常微分方程：第五章 線性微分方程組

第五章線性微分方程組速度例:空間質(zhì)點運動的方程組微分方程組:SIR模型SIS模型Volterra模型

Lorenz方程

5.1一階線性微分方程組在上連續(xù).記向量形式矩陣函數(shù),向量函數(shù)的連續(xù),可微,可積定義為它的每一元素的連續(xù),可微,可積.初值問題階線性微分方程的初值問題一階線性微分方程組的初值問題.它們的解等價.或注:

一階線性微分方程組階線性微分方程如關(guān)于初值問題解的存在唯一性定理:設(shè)在區(qū)間上連續(xù),則對初值問題(E)在上存在唯一解.注：由此結(jié)論得到上一章關(guān)于n階線性微

分方程初值問題的解的存在唯一性定理.5.2線性微分方程組的一般理論如果(5.3)稱為一階線性齊次微分方程組.(5.2)稱為一階線性非齊次微分方程組.1.疊加原理:為(5.3)的解,則也為(5.3)的解.

(5.3)的解集合構(gòu)成一線性空間.2.向量函數(shù)組的線性相關(guān)性及其判斷定義在區(qū)間上的向量函數(shù)線性相關(guān),如果存在不全為0的常數(shù)

使得成立;否則稱線性無關(guān).由構(gòu)成的行列式稱為由構(gòu)成的朗斯基行列式1.在上線性相關(guān)

注:

其逆不成立,如2.為(5.3)的解,則線性無關(guān)

結(jié)論由(5.3)的解構(gòu)成的朗斯基行列式在上或者恒為0,或者處處不為0.推論為(5.3)的解,3.一階齊次線性微分方程組一定存在個線性無關(guān)的解.則有線性相關(guān)線性無關(guān)4.為(5.3)的線性無關(guān)的解,則(5.3)的任一解可表為個推論(5.3)的線性無關(guān)的解最多個.(5.3)的個線性無關(guān)的解稱為(5.3)的一個基本解組.(5.3)的所有解的解集合構(gòu)成一個維線性空間.線性相關(guān)線性相關(guān)于是可得第四章中相應(yīng)結(jié)論.用矩陣描述上述結(jié)論定義若一個階矩陣為(5.3)的解矩陣.的每一列都是(5.3)的解,稱在上線性無關(guān),稱若為基解矩陣若稱為標準基解矩陣定理1(5.3)必有基解矩陣

若為(5.3)的任一解,則為常向量定理2(5.3)的解矩陣

為基解矩陣推論1為(5.3)的基解矩陣,C為可逆陣

也為基解矩陣推論2為的兩個階可逆陣

基解矩陣,則存在在上成立非齊次線性微分方程組對應(yīng)齊次線性微分方程組1.(5.2)的兩解之差為(5.3)的解易知(5.3)的解與(5.2)的解之和為(5.2)的解定理設(shè)為(5.3)的基解矩陣,為(5.2)的一個特解,則(5.2)的任一解為常向量常數(shù)變易法:代入(5.2)特解通解定理初值問題的解為(記住)例驗證

為

的基解矩陣，并求

滿足

的解.

解：驗證略.

由常數(shù)變易公式，可得所求解為

例設(shè)

為非齊次線性方程組

的n+1個線性無關(guān)解，證明（1）的任何解X(t)可表為

其中滿足證明非齊次線性方程組(1)的兩個解之差：為對應(yīng)齊次線性方程組的解.現(xiàn)證它們線性無關(guān).設(shè)有常數(shù)使即

由線性無關(guān)知于是(2)線性無關(guān),為對應(yīng)齊次線性方程組的基本解組.由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，可得(1)的任一解可表為其中即5.1.2中的一些概念：設(shè)A為n階常數(shù)矩陣，,定義A的范數(shù)為容易證明：稱n階矩陣序列

是收斂的，如果無窮矩陣級數(shù)

稱為收斂的，若它的部分和所成序列收斂.無窮矩陣函數(shù)級數(shù)