2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)模擬試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“m=?1”是“直線l1：x+my?2=0與直線l2：(m?2)x+3my+2m=0互相垂直”的(

)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件2.設(shè)a、b是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，若a/?/α且b/?/α，則a、b的位置關(guān)系是(

)A.相交 B.平行 C.異面 D.不能確定3.已知事件A與B互斥，它們都不發(fā)生的概率為25，且P(A)=2P(B)，則P(A?A.15 B.25 C.354.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)部(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，給出以下三個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P滿足PD1⊥MB1；

②存在點(diǎn)P滿足PDA.0

B.1

C.2

D.3二、填空題：本題共12小題，共54分。5.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

．6.直線y=x的傾斜角大小是______．7.已知圓C的方程為x2+y2?2x+4y=08.平行直線3x+4y?5=0及3x+4y+5=0之間的距離是______．9.某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)訓(xùn)練成績的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)678910頻率0.10.150.250.30.2如果這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)的概率是______．10.如圖，一個(gè)圓錐形杯子，杯口半徑和杯子深度都是4厘米，如果將該杯子裝滿飲料，則可以裝______立方厘米．

11.已知a=(1,?2,3)，b=(2,m,n)，若a//b，則m+n=12.同時(shí)投擲兩顆均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)相等的概率為______．13.學(xué)校開展國防知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)100名學(xué)生的競(jìng)賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的成績都在[50,100]的范圍內(nèi)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，圖中x的值是______．14.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，分別在棱B1B和D1D上，且BE=15.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)是1，公比為q(q>0)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=n+1.設(shè)雙曲線x216.早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅就提出：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.如圖，拋物線C的方程為y=x2，過點(diǎn)(1,0)作拋物線C的切線l(l的斜率不為0)，將拋物線C、直線l及x軸圍成的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體記作Ω，利用祖暅原理，可得出幾何體Ω的體積為______．

三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其公差為d，前n項(xiàng)和為Sn．

(1)已知a2=21，a7=76，求a1及d；

18.(本小題14分)

如圖，三棱柱OAB?O1A1B1中，OA=OB=OO1=1，∠AOB=90°，OO1垂直于平面OAB．

(1)求異面直線A19.(本小題14分)

某籃球特色學(xué)校調(diào)查學(xué)生投籃技能情況，請(qǐng)每個(gè)學(xué)生投籃5次并記錄進(jìn)球數(shù)，隨機(jī)抽取高一年級(jí)和高二年級(jí)各100名學(xué)生的進(jìn)球數(shù)作為樣本，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下(其中a∈N，b∈N)；進(jìn)球數(shù)012345高一人數(shù)42ab4212高二人數(shù)311244337(1)請(qǐng)寫出高二年級(jí)樣本的中位數(shù)；

(2)若高一年級(jí)樣本的平均數(shù)為3.2，求a的值；

(3)在這200名學(xué)生中，高一高二年級(jí)各選取1人，若“至少有一個(gè)人的進(jìn)球數(shù)為2”的概率是40.16%，求a的值．20.(本小題18分)

端午節(jié)吃粽子，用箬竹葉包裹而成的三角粽是上海地區(qū)常見的一種粽子，假設(shè)其形狀是一個(gè)正四面體，如圖記作正四面體A?BCD，設(shè)棱長為a．

(1)求證：BC⊥AD；

(2)求箬竹葉折出的二面角A?BC?D的大?。?/p>

(3)用繩子捆扎三角粽，要求繩子經(jīng)過正四面體的每一個(gè)面、不經(jīng)過頂點(diǎn)，并且繩子的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種捆扎三角粽的方案，使繩子長度最短(不計(jì)打結(jié)用的繩子)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出繩子捆扎的路徑，并說明理由．21.(本小題18分)

如圖，已知橢圓C的方程為x24+y2=1，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是(4,0)，過點(diǎn)E的動(dòng)直線l交橢圓C于點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)Q的橫坐標(biāo))．

(1)求橢圓C焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)是否存在常數(shù)λ，使OP?OQ+λEP?EQ為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(3)當(dāng)設(shè)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AP

參考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.(1,0)

6.45°

7.(1,?2)

8.2

9.0.5

10.16π311.2

12.1613.0.030

14.1315.10或11

16.4π317.解：(1)由a2=21，a7=76，

有a1+d=21a1+6d=76，解得a1=10d=11；

(2)由a6=1018.解：(1)因?yàn)槿庵鵒AB?O1A1B1中，OA=OB=OO1=1，∠AOB=90°，OO1垂直于平面OAB，

所以可以把該棱柱補(bǔ)成一個(gè)棱長為1的正方體，

因?yàn)锽1O1//AC，B1O1=AC，

所以四邊形ACB1O1為平行四邊形，

故AO1//CB1，

所以∠OB1C即為異面直線AO1與OB1所成角，

因?yàn)镺C=B1C=OB1，

所以∠OB1C=60°．

即異面直線AO1與OB1所成角為60°．

19.解：(1)因?yàn)楦叨昙?jí)進(jìn)球數(shù)不超過2個(gè)的人數(shù)為16人，不超過3個(gè)的人數(shù)為60人，

所以高二年級(jí)樣本的中位數(shù)為3個(gè)；

(2)因?yàn)楦咭荒昙?jí)樣本的平均數(shù)為3.2，

所以1100×(0×4+1×2+2a+3b+4×42+5×12)=3.2，

即2a+3b=90，

又因?yàn)?+2+a+b+42+12=100，

所以a+b=40，

聯(lián)立方程2a+3b=90a+b=40，解得a=30b=10，

即a的值為30；

(3)由題意可知，高一100人中進(jìn)球數(shù)為2的有a人，概率為a100；高二100人中進(jìn)球數(shù)為2的有12人，概率為12100=325，

所以“至少有一個(gè)人的進(jìn)球數(shù)為20.證明：(1)取BC中點(diǎn)，連接AE，DE，

因?yàn)檎拿骟wA?BCD，所以△ABC，△DBC都是正三角形，

所以AE⊥BC，DE⊥BC，

因?yàn)锳E，DE?平面AED，且AE∩DE=E，

所以BC⊥平面AED，又AD?平面AED，

所以BC⊥AD．

解：(2)由(1)可知，∠AED是二面角A?BC?D的平面角，

因?yàn)檎拿骟w的棱長為a，所以AE=DE=32a，AD=a，

所以在△AED中，由余弦定理得：cos∠AED=AE2+DE2?AD22AE?DE=34a2+3421.解：(1)橢圓C的方程為x24+y2=1，

則a=2，b=1，

所以c=a2?b2=3，

則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(?3,0)；

(2)①l必存在斜率，當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=my+4，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+4x24+y2=1并化簡(jiǎn)得：(m2+4)y2+8m