不等式選講教案 人教課標版

選修不等式選講教學札記

一、課程目標解讀

選修系列專題不等式選講，內容包括：不等式的基本性質、含有絕對值的不等式、不等

式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大（?。┲?、數(shù)學歸納法與不等式。

通過本專題的教學，使學生理解在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系，不等關系

和相等關系都是基本的數(shù)學關系，它們在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要的作用；使學生了

解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學本質的理解，提高學生的

邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。

二、教材內容分析

作為一個選修專題，雖然學生已經(jīng)學習了高中必修課程的個模塊和三個選修模塊，教材

內容仍以初中知識為起點，在內容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性.整個專題內容分為四講，

結構如下圖所示：

第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內容的完整性，教材回顧了已學過

的不等式個基本性質，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強調了比較大小的基本方法?；仡櫫硕?/p>

元基本不等式，突出幾何背景和實際應用，同時推廣到個正數(shù)的情形，但教學中只要求理解

掌握并會應用二個和三個正數(shù)的均值不等式。

對于絕對值不等式，借助兒何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，

并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學習解含有絕對值不等式的

一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。

第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式

的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的

課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內容。這些方法大多在選修“推理與證明”已經(jīng)學過，

此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應通過實際實際例子，使學生明確不

等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進一些項，在分式中放大或縮小分子或分母,

應用基本不等式進行放縮等（見分節(jié)教學設計）。本講內容也是本專題的一個基礎內容。

第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質上的新增內容，

教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應用。其中柯西不等式及其在證明不

等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應用是教材編寫和我們教學的重點。事實上，柯西不等

式和均值不等式在求最值方面的簡單應用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如

課本頁，習題第四題。

排序不等式只作了解，建議在老師指導下由學生閱讀自學，了解教材中展示的“探究一

猜想一一證明一一應用”的研究過程，初步認識排序不等式的有關知識。

第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”.數(shù)學歸納法在選修中也學過，建議放在第二講，

結合放縮法的教學，進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學估

算方面的初步運用。

三、教學目標要求

.不等式的基本性質

掌握不等式的基本性質，會應用基本性質進行簡單的不等式變形。

.含有絕對值的不等式

理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。

.不等式的證明

通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮

法、數(shù)學歸納法教學札記

.幾個著名的不等式

()認識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進行

簡單的證明與求最值。

0理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式并應用。

()了解個正數(shù)的均值不等式，維柯西不等式，排序不等式，貝努利不等式

,利用不等式求最大(小)值

會用兩個或三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。

.數(shù)學歸納法與不等式

了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式。

會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式。

四、教學重點難點

、本專題的教學重點：不等式基本性質、均值不等式及其應用、絕對值不等式的解法及

其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應用、排序不等式；

、本專題的教學難點：三個正數(shù)的算術幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；

用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。

五、教學總體建議

、回顧并重視學生已學知識

學習本專題，學生已掌握的知識有：

第一、初中課標要求的不等式與不等式組

0根據(jù)具體問題中的大小關系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質。

()解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不

等式組，并會用數(shù)軸確定解集。

()根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題

第二、高中必修不等式內容：

()不等關系。通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，了解不

等式(組)的實際背景。

()一元二次不等式。

0二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。

()基本不等式及其應用(求最值)。

第三、高中選修推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等內容。

回顧并重視學生在學習本課程時已掌握的相關知識，可適當指導學生閱讀自學，設置梯度恰

當?shù)牧曨}，采用題組教學的形式，達到復習鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復

習，構建知識體系。

、控制難度不拓展

在解絕對值不等式的教學中，要控制難度：含未知數(shù)的絕對值不超過兩個；絕對值內的關于

未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來

加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；

不等式證明的教學，主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、

數(shù)學歸納法，應用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。

代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的，但對大多數(shù)學生來說，

往往很難掌握這些技巧，教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想，對一些

技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的技巧之中。

、重視不等式的應用

不等式應用的教學，主要是引導學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題，其中最值問教學札記

題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過個正數(shù)的均

值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應用不作要求。

、重視展現(xiàn)著名不等式的背景

幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應當引導學生了解重要不等式的數(shù)學意義和幾

何背景，使學生在學習中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質。特別是對于

元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內容，可指導學生閱讀了解相關背景知識。

第一講不等式和絕對值不等式

課題：第課時不等式的基本性質

教學目標：

1.理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義，建立不等式研究的基礎。

2.掌握不等式的基本性質，并能加以證明；會用不等式的基本性質判斷不等關系和用

比較法，反證法證明簡單的不等式。

教學重點：應用不等式的基本性質推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。

教學難點：靈活應用不等式的基本性質。

教學過程：

一、引入：

不等關系是自然界中存在著的基本數(shù)學關系?！读凶?湯問》中膾炙人口的“兩小兒辯日”：

“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”，就從側面表明了現(xiàn)實世界中不等關系的廣泛存在；

日常生活中息息相關的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢？”、

“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮？”、“用一塊正方形白鐵皮，在它的四個角各剪去一

個小正方形,制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大,應當剪去多大的小正方形？”

等，都屬于不等關系的問題，需要借助不等式的相關知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)

學研究中也起著相當重要的作用。

本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、

排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學歸納法和它的簡單應用等。

人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結構，事與事成因與結果的不同等等都表

現(xiàn)出不等的關系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相

對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。

生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉化為數(shù)學問題：克糖水中含有克糖(>>),若再加(>)

克糖，則糖水更甜了，為什么？

分析：起初的糖水濃度為夕，加入克糖后的糖水濃度為空巴，只要證即可。

aa+ma+ma

怎么證呢？

二、不等式的基本性質：

、實數(shù)的運算性質與大小順序的關系：

數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可

知：

a>ba-b>0

a-b<^>a-b—O

a<b<^>a-b<0

得出結論：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。教學札記

、不等式的基本性質：

①、如果〉，那么＜,如果。那么〉。（對稱性）

②、如果》，且〉，那么〉，即〉，＞=＞。

③、如果〉，那么＞，即＞=＞。

推論：如果》，且〉，那么》.即〉，＞=?.

④、如果〉，且〉，那么〉；如果〉，且〈，那么＜.

⑤、如果＞＞,那么a"＞勿'（e,且〉）

⑥、如果＞＞,那么標＞好（€,且＞）。

三、典型例題：

例、比較（x+3）（x+7）和（x+4）（%+6）的大小。

分析：通過考察它們的差與的大小關系，得出這兩個多項式的大小關系。

例、己知a＞Z?,c＜d,求證：a-c＞b-d.

例、已知〉，?,求證：監(jiān)。

四、課堂練習：

:已知x＞3,比較V+1卜與6/+6的大小。

：已知＞＞,＜〈,求證：一也＜，一。

a-cb-d

五、課后作業(yè)：

課本與第、、、題

六、教學后記：

課題：第課時基本不等式

教學目標：

.學會推導并掌握均值不等式定理；

.能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。

教學重點：均值不等式定理的證明及應用。

教學難點：等號成立的條件及解題中的轉化技巧。

教學過程：

一、知識學習：

定理：如果、G,那么十》（當且僅當=時取“=”號）

證明：H■一=（-）

當W時，（一）〉,當=時，（一）—

所以，（一）》即+》

由上面的結論，我們又可得到教學札記

定理（基本不等式）：如果，是正數(shù)，那么》（當且僅當=時取“=”

號)

證明：???()+()》

.?.+2，即》

顯然，當且僅當=時，=

說明：)我們稱為，的算術平均數(shù)，稱為，的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩

個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

)+》和，成立的條件是不同的：前者只要求，都是實數(shù)，而后者要求，都是正數(shù).

)“當且僅當”的含義是充要條件.

)幾何意義.

二、例題講解：

例已知，都是正數(shù)，求證：

()如果積是定值，那么當=時，和+有最小值；

()如果和+是定值，那么當=時，積有最大值

證明：因為，都是正數(shù)，所以＞

()積為定值時，有》.??+2

上式當=時，取“=”號，因此，當=時，和+有最小值.

()和+為定值時，有

上式當時取“=”號，因此，當時，積有最大值.

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

i)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)；

ii)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

iii)等號成立條件必須存在。

例：已知、、、都是正數(shù)，求證：

(+)(+)》

分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時

加強對均值不等式定理的條件的認識.

證明：由、、、都是正數(shù)，得

＞〉,＞〉,

即(+)(+)》

例某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為，深為，如果池底每的造價為元，

池壁每的造價為元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，即建立函數(shù)關系式，然后求函數(shù)的最

值，其中用到了均值不等式定理.

解：設水池底面一邊的長度為，水池的總造價為元，根據(jù)題意，得

—+(+)2+x)

=+xx=

當=,即=時，有最小值

因此，當水池的底面是邊長為的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是元.

評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建

立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件.

三、課堂練習：課本練習，，，.

四、課堂小結：教學札記

通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，

并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應用時，應注意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

課本習題第，，題

六、教學后記：

課題：第課時三個正數(shù)的算術幾何平均不等式

教學目標：

.能利用三個正數(shù)的算術幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；

.了解基本不等式的推廣形式。

教學重點：三個正數(shù)的算術幾何平均不等式

教學難點：利用三個正數(shù)的算術幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題

教學過程：

一、知識學習：

定理：如果。力,ceR+，那么"+"+'之倔：。當且僅當。=6=c時，等號成立。

3

推廣：o當且僅當q―電〃時，等節(jié)成立。

n

語言表述：個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

思考：類比基本不等式，是否存在：如果那么/+〃+c323az7c（當且僅當

a=b=c時，等號成立）呢？試證明。

二、例題分析：

例：求函數(shù)y=2/+—（冗>0）的最小值。

X

222

解一：y=2x+-=2x+-+->3^2x----=3^4ymin=3^4

XXXVXX

解二：y=2x2+->2』2/工=2瘋當2/=之即x=膽時

XVxx2

??.An=2卜.半=2）3值=2^324

上述兩種做法哪種是錯的？錯誤的原因是什么？

變式訓練若R且a>。,求a+——-——的最小值。

（a-b）b教學札記

由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要

例：如下圖，把一塊邊長是的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名

著虛線折轉成一個無蓋方底的盒子，問切去的正…一團

方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？?0

，[90

10a

1D

?tUQ

J___L.

變式訓練已知：長方體的全面積為定值S,試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的

體積最大，求出這個最大值.

由例題，我們應該更牢記一二三，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定,

和定.

三、鞏固練習

12

.函數(shù)y=3》+）（%>0）的最小值是（）

x~

.6A/6

,16

.函數(shù)y=4x2+,,的最小值是

（尸+1）-

.函數(shù)y=x4（2—x2）（o<x<J5）的最大值是（）

1632

'27'27

.（浙江自選）已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,求4*+4V+4?的最小值。

（,江蘇，）設a,。,c為正實數(shù)，求證：二+二+二+阪;22百

abc

四、課堂小結：

通過本節(jié)學習，要求大家掌握三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，

并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值，，但是在應用時，應注意定理的適用條件。

五、課后作業(yè)

習題第，，題

六、教學后記：

課題：第課時絕對值三角不等式

教學目標：

：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導方法，會進行簡教學札記

單的應用。

:充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法，體會轉化和數(shù)形結合的數(shù)學

思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。

教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。

教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導、取等條件。

教學過程：

一、復習引入：

關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。

本節(jié)課探討不等式證明這類問題。

.請同學們回憶一下絕對值的意義。

x,如果r>0

W=<0,如果c=0。

-x,如果x<0

幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。

.證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經(jīng)常還

要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：

()\ci\>a,當且僅當。20時等號成立，a當且僅當。40時等號成立。

()\a\=-Ja^,()時.忖O§='"0)

那么時+網(wǎng)=1+4？時―設==+母？

二、講解新課：

oAB

探究：問,網(wǎng),|a+W，|a—4之間的什么關系？T——a-------h―X

結論：卜+萬隆向+阿(當且僅當"20時，等號成立.)

已知a,〃是實數(shù)，試證明：|a+"W同+何(當且僅當時，等號成立.)

方法一：證明.當，時，.當〈時，

cib=-\ah\,

ah=\^_______|a+昨&+療

|a+：|=W+b)=冊+2帥+/

=^a2+2ab+b2=7|?|2-2\ah\+\b\i

=7l?P+2\a\\h\+\b\2<^\a\2+2\a\\b\+\b\2

=J(⑷+⑸y=^\a\+\b\y

=\a\+\b\=\a\+\b\

綜合，知定理成立.

方法二：分析法，兩邊平方(略)

教學札記

定理如果a,b是實數(shù)，則,+4碼4+可(當且僅當"20時，等號成立.)

根據(jù)定理,有卜+.+卜月習a+人一小就是，,+4+忖？同。所以，卜+母之同一|小

定理(絕對值三角形不等式)

如果方是實數(shù),則||a|-|*||W卜土耳W悶+向

注：當。力為復數(shù)或向量時結論也成立.

推論：|%+。2++”"降同+同++|??|

推論：如果a、b、C是實數(shù)，那么|a-c|W|a-W+B—c],當且僅當(a—b)S-c)20時,

等號成立.

思考：如何利用數(shù)軸給出推論的幾何解釋？

(設，，為數(shù)軸上的個點，分別表示數(shù)，，，則線段ABVAC+CA當且僅當在，之間時,

等號成立。這就是上面的例。特別的，取=(即為原點)，就得到例的后半部分。)

三、典型例題：

例、已知|x-<a|<y,|y-Z?|<^,求證|(x+y)—(?+Z?)|<c.

證明|(x+y)—(tz+Z?)|=|(x-t2)+(y—Z?)|<|x-a|+|y-Z?|()

|x-+1j-Z?|<|+1-=c()

由()，()得：|(x+y)—(a+b)|vc

例、已知求證：|2x—3y|va。

證明,?,國<*可<(，?,?網(wǎng)<*|34<泉

4o2Z

由例及上式，|2x—3y|<|2x|+|3y|<]+W=a。

教學札記

注意：在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于

不等號方向相同的不等式。

例兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路碑

的第公里和第公里處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生

活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應該建于何

處？

解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第處，兩施工隊每天往返的路程之和為0

那么()()

10%20

四、課堂練習：

.(課本七0習題第題)求證：

(l)|a+fe|+|a-b|22同；(2)|a+ft|—|a—

.(課本習題第題)求證：

(l)|x—a|+|x-Z>|^|a—;(2)|x-a|—|x—Z>|^|a-Z>|

.()、已知[A—忸一.求證：|(A—5)—(a—b)|<c。

()、己知—.<言.求證：|2x—3y—加+招<c。

五、課堂小結：

.實數(shù)a的絕對值的意義：

[a(a>0)

⑴同=03=0)；(定義)

-a(a<0)

⑵時的幾何意義：

.定理(絕對值三角形不等式)

如果a,)是實數(shù)，則|同一也||W|a±⑷W同+向注意取等的條件。

六、課后作業(yè)：課本第，，題

七.教學后記：

教學札記

課題：第課時絕對值不等式的解法

教學目標：

：理解并掌握N<。和國>。型不等式的解法。

：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法，體會轉化和數(shù)形結合的數(shù)學

思想，并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。

教學重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。

教學難點：絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導、取等條件。

教學過程：

一、復習引入：

在初中課程的學習中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。

請同學們回憶一下絕對值的意義。

在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即

x,如果r>0

|x|=<0,如果x=0o

—x,如果x<0

在此基礎上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。

二、新課學習：

關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等

式。下面分別就這兩類問題展開探討。

、解在絕對值符號內含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式），關鍵在于去掉絕對值符

號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義.

、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。

第一種類型：設為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式的解集是

{x\-a<x<a],它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于的點的集合是開區(qū)間（一，），

如圖所示。

—CL圖d

如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。

第二種類型：設為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式同>。的解集是

{x|x>a或x<—a},它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離大于的點的集合是兩個開區(qū)間

（一8,-a）,（a,8）的并集。如圖所示。

-aa教學札記

圖

同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。

、Wc和2c型不等式的解法。

<c<=>—c<ax+h<c

\ax+4之coax+b<-c或ax+b>c

、和4+k一目Nc型不等式的解法。（三種思路）

三、典型例題：

例、解不等式|3%—1|<%+2。

例、解不等式|3x-l|>2—%。

方法：分類討論。

方法：依題意，原不等式等價于3x-l>2-x或3x-l<x—2,然后去解。

例、解不等式|2%+1]+|3%—2|25。

例、解不等式上一[+,一1|25。

解：本題可以按照例的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上的

點到，的距離的和大于等于。因為，的距離為，所以在的右邊，與的距離大于等于（=（-）

+2）：或者在的左邊，與的距離大于等于。這就是說，》24或》<-1.

例、不等式|x-l|+|x+3|>?,對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)a的取值范圍。

四、課堂練習：解下列不等式：

、2|2x-l|>l.、4|1-3A|-1<0,\3-2^<X+4.

、|x+1|>2-x.>|x2-2x—<1、卜~—1|>x+2.

、+|x—2|>4>|x—l|+|x+3|^6.->|A|+|X+1|<2

、忖-卜-4|>2.

五、課后作業(yè)：課本第、、、題。

六、教學后記：

教學札記

第二講證明不等式的基本方法

課題：第課時不等式的證明方法之一：比較法

教學目標：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

教學重、難點：能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

教學過程：

一、新課學習：

要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質：

a>hoa-h>0

a=h=a—b=O

a<b<^>a—b<0

二、典型例題：

3322

例、設。力都是正數(shù)，且求證：a+b>ab-^abo

例、若實數(shù)求證：3(1+，+]4)>(]+工+工2)2.

證明：采用差值比較法：

3(1+廠+x4)-(1+x+x~y

3+3x2+3x4—1—x2—x4—2.x—2廠—2x?

2(%4-1—x+1)

2(X-1)2(X2+X+1)

13

2(x—l)9^[(x+—)9+—].

I3

???尤H1,從而(元—1)2>0,一且(%+/)24-->0,

***2(%—l)"[(x+5)“+[]>。，

3(1+X?+X，)>(1+X+X?)2.

討論：若題設中去掉XR1這一限制條件，要求證的結論如何變換？

例、已知a,beR+,求證aabb>abba.

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。

證明：)差值比較法：注意到要證的不等式關于對稱，不妨設人>0.教學札記

a—b>0

h,,,,,從而原不等式得證。

aabb-abba=abb\aa-b-ba-b)>0

)商值比較法：設。26>0,

=鏟卜>].故原不等式得證。

例、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度現(xiàn)行走，另一半時

間以速度〃行走；乙有一半路程以速度加行走，另一半路程以速度〃行走。如果相?！?，問

甲、乙兩人誰先到達指定地點。

分析：設從出發(fā)地點至指定地點的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為

r,,r2o要回答題目中的問題，只要比較KJ的大小就可以了。

解：設從出發(fā)地點至指定地點的路程是S,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為

山1日X上*4八0ssr的2SS(m+n)

，根據(jù)遨意有一mH—n=S,-----1----=72，可得。=------，t?—------------，

222m2nm+n"2nm

..2SS(m+n)S[4mn-(m+n)2]n)2

從而t-t=---------------------=-----------------------=-----------------，

A2~m+n2mn+n)mn2(m+n)mn

其中S,根,〃都是正數(shù)，且加工〃。于是。一，2<0，即G〈J。

從而知甲比乙首先到達指定地點。

討論：如果加=〃，甲、乙兩人誰先到達指定地點？

三、課堂練習：

.比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大?。?/p>

()X2^X2-X4-1;()/+X+1與0+1)2.

°

.已知awl.求證：()a2>2?-1;()——\<1?

\+a2

a+b+c

.若a282c>0,求證aubbcc>(abc)3.

四、課時小結：

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作

差(或作商)、變形、判斷符號?！白冃巍笔墙忸}的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊

成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

五、課后作業(yè)：

教學札記

課本頁第、、、題。

六、教學后記：

課題：第課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法

教學目標：

1、結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。

2、了解分析法和綜合法的思考過程。

教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

教學難點：根據(jù)問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當?shù)淖C明方法。

教學過程：

一、引入：

綜合法和分析法是數(shù)學中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由

于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認識、學習，以便于對比

研究兩種思路方法的特點。

所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質或已知的不等式，逐步推導出要證

的不等式。而分析法，則是由結果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知

中。前一種是“由因及果”，后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方：張三在山里迷了路，救援

人員從駐地出發(fā)，逐步尋找，直至找到他，這是“綜合法”；而張三自己找路，直至回到駐地,

這是“分析法”。

二、典型例題：

例、已知。力,c>0,且不全相等。求證：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

分析：用綜合法。

例、設a〉0,b>0,求證a，+/2

證法一分析法

要證a，+Z?3>a'b+ab1f^sL.

只需證(a+))(42-ab+b2)>ab(a+b)成立，又因a+b>0,

只需證a?-ab+h2之a(chǎn)b成立,又需證a?—2ab+h2NO成立，

即需證(a-力)2NO成立.而(a—A->。顯然成立.由此命題得證。

證法二綜合法

教學札記

(a—h)2>0=>a2—2ab+b2>0=>a2—ab+b2>ab

注意到a>0,b>0,即a+b>0,

23

由上式即得(4+。)(。2—ab+b)2ab(a+b),從而d+b>+成立。

議一議：根據(jù)上面的例證，你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎？

a4-ma

例、己知，，都是正數(shù)，并且求證：-->-.()

b+mb

證法一要證()，只需證伙a+〃?)>aS+機)()

要證()，只需證加2>，"7?()

要證()，只需證。>。()

已知()成立，所以()成立。

上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。

證法二因為人>。,機是正數(shù)，所以bm>am

兩邊同時加上次?得伙a+m)>a(b+in)兩邊同時除以正數(shù)伙b+/〃)得()。

例、證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是

圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

分析：當水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設截面的周長為

L,則周長為L的圓的半徑為-二，截面積為；/上]；周長為L的正方形為由，截面積為

241J4

(4)。所以本題只需證明d。

證明：設截面的周長為L,則截面是圓的水管的截面面積為萬(總)，截面是正方形的

水管的截面面積為。只需證明：>[()。

為了證明上式成立，只需證明多>二。

4/16

411

兩邊同乘以正數(shù)F，得：->-0因此，只需證明4>開。

[3714

上式顯然成立，所以《卷)>(4)。

這就證明了：通過水管放水，當流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面

是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。

教學札記

例、證明：a2+b2+c2>ab+bc+ca?

證法一：因為a2+b2>2ab()

b2+c2>2bc()

c2+a1>2ca()

所以三式相加得2(/+b2+c2)>2(ab+bc+cd)()

兩邊同時除以即得()。

證法二：

ci~+b~+c~—(ab+be+ctz)=—(<z—+—(/>—c)"+—(c—tz)-NO,

所以()成立.

例、證明：(/+〃)92+筋)2(公+兒/)2.()

證明()。(。2+62)(02+/)一(ac+bJ)2NO()

22

oa2c2+匕2c2+a2d2+b2d2一(a2c2+2abcd+bd)>0()

h2c2+a2d2-2abcd>0()

<=>(be-ad)2>0()

()顯然成立。因此()成立。

例、已知a,b,c都是正數(shù)，求證。3+。3+￡?323。兒：并指出等號在什么時候成立？

分析：本題可以考慮利用因式分解公式

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)著手。

證明：a，+Zx'+—3abe

(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-cd)

^(a+Z?+c)[(a-Z7)2+(Z?-c)2+(c-?)2J.

由于a,"c都是正數(shù)，所以a+Z?+c>0.而(a-Z?)2+g—c)2+(c-a)2>0)

可知a'++c，-3abeN0

即/+/+。3N3abe(等號在“=。=。時成立)

探究：如果將不等式N3"c中的"3力3"3分別用名慶。來代替，并在兩邊

教學札記

同除以，會得到怎樣的不等式？并利用得到的結果證明不等式：

(l+a+0)(l+b+c)(l+c+a)>27,其中a,。,c是互不相等的正數(shù)，且出七=1.

三、課堂小結：

解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上(或減去)一

個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得

到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常

用到的技巧。

四、課堂練習：

、已知x>0,求證：x+—>2.

x

114

、已知x>0,y>0,x工y,求證一?I——>-----.

xyx+y

、已知a>h>0,求證yja-b>4a-4b.

、已知a>OS>0.求證:

()(a+b)(a-'+b'')>4.()(a+b)(a2+b2)(a3+b3)>Sa3b\

、已知都是正數(shù)。求證：

()a+b+c+d^O金；()a+b+c+d>^.

24

、已知a,Z?,c都是互不相等的正數(shù)，求證(a+Z?+c)(a人+bc+ca)>9aZ?c

五、課后作業(yè)：

課本頁第、、、題。

六、教學后記：

課題：第課時不等式的證明方法之三：反證法

教學目標：

通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明

簡單的命題。

教學重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。

教學難點：會用反證法證明簡單的命題。

教學過程：

一、引入：教學札記

前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設出發(fā)，經(jīng)過一系

列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式，有時很難直接入手求證，這

時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是

證明它的反論題為假，或轉而證明它的等價命題為真，以間接地達到目的。其中，反證法是

間接證明的一種基本方法。

反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結論，就會導致矛盾。具體地說，反證法

不直接證明命題“若則”，而是先肯定命題的條件，并否定命題的結論，然后通過合理的邏輯

推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結論是正確的。

利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

二、典型例題：

例、已知a>b>0,求證：yfa>y/b(〃6"且〃>1)

例、設</+入3=2,求證a+b<2.

證明：假設a+Z?>2,則有。>2-8，從而

a3>S-12b+6b2-b\

/+/>6。2_⑵+8=6(>-1-+2.

因為6(0—1)2+222,所以。3+〃>2,這與題設條件/+〃=2矛盾，所以，

原不等式。42成立.

例、設二次函數(shù)/(xWY+'x+q,求證：|/⑴|,火2)|,|7(3)］中至少有一個不小于g.

證明：假設/⑴|,|/(2)|,|/(3)|都小于;，則

|/(1)|+2|/(2)|+|/(3)|<2,()

另一方面，由絕對值不等式的性質，有

|/(1)|+2|/⑵|+1/(3)|>|/(1)-2/(2)+/(3)|()

=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)\-2

0.0兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。

注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通

常采用反證法進行。

議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出

的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。

試根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？

例、設,求證：(-4),(-),(-C),不可能同時大于

4

、-111教學札記

證：設(一)>:，(-)>—,(-)>—,

444

則三式相乘：■①

64

一~12

又?:<,,<.,.0<(l-a)?<(1—""a=-

_2J4

同理：(\-b)b<~,(l-c)c<-

44

以上三式相乘：(-〃)?(-)?(-，)<—與①矛盾，原式成立

64

例、已知>,>,>,求證：，，>

證：設<,>,.?.<又由>,貝

()<與題設矛盾又：若，則與>矛盾，.??必有>

同理可證：>,>

三、課堂練習：

、利用反證法證明：若已知，，都是正數(shù)，并且。<8,則

b+mb

、設,求證：(-a),不可能同時大于

、若，>，且>,則3和匕土中至少有一個小于。

Xy

提示：反設必學，匕土學；，>,可得w與>矛盾。

xy

四、課時小結：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發(fā)，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立。

五、課后作業(yè)：

課本頁第、題。

六、教學后記：

課題：第課時不等式的證明方法之四：放縮法

教學目標：

.感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。

.探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。

教學重、難點：

.掌握證明不等式的兩種放縮技巧。

教學札記

.體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。

教學過程：

一、引入：

所謂放縮法，即是把要證的不等式一邊適當?shù)胤糯?或縮小)，使之得出明顯的不等量關

系后，再應用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等

式中的常用方法，尤其在今后學習高等數(shù)學時用處更為廣泛。

下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。

二、典型例題：

例、若〃是自然數(shù)，求證二+±+2+…+±<2.

I22232n2

證明：???《<---=----,k=2,3A,---,n.

k2k(k—l)k—1k

11111111

-+—+—++——+——+…+-