高三數(shù)學(xué) 函數(shù)的極值與導(dǎo)學(xué)教學(xué)案例

新課標(biāo)人教A版選修2-2

《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》教學(xué)案例(數(shù)學(xué)應(yīng)用專題)

一、內(nèi)容解析

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心，研究函數(shù)的性質(zhì)就成了學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。

導(dǎo)數(shù)作為一種研究函數(shù)性質(zhì)的強(qiáng)有力工具，在高中數(shù)學(xué)中的地位顯得尤為突出。作為進(jìn)入高

考考試范圍的內(nèi)容，在考試中占的比重較大，常利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，這些內(nèi)容都是近

年來高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，大多數(shù)試題以解答題的形式出現(xiàn)，通常是整個(gè)試卷的壓軸題。本節(jié)

課所要教學(xué)的內(nèi)容一函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的重要內(nèi)容之一。本節(jié)

結(jié)合實(shí)例，借助函數(shù)圖形直觀感知，探索函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。掌握好用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的極值內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維起到一個(gè)很好作用，讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)的聯(lián)系性和方法

的多樣性，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中一般性和有效

性，通過學(xué)習(xí)體會(huì)極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維意識(shí)。

二、教學(xué)實(shí)錄

1、探究1：極值的定義

教師在黑板上畫出如下函數(shù)圖象，要求學(xué)生根據(jù)圖象說出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

請(qǐng)學(xué)生回答，在學(xué)生回答過程中教師把結(jié)論用表格形式寫在此圖象的下方：

x(-8,a)a(a,b)b(b,+°°)

f(x)\f(a)/f(b)\

(在此預(yù)留一欄)

教師引導(dǎo)：我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)先減后增，在x=a點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)比它附近點(diǎn)的函數(shù)值都小。而

后先增后減，在x=b點(diǎn)處的函數(shù)值f(b)比它附近點(diǎn)的函數(shù)值都大。

引出極值定義：我們把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值；點(diǎn)

b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。

極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極大值與極小值稱為極值。

說明：為什么取名叫極值而不叫最值。

2、探究2：導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系

為了讓學(xué)生能夠很自然，很順暢的得到導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，在講完極值的定義后，教師立

刻拋出以下問題：我們學(xué)習(xí)完極值的定義后，遇到了一個(gè)新問題，如何求一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)

和極值呢？（學(xué)生沉思）

繼續(xù)提出問題：

問題（1）:如果知道函數(shù)的圖象，如何求極值？（學(xué)生思考后回答）

教師總結(jié)：由極值定義可知，在某一點(diǎn)附近區(qū)域的左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，那么這點(diǎn)就是極大

值點(diǎn)，相應(yīng)的這點(diǎn)的函數(shù)值就是極大值；相反，就是極小值點(diǎn)和極小值。簡(jiǎn)單總結(jié)：左增右

減，極大值；左減右增，極小值。

問題（2）：現(xiàn)在問題是當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象不知道或者我們沒辦法畫出其圖象時(shí)（比如三次以

上函數(shù)圖象），那么我們又要如何去求這個(gè)函數(shù)的極值？（此時(shí)會(huì)聽到一些學(xué)生說用導(dǎo)數(shù)，因

為前一節(jié)剛學(xué)完導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生憑感覺想到比較自然，但至于為什么用導(dǎo)數(shù)或怎么

用導(dǎo)數(shù)還不是很清楚，也有些學(xué)生是隨聲附和）

為什么會(huì)選擇導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，這時(shí)教師加以引導(dǎo)：在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想是一種

非常重要的思想方法。當(dāng)一個(gè)“數(shù)”不容易表達(dá)一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們往往借助于它的圖象

來研究；但當(dāng)一個(gè)“數(shù)”的圖象不容易畫出，這時(shí)我們又要借助于“數(shù)”來研究。所以它們

兩者之間是相輔相成的。那么我們會(huì)選擇一個(gè)怎么樣的“數(shù)”來研究函數(shù)的極值呢？這時(shí)學(xué)

生異口同聲地說用“導(dǎo)數(shù)”。（前面剛學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，所以學(xué)生相對(duì)比較熟悉）這

時(shí)教師即時(shí)給出今天要學(xué)習(xí)的課題（在黑板寫上），這就是今天我們要研究的函數(shù)的極值與導(dǎo)

數(shù)。

教師繼續(xù)拋出問題：為什么大家會(huì)想到用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具來研究函數(shù)極值呢？（學(xué)生回答）

教師總結(jié)：前面我們說從圖象上看左增右減，極大值；左減右增，極小值，而前面一節(jié)剛剛

學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系大家已經(jīng)清楚了。（請(qǐng)學(xué)生回答導(dǎo)數(shù)

與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系）所以現(xiàn)在我們即使不知道函數(shù)的圖象，也可以用求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間

上的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來表示出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)而找出極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，求出函

數(shù)的極大值和極小值。

事實(shí)是這樣的嗎？下面借助幾何畫板課件給學(xué)生演示一下，讓學(xué)生心服口服。

隨著點(diǎn)P的不斷運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察左邊數(shù)據(jù)的變化。演示完后教師在前面列表中預(yù)留的

一欄補(bǔ)上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如下:

x(一8,a)a(a,b)b(b,+8)

f(x)\f(a)/f(b)\

f（X）-0+0-

所以a是函數(shù)的極小值點(diǎn)，f（a）為極小值；b是函數(shù)的極大值點(diǎn)，f（b）為極大值。

函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。（結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義）

通過以上研究，我們可以用句口訣來形容導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系：

教師說出“上聯(lián)”：左負(fù)右正（強(qiáng)調(diào)是導(dǎo)函數(shù)），極小值（強(qiáng)調(diào)是原函數(shù)）

學(xué)生說出“下聯(lián)”：左正右負(fù)，極大值

好了，接下來教師繼續(xù)拋出問題：那么函數(shù)是不是一定有極大值和極小值呢，或者說一

個(gè)函數(shù)是否有多個(gè)極小值和極大值呢？（學(xué)生思考）

學(xué)生思考后回答，教師給出以下課件供學(xué)生參考：

3、探究3：如何在一個(gè)具體函數(shù)中利用導(dǎo)數(shù)求極值？

例1、求函數(shù)/(%)=；/一4%+4的極值

教師分析:①求f"x),解出f'(x)=O全體實(shí)根，這些實(shí)根可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；②由函數(shù)單調(diào)

性確定在極點(diǎn)X。附近f?x)的符號(hào),從而確定哪一點(diǎn)是極大值點(diǎn)，哪一點(diǎn)為極小值點(diǎn)，從而求出

函數(shù)的極值。學(xué)生動(dòng)手做，教師引導(dǎo)，最后板書：

解：/(X)=^X3-4X+4/(x)=x"-4=(x-2)(x+2)

令f'(x)=0,解得x=2,或x=-2.

當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-8,-2)-2(-2,2)2(2,+8)

+4-

0—0

f(X)單調(diào)遞增28單調(diào)遞減_4單調(diào)遞增

-3

因此，當(dāng)x=-2時(shí)，f(x)有極大值,且極大值為f(-2)=胃；當(dāng)x=2時(shí)，f(x)有極小值,且極小

值為f(2)=--(上述解答過程中，讓學(xué)生養(yǎng)成列表的習(xí)慣，由于在上課一開始我就列出表

3

格，學(xué)生看得清楚，所以這里解題用列表也是順理成章的事。強(qiáng)調(diào)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)的

符號(hào)如何，可利用導(dǎo)函數(shù)(二次函數(shù))的圖象來確定)

總結(jié)解題步驟：求函數(shù)的定義域一求導(dǎo)數(shù)一求f'(x)=0全部實(shí)根一列表一下結(jié)論(導(dǎo)數(shù)

左負(fù)右正，則是極小值，相反是極大值)

以上例題板書保留在黑板，一是學(xué)生練習(xí)可以參考；二是后面教學(xué)繼續(xù)用到。

隨堂練習(xí)：P29第二題(3)(三次函數(shù))。這里值得一提的是，在一名學(xué)生上臺(tái)板演時(shí)，憑感覺，

導(dǎo)致在判斷導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的符號(hào)時(shí)出錯(cuò)，本人借機(jī)指出學(xué)生聽課過程的不足，沒領(lǐng)會(huì)老

師上課的話，沒有借助導(dǎo)函數(shù)(二次函數(shù))的圖象判斷函數(shù)符號(hào)。同時(shí)對(duì)全體學(xué)生也是一個(gè)

教育。

下面我們回到剛才的例題：我們能否大致畫出原函數(shù)的圖象？

變式：畫出導(dǎo)函數(shù)圖象，通過導(dǎo)函數(shù)的圖象，你能否找出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值呢？(這

時(shí)教師擦去黑板上的解題過程，學(xué)生回答)

導(dǎo)函數(shù)圖象在黑板板書時(shí)盡量畫得和原函數(shù)圖象對(duì)齊下來，便于學(xué)生觀察。

教師總結(jié)：通過導(dǎo)函數(shù)的圖象去找原函數(shù)的極值點(diǎn)，我們要觀察的是在導(dǎo)函數(shù)圖象中哪個(gè)區(qū)

間是正的(即圖象在X軸上方)，哪個(gè)區(qū)間是負(fù)的(即圖象在y軸下方)，與導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性

無關(guān)，所以解題時(shí)不要受導(dǎo)函數(shù)圖象的單調(diào)性的影響。

4、課堂總結(jié)(學(xué)生總結(jié))：(1)、函數(shù)極值的定義

(2)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟

5、布置作業(yè)：P325

6、探究4：課后思考(課件給出)

思考(1)：極值是最值嗎？

思考(2)：你認(rèn)為極大值一定大于極小值嗎？

思考(3)：X。是f(x)的極值點(diǎn)與f(x)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0有什么邏輯關(guān)系？你能舉例說明嗎？

思考(4)：已知函數(shù)f(x)=ax；'+bx2-2x在x=-2,x=l處取得極值

①求函數(shù)f(x)的解析式；②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

附：板書設(shè)計(jì):

\一……

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)接畫例1函數(shù)圖象本版教師臨時(shí)板書用

1、極值的定義X(-8,a)a(a,b)b(b,+°°)和學(xué)生練習(xí)用

a-極小值點(diǎn)，f(a)-極小值f(x)Xf(a)/f(b)X

b-極小值點(diǎn)，f(b)-極小值f(x)0+0-

極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，

極大值與極小值稱為極值。畫例1導(dǎo)函數(shù)圖象

2.利用導(dǎo)數(shù)求極值

左負(fù)右正極小值

(導(dǎo)數(shù))(原函數(shù))

左正右負(fù)極大值

例1

三、感悟與反思

設(shè)計(jì)理念：實(shí)施中的課程改革，讓我們?cè)跈C(jī)遇與挑戰(zhàn)中和全新的理念同步成長(zhǎng)。教育的真正

意義在于發(fā)現(xiàn)人的價(jià)值、發(fā)揮人的潛力、發(fā)展人的個(gè)性。教師要根據(jù)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需求而

進(jìn)行的教學(xué)，在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、引導(dǎo)思維、培育創(chuàng)新精神上下功夫。追求“開放”與

“多樣”的教學(xué)指導(dǎo)思想。

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)和極值,有了上節(jié)課導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性作鋪墊,學(xué)生借助函數(shù)圖

形的直觀性能夠發(fā)現(xiàn)問題，激發(fā)思維。教師不斷的提出問題，使學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、討論、

抽象歸納出極值的定義，并使學(xué)生很自然，很順暢的建立起函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生

感受知識(shí)的確確實(shí)實(shí)內(nèi)在聯(lián)系，而不強(qiáng)加于自己身上的。學(xué)生提高了動(dòng)手能力，在相互交流、

互相討論過程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)了自我，建立了信心，同時(shí)也構(gòu)建了和諧的課堂氣氛。充分展現(xiàn)出

新課改理念。

教后反思：本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，借助函數(shù)圖形的直觀性探索歸納出導(dǎo)數(shù)的極

值定義,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。本人認(rèn)為以下幾個(gè)方面的設(shè)計(jì)在課堂取得較為理想效果：

1、借助函數(shù)圖象直觀引入極值定義，簡(jiǎn)潔明了。并在圖象下方以表格的形式展現(xiàn)，為后

面教學(xué)(列表求極值)埋下伏筆；

2、引入課題時(shí)，站在數(shù)形結(jié)合的角度思考，自然貼切；

3、導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)用口訣形式給出，把它假設(shè)成一幅對(duì)聯(lián)(是不是真正意義上的對(duì)聯(lián)，請(qǐng)

學(xué)生自己探討)，老師說出上聯(lián)，學(xué)生給出下聯(lián)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，活躍了課堂的氣氛。但

不要求學(xué)生去背口訣；

4、例題講解過程規(guī)范