6=(2,-1,2),且。與力的夾角的余弦值為5貝1」丸=()

、22

A.2B.—2C.—2或kD.2或一毛

K答案XC

(解析I由題意，得cos〈a,b)解得4—2或A

_2

=55-

6.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中,BC=4,原點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)A償，1,0),

點(diǎn)。在平面yOz內(nèi)，且N3DC=90。，ZDCB=30°,則AD的長為()

A.y[2B.y[3C.小D.乖

(答案ID

K解析』因?yàn)辄c(diǎn)。在平面yOz內(nèi)，所以點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為0,又3c=4,原點(diǎn)

。是3c的中點(diǎn)，ZBDC=90°,ZDCB=30°,所以點(diǎn)。的豎坐標(biāo)z=4-sin303sin

60。=小，縱坐標(biāo)y=一(2—4-sin303cos60o)=—1,所以。(0,—1,小).所以AD

=71乎一°)+(1+1)+(0—小)2=加.故選D.

7.在四棱錐P—A3CD中，AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),崩=(—6,2,

-8),則這個(gè)四棱錐的高力等于()

A.lB.2C.13D.26

(答案IB

n-AB=O,

K解析X設(shè)平面ABCD的法向量為n=(x,y9z)9則j_即

nAD=O,

4x—2y+3z=0,

</,八不妨令x=3,則y=12,z=4,可得〃=(3,12,4),所以四棱

—4x+y=0.

不乩―\AP-n\26

誰的荷hz—i^j-=]3-2.

8.在四棱錐P—ABC。中，以，平面ABC。，A3C。是矩形，且AB=3,AD=4,

4s

朋=毛",則平面ABD與平面PBD的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

K答案IA

K解析』如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則麗=

3,0,-膽，

BD=(-3,4,0).

設(shè)〃=（x,y,z）為平面PBD的法向量,

n-PB=0,

則

nBD=0,

3T=0,

令x=l,

—3x+4y=0.

則〃=L，i鳴

又m=[o,0,發(fā)）為平面A3。的一個(gè)法向量,

?/\y[3

..cos（m,n）-|ni||H|-2-

平面ABD與平面PBD的夾角為30°.

二,多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得

0分）

9.棱長為1的正方體A3CD—ALBICLDI中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AB——CiDiB.ABBC=0

C.AA1BZD1=OD.ACVA1C*=0

R答案』ABC

K解析》如圖，AB=￡hCi,即協(xié)=-CLbi,AB±BC,AAilB^Di,故A,B,

C選項(xiàng)均正確.

10.如圖所示，在直三棱柱ABC—AllCl中，底面是以NABC為直角的等腰直角

三角形，AC=2a,BBi=3a,。是4Ci的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AAi上，要使CE,平

面則AE的值可能是（）

3一5

A.aC.2aD.50

K答案XAC

K解析》以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BC,BB1所在直線分別為X

軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

。惇a,當(dāng)a,3a),Bi(0,0,3a),C(0,小a,0).設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)

為(y0a,0,z)(0WzW3a),則讀一堂a,z—3a

CE=(y/2a,—yf2a,z),BiE=(y/2a,0,z—3d).

由CEL平面BiDE,得CE±DE,

CE-i>E=Q,

CELBiE,故I_

、法彘=0,

a2-ha2~hz(z-3a)=0,

即

、24+z(z—3a)=0,

解得z=a或2a,即AE=a或2a.

IL如圖所示，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,線段BiDi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,

R且族=手，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.AC±BEB.ER〃平面A3CD

C.三棱錐A—BER的體積為定值D.異面直線AE,所成的角為定值

K答案』ABC

K解析》因?yàn)锳C,平面BBLDLD,又BEU平面BBLDLD,所以ACLBE,故A

正確；因?yàn)椤ㄆ矫鍭BCD,又E,R在直線AB上運(yùn)動(dòng)，所以EF〃平面ABCD,

故B正確；C中由于點(diǎn)5到直線ER（即BiDi）的距離不變，故△3EF的面積為定

值，又點(diǎn)A到平面3EF（即平面碗DLD）的距離為半，故以.BEF為定值，故C正

確；

①當(dāng)點(diǎn)E在Di處，點(diǎn)R為。bBi的中點(diǎn)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)

系,

如圖所示，可得A(l,1,0),3(0,1,0),E(l,0,1),

心了I，

所以施=(0,—1,1),

所以施.麗=亍

又I麗=表，|麗=乎，

3

“2，六一、AEBF2y[3

所以cos(AE,BF)==Te.=?,

m\BF\小X號(hào)

所以此時(shí)異面直線AE與3R成30。角.

②當(dāng)點(diǎn)E為。11的中點(diǎn)，點(diǎn)R在Bi處時(shí)，

此時(shí)短，1,1),F(0,1,1).

所以施=(TT1]BF=(0,o,1),

所以定兩;1,曲=?卜丁十口^+了;坐，\BF\=1,

所以cos(AE,BF)=AE?而=_^_)里故D錯(cuò)誤.

mm當(dāng)xi

12.將正方形ABCD沿對角線BD翻折，使平面ABD與平面BCD的夾角為90°,

如下四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.AC1BD

B.AACD是等邊三角形

7T

C.直線AB與平面BCD所成的角為1

D.A3與CD所成的角為力

K答案』ABD

I[解析X如圖所示，以BD中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD,OA,R

OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,DX1\

J-XoTry6

設(shè)正方形ABCD的邊長為爽，則。(1,0,0),3(—1,0,0),XK

C(0,0,1),A(0,1,0),

所以慶=(0,-1,1),BD=(2,0,0),ACBD=0,

故ACLBD,A正確；

X|AC|=V2,\CD\=y/2,\AD\=y[2,

所以△ACD為等邊三角形，B正確;

對于③，為為平面BCD的一個(gè)法向量,

ABOA(—1,—1,0)?(0,1,0)-1yf2

cos(AB,OA}

mm^2X1

因?yàn)橹本€與平面所成的角的范圍是［o,引，

所以A3與平面BCD所成的角為小7T故C錯(cuò)誤;

因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角，所以A3與CD所成的角為全故D正確.

三,填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知a=(—2,1,3),8=(—1,2,1),a與8夾角的余弦值為；若a，(a

—?jiǎng)?，則7=(本題第一空2分，第二空3分).

K答案I等2

12_|_2—|—3

K解析H?/a=(—2,1,3),b=(-1,2,1),/.cos〈a,b〉=⑷7義

、歷

=*一；由題意。?(〃一勸)=0,即屋一觴乃=0,又屋=14,ab=l9.>.14—72=0,

.*.2=2.

14.已知點(diǎn)A(—1,1,-1),平面a經(jīng)過原點(diǎn)。，且垂直于向量〃=(1,-b1),

則點(diǎn)A到平面a的距離為.

(答案X《

K解析XOA=(—1,1,—1),"=(1,—1,1),；.點(diǎn)A到平面a的距離為

|OA-n|_|-l-l-l|_r-

\n\~小一"

15.已知平面a的一個(gè)法向量為〃=(1,-1,0),則y軸與平面a所成的角的大小

為.

（答案II

（解析Iy軸的一個(gè)方向向量為s=（0,1,0）,cos〈〃，s〉=箭=—乎，即

y軸與平面a所成角的正弦值是坐，故其所成的角的大小是全

16.如圖所示，已知正四面體ABCD中，AE=^AB,CF=^CD,則直線DE和府

所成角的余弦值為.

4

K答案』百

（解析I設(shè)正四面體棱長為4,

又蒞）=*+&）=抽+助，BF=BC+CF=BC+^CD,ABLCD,AD±BC,

所以cos(ED,BF)=

\ED\\BF\

2+0+0+24

—713X713—13，

4

故直線DE和BF所成角的余弦值為百.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）如圖所示，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形,

側(cè)棱AM的長為3,且AM和A3,AD的夾角都是60。，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)。=

AB,b=AD,c=AM,試以a,b,c為基向量表示出向量的，并求3N的長.

M

N/A

CB

解BN=BC+CN=AD+^CM

=AD+1(AAf-AC)

=AD+|KAM-(AD+AB)5

又⑷=|臼=2,|c|=3,ab=O,a-c=2X3-cos60°=3,"c=2X3?cos60°=3,

所以|麗|2=前2=(—5+$+$)=^(a2+Z>2+c2—2a-Z>—2a-c+26-c)=^.

所以|的=乎，即BN的長為號(hào).

18.(12分)已知空間內(nèi)三點(diǎn)A(0,2,3),8(—2,1,6),C(l,-1,5).

⑴求以向量檢，公為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

(2)若向量a與向量協(xié)，公都垂直，且⑷=#,求向量a的坐標(biāo).

解⑴<,檢=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

./ABAC71

,2心點(diǎn)而行而在

7T

又,.?/BACeK0,君，AZBAC=y

平行四邊形的面積S=|AB||AC|sm1=7V3.

(2)設(shè)a=(x,y,z),由a_LAB,得一2x—y+3z=0,

由a,公，得x—3y+2z=0,

由|a|=4，得》2+y2+z2=3,

.*.x=y=z=l或％=y=z=-l.

/?a=(l,1,1)或a=(—1,—1,—1).

19.(12分)如圖，在四面體ABCD中，平面BCD,BCLCD,AD=2,BD=

2?M是AD的中點(diǎn)，尸是3M的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC證明：

PQ〃平面BCD

A

證明如圖，取3。的中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，平面BCD內(nèi)過

。與垂直的直線為x軸，OD,0P所在射線為y,z軸的正

半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。孫z.

由題意知，A(0,y/2,2),B(0,一霹，0),D(0,巾,0).

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(xo,yo,0).

因?yàn)轫?3比，所以。?；?，乎十*yo,

因?yàn)椤锳D的中點(diǎn)，故”(0,^2,1).

又尸為的中點(diǎn)，故P(0,0,0，

所以應(yīng)=1%。，乎++。，o)

又平面BCD的一個(gè)法向量為a=(0,0,1),

故兩.a=0.

又P。。平面BCD,所以PQ〃平面BCD.

20.(12分)如圖，在邊長為4的正三角形ABC中，E,R分別為3c和AC的中點(diǎn),

PA=2,且以，平面ABC,設(shè)。是CE的中點(diǎn).

(1)求證：AE〃平面PRQ；

(2)求AE與平面PFQ間的距離.

(1)證明如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC內(nèi)垂直于AC邊的直線為x軸,

AC所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

p

-：AP=2,AB=BC=AC=4,又E,尸分別是BC,AC的中點(diǎn)，

.*.A(0,0,0),BQ小,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(小，3,0),Q惇,1,0

P(0,0,2).

???或=律，I，0),AE=(V3,3,0),：,AE=2FQ.

'：AE與RQ無交點(diǎn)，：.AE//FQ.

又RQu平面PFQ,AE。平面PFQ,...AE〃平面PFQ.

(2)解由(1)知，AE〃平面PFQ,

??.點(diǎn)A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離.

設(shè)平面PFQ的法向量為〃=(x,y,z),

n-LPF,n-PF=0,

則'_.丁_

n±FQ,[n-FQ=0.

又庫=(0,2,-2)

2y—2z=0,

x=—yf3y,

東+$=0,

Z=y,

令y=l,則尤=一小，z=l,

??.平面PRQ的一個(gè)法向量為〃=（—小，1,1）.

又怎?坐,e，°）,

所求距離1=嚅1=乎.

21.(12分)如圖,在多面體ABC—ALBCI中，AiA,BiB,QC均垂直于平面ABC,

ZABC=120°,AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

Ai

B

(1)證明：ABi，平面AbBiCi；

(2)求直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值.

⑴證明如圖，以AC的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線0c為x,y軸的正半

軸，建立空間直角坐標(biāo)系。盯z.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:

A(0,f,0),B(l,0,0),Ai(0,一小，4),Bi(l,0,2),Ci(0,事,1).

因此獲1=(1,4，2),A^i=(l,小，-2),慶i=(0,2小，-3).

由赤A宓=0得A3」ALBI.

由協(xié)1/73=0得AB」ACi,

又Ai5mAici=Ai,AiBi,ACiu平面ALBCI,

所以ABi,平面ALBICI.

(2)解設(shè)直線AG與平面ABBi所成的角為夕

由⑴可知段1=(0,2小，1),AB=(1,y[3,0),BBi=(0,0,2).設(shè)平面A3B的

法向量為n=(x,y,z).

n-AB=0,\x+y[3y=0,

由得_

n-BBi=0,12z—0,

令y=l,則％=一小，z=0,

可得平面ABBi的一個(gè)法向量”=(一小，1,0).

p-rp,.n_./J、,|ACi-n|V39

所以sin0—|cos{AC\9n)|——,

|ACi|.|n|

因此直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值是嚕.

22.(12分)如圖，在長方體A3CD—ALBICLDI中，AAi=AD=l,E為CD的中點(diǎn).

(1)求證：BiE±ADi；

(2)在棱A4i上是否存在一點(diǎn)P,使