2023-2024學年重慶市縉云教育聯(lián)盟高一上學期9月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市縉云教育聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期9月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.對于任意實數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對任意的，記，則，若，則，即，則，因為，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，則，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.設集合，集合，若，則實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為（）A.2 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗,因為，當時，，當時，即時，令，解得，則或，則對應實數(shù)的值為，則實數(shù)a組成的集合的元素有3個，所以實數(shù)a組成的集合的真子集個數(shù)有，故選：C.3.若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得到，又不等式的一個充分條件為，所以，故選：C.4.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對A，取，顯然不成立，故A錯誤；對B，由不等式性質(zhì)知，，則正確，故B正確；對C，取時，由可得，故C錯誤；對D，時，顯然，故D錯誤.故選：B.5.若，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為.故選：A.6.若正實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又為正實數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D.7.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，且，所以，令，則，且，所以，即，僅當時等號成立，對于恒成立，僅當，即時等號成立，綜上，若，則，而，則，只需，所以，僅當，即時等號成立，綜上，，僅當，即時等號成立.所以目標式最小值為.故選：C.8.設，在上恒成立，則最大值（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗①當時，，，不成立，②當時，恒成立，則恒成立，即，解得：，此時的最大值是；③當時，恒成立，則，恒成立，即的最大值是；④當時，恒立，則恒成立，即，恒成立，，解得：，此時的最大值是.綜上可知，的最大值是.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.設是實數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意的（與可以相等，也可以不相等），且，則稱是“和諧集”．則下列說法中為正確題的是（）A.存在一個集合，它既是“和諧集”，又是有限集B.集合是“和諧集”C.若都是“和諧集”，則D.對任意兩個不同的“和諧集”，總有〖答案〗ABC〖解析〗A項中，根據(jù)題意是“和諧集”，又是有限集，故A項正確；B項中，設，則，所以集合是“和諧集”，故B項正確；C項中，根據(jù)已知條件，可以相等，故任意“和諧集”中一定含有0，所以，故C項正確；D項中，取都是“和諧集”，但5不屬于，也不屬于，所以不是實數(shù)集，故D項錯誤．故選：ABC．10.設正實數(shù)x，y滿足，則（

）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最小值為 D.的最小值為2〖答案〗BC〖解析〗對于A，，，當且僅當，即，時等號成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當即時等號成立，故B正確；對于C，由A可得，又，，當且僅當，時等號成立，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，時等號成立，故D錯誤；故選：BC.11.已知，，且，則下列不等式一定成立的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A，因為，，且，所以由基本不等式可得，則，當且僅當時，“=”成立，A正確；對于選項B，因為，所以，則，B正確；對于選項C，因為，所以，當且僅當時，“=”成立，C錯誤；對于選項D，令，，則，則，由基本不等式可得，，當且僅當時，結(jié)合，即“=”成立，故D正確，故選：ABD.12.19世紀戴德金利用他提出的分割理論，從對有理數(shù)集的分割精確地給出了實數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學實數(shù)理論的基礎之一可以推出實數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：，則稱為的二劃分，例如，，則就是的一個二劃分，則下列說法正確的是（）A.設，則為的二劃分B.設，則為的二劃分C.存在一個的二劃分，使得對于；對于D.存在一個的二劃分，使得對于，則；，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由于，故，不是的二劃分，A錯誤；對于B，，，顯然，由于任意一個正整數(shù)M，都可寫成形式，其中為素數(shù)，，則M必為形式，其中k為正奇數(shù)，，故可得，故B正確；對于C，存在滿足，對于；對于，C正確；對于D，選項B中集合，使得對于，則；，比如取3，5，則，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設集合，若集合中所有三個元素的子集中的三個元素之和組成的集合為，則集合________.〖答案〗〖解析〗集合中所有三個元素的子集中，每個元素均出現(xiàn)3次，所以，故，所以不妨設，，，，所以，，，，所以集合.故〖答案〗為：.14.若對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由，得．由題意可得，使得成立，即，使得成立．，當且僅當時等號成立，故．故〖答案〗為：.15.已知a，b為正實數(shù)，滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗為正實數(shù)，滿足，，，則，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.16.設整數(shù)集，，且，若，滿足，的所有元素之和為，求=________；〖答案〗〖解析〗由可得，所以，因為，所以，若，因為，所以，所以，，，故所以，若則，可得或與矛盾，所以此時不成立，若，則，所以，所以，所以即顯然，可得或，因為與矛盾，所以，，此時，，所以，由題意知：，即，解得或（舍）綜上所述：，，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設集合.（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，解得或，所以集合（2）由，得.當，即時，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，要使，則，即，即，所以，該方程組無解.綜上：實數(shù)的取值范圍是.18.已知集合，求證：（1）；（2）偶數(shù)不屬于.解：（1）因為，所以.（2）因為，，，當，都為偶數(shù)或奇數(shù)時，和都為偶數(shù)，所以為4的倍數(shù)；當，為一個偶數(shù)，一個奇數(shù)時，和都為奇數(shù)，所以為奇數(shù).顯然都不滿足，所以.19.設.（1）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)取值范圍；（2）已知解關于的不等式解：（1）由對一切實數(shù)恒成立，即對一切實數(shù)恒成立，當時，，不滿足題意；當時，則滿足，解得，綜上所述，實數(shù)取值范圍為.（2）由不等式，即，方程的兩個根為，①當時，不等式的解集為②當時，不等式的解集為③當時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，解集為.20.中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設屋子的左右兩面墻的長度均為．（1）當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求a的取值范圍．解：（1）設甲工程隊的總造價為元，依題意，左右兩面墻的長度均為（），則屋子前面新建墻體長為，則即，當且僅當，即時，等號成立，故當左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為元；（2）由題意可知，當對任意的恒成立，即，所以，即，，當，，即時，的最小值為12，即，所以取值范圍是.21.有限個元素組成的集合，，記集合中的元素個數(shù)為，即.定義，集合中的元素個數(shù)記為，當時，稱集合具有性質(zhì).（1），，判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設集合，且（），若集合具有性質(zhì)，求的最大值.解：（1）集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì).因為，，所以，，則集合不具有性質(zhì)，所以，，則集合具有性質(zhì).（2），且，，要使取最大，則，，當時，，則不具有性質(zhì)，要使取最大，則，，當時，，則不具有性質(zhì)，當時，，則不具有性質(zhì)，當時，則具有性質(zhì)，則使得取最大，可得，若集合具有性質(zhì)，則的最大值為6056.22.若存在常數(shù)，使得函數(shù)與在給定區(qū)間上的任意實數(shù)都有，，則稱是與的分隔直線函數(shù)．當時，被稱為雙飛燕函數(shù)，被稱為海鷗函數(shù)．（1）當時，?。蟮慕饧?；（2）判斷：當時，與是否存在著分隔直線函數(shù)．若存在，請求出分隔直線函數(shù)〖解析〗式；若沒有，請說明理由．解：（1），時，，可化為，即，當，即時，不等式的解集為；當，即時，不等式的解集為或；當，即時，不等式的解集為或.（2）若，，當時，恒成立，恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；若，，當時，恒成立，恒成立，則是與的分隔直線函數(shù)；綜上所述，與的分隔直線函數(shù)〖解析〗式為.重慶市縉云教育聯(lián)盟2023-2024學年高一上學期9月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.對于任意實數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對任意的，記，則，若，則，即，則，因為，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，則，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.設集合，集合，若，則實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為（）A.2 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗,因為，當時，，當時，即時，令，解得，則或，則對應實數(shù)的值為，則實數(shù)a組成的集合的元素有3個，所以實數(shù)a組成的集合的真子集個數(shù)有，故選：C.3.若不等式的一個充分條件為，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得到，又不等式的一個充分條件為，所以，故選：C.4.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對A，取，顯然不成立，故A錯誤；對B，由不等式性質(zhì)知，，則正確，故B正確；對C，取時，由可得，故C錯誤；對D，時，顯然，故D錯誤.故選：B.5.若，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為.故選：A.6.若正實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，又為正實數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D.7.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，則，且，所以，令，則，且，所以，即，僅當時等號成立，對于恒成立，僅當，即時等號成立，綜上，若，則，而，則，只需，所以，僅當，即時等號成立，綜上，，僅當，即時等號成立.所以目標式最小值為.故選：C.8.設，在上恒成立，則最大值（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗①當時，，，不成立，②當時，恒成立，則恒成立，即，解得：，此時的最大值是；③當時，恒成立，則，恒成立，即的最大值是；④當時，恒立，則恒成立，即，恒成立，，解得：，此時的最大值是.綜上可知，的最大值是.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.設是實數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意的（與可以相等，也可以不相等），且，則稱是“和諧集”．則下列說法中為正確題的是（）A.存在一個集合，它既是“和諧集”，又是有限集B.集合是“和諧集”C.若都是“和諧集”，則D.對任意兩個不同的“和諧集”，總有〖答案〗ABC〖解析〗A項中，根據(jù)題意是“和諧集”，又是有限集，故A項正確；B項中，設，則，所以集合是“和諧集”，故B項正確；C項中，根據(jù)已知條件，可以相等，故任意“和諧集”中一定含有0，所以，故C項正確；D項中，取都是“和諧集”，但5不屬于，也不屬于，所以不是實數(shù)集，故D項錯誤．故選：ABC．10.設正實數(shù)x，y滿足，則（

）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最小值為 D.的最小值為2〖答案〗BC〖解析〗對于A，，，當且僅當，即，時等號成立，故A錯誤；對于B，，當且僅當即時等號成立，故B正確；對于C，由A可得，又，，當且僅當，時等號成立，故C正確；對于D，，所以，當且僅當，時等號成立，故D錯誤；故選：BC.11.已知，，且，則下列不等式一定成立的有（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A，因為，，且，所以由基本不等式可得，則，當且僅當時，“=”成立，A正確；對于選項B，因為，所以，則，B正確；對于選項C，因為，所以，當且僅當時，“=”成立，C錯誤；對于選項D，令，，則，則，由基本不等式可得，，當且僅當時，結(jié)合，即“=”成立，故D正確，故選：ABD.12.19世紀戴德金利用他提出的分割理論，從對有理數(shù)集的分割精確地給出了實數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學實數(shù)理論的基礎之一可以推出實數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：，則稱為的二劃分，例如，，則就是的一個二劃分，則下列說法正確的是（）A.設，則為的二劃分B.設，則為的二劃分C.存在一個的二劃分，使得對于；對于D.存在一個的二劃分，使得對于，則；，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由于，故，不是的二劃分，A錯誤；對于B，，，顯然，由于任意一個正整數(shù)M，都可寫成形式，其中為素數(shù)，，則M必為形式，其中k為正奇數(shù)，，故可得，故B正確；對于C，存在滿足，對于；對于，C正確；對于D，選項B中集合，使得對于，則；，比如取3，5，則，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設集合，若集合中所有三個元素的子集中的三個元素之和組成的集合為，則集合________.〖答案〗〖解析〗集合中所有三個元素的子集中，每個元素均出現(xiàn)3次，所以，故，所以不妨設，，，，所以，，，，所以集合.故〖答案〗為：.14.若對，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由，得．由題意可得，使得成立，即，使得成立．，當且僅當時等號成立，故．故〖答案〗為：.15.已知a，b為正實數(shù)，滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗為正實數(shù)，滿足，，，則，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故〖答案〗為：.16.設整數(shù)集，，且，若，滿足，的所有元素之和為，求=________；〖答案〗〖解析〗由可得，所以，因為，所以，若，因為，所以，所以，，，故所以，若則，可得或與矛盾，所以此時不成立，若，則，所以，所以，所以即顯然，可得或，因為與矛盾，所以，，此時，，所以，由題意知：，即，解得或（舍）綜上所述：，，所以，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設集合.（1）求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，解得或，所以集合（2）由，得.當，即時，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，要使，則，即，即，所以，該方程組無解.綜上：實數(shù)的取值范圍是.18.已知集合，求證：（1）；（2）偶數(shù)不屬于.解：（1）因為，所以.（2）因為，，，當，都為偶數(shù)或奇數(shù)時，和都為偶數(shù)，所以為4的倍數(shù)；當，為一個偶數(shù)，一個奇數(shù)時，和都為奇數(shù)，所以為奇數(shù).顯然都不滿足，所以.19.設.（1）若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)取值范圍；（2）已知解關于的不等式解：（1）由對一切實數(shù)恒成立，即對一切實數(shù)恒成立，當時，，不滿足題意；當時，則滿足，解得，綜上所述，實數(shù)取值范圍為.（2）由不等式，即，方程的兩個根為，①當時，不等式的解集為②當時，不等式的解集為③當時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，解集為.20.中歐班列是推進“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設，目前車站準備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，