初中平面幾何一題多變

平面幾何一題多變?在完成一個數(shù)學(xué)題得解答時，有必要對該題得內(nèi)容、形式、條件、結(jié)論,做進(jìn)一步得探討，以真正掌握該題所反映得問題得實質(zhì)。如果能對一個普通得數(shù)學(xué)題進(jìn)行一題多變,從變中總結(jié)解題方法;從變中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變",必將使人受益匪淺。?“一題多變”得常用方法有:

1、變換命題得條件與結(jié)論;

２、保留條件，深化結(jié)論；

３、減弱條件，加強(qiáng)結(jié)論；?4、探討命題得推廣；?５、考查命題得特例;?６、生根伸枝，圖形變換;

７、接力賽，一變再變;?8、解法得多變等。?19、(增加題1得條件)AE平分∠BＡC交BC于Ｅ,

求證:CE:EＢ=CＤ:CＢ20、(增加題1得條件)CＥ平分∠ＢCD,AF平分∠BAC交BC于F求證:（1）BF·CE=ＢE·ＤＦ

（２)AＥ⊥CF

（3）設(shè)AE與CD交于Ｑ，則ＦＱ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，Ｄ為垂足，以ＣD為直徑得圓交AC、BC于Ｅ、F,?求證：ＣE:BC=CＦ：AC(注意本題與16題有無聯(lián)系)２2、已知,△AＢC中，∠ACB=9０度，CD⊥AB,D為垂足，以AD為直徑得圓交AC于Ｅ，以BD為直徑得圓交BC于F，求證：EF就是⊙O1與⊙O2得一條外公切線２3、已知，△ABC中，∠ＡCＢ＝90度,ＣD⊥AＢ，Ｄ為垂足,作以ＡC為直徑得圓O１，與以CD為弦得圓Ｏ2，

求證：點(diǎn)A到圓O2得切線長與AC相等（AT=ＡC）24、已知，△ABC中，∠ＡCB=９0度,CD⊥AB,D為垂足,

Ｅ為ACD得中點(diǎn),連ED并延長交CB得延長線于Ｆ，求證：DＦ：CF=BＣ：AＣ25、如圖,⊙Ｏ1與⊙O２外切與點(diǎn)D，

內(nèi)公切線DO交外公切線EF于點(diǎn)O,?求證：OD就是兩圓半徑得比例中項。題14解答:

因為CＤ^2=AD·DB

AC^2=ＡD·ＡＢ

BC^２=ＢD·AＢ?所以１／ＡC^２＋1/BC^２?=1／（AD·AB）+１/（BD·AB)?=(AＤ+DＢ）/（AＤ·BＤ·AB）

=AB／AD·BＤ·AB

＝1／ＡD·BD?=1/CD^215題解答：

因為M為AB得中點(diǎn),所以AM＝MB，AＤ－DB＝AM＋DM－（MB-DM）=２DＭ

AC^２—BC^２=ＡＤ＊ＡB－DB*ＡＢ?

＝（AＤ—DB)AＢ

=２DＭ＊AB2６、（在1９題基礎(chǔ)上增加一條平行線)

已知，△ABC中,∠ACB＝9０度，ＣD⊥AB，D為垂足,ＡE平分∠BAＣ交BC于E、交ＣD于F,FG‖AB交ＢC于點(diǎn)G，?求證：CE=ＢG2７、（在1９題基礎(chǔ)上增加一條平行線)?已知，△ABＣ中，∠ＡCＢ=9０度,CD⊥AB,D為垂足,AＥ平分∠BAC交ＢC于E、交CD于F,FG‖ＢＣ交AB于點(diǎn)G，連結(jié)EG，?求證:四邊形CＥGＦ就是菱形28、（對19題增加一個結(jié)論）?已知，△AＢC中,∠ACB=90度，ＣD⊥AB，D為垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,

求證：CE=CＦ29、（在23題中去掉一個圓）已知，△ABＣ中，∠ACB=90度,CD⊥ＡB,D為垂足,作以AＣ為直徑得圓O1,

求證:過點(diǎn)D得圓O1得切線平分BC30、(在1９題中增加一個圓）?已知，△ABＣ中,∠ACＢ=90度,CD⊥AB，D為垂足，AE平分∠ＢAC交BC于E，交CD于Ｆ，?求證：⊙CEＤ平分線段AF?3１、(在題1中增加一個條件）

已知，△ＡBC中,∠ACB=90度,CＤ⊥AB，D為垂足，∠Ａ＝3０度,

求證：BＤ=AB/4?（滬科版八年級數(shù)學(xué)第１1７頁第3題)32、（在1８題基礎(chǔ)上增加一條直線）?已知,△ABC中，∠ACB=90度,CＤ⊥AB，Ｄ為垂足，作∠ＢCE=∠BＣＤ?Ｐ為AC上任意一點(diǎn)，直線ＰQ交CD于Ｑ，交CB于M，交CE于Ｎ?求證：PQ／PN＝QM/MN3２題證明:?作ＮS‖CＤ交直線AＣ與點(diǎn)S,?則PQ/ＰN=CQ／SN

又∠ＢCＥ＝∠ＢＣD

∴QM／MN＝CQ/CN(三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理）?∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACＤ

NS‖ＣD，∴∠NSC=∠ＡCＤ?∴∠NSC=∠ＮCS

∴SN=ＣN?∴PQ/PN＝QＭ／MＮ題33

在“題一中"，延長CＢ到E,使EB＝CB,連結(jié)ＡE、DE，

求證:DE·ＡＢ=AE·BＥ題３３證明

CB^2=BD·AB

因EB=CB?∴EＢ^2=BＤ·AB

∴EＢ：BD＝AB：BＥ

又∠EBＤ＝∠ABE?∴△EBD∽△ABE

∴EB：AB=DE：AＥ?∴DE·ＡB=ＡE·BE題３4?（在19題基礎(chǔ)上增加一條垂線)

已知，△ABC中，∠AＣB＝9０度，CD⊥AB，Ｄ為垂足,?AE平分CＤ于F,ＥG⊥AB交AＢ于點(diǎn)Ｇ,?求證：ＥG^2＝ＢE·ＥC證明：延長AC、GＥ,設(shè)交點(diǎn)為H，

∴△EBG∽△ＥHC?∴EB：ＥH＝EG：ＥC?∴EH·EG=BE·EＣ?又HG‖CD，CＦ=ＦD

∴EH＝EG

∴ＥG^2=BE·ＥC題35（在題19中增加點(diǎn)F)?已知,△ABＣ中，∠ACＢ＝90度，CD⊥ＡB,Ｄ為垂足,

AE平分∠ＢCＡ交BC于點(diǎn)E，交CD于F，

求證：２CF·FＤ=AF·EＦ題36、（在題16中，減弱條件,刪除∠ACB＝90度這個條件）

已知,△AＢC中,CD⊥AB，D為垂足，DＥ⊥AＣ于Ｅ,DF⊥BC于F，

求證:CE／BC=CF／AＣ題３7

（在題17中，刪除∠AＣＢ=90度與CD⊥ＡB,D為垂足這兩個條件,增加Ｄ就是ＡB上一點(diǎn)，滿足∠ＡＣD=∠ＡBC）?已知,△AＢC中，D就是AB上一點(diǎn),滿足∠ACD=∠ABC，又CＥ平分∠BＣＤ?求證:ＡＥ^2=ＡD·ＡB題38?已知，△ABC中,∠ＡCB＝９０度,ＣＤ⊥AB，D為垂足，ＰC為⊙ABC得切線?求證：ＰA/AD＝PＢ/BD題39?（在題19中點(diǎn)Ｅ“該為E為ＢＣ上任意一點(diǎn)”）?已知，△ABＣ中，∠AＣB=90度，CD⊥AB,D為垂足，

E為BＣ上任意一點(diǎn),連結(jié)AE,CＦ⊥AE,Ｆ為垂足，連結(jié)DF，

求證:△ADF∽△AEB?題40：

已知,△ABＣ中,∠ACB=90度，ＣD⊥AB，D為垂足?求證:S⊙ADＣ：S⊙BDC=ＡＤ：ＤB題４１

已知,如圖,△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且ＡＤ/ＣＤ=CＤ/BＤ，

求∠AＣB得度數(shù)。題42?

已知,CD就是△ABC得AB邊上得高,D為垂足，且ＡD/CD=ＣD／BD，

則∠ACＢ一定就是90度嗎？為什么？題43：?已知,△ABC中,∠ACＢ=９0度,CD⊥ＡB，D為垂足,△ADC得內(nèi)切圓⊙O1,

△ＢDC得內(nèi)切圓⊙Ｏ2，?求證:S⊙O1：Ｓ⊙O２＝AD:ＤB題4４:

已知，△AＢＣ中，∠ＡCB=9０度，CD⊥AＢ，D為垂足，△ADＣ得內(nèi)切圓⊙O1得半徑R1,△BＤC得內(nèi)切圓⊙O2得半徑R2,△ABC得內(nèi)切圓⊙Ｏ得半徑Ｒ，求證:R1+R2+R=CD題45、?已知，△AＢC中，∠AＣＢ=90度，CD⊥ＡB，D為垂足，作以AC為直徑得圓O1，與以ＢD為直徑得圓O2，設(shè)O１與O２在△ABC內(nèi)交于Ｐ?求證：△PAD得面積與△PBC得面積相等?題45解：?∠CAP＝∠CＤP＝∠DBP（圓周角、弦切角）?∴Rt△ＡPC∽Rt△BPD?∴ＡP·PD=BP·PC?又∠APD與∠CPB互補(bǔ)（∠APC+∠BPD＝180度）

Ｓ△PAD=1/2·ＡP·ＰＤ·ｓｉn∠APD

S△PBD＝１/２·BP·PＣ·sin∠ＣPB?∴S△PAD=S△PBD題46(在題38得基礎(chǔ)上變一下)?已知，△ＡBＣ中，∠ACB=90度,CD⊥ＡB，Ｄ為垂足,PC為⊙ABC得切線,又CE平分∠ＡＣB交⊙ABC與E,交AB與Ｄ，

若PA=5，ＰC=１0,

求

CD·CE得值題47?在題４6中，求ｓin∠ＰCA題48(由題19而變）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥ＡB，D為垂足,

AE平分∠ACB交BＣ于E，ＥG⊥ＡB交ＡＢ于點(diǎn)G，?求證：（1）AC=AＧ?（2)、AG＾2=ＡD·ＡB?（３)、G在∠ＤCB得平分線上

（4)、ＦＧ‖BC?（5）、四邊形CEFＧ就是菱形題4９題４9解答:?題目50(題３3再變)?已知，△AＢＣ中，∠ＡＣB=９0度,ＣD⊥AB,D為垂足，延長CB到Ｅ,使EＢ＝CB，連結(jié)AE交CD得延長線于F，如果此時AC=ＥＣ，?求證:AF＝2FE題50解:?過點(diǎn)E作EM⊥CF，M為垂足,則AD：ＤB＝AＣ^2：CB^2=4：１

又ＤB：EM＝１：2?所以，AD：ＥＭ=2：1?△ＡDF∽△EMF?∴AF：ＥF=AD：ＥＭ=２：１

∴AF＝2EF題目51(題50中連一線)?已知,△ABＣ中,∠AＣB=９0度,CD⊥ＡB，Ｄ為垂足，延長CB到E,使EB=CB,連結(jié)AE交CD得延長線于F,連結(jié)ＦＢ，如果此時AＣ=EC,

求證:∠ABC=∠EＢF

(題５1得幾種解法)

解法1、

作∠AＣＢ得平分線交AB于點(diǎn)G,易證△ACG≌△CEF

∴CG＝EF

∴證△CBG≌△EＢF?∴∠ＡBC=∠ＥBＦ題５１解法２

作∠ＡＣB得平分線交ＡB于點(diǎn)Ｇ，交AE于點(diǎn)P,?則點(diǎn)G為△AＣE得垂心，∴GＦ‖CE?又∠AEC=∠GCE，?∴四邊形CGFＥ為等腰梯形?∴ＣＧ=ＥF?∴再證△CBG≌△ＥBＦ

∴∠ＡBC=∠EＢF題51解法3

作∠ACＢ得平分線交ＡB于點(diǎn)Ｇ,交AE于點(diǎn)P，?則點(diǎn)G為△ＡCE得垂心,?易證△APＧ≌△CPF（AＡS)?∴PＧ＝PF?又∠GPB＝∠FPB,

PB=PB?∴△ＰBG≌△FBＰ（SAS)?∴∠PBG=∠ＦＢＰ

∴∠ABC=∠ＥBF題51解法4（原題圖）

由題50得,ＡF=2EF?∴AF:ＥF=AC：BＥ=2?又∠CＡＦ=∠BＥF=45度

∴△ＡCF∽△EＢF

∴∠ＡCF＝∠EＢF

又∠ＡCＦ=∠CBA?∴∠ABＣ=∠EBF題51解法５?作ME⊥ＣE交ＣD得延長線于M，?證△ＡBC≌△CME（AＳＡ)?∴∠ABC=∠M?再證△MEＦ≌△ＢEF(ＳAS）

∴∠EＢM=∠Ｍ

∴∠ＡBC=∠ＥBF題5１解法6

作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C得對稱點(diǎn)Ｎ,連結(jié)AN,?則ＮB=２BE，又由題50，AＦ=2EF，?∴ＢＦ‖AN

∴∠ＥBM=∠N

又∠ABC=∠Ｎ(對稱點(diǎn))?∴∠AＢＣ=∠EBF題５１解法7?過點(diǎn)C作CH‖ＢＦ交AB于M，

∵Ｂ為CE得中點(diǎn),?∴F為ＨE得中點(diǎn)

又由題５0，AF=2ＥF,

∴H為AF得中點(diǎn)

又CＨ‖BF

∴M為AB得中點(diǎn)

∴∠MＣB=∠MBＣ?又∠EBM=∠MＣB

∴∠ＡBC=∠ＥBF題目52(題5０、５１結(jié)論得引伸）

已知，△ABＥ中,AC=EC，∠ACＥ=９0度,?CD⊥AＢ交斜邊AＢ于F,Ｄ為垂足，?B為ＣＥ得中點(diǎn)，連結(jié)FB，?求證:

（１)、AＦ＝2ＥF?（2)、∠ＡＢC=∠ＥBＦ

(3)、∠EBF＝∠E+∠ＢＡE

(4）、∠AＢF=２∠DＡC?(5）、AB：BF=AE:EF

（６）、CD：DF＝AE：AF

（７）、AＤ：DB＝2AＦ:EF?(8）、CＤ/DＦ·FA/ＡＥ·EB/ＢC=1題目53（題52得一部分)

已知如圖，

①、AＣ＝ＣE

②、AC⊥CE?③、CB＝BE

④、ＣF⊥ＡB

求證：

⑤、AＦ=2EF

⑥、∠ABＣ=∠ＥBF(題53得14個逆命題中，就是真命題得請給出證明）?題目54(題5３得逆命題1)?已知如圖，?⑤、AＦ=2EF

②、ＡC⊥ＣE?③、ＣB=BE

④、ＣF⊥AB?求證:?①、AC=CE?⑥、∠ABＣ=∠ＥBF?平面幾何一題多變?

題目55（題53得逆命題２）

已知如圖，

①、AC=CE

⑤、AF＝２EＦ

③、CB=BE

④、ＣＦ⊥AB?求證:?②、AC⊥ＣE?⑥、∠ABC＝∠EＢＦ?

題目56（題53得逆命題３）

已知如圖,

①、AＣ=CE

②、AＣ⊥CＥ?⑤、AＦ＝2ＥF?④、ＣＦ⊥AB

求證:

③、CB=BE?⑥、∠ABC=∠ＥBF??題目57（題53得逆命題4）?已知如圖,

①、AC=CE?②、ＡC⊥CＥ

⑤、AF=2EF?③、CＢ=ＢE

求證：

④、ＣＦ⊥AＢ?⑥、∠ＡBC=∠EBF??題目5８(題53得逆命題5)

已知如圖,

③、CB=BＥ

⑥、∠ＡＢＣ=∠EＢF

②、ＡC⊥CE

④、ＣF⊥AB

求證：?⑤、AＦ=2ＥF?①、AC=CE

題目59（題53得逆命題６)

已知如圖,?①、AＣ＝ＣＥ?④、CF⊥ＡＢ

③、CB=BE?⑥、∠ABC=∠EBF

?求證:

⑤、AＦ=２EF?②、AＣ⊥CE?

題目60（題53得逆命題７)?已知如圖,?①、AＣ=CE?②、AC⊥CE?⑥、∠ABＣ=∠ＥBＦ

④、ＣF⊥AB?求證：

⑤、ＡＦ=2EF

③、CB=ＢE?

題目６１(題5３得逆命題8)

已知如圖,

①、AＣ=CE

②、AC⊥ＣE?③、ＣB=ＢE

⑥、∠AＢC=∠EBF

?求證:?⑤、AＦ=2EF?④、CＦ⊥AB

?題目６2（題5３得逆命題9)

已知如圖,

⑤、AF=２ＥF?④、ＣF⊥AＢ

③、CB＝BE

⑥、∠ABC＝∠EＢF?

求證:

①、AＣ＝CE

②、AC⊥CE?

題目６3(題５3得逆命題１0)

已知如圖，?②、AC⊥ＣE?⑤、AＦ=2EF

④、CF⊥ＡB?⑥、∠ABC＝∠EBＦ

求證：

①、AC=CE?③、CB=BE?

題目64（題5３得逆命題11）

已知如圖,?③、CＢ=BE?⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CＥ

⑤、AF＝2EＦ?求證:

①、AＣ=CE

④、CＦ⊥AB

?題目65（題53得逆命題1２)?已知如圖，?①、AＣ＝ＣＥ?⑤、AF＝２ＥF

④、ＣF⊥AB?⑥、∠ABＣ=∠ＥBF?

求證:

②、AC⊥ＣＥ

③、CB=ＢE

?題目6６(題53得逆命題13）?已知如圖,?①、AC＝CE?⑤、AF=2EF

③、CB＝BE?⑥、∠AＢC=∠ＥＢF

求證:?②、AC⊥ＣE?④、CＦ⊥AB

?題目６7（題５3得逆命題14）?已知如圖,

①、AC=ＣE?②、AC⊥ＣE

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

求證:?③、ＣB=ＢＥ?④、CF⊥AB題目６８?已知如圖,△ABC中,∠AＣＢ=90度，CD⊥AＢ，D為垂足,

CＭ平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，?求S△BCD=?（題６8解答）?解：

設(shè)Ｓ△ＢCD=ｘ，則S△ACM/S△CＭB=３0/(6+x）=AM/ＭB

S△ACD／S△ＣＤＢ=36/ｘ=AD／ＤB

又AC^２＝AD·AB?ＢC^2＝ＢD·AＢ?∴AC＾2/ＢＣ＾２=ＡD/ＢＤ

∵CM平分∠ACB?∴（AM/BM）^2=AD/BD

∴［30/（６+x)]^２=36/x?解方程得x=4或x＝9

∴Ｓ△BCD＝4或S△ＢCD=9題目6９?已知如圖,△ＡBＣ中,∠ＡＣＢ=９０度，D為斜邊AB上一點(diǎn),滿足AC^２＝ＡＤ·AB?求證：CD⊥AB題目70?已知如圖，△AＢC中,ＡＣ〉BC,∠ACＢ=９0度,?CM平分∠ＡＣＢ，且CM+CB=ＡC,?求證：1/ＡC-1/BC=√2題7０證明：?過點(diǎn)M作MＤ⊥BC，D為垂足,作MD⊥AC，E為垂足，

設(shè)ＭE=x，ＡC=ｂ,ＢＣ=a,則CM=√2x，AE=b—ｘ,?由AE/ＡＣ=MＥ/BC，得(b-x）/b＝ｘ／ａ,

∴x＝aｂ／(ａ+b）

又CM＋CB=AC

∴√2x+a＝b，?∴ab/（a＋b）=（b-a)/√2

整理得:b＾２—a^2=√2ａｂ?兩邊都除以ａb,

∴1/AC—1/BC=√2?題目７1（依題68變)?已知如圖,△ＡBＣ中（AＣ＞BC)，∠ACB=90度,ＣD⊥AB，D為垂足,

CM平分∠ACB，且BC、AC就是方程ｘ＾2－14x+48＝０得兩個根，

求AD、ＭD得長。題目7１解：

顯然，方程x^2—14x+4８＝0得兩根為6與8,

又AC>BC

∴AC=8，ＢC=6

由勾股定理AB=１0?△ＡCＤ∽△AＢＣ，得ＡC^２＝AD·AB

∴ＡD=6、4

∵CM平分∠ＡＣB?∴AM/MB=AＣ/ＣＢ?解得，AＭ＝40/７?∴MD=ＡD—ＡＭ=24／35題目72

已知如圖,△ＡBC中,∠ＡＣＢ=9０度,AＢ=2AC，現(xiàn)在將它折成如右圖得形狀，這時頂點(diǎn)A正好落在BC上，而且△A'ＭN就是正三角形,?求△A’MN與△ABC得面積之比。題７2解:?∵∠ACB=90度，AB＝2ＡＣ?∴∠Ｂ＝30度?由題意，四邊形AMA'N就是菱形，?∴△A＇BM∽△ABＣ?∴A＇Ｍ/ＡＣ=BM/ＡＢ?設(shè)ＡM=ｘ,AＢ=2AC=2a

∴x/a=（２a-x）/２a?∴x=2a/3?由三角形面積公式,得?Ｓ△Ａ’MN:Ｓ△ＡBC=2：9題目73

已知,△ABC中,∠ACB＝90度，CＤ⊥AB,Ｄ為垂足?求證：AＢ＋CD〉A(chǔ)C+BC題７３得證明：?由三角形面積公式,得AB·CD=AＣ·ＢC?２AB·ＣＤ＝２AC·BC?又勾股定理,得ＡB^２=AC＾2+ＢC^２

∴AB^2+2ＡB·CD=AＣ^2+ＢＣ^2+2AＣ·BC(等式性質(zhì)）

∴AＢ^2+2AＢ·CD＝（AC+BC)^2

∴ＡＢ^2+2AＢ·CD+ＣD^２>（AＣ＋BＣ）^２

∴（AＢ+ＣＤ）^2>（AC+BC)^2

又ＡB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CＤ>AC+BC題目74

已知,△ABC中，∠AＣＢ>90度,CＤ⊥AＢ,Ｄ為垂足?求證：ＡB+CD〉A(chǔ)C+BC題74證明：如圖,作CB’⊥AＣ交ＡB于B’，

于就是有

AＢ'·CＤ＝AC·B’Ｃ

2ＡB'·CＤ=2ＡC·Ｂ’Ｃ?又勾股定理，得ＡＢ'^2=AC^2+B’C^2

∴AB’＾２+２AB’·CＤ=AＣ^2+B'C^２＋2AC·B’C（等式性質(zhì)）

∴ＡB’＾2+2ＡB’·CＤ=（ＡC＋Ｂ’C)＾2?∴AB’^２+2ＡB’·ＣD+CD^２＞（AＣ＋B’C）^２

∴（AB’+CD）^2〉(AC+B'Ｃ）^2

又AＢ’、CD、AＣ、B'C均大于零

∴AB'+ＣD〉A(chǔ)C＋B'C……①

在△ABＢ'中,BＢ'〉CＢ—CB'……②

①+②得AB’BB'+CD〉A(chǔ)Ｃ＋B'CCB-CB’?∴AB+CＤ>ＡC＋BC題目75

已知如圖，△AＢC中，ＣＤ⊥AB，Ｄ為垂足,?CT平分∠ACＢ，ＣＭ為AＢ邊上得中線,

且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MＣB

求證：∠ACB=９０度題目7５得證明:

延長ＣT交三角形ＡBC得外接圓于N,連結(jié)ＭN，

則N為弧AB得中點(diǎn)，所以MN⊥AB，

又CD⊥AB,

∴MＮ‖ＣD?∴∠DCT=∠TＮM?又∠DCT=∠TCＭ?∴∠ＴCM=∠TNＭ?∴CＭ=ＮＭ?∴CN得垂直平分線必過點(diǎn)M，

又CM為AＢ邊上得中線，MN⊥AB?∴AB得垂直平分線必過點(diǎn)M，?即M為兩條弦得垂直平分線得交點(diǎn),

∴M為三角形ABC得外接圓得圓心，

因此AB為△ＡBC得外接圓得直徑。?∴∠ACB=9０度題目７6

已知，△ABC中，∠AＣB＝９0度,CD⊥AＢ,D為垂足,?∠ACB得平分線CG交AB邊上得中垂線于點(diǎn)G，

求證：MC=ＭG題目77?已知,△AＢC中,∠ACB＝90度,ＣD⊥AＢ,Ｄ為垂足，CM為AB邊上得中線，CD就是∠AＣB得平分線,AC=75cm,BD=80cm，

求CＤ、CＭ、CE得長題目78?

已知,△ABＣ中，∠ACB＝90度,CD⊥AB，D為垂足,E為⊙ＡＢC上一點(diǎn),

且弧AＣ＝弧CＥ,又AE交CD于M，

求證：AＭ=CM?

題目79（題78再變）?已知,△ABC中，∠ACB=９0度，ＣD⊥AB,D為垂足,E為⊙ABC上一點(diǎn)，且弧AC=弧CE，又ＢC交AE于G，連結(jié)BE

求證：BＧ^2=AＢ·BE－AG·ＧＥ

題目80?已知,△ABＣ中，∠ACB＝90度，CD⊥AＢ，Ｄ為垂足,E為⊙ABC上一點(diǎn),且直線ＤC于直線BＥ交于Ｐ，?求證:CD^２=DM·DP題目８1?已知,△ABＣ中，∠ACＢ＝90度，ＣD⊥AB,Ｄ為垂足,E為⊙AＢC上一點(diǎn)，且直線DC于直線BＥ交于P,如果ＣD平分AE,

求證：2ＤM·DP=ＢE·ＥP題目82

已知，△AＢC中，∠ＡCB=90度，CD⊥ＡB,Ｄ為垂足，E為⊙AＢＣ上一點(diǎn),

且弧AC=?。肊，又直線AＣ與直線BE交于H，

求證:ＡB=BH題目83(由題44變)??求證：直角三角形兩條直角邊得與等于斜邊與內(nèi)切圓直徑得與。題目8４?已知，△ABＣ中，∠ACＢ=9０度，CD⊥AＢ,D為垂足,MN切⊙ABC與C點(diǎn)?求證：BC平分∠DCN題目85

已知,△ABC中,∠ＡCB=９0度,CＤ⊥AB,D為垂足，MＮ切⊙ABＣ與C點(diǎn)，

AF⊥MN,F為垂足,AE⊥ＭN，Ｅ為垂足,?求證：ＣD=ＣE=CF題目８6?已知,△ABC中,∠ＡＣB=90度，以BC為直徑得圓交AB于點(diǎn)D，以AC為半徑得圓交AB于點(diǎn)E,

求證:∠ＢCE=∠DCE題目87（由題38圖而變）?求證：與兩定點(diǎn)距離之比等于定比（不為1)得點(diǎn)得軌跡就是一個圓周.?（提示:從(1）完備性、（２)純粹性兩方面來證明。)

題目８８

作圖題:

已知兩線段之與及積，求作這兩條線段。?已知：兩線段m與n?求作:兩線段x及ｙ,使ｘ＋y＝m,xy=n＾２補(bǔ)個圖（題8８作法參考）

ＡD、BD即為求作線段x、y?題目8９(由題8８變）?已知梯形ABCＤ如圖，求作一直線平行于梯形得底邊，且平分面積。題目90

利用下圖，證明：兩個正數(shù)之與為定值,則這兩個數(shù)相等時乘積最大。題目8９作法：

如圖，作兩腰得延長線交于點(diǎn)O,作ＰB⊥AB使PB＝OA，連結(jié)OP，

以O(shè)P為直徑作半圓Ｍ,由圓心M作ＭＮ⊥OＰ，交半圓于點(diǎn)N,再以Ｏ為圓心OＮ為半徑畫弧交ＡB于點(diǎn)E，作EF‖BC交CD于F,則ＥF即為所求線段。題９1(題73變)

設(shè)a、b、c、ｄ都就是正數(shù),滿足a/b＝c/ｄ，且a最大，

求證:ａ+ｄ＞b+c題92(人教版數(shù)學(xué)八年級下11４頁)

在Ｒｔ△ABC中，∠AＣB＝90度,CD⊥AB，D為垂足，∠ACD=３∠BCD,E就是斜邊AＢ得中點(diǎn),

∠ECB就是多少度？題９3（題49變）已知，17cosＡ+13ｃosＢ=１７，17ｓiｎA(yù)=13ｓinＢ，且∠A、∠Ｂ都就是銳角，

求∠A／2+∠B得值。題目93解:（構(gòu)造法)?分別以17、13為邊作△ABC,使AＣ=17,BC=13，ＣD為AB邊上得高,?在Rｔ△ADC中，AD=17ｃosA，在Rt△BＤＣ中，ＢD＝１3ｃｏsB,

CD=17ｓiｎＡ=１３sｉnＢ

而AB＝AD＋ＤB=１7cｏｓA+13coｓB=1７，

∴AC=AB,∠B＝∠ACB,?∴∠A＋2∠B=1８0度?∴∠A/2+∠B＝90度。題94?已知如圖,△ＡBC得∠C得平分線交AB于D，交△AＢC得外接圓于E，

若ＣD·CE等于△ABC面積得2倍

求證：∠ＡCB＝90度?題目95

已知，△ABC中,∠ACB＝90度，ＣD⊥AB，D為垂足，CＭ平分∠ACB交AB于M，若AC〉ＢC?求證:∠DCＭ＝1/2·(∠B－∠A）題目96

已知,△ABＣ中，∠AＣB=90度,ＣＤ⊥AB,D為垂足,ＣE為AB邊上