一般的一元二次方程的解法-配方法

17.2.2一般的一元二次方程的解法-配方法

色知識(shí)點(diǎn)德理

一.配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成(x+〃廣=中，，20)的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程

的方法叫配方法.

22

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：a±2ab+b=(a±b'：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為+&+。=0.h0)的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無

實(shí)數(shù)解.

要點(diǎn)：

(1)配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

(2)配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a2+2ab+b-=(a+by.

二、配方法的應(yīng)用

1.用于比較大小：

在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零(或小于零)而比

較出大小.

2.用于求待定字母的值：

配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?,左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定

字母的取值.

3.用于求最值：

“配方法”在求最大(小)值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值.

4.用于證明：

“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也

有著廣泛的應(yīng)用.

心典網(wǎng)號(hào)覆闞

題型1：配方法解一元二次方程

1.用配方法解一元二次方程尤2-6X+2=0,此方程可化為()

A.(X-3)2=7B.(X-3)2=11C.(x+3)2=7D.(x+3)2=ll

【答案】A

【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后可得答案.

【解析】解：.X2—6x+2=0>

x—6%——2,

貝If—6x+9=—2+9,

即(X-3)2=7,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:

直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法.

2.用配方法解一元二次方程3/+6尤-1=0時(shí)，將它化為(x+ay=b的形式，貝M+6的值為

()

A.—B.-C.2D.-

333

【答案】B

【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案.

【解析】解：：3爐+61=0,

,1

***3x2+6%=1,%+2x=—,

14

貝!Jf+2x+l=§+l,gp(x+l)9=-,

??a=l,b=—,

3

.’7

??ab=一.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

3.用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是()

A.%2_2%_99=0化為(x-1)2=100B.f+8x+9=0化為(X+4『=25

C“J7丫81D.3/_4尤—2=0化為］工_號(hào)=《

C.2r-7r-4=0化為|I——=—

I4J16

【答案】B

【分析】根據(jù)配方的步驟計(jì)算即可解題.

【解析】x2+8%+9=Ox+8x=-9x+8x+16=-9+1+4)2=7

故B錯(cuò)誤.且AC。選項(xiàng)均正確，

故選：B

【點(diǎn)睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步驟：第一步平方項(xiàng)系數(shù)化1;第二步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到

右邊；第三步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第四步左邊寫成完全平方式；第五步，直接開

方即可.

4.關(guān)于y的方程y2-4y=9996,用法解，得％=_,%=_.

【答案】配方102-98

【分析】利用配方法解一元二次方程即可得.

【解析】J2-4y=9996,

y2-4y+4=9996+4,

(y-2)2=10000,

y-2=±100,

y=±100+2,

M=102,y2=-98,

故答案為：配方，102,-98.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵.

5.用配方法解方程G2+6X+C=。⑦9），四個(gè)學(xué)生在變形時(shí)得到四種不同結(jié)果，其中配方正確的是（)

4ac-b1

A.(X+9

2a4/

b2-4ac

B.(X+9

2a2a2

b2-4ac

C.

4/

b2+lac

D.

2片

【答案】C

【分析】根據(jù)配方法的步驟：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的

一半的平方，即可得到答案.

【解析】解：:OX?+/?%+c=0,

.(b\b1—4ac

「卜十五J-4a2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握配方法.

2

6.用配方法解方程V—§%+1=0,正確的是()

251口,2.242土百

A.—=1,西D.(x—)=—,x=-------

3392

QQ1Q

C.(尤-1)2=-1,原方程無實(shí)數(shù)解D.(x--)2=-1,原方程無實(shí)數(shù)解

【答案】D

【分析】方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，變形后開方即可求出解.

7

【解析】方程移項(xiàng)得：X2-|x=-l,

818

21即z

配方得：2-x(X--2--

x-1x+-=.93一9

。y

則原方程無實(shí)數(shù)解，

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

7.用配方法解下列方程：

(1)3X2-5X=2；

(2)d+8x=9；

(3)尤2+12元-15=0；

(4)—x2-x-4=0；

(5)2X2+12X+10=0;

⑹/+加+q=0(p2一包20).

【答案】(1)X[=2,無2=—§

(2)玉=1,%——9

(3)無]=-6+，51,%2=-6-，51

(4)x=2+275,x2=2-245

⑸玉=-1，工2二-5

(6)一?！?短

2

【分析】利用配方法求解即可.

(1)解：3x2—5x=2移項(xiàng)5得2，配方得：5252235，合并得：(x5-1)2=49-J，解得:％尸5=+7:=2,

3333633663666

571

X2=---

663

(2)解：x2+8x=9配方得：x2+8x+16=9+16,合并得：(x+4)2=25,解得制=1,X2=-9；

(3)解：%2+12%-15=0移項(xiàng)得：x2+12x+36=15+36,配方得：(x+6)2=51解得無尸-6+,X2=-6-75?

(4)解：；%2-%-4二0去分母得：X2-4X-16=0,移項(xiàng)得：x2-4x=16,配方得：x2-4x+4=16+4,合并得:

4

(x-2)2=20,解得：xi=2+2y/5,X2=2~2y/5；

(5)解：2%2+12%+10=0系數(shù)化為1得：f+6x+5=0,移項(xiàng)得：x2+6x=-5,配方得：x2+6x+9=5+9,

合并得：(%+3)2=4,解得：X7=-l,X2=-5；

222A

(6)解：x2+px+q=0,移項(xiàng)得：x2+px=-q,配方得：x2+px+—=-q+—,合并得：(%+")2=2------,解

4424

得戶“土打2-4”

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解題的關(guān)鍵.

題型2：配方法的應(yīng)用?三角形問題

8.AABC的三邊分別為。、b、c,若"c=8,bc=a2-12a^52,按邊分類，則AABC是______三角形

【答案】等腰

【分析】將〃+。=8,代入歷=/_12。+52中得到關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

求出a與c的值，進(jìn)而求出b的值，即可確定出三角形形狀.

【解析】解：??"+c=8

b=8-c,

he-(8—c)c=—<72+8c,

??be—a2—12a+52——c2+8c,

即a?—12(7+36+16+/—8c=0,

整理得：（4-6）2+（c—4）2=0,

???（々-6）2NO,（。_4）220,

/.a—6=0,即a=6；c—4=0,即。=4,

Z7=8-4=4,

則4ABC為等腰三角形.

故答案是：等腰.

【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，熟練掌握完全平方公式是解

本題的關(guān)鍵.

9.如果一個(gè)三角形的三邊均滿足方程Y—io尤+25=0,則此三角形的面積是

【答案】旭

4

【解析】解方程：f-10x+25=0,得(尤-5)2=0,

??Aj-%2=5.

?..一個(gè)三角形的三邊均滿足方程X2-10X+25=0,

此三角形是以5為邊長(zhǎng)的等邊三角形，

二三角形的面積=Lx5x5xsin6(r=2.

24

故答案是：空

4

10.已知三角形的三條邊為且滿足/一10。+6-166+89=0,則這個(gè)三角形的最大邊c的取值范圍

是()

A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13

【答案】C

【分析】先利用配方法對(duì)含a的式子和含有b的式子配方，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出。和b的值，然后

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得答案.

【解析】解：,*'a2-1Oa+b2-16Z>+89=0,

(cz2-10?+25)+(爐-166+64)=0,

(17-5)2+(6-8)2=0,

V(a-5)2>0,(6-8)2>0,

a-5=0,b-8=0,

a=5,Z?=8.

??,三角形的三條邊為4,b,C,

/.b-a<c<b+a9

.,.3<c<13,

又???這個(gè)三角形的最大邊為c,

.,.8<c<13.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在三角形的三邊關(guān)系中的應(yīng)用，熟練掌握配方法、偶次方的非負(fù)性及三角形的

三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

題型3：配方法的應(yīng)用2-比較整式大小與求值問題

11.若M=2--12x+15,7V=x2-8.r+ll,則M與N的大小關(guān)系為()

A.M>NB.M>NC.M<ND.M<N

【答案】A

【解析】；M=2X2-12X+15,N=X2-8X+11,

M-N=(2%2-12x+15)-(f-8x+11)=-12x+15-f+舐-11=f一曲+4=a一2)2.

V(X-2)2>0,

故選A.

點(diǎn)睛：比較兩個(gè)含有同一字母的代數(shù)式的大小關(guān)系時(shí)，當(dāng)無法直接比較兩者的大小關(guān)系時(shí)，可以通過求出

兩者的“差”，再看“差”的值是“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”或“0”來比較兩者的大小.

12.已知下面三個(gè)關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+c=0,bx2+ex+a=0,ex?+ax+b=0恰好有一個(gè)相同

的實(shí)數(shù)根。，則a+b+c的值為()

A.0B.1C.3D.不確定

【答案】A

【分析】把x=a代入3個(gè)方程得出a'a2+ba+c=Q,ba2+ca+a=0,ca2+a*a+b=0,3個(gè)方程相加即可得出(a+b+c)

(a2+a+l)=0,即可求出答案.

【解析】把x=a代入or2+6x+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ox+b=0得：a'a2+ba+c=Q,ba2+ca+a=Q,ca2+a*a+b=0,

相力口得：Ca+b+c)a2+(b+c+a)a+Ca+b+c)=0,

(a+b+c)(tz2+a+l)=0.

13

ct~+a+l=(ezH—)-H—>0,

24

a+b+c=0.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解.

13.已知實(shí)數(shù)加，n，C滿足機(jī)2一機(jī)+。=0,n=12m2-12m+c2+-,則幾的取值范圍是(

C.n>-2D.n>-2

【答案】A

【分析】由機(jī)2一機(jī)+,。=。變形得機(jī)2一加=一,。，代入〃=12加2一12機(jī)+。2.中得至[]〃=/一3。+’,再進(jìn)行

4444

配方，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【解析Jm2-m+—c=0

m—m=(m——)—>—

244

:.c<l

n=12m2—12m+c2+—=12(m2—m)+c2+—=12x(——c)+c2+—=c2-3c+—

44444

/.H=(C--)2-2

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，涉及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、偶次方，熟練運(yùn)用上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型4：配方法的應(yīng)用3-最值問題

14.若無為任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次三項(xiàng)式f—6x+c的值都不小于0,則常數(shù)。滿足的條件是(

A.c>0B.c>9C.cX)D.c>9

【答案】B

【分析】把二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方即可解決.

【解析】配方得：％2_6%+°=(%-3)2-9+C

V(X-3)2>0,且對(duì)％為任意實(shí)數(shù)，X2-6X+C>0

-9+c>0

Jc>9

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再

減去這個(gè)數(shù)即可配成完全平方式.

15.無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x?+y2—2x—4y+16的值總是______數(shù).

【答案】正

【解析】N+j2—2x—4y+16=(x2—2x+l)+(j2—4^+4)—1—4+16=(x-1)2+(j—2)2+ll,由于(x—1)

2>0,(y—2)2>0,故(x—1)2+(y—2)2+l1>11,所以尤2+y2—2x—4y+故的值總是正數(shù).

故答案為正.

點(diǎn)睛：要證明一個(gè)式子的值總是正數(shù)，可以用配方法將式子寫成多個(gè)非負(fù)數(shù)之和與一個(gè)正數(shù)的和的形式即

可證明.

16.不論尤，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x-12y+7的值()

A.總大于7B.總不小于9

C.總不小于-9D.為任意有理數(shù)

【答案】C

【分析】先將原式配方，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)，判斷出代數(shù)式的值總不小于-9即可.

【解析】解:4/+3y2+8x-12y+7

=4x2+8x+4+3y2—12j+3

=4(N+2X+1)+3(y2-4y+l)

=4(x+1)2+3(y2-4y+4-4+1)

=4(A-+1)2+3(廠2)2-9,

(尤+1)2>0,(廠2)2>0,

：.4x2+3y2+8x-12y+7>-9.

即不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式4/+3y2+8x-12y+7的值總不小于-9.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，以及偶次方的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握.解決本題的關(guān)鍵是

掌握配方法.

17.若尸1=?=彳，則N+y2+z2可取得的最小值為()

599

A.3B.—C.—D.6

142

【答案】B

【分析】設(shè)尤-1=?==2=左，把無，%Z用人的代數(shù)式表示，則N+y2+z2轉(zhuǎn)化為關(guān)于人的二次三項(xiàng)式，

運(yùn)用配方法求其最小值.

【解析】設(shè)尤一1=?=—=左，

貝!Jx=左+1,y=2k-lfz=3左+2,

x2+y2+z2

=（k+l）2+（2k-l）2+（3k+2）2

=14k2+10k+6,

5Y59

=14k+——+——.

I14J14

故最小值為：三59.

14

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，配方法的應(yīng)用，關(guān)鍵是把N+y2+z2轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的二次三項(xiàng)式，運(yùn)用配

方法求其最小值.

18.關(guān)于代數(shù)式。+一二，有以下幾種說法，

①當(dāng)a=—3時(shí)，則4+—二的值為-4.

②若。+—值為2,貝G.

a+2

③若a>—2,則。+一二存在最小值且最小值為0.

在上述說法中正確的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】①將。=-3代入a+—二計(jì)算驗(yàn)證即可；②根據(jù)題意。+—==2,解得a的值即可作出判斷；③若

a+2a+2

a>-2,則a+2>0,則對(duì)a+一工配方，利用偶次方的非負(fù)性可得答案.

【解析】解：①當(dāng)，=—3時(shí)，

11

aH-------=-3oH----------=-44.

〃+2—3+2

故①正確；

②若a+」二值為2,

a+2

貝|a+-----=2,

a+2

.*.a2+2a+l=2a+4,

a2=3,

a=±.

故②錯(cuò)誤;

③若a>-2,貝IJa+2>0,

a-\-------=a+2H----------2

〃+2a+2

=(V^+2)2+(J—^-)2-2?V^+2?J—

，〃+2Na+2

=(G-后),。?

...若a>-2,貝Ua+」■^存在最小值且最小值為0.

故③正確.

綜上，正確的有①③.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法、分式的值的計(jì)算及最值問題等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)公式及運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

題型5：配方法的應(yīng)用4-配方法在二次根式與分式中的應(yīng)用

19.我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提

/74-/74-f

出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為-b,C,記則其面積

S=《p(p-a)(p-b)(p-c).這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式.若p=3,c=2,則此三角形面積的最

大值是.

【答案】73

【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式，根據(jù)完全平方公式的變形即可求出解.

【解析】解：???〃=佇安，p=3,c=2,

.a+b+2

..J=-------------,

2

a=4-b,

S=dp(p—a)(p—b)(p—c)

=^3(3-?)(3-/?)(3-2)

=，3(3-0(3-力

=j3[aZ?-3(a+6)+9]

=J3("_3)

...當(dāng)b=2時(shí)，S有最大值為百.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與完全平方公式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，表示出相應(yīng)的三角形

的面積.

20.已矢口y=，r-l+-尤(x,y均為實(shí)數(shù))，則y的最大值是.

【答案】2年

【分析】將根據(jù)題意y>0,l<x<4,原式y(tǒng)=^/^^■+d7兩邊同時(shí)平方,可得4Vy2V8,故

進(jìn)而即可求得最大值.

【解析】解：Qy>0,1WXW5,y2=4+2V-X2+6X-5=4+2^/-(%-3)2+4,

4WVw8.

Qy^o,

:.2WyW2垃.

，的最大值為2夜.

故答案為：2VL

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的求值問題，配方法的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是通過V為媒介求得y的取值范

圍從而找出最大最小值.

21.已知a+6—2ja—1—4db—2=3jc—3—c—5,則a+Z?+c=

2

【答案】20

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b、c的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可.

【解析】將等式整理配方,

[(<2-l)-2^/^l+l]+[(ZJ-2)-4^/^2+4]+1[(c-3)-6^/c：：3+9]=0

/.(>/^T-l)2+(V^-2-2)2+1(^/^3-3)2=0

貝ll《a—1—1—0,Jb—2—2—0,Jc—3—3—0

Va-l>0,b-2>0,c-3>0,

/.a=2,b=6,c=12,

a+b+c=20.

故填：20.

【點(diǎn)睛】此題主要考查配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形應(yīng)用.

]

22.已知y=無論X取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義，則c的取值范圍.

+2%—c

【答案】C<-1

【分析】將原式分母配方后，根據(jù)完全平方式的值為非負(fù)數(shù)，只需-C-1大于0,求出不等式的解集即可得

到C的范圍.

【解析】原式分母為：x2+2x-c=x2+2x+1-c-l=(x+1)2-c-l,

V（x+1）2>0,無論x取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)式子都有意義,

-c—1>0,

解得：C<-1.

故填：C<-1

【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及分式有意義的條件，靈活運(yùn)用配方法是解本題的關(guān)鍵.

23.（1）設(shè)a>匕>0,4?+6?=3“6,求"十?的值.

a-b

（2）已知代數(shù)式f-5x+7,先用配方法說明：不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù)；再求出當(dāng)x取何

值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？

【答案】（1）中的值為正；（2）說明見解析，當(dāng)彳=:時(shí)，代數(shù)式有最小值

a-b24

【分析】（1）根據(jù)。>6>0可知，p="，再根據(jù)完全平方式把被開方數(shù)展開，把層+按=3油代

a-by（a-b）

入進(jìn)行計(jì)算即可；

53

（2）首先將原式變形為（x-彳）2+4,根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義就可以得出代數(shù)式的值總是整數(shù)，設(shè)代數(shù)式的值

24

為M,就有M=/.5X+7,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就可以求出最值.

【解析】(1),:a>b>0,a2+b2=3ab,

a+b(〃+加2l(a2+b2)+2ab[iab+2ab

，原式二

a-b(Q_〃)2\(a2+b2)-2abv3ab-2ab

53

(2)解：由題意,x2—5x+7=(x——)2+—,

24

5

V(x--)29>0,

?/5、23、3

244

53

A(x——)29+->0,

24

???這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù).

設(shè)代數(shù)式的值為M,則有

M=x1-5%+7,

53

**.M=(x—)2~\—,

24

?,?當(dāng)x=?5時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，代數(shù)式中配方法的運(yùn)用，關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方

公式，式子的轉(zhuǎn)化.

題型6：配方法的應(yīng)用5-創(chuàng)新與閱讀材料題

24.選取二次三項(xiàng)式內(nèi)2+bx+c(aw0)中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫作配方.例如①選取二次項(xiàng)和一

次項(xiàng)配方：f_4x+2=(x-2)2-2；②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：x2-4x+2=(x-0f+(2&-4)尤或

尤2_4x+2=(x+0y_(4+2拒)尤；③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：X2-4X+2=(^X-V2)2-X2.

根據(jù)上述材料解決下面問題：

(1)寫出Y-8尤+4的兩種不同形式的配方.

(2)已知尤2+y2+孫-3y+3=0,求爐的值.

(3)已知。、氏c為三條線段，且滿足14(02+82+02)=5+23+30)2,試判斷小b、c能否圍成三角形,

并說明理由.

【答案】(1)詳見解析；(2)1；(3)不能圍成三角形，理由詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)配方的概念，分別對(duì)一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行配方；

(2)根據(jù)/+/+.初一3y+3=0求出x、y的值，代入求解即可；

(3)將原式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出a、b、c之間的等量關(guān)系，從而進(jìn)行判斷.

【解析】(1)/一8苫+4=--8》+16-16+4=(尤一4)2-12或d-8x+4=(x-2)2-4x.

(2)x2+y2+xy-3^+3=0,

+■|(y-2)2=0.

:.x=-l,y=2.xy=(-1)2=1.

(3)不能，理由如下：原式變形：14。2+1462+14。2一(。2+4〃+9/+4。6+6農(nóng)+12")=0.

(4/-4ab+b2^+(9a2-6ac+c2^+(9b2-12%c+4c=0.

22

即(2a-6)2+西_c)+(3^_2c)=0.

..b—2a,c—3a,3b—2c.

:.a-^-b=3a=c.b、c三條線段不能圍成三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)題意理解新概念并掌握整式的運(yùn)算，求解出未知數(shù)或者他們之間的

等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2

25.若實(shí)數(shù)％,y,z滿足xVyVz時(shí)，則稱x,yfz為正序排列.已知％=-/+2m-1,y=-m+2m,若當(dāng)

相〉;時(shí)，X,y,Z必為正序排列，則Z可以是()

A.m+—B.-2m+4C.m2D.1

4

【答案】A

【分析】用每一個(gè)選項(xiàng)減去y=m2+2m,通過配方判定它們的差的符號(hào)，從而正確確定選項(xiàng).

【解析】A.Vm+--(-m2+2m)=m2-m+—=(m--)2,.二當(dāng)機(jī)時(shí)，(機(jī)一，)2>0,工當(dāng)根〉,時(shí)，x,y,

442222

Z必為正序排列；

B.*.*-2m+4-(-m2+2m)=m2-4m+4=(m-2)2,/.當(dāng)m=2時(shí)，(機(jī)-2)2=0,???當(dāng)機(jī)>；時(shí)，x,y,z不一定為

正序排列；

C./-汴+2m)=2/-2m=2訊?n-1),?,?當(dāng),〈加01時(shí)，2m(m-l)V0,，當(dāng)機(jī)時(shí)，x,y,z不一定

為正序排列;

D.1-(-m2+2m)=m2-2m+l=(m-I)2,當(dāng)m=l時(shí)，(m-l)2=0,，當(dāng)相>5時(shí)，x,y,z不一定為正序排

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力.

心跟除酬瀛

、單選題

.方程/+尤_1=0的根是（

-1±A/5

A.1-^/5C.-1+75

2-

【答案】D

【分析】觀察原方程，可用公式法求解.

【解析】解：。=1,b-1,c=-l,

b2-4ac=l+4=5>0，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，正確理解運(yùn)用一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵.

2.對(duì)于方程/+2億—1=0,下列各配方式中，正確的是（）

A.（a-V2）2=3B.（°+后『=3

C.（"2何=3D.（a+2應(yīng)『=3

【答案】B

【分析】根據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等

式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得出即可.

【解析】解：/+2缶一i=o

a2+2A/2<7=1

/+2缶+（碼2=1+2

=3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的正確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二

次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).

3.用配方法解方程：2/-了-6=0,開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是()

@2x2—x=6i——x=3,(3)x2——x+—=3+—,④1%-[J=^^6

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【解析】,**2x2—x—6=0,>*>2X2—X=6-X2——X=3.=3+即[1一,]=竺.，從用

221616I4)16

配方法的解題過程中可知，第③步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2

4.下歹!]各式：①x?+2x+6=(x+1)~+5；②尤2+不無+4=(尤+])~+4；@x+\J?>x+3=(x+；

④一一8缶+36=(尤-4應(yīng)>+4；⑤x2+px+g=(x+g)2變形中，正確的有()

A.①④B.①C.@D.②④

【答案】A

【分析】利用配方法進(jìn)行變形，逐個(gè)判斷

【解析】解：/+2尤+6=尤2+2》+1+5=。+1)2+5；①正確

x2+-^-x+4=x2+^X+(Y)2-(J)2+4=(x+J)?+器，②錯(cuò)誤；

2244416

x2++3=x2+3=(x+-^-)2+：,③錯(cuò)誤；

%2-80x+36=%2-80x+(40y-(4&y+36=(x-472)2+4,④正確

222

X2+pX+^~=X2+j7X+(y)2-(-1)2+^~=(X+-1)2+,⑤錯(cuò)誤

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，掌握配方法的步驟正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵.

5.關(guān)于X的一元二次方程、歷/+缶2=3辦的兩根應(yīng)為()

A.一B.伍，叵aC.2土垃aD.士扃

9V2"24

【答案】B

【分析】先把方程化為一般式，再計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式解方程即可.

【解析】41x2-3ax+V2a2=0,

A=(-3a)2-4x及x夜a2=a2,

3a±y[a^

所以X1=0a,X2=——a.

2

故答案選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)公式法解一元二次方程.

6.小明在解方程N(yùn)-4尤-10=0時(shí)，他是這樣求解的，移項(xiàng)，得N-4X=10,兩邊同時(shí)加4,得尤2-?+4

=14,/.(x-2)2=14,.,.x-2=±Vi4,.1.X7=2+T14，X2=2-714.這種解方程的方法稱為()

A.待定系數(shù)法B.配方法C.公式法D.因式分解法

【答案】B

【分析】通過配成完全平方式來解一元二次方程的方法，是配方法.

【解析】解：由題意，將￡-4元-10=0先移項(xiàng)，再將方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，將方程左

邊配成完全平方式，再用直接開平方解方程，滿足用配方法解一元二次方程的步驟.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查用配方法解一元二次方程的步驟，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

7.設(shè)一元二次方程(x+1)(x-3)=m(m>0)的兩實(shí)數(shù)根分別為a、[3且a<|3,則a、0滿足()

A.-l<a<p<3B.a<-l且0>3

C.a<-l<p<3D.-l<a<3<p

【答案】B

【分析】解方程得到x=l士A/4+M,由機(jī)>0,得至!],4+加>2,從而得到a=1—J4+”2<—1,1+j4+〃?

>3.

【解析】x2-2x-3=m,(x—1)2-4+m,1=±j4+〃z,x=l土j4+m.

m>0,74+m>2,a=1——4+m<—1,[3=l+,4+?w>3,故a<-l且p>3.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法解一元二次方程.解題的關(guān)鍵是由力的取值范圍得到根的取值范圍.

8.對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)。，b,用max(a,b)表示其中較大的數(shù)，貝I]方程xxmax(尤，-尤)=2x+l的解是()

A.1,1+72B.1,1-72C.-1,1+72D.-1,1-72

【答案】C

【分析】根據(jù)題意則有X2=2X+1和-X2=2X+1,然后解一元一次方程即可.

【解析】Vmax(a,b)表示其中較大的數(shù)，

???當(dāng)x>0時(shí)，max(x,-x)=x,

方程為X2=2X+1,

x2-2x+l=2,

(x-1)2=2,

土枝,

X=1±72，

.*.x>0,

X=1+72;

當(dāng)x<0時(shí)，max(x,-x)=-x.

方程為-X2=2X+1

x2+2x+l=0,

(x+1)2=0,

x=-l,

故方程xxmax(x,-x)=2x+l的解是-1,1+72

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元一次方程，根據(jù)題意得出x2=2x+l和-x2=2x+l是本題的關(guān)鍵.

9.對(duì)于一元二次方程，我國(guó)及其他一些國(guó)家的古代數(shù)學(xué)家曾研究過其幾何解法，以方程f+2x-35=0為

例，公元9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾?花拉子米采用的方法是：將原方程變形為(％+丁=35+1,然后構(gòu)造如

圖，一方面，正方形的面積為(1+1)2；另一方面，它又等于35+1,因此可得方程的一個(gè)根元=5,根據(jù)阿爾

花拉子米的思路，解方程％2—4%-21=0時(shí)構(gòu)造的圖形及相應(yīng)正方形面積(陰影部分)S正確的是

()

x]

11II1

Xx

XT

5=21-4=17

5=21-4=17

【分析】利用配方法將原方程變形，結(jié)合圖形即可解答.

【解析】解：4x—21=0

X2-4X+4=21+4

7

(%-2)一=25

,正方形面積(陰影部分)S=21+4=25

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法和解方程的一般步驟.

2

10.新定義,若關(guān)于X的一元二次方程：+〃=0與a2(x-my+n=0,稱為“同族二次方程”.如2(x-3)+4=0

與3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.現(xiàn)有關(guān)于X的一元二次方程：2(x-l)2+l=0與(a+2)/+S-4)x+8=0是“同

族二次方程”.那么代數(shù)式區(qū)+2018能取的最小值是()

A.2011B.2013C.2018D.2023

【答案】B

【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值.

【解析】解：2(x-l)2+l=0與m+2)/+S-4)工+8=0為同族二次方程.

(a+2)x2+(b-4)x+8=(tz+2)(x-l)2+1,

二.(〃+2)x?+3—4)x+8=(Q+2)x?—2(。+2)尤+〃+3,

J。-4=-2(a+2)

〔8=〃+3

ci—5

解得:

b=-10

ax1+fev+2018=5x2-10x+2018=5(x-l)2+2013,

...當(dāng)X=1時(shí)，"+法+2018取最小值為2013.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題

的關(guān)鍵.

二、填空題

11.把方程d一2=2x用配方法化為(x+m)2=〃的形式，則相〃的值是.

【答案】-3

【解析】?；爐-2=2無，x2-2%=2.X2-2x+l=3.(x-1)2=3.m=-l,n=3.nm=—3.

12.用配方法解方程3尤②-6x+2=0,將方程變?yōu)?彳-爪)=(的形式，貝.

【答案】1

【分析】先整理方程，然后再運(yùn)用完全平方公式配方即可解答.

【解析】解：3x2-6x+2=0,

x2-2x=-—

3

x2—2x+1=—

3

1

(%-1)29=—,即m=l.

故填1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

13.已知b,。滿足a—b=8,ab+c1+16=0,則2〃+b+c的值是

【答案】4

【分析】由〃-氏8,得出〃4+8,進(jìn)一步代入H+/+16=0,進(jìn)一步利用完全平方公式分組分解，進(jìn)一步利

用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得縱b,。的數(shù)值，進(jìn)一步代入求得答案即可.

【解析】???〃-6=8,

。二8+8,

ab+c2-^16=Z?(Z?+8)+c2+16=(Z?+4)2+c2=0,

Z?+4=0,c=0,

解得：-4,

a=4,

/.2a+b+c=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.

14.已知a,b,。是AABC的三邊，且滿足/+〃十，一"一根一比二。，則這個(gè)三角形的形狀是

【答案】等邊三角形

【分析】先將原式轉(zhuǎn)化為完全平方公式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.

【解析1'*'a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,

/.2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,

a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,

即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

a-b=O，b-c=O,c-a=O,

/.a=b=c,AABC為等邊三角形.

故答案為等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷.關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變

形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題.

15.已知力2+11=4”2-3〃-13,則工+工的值等于____.

4mn

【答案】I

【分析】利用配方法將已知等式轉(zhuǎn)化為(加-2)2+；(〃+6)2=0的形式，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得利〃的值，然后

代入求值即可.

【解析】解：m2+—n2=4m-3M-13

4

(m—2)2+—(n+6)2=0,

4

貝！J根一2=0,〃+6=0,

所以加=2,n=-6,

故答案是：J.

【點(diǎn)睛】考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及分式的加減法，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

16.已知a+b=n+2,ab=l,若19a?+152ab+l9b2的值為2014,則n的值為.

【答案】8或-12

【分析】首先把19a2+152ab+19b2變形為19[(a+b)2+6ab]，再根據(jù)值為2014可得(n+2)2+6=106，再利用直

接開平方法解方程即可.

【解析】解：19a?+152ab+l9b2,

=19(a2+8ab+b2),

=19[(a+b)2+6ab],

19[(a+b)2+6ab]=2014,

(n+2)2+6=106,

(n+2)2=100.

n+2=±10,

n+2=10,n+2=—10,

n=

解得：i8,n2=-12,

故答案為8或-12.

【點(diǎn)睛】此題主要運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程，以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是正確利用完全平方公式把

19a?+152ab+l9b2變形.

17.已知實(shí)數(shù)x,y滿足f+3x+y-3=0,則x+y的最大值為.

【答案】4

【分析】用含x的代數(shù)式表示y,計(jì)算x+y并進(jìn)行配方即可.

【解析1Vx2+3x+y-3=0

**?y——x2—3x+3

??x-\-y=—x2—2x+3=—(%+1)+4

「?當(dāng)x=-l時(shí)，x+y有最大值為4

故答案為4

【點(diǎn)睛】本題考查的是求代數(shù)式的最大值，解題的關(guān)鍵是配方法的應(yīng)用.

18.設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足尤+y+z=l,則M=^+2yz+3zx的最大值為.

【答案】43

4

【分析】先將已知等式變形可得z=l-x-y,然后代入M中，利用配方法將右側(cè)配方，最后利用平方的非

負(fù)性即可求出結(jié)論.

【角牟析】角軋,.?％+y+z=l

z=1—x—y

M=xy+2yz+3zx

=xy+2y(1-x-y)+3x(\-x-y)

=xy+2y-2xy-2y2+3x-3x2-3xy

=-3x2-4xy-2y2+2y+3x

二(-2x?-4xy-2y2)—%?+2y+3x

=-2(x+j^)2+2X+2^-X2+X

J/</\11]「2I1]

=—2](x+y)_(x+y)+]_-x+---j

一“1丫(411

1■2；12)24

=-2"一曰

-1-1)-0

一"+滂

3

.,?河=孫+2?+3〃的最大值為二

4

、3

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】此題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)性的應(yīng)用,掌握完全平方公式和平方的非負(fù)性是解決此題的關(guān)

鍵.

三、解答題

19.用配方法解下列方程:

(1)x2+4x—1=0;

(2)f-6尤=4；

3

(3)y2-y--=0；

(4)3X2+4X-4=0.

【答案】(1)%=-2+也=-2-75；(2)%=3+V13,^=3->/13；(3)%=于%=-萬；\=~2.

【解析】解：(1)X2+4X-1=0,

x2+4x=1.

X2+4X+4=1+4.

(X+2)2=5.

x+2