小學(xué)奧數(shù)課本四年級(jí)上冊(cè)04-01(上)

第一講速算與巧算〔三〕例1計(jì)算9＋99＋999＋9999＋99999—1去計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝〔10－1〕＋〔100-1〕＋〔1000－1〕＋〔10000-1〕＋〔100000-1〕＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2計(jì)算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過(guò)這里是加1湊整.〔如199＋1＝200〕199999＋19999＋1999＋199＋19＝〔19999＋1〕＋〔19999＋1〕＋〔1999＋1〕＋〔199＋1〕＋〔19＋1〕－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3計(jì)算〔1＋3＋5＋…＋1989〕－〔2＋4＋6＋…＋1988〕解法2：先把兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從1到1989共有995個(gè)奇數(shù)，湊成497個(gè)1990，還剩下995，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的結(jié)果是：從2到1988共有994個(gè)偶數(shù)，湊成497個(gè)1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4計(jì)算389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準(zhǔn)數(shù).389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以選380為基準(zhǔn)數(shù)，那么有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5計(jì)算〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6解：認(rèn)真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號(hào)中6個(gè)相接近的數(shù)之和，故可選4940為基準(zhǔn)數(shù).〔4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943〕÷6＝〔4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3〕÷6＝〔4940×6＋6〕÷6〔這里沒有把4940×6先算出來(lái)，而是運(yùn)＝4940×6÷6＋6÷6運(yùn)用了除法中的巧算方法〕＝4940＋1＝4941.例6計(jì)算54＋99×99＋45解：此題外表上看沒有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99，就可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算了.54＋99×99＋45＝〔54＋45〕＋99×99＝99＋99×99＝99×〔1＋99〕＝99×100＝9900.例7計(jì)算9999×2222＋3333×3334×3，規(guī)律就出現(xiàn)了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×〔6666＋3334〕＝3333×10000＝33330000.例81999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×〔1＋999〕＝1000＋999×1000＝1000×〔999＋1〕＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×〔1000-1〕＝1999＋999000-999＝〔1999-999〕＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少個(gè)零.總之，要想在計(jì)算中到達(dá)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便、迅速，必須付出辛勤的勞動(dòng)，要多練習(xí)，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.習(xí)題一1.計(jì)算899998＋89998＋8998＋898＋882.計(jì)算799999＋79999＋7999＋799＋793.計(jì)算〔1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2〕－〔1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987〕—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下，依次類推.從1點(diǎn)到12點(diǎn)這12個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？6.求出從1～25的全體自然數(shù)之和.7.計(jì)算1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.計(jì)算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.計(jì)算〔125×99＋125〕×1610.計(jì)算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9×7805312.兩個(gè)10位數(shù)1111111111和9999999999的乘積中，有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？第二講速算與巧算〔四〕例1比擬下面兩個(gè)積的大?。篈＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小1，但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計(jì)算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無(wú)論是對(duì)A或是對(duì)B，直接把兩個(gè)因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.解：A＝987654321×123456789＝987654321×〔123456788＋1〕＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝〔987654321＋1〕×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因?yàn)?87654321＞123456788，所以A＞B.例2不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說(shuō)明理由.241×249242×248243×247244×246245×245.解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.241×249＝〔240＋1〕×〔250—1〕＝240×250＋1×9；242×248＝〔240＋2〕×〔250—2〕＝240×250＋2×8；243×247＝〔240＋3〕×〔250—3〕＝240×250＋3×7；244×246＝〔240＋4〕×〔250—4〕＝240×250＋4×6；245×245＝〔240＋5〕×〔250—5〕＝240×250＋5×5.恒等變形以后的各式有相同的局部240×250，又有不同的局部1×9，2×8，3×7，4×6，5×5，由此很容易看出245×245的積最大.一般說(shuō)來(lái)，將一個(gè)整數(shù)拆成兩局部〔或兩個(gè)整數(shù)〕，兩局部的差值越小時(shí)，這兩局部的乘積越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5那么5×5＝25積最大.例3求1966、1976、1986、1996、2006五個(gè)數(shù)的總和.解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大10，可看出1986是這五個(gè)數(shù)的平均值，故其總和為：1986×5＝9930.例42、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè).解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為320÷5＝64，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)——它是五個(gè)自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對(duì)于2n＋1個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…，x—1，x，x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中x是這2n＋1個(gè)自然數(shù)的平均值.巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.例5將1～1001各數(shù)按下面格式排列：一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：①1986，②2529，③1989，能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列3個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)相差7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).①1986不是9的倍數(shù)，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍數(shù)，但是281÷7＝40×7＋1，這說(shuō)明281在題中數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍數(shù)，且221÷7＝31×7＋4，這就是說(shuō)221在數(shù)表中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的數(shù)是229，最小的數(shù)是213.這個(gè)例題是所謂的“月歷卡〞上的數(shù)字問題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡上還有那么多有趣的問題呢！所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).習(xí)題二1.右圖的30個(gè)方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個(gè)格子中的數(shù)等于同一橫行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和〔如方格中a＝14＋17＝31〕.右圖填滿后，這30個(gè)數(shù)的總和是多少？2.有兩個(gè)算式：①98765×98769，②98766×98768，請(qǐng)先不要計(jì)算出結(jié)果，用最簡(jiǎn)單的方法很快比擬出哪個(gè)得數(shù)大，大多少？×764和567×765哪個(gè)積大？4.在下面四個(gè)算式中，最大的得數(shù)是多少？①1992×1999＋1999②1993×1998＋1998③1994×1997＋1997④1995×1996＋19965.五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是85，求其中最大和最小的數(shù).6.45是從小到大五個(gè)整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3，請(qǐng)你寫出這五個(gè)數(shù).7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列.在這個(gè)數(shù)表里，把長(zhǎng)的方面3個(gè)數(shù)，寬的方面2個(gè)數(shù)，一共6個(gè)數(shù)用長(zhǎng)方形框圍起來(lái)，這6個(gè)數(shù)的和為81，在數(shù)表的別的地方，如上面一樣地框起來(lái)的6個(gè)數(shù)的和為429，問此時(shí)長(zhǎng)方形框子里最大的數(shù)是多少？第三講定義新運(yùn)算我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法那么不同.可見一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法那么不同就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法那么應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法那么都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法那么就是不同的運(yùn)算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“＋〞，“－〞，“×〞，“÷〞運(yùn)算不相同.我們先通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)了解和熟悉“定義新運(yùn)算〞.例1設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②這個(gè)運(yùn)算“△〞有交換律嗎？③求〔17△6〕△2，17△〔6△2〕；④這個(gè)運(yùn)算“△〞有結(jié)合律嗎？⑤如果4△b＝2，求b.分析解定義新運(yùn)算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，此題規(guī)定的運(yùn)算的本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△〞沒有交換律.③要計(jì)算〔17△6〕△2，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計(jì)算第二步39△2＝3×39-2×2＝113，所以〔17△6〕△2＝113.對(duì)于17△〔6△2〕，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△〔6△2〕＝23.④由③的例子可知“△〞也沒有結(jié)合律.⑤因?yàn)?△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定義運(yùn)算※為a※b＝a×b－〔a＋b〕，①求5※7，7※5；②求12※〔3※4〕，〔12※3〕※4；③這個(gè)運(yùn)算“※〞有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※〔5※x〕＝3，求x.解：①5※7＝5×7－〔5＋7〕＝35-12＝23，7※5＝7×5－〔7＋5〕＝35-12＝23.②要計(jì)算12※〔3※4〕，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－〔3＋4〕＝5，再計(jì)算第二步12※5＝12×5－〔12＋5〕＝43，所以12※〔3※4〕＝43.對(duì)于〔12※3〕※4，同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－〔12＋3〕＝21，其次21※4＝21×4－〔21＋4〕＝59，所以〔12※3〕※4＝59.③由于a※b＝a×b－〔a＋b〕；b※a＝b×a－〔b＋a〕＝a×b－〔a＋b〕〔普通加法、乘法交換律〕所以有a※b＝b※a，因此“※〞有交換律.由②的例子可知，運(yùn)算“※〞沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－〔5＋x〕＝4x－5；3※〔5※x〕＝3※〔4x－5〕＝3〔4x－5〕－〔3＋4x－5〕＝12x－15－〔4x－2〕＝8x－13那么8x－13＝3解出x＝2.③這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？例5x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*〞及“△〞如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中m、n、k均為自然數(shù)，1*2=5，〔2*3〕△4=64，求〔1△2〕*3的值.分析我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2〕*3的值，首先我們要計(jì)算1△2，根據(jù)“△〞的定義：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，l△2的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)1△2=a.(1△2〕*3=a*3，按“*〞的定義：a*3=ma+3n，在只有求出m、n時(shí)，我們才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算〔1△2〕*3的值，我們就要先求出k、m、n的值.通過(guò)1*2=5可以求出m、n的值，通過(guò)〔2*3〕△4=64求出k的值.解：因?yàn)?*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：①當(dāng)m=1，n=2時(shí)：〔2*3〕△4=〔1×2+2×3〕△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②當(dāng)m=3，n=1時(shí)：〔2*3〕△4=〔3×2+1×3〕△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.〔1△2〕*3=〔2×1×2〕*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面這一類定義新運(yùn)算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法那么代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問題是：定義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿足加法、乘法所滿足的運(yùn)算定律，因此在沒有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運(yùn)用這些運(yùn)算律來(lái)解題.習(xí)題三計(jì)算：①10*6②7*〔2*1〕.°，使以下算式成立：5.對(duì)于任意的整數(shù)x、y，定義新運(yùn)算“△〞，如果1△2=2，那么2△9=？7.“*〞表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：△b=a+〔a+1〕+〔a+2〕+…+〔a+b-1〕，〔a、b均為自然數(shù)，b＞a〕如果x△10=65，那么x=？10.我們規(guī)定：符號(hào)。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：5°3=3°5=5，符號(hào)△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：5△3=3△5=3，計(jì)算：第四講等差數(shù)列及其應(yīng)用許多同學(xué)都知道這樣一個(gè)故事：大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候，就利用巧妙的算法迅速計(jì)算出從1到100這100個(gè)自然數(shù)的總和.大家在佩服贊嘆之余，有沒有仔細(xì)想一想，高斯為什么算得快呢？當(dāng)然，小高斯的聰明和藹于觀察是不必說(shuō)了，往深處想，最根本的原因卻是這100個(gè)數(shù)及其排列的方法本身具有極強(qiáng)的規(guī)律性——每項(xiàng)都比它前面的一項(xiàng)大1，即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡(jiǎn)便的求和方法.通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和的方法，而且學(xué)會(huì)利用這種數(shù)列來(lái)解決許多有趣的問題.一、等差數(shù)列什么叫等差數(shù)列呢？我們先來(lái)看幾個(gè)例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.公差，一般用字母d表示，如：數(shù)列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1；數(shù)列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；數(shù)列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；數(shù)列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列？假設(shè)是，請(qǐng)指明公差，假設(shè)不是，那么說(shuō)明理由.①6，10，14，18，22，…，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；③1，2，4，8，16，32，64；④9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因?yàn)閿?shù)列的第3項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于數(shù)列的第2項(xiàng)減去第1項(xiàng).③不是，因?yàn)?-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng).一般地說(shuō)，如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)或者都不小于前面的項(xiàng)，或者每一項(xiàng)都大于前面的項(xiàng)，上述例1的數(shù)列⑥中，第1項(xiàng)大于第2項(xiàng)，第2項(xiàng)卻又小于第3項(xiàng)，所以，顯然不符合等差數(shù)列的定義.為了表達(dá)和書寫的方便，通常，我們把數(shù)列的第1項(xiàng)記為a1，第2項(xiàng)記為a2，…，第n項(xiàng)記為an，an。又稱為數(shù)列的通項(xiàng)，a1；又稱為數(shù)列的首項(xiàng)，最后一項(xiàng)又稱為數(shù)列的末項(xiàng).二、通項(xiàng)公式對(duì)于公差為d的等差數(shù)列a1，a2，…an…來(lái)說(shuō)，如果a1；小于a2，那么由此可知：(1)假設(shè)a1；大于a2，那么同理可推得：(2)公式〔1〕〔2〕叫做等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式，在首項(xiàng)和公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項(xiàng).例2求等差數(shù)列1，6，11，16…的第20項(xiàng).解：首項(xiàng)a1=1，又因?yàn)閍2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以運(yùn)用公式〔1〕可知：第20項(xiàng)a20=a1=〔20-1〕×5=1+19×5=96.一般地，如果知道了通項(xiàng)公式中的兩個(gè)量就可以求出另外一個(gè)量，如：由通項(xiàng)公式，我們可以得到項(xiàng)數(shù)公式：例3等差數(shù)列2，5，8，11，14…，問47是其中第幾項(xiàng)？解：首項(xiàng)a1=2，公差d=5-2=3令an=47那么利用項(xiàng)數(shù)公式可得：n=〔47-2〕÷3+1=16.即47是第16項(xiàng).例4如果一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21，第6項(xiàng)為33，求它的第8項(xiàng).分析與解答方法1：要求第8項(xiàng)，必須知道首項(xiàng)和公差.因?yàn)閍4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d，所以d=6a1=21-3×d=3，所以a8=3+7×6=45.方法2：考慮到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6，只要求2×d即可.又a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d，所以2×d=a6-a4所以a8=3+7×6=45方法2說(shuō)明：如果能夠靈活運(yùn)用等差數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系，解題將更為簡(jiǎn)便.三、等差數(shù)列求和假設(shè)a1小于a2，那么公差為d的等差數(shù)列a1,a2,a3…an可以寫為a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×〔n-1〕.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.設(shè)Sn=a1+a2+a3+…+an那么Sn=an+an-1+an-2+…+a1兩式相加可得：2×Sn=〔a1+an〕+(a2+an-1)+…+(an+a1)即：2×Sn=n×〔a1+an〕,所以，例5計(jì)算1+5+9+13+17+…+1993.當(dāng)a1；大于a2。時(shí)，同樣也可以得到上面的公式.這個(gè)公式就是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式.解：因?yàn)?，5，9，13，17，…，1993是一個(gè)等差數(shù)列，且al=1，d=4，an=1993.所以，n=〔an－a1〕÷d+1=499.所以，1+5+9+13+17+…+1993=〔1+1993〕×499÷2=997×499=497503.題目做完以后，我們?cè)賮?lái)分析一下，此題中的等差數(shù)列有499項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第250項(xiàng)的值是997，而和恰等于997×499.其實(shí)，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于中項(xiàng)有如下定理：這個(gè)定理稱為中項(xiàng)定理.例6建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來(lái)，2，6，10，14，…容易知道，這是一個(gè)等差數(shù)列.方法1：a1=2，d=4，an=2106，貝n=〔an-a1〕÷d+1=527這堆磚共有那么中間一項(xiàng)為a264=a1+〔264-1〕×4=1054.方法2：〔a1+an〕×n÷2=〔2+2106〕×527÷2=555458〔塊〕.那么中間一項(xiàng)為〔a1+an〕÷2=1054a1=2，d=4，an=2106，這堆磚共有1054×527=555458〔塊〕.n=〔an-a1〕÷d+1=527例7求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差.解：根據(jù)題意可列出算式：〔2+4+6+8+…+2000〕-〔1+3+5+…+1999〕解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=〔2+2000)×1000÷2-〔1+1999〕×1000÷2=1000.解法2：注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個(gè)1，即原式=1000×1=1000.例8連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和為54，那么以這九個(gè)自然數(shù)的末項(xiàng)作為首項(xiàng)的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是多少？分析與解答方法1：要想求這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，可以先求出這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè).即條件中的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的末項(xiàng).因?yàn)?，條件中九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為54，所以，這九個(gè)自然數(shù)的中間數(shù)為54÷9=6，那么末項(xiàng)為6+4=10.因此，所求的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為〔10+18〕×9÷2=126.方法2：考察兩組自然數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：后一組自然數(shù)的每一項(xiàng)比前一組自然數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)大8，因此，后一組自然數(shù)的和應(yīng)為54+8×9=126.在方法1中，可以用另一種方法來(lái)求末項(xiàng)，根據(jù)求和公式Sn=〔a1+an〕×n÷2，那么a1+a9=54×2÷1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9100個(gè)連續(xù)自然數(shù)〔按從小到大的順序排列〕的和是8450，取出其中第1個(gè)，第3個(gè)…第99個(gè)，再把剩下的50個(gè)數(shù)相加，得多少？分析與解答方法1：要求和，我們可以先把這50個(gè)數(shù)算出來(lái).100個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450，那么：首項(xiàng)+末項(xiàng)=8450×2÷100=169，又因?yàn)槟╉?xiàng)比首項(xiàng)大99，所以，首項(xiàng)=〔169-99〕÷2=35.因此，剩下的50個(gè)數(shù)為：36，38，40，42，44，46…134.這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為〔36+134〕×50÷2=4250.方法2：我們考慮這100個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?450.所以，剩下的數(shù)的總和為〔8450+50〕÷2=4250.四、等差數(shù)列的應(yīng)用例10把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？解：由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，那么中間一個(gè)數(shù)為210÷7=30，所以，這7個(gè)數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個(gè)數(shù)是15，第6個(gè)數(shù)是40.例11把27枚棋子放到7個(gè)不同的空盒中，如果要求每個(gè)盒子都不空，且任意兩個(gè)盒子里的棋子數(shù)目都不一樣多，問能否辦到，假設(shè)能，寫出具體方案，假設(shè)不能，說(shuō)明理由.分析與解答因?yàn)槊總€(gè)盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同時(shí)，任兩盒中棋子數(shù)不一樣，所以7個(gè)盒中共有的棋子數(shù)至少為1+2+3+4+5+6+7=28.但題目中只給了27枚棋子，所以，題中要求不能辦到.例12從1到50這50個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？解：設(shè)滿足條件的兩數(shù)為a、b，且a＜b，那么假設(shè)a=1，那么b=50，共1種.假設(shè)a=2，那么b=49，50，共2種.假設(shè)a=3，那么b=48，49，50，共3種.…假設(shè)a=25，那么b=26，27，…50，共25種.假設(shè)a=26，那么b=27，28，…50，共24種.〔a=26，b=25的情形與a=25，b=26相同，舍去〕.假設(shè)a=27，那么b=28，29，…50，共23種.…假設(shè)a=49，那么b=50，共1種.所以，所有不同的取法種數(shù)為1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×〔1+2+3+…+24〕+25=625.例13x+y+z=1993有多少組正整數(shù)解.顯然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整數(shù)解的組數(shù)是：l+2+3+…+1991=1983036.此題中運(yùn)用了分類的思想，先按照x的值分類，在每一類中，又從y的角度來(lái)分類，如：x=1987時(shí)，因?yàn)閥+z=6，且y、z均為正整數(shù)，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分類，每一類對(duì)應(yīng)一組解，因此，x=1987時(shí)，共5組解.例13把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)指出：①197排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)？②第10行的第9個(gè)數(shù)是多少？1357911131517192123252729313335373943454749……分析與解答①197是奇數(shù)中的第99個(gè)數(shù).數(shù)表中，第1行有1個(gè)數(shù).第2行有3個(gè)數(shù).第3行有5個(gè)數(shù)…第n行有2×n-l個(gè)數(shù)因此，前n行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+…+〔2×n-1〕=［1+〔2×n-1〕〕×n÷2=n×n因?yàn)?×9＜99＜10×10.所以，第99個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個(gè)數(shù)，即第18個(gè)數(shù)，即197位于第10行第18個(gè)數(shù).②×9+9=90〕，它是179.例14將自然數(shù)如下排列，12671516…3581417…491318…1012…11……在這樣的排列下，數(shù)字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，問：1993排在第幾行第幾列？分析與解答不難看出，數(shù)表的排列規(guī)律如箭頭所指，為研究的方便，我們不妨把原圖順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45°，就成為三角陣〔如右圖〕，三角陣中，第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)…第n行就有n個(gè)數(shù)，設(shè)1993在三角陣中的第n行，那么：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n即：n×〔n-1〕÷2＜1993≤n×〔n+1〕÷2用試值的方法，可以求出n=63.又因?yàn)?+2+…+62=1953，即第62行中最大的數(shù)為1953.三角陣中，奇數(shù)列的數(shù)字從左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角陣中第63行從左開始數(shù)起的第40個(gè)數(shù)〔假設(shè)從右開始數(shù)，那么為第24個(gè)數(shù)〕.把三角陣與左圖作比擬，可以發(fā)現(xiàn)：①三角陣中每一行從左開始數(shù)起的第幾個(gè)數(shù)，就位于左圖的第幾列.②三角陣中每一行從右開始數(shù)起的第幾個(gè)數(shù)，就位于左圖的第幾行.由此，我們可知，1993位于原圖的24行40列.習(xí)題四1.求值：①6+11+16+…+501.②101+102+103+104+…+999.2.下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第100個(gè)算式的得數(shù)是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，…3.11至18這8個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個(gè)連續(xù)數(shù)的和，這另外8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)如何分？5.300到400之間能被7整除的各數(shù)之和是多少？6.100到200之間不能被3整除的數(shù)之和是多少？7.把一堆蘋果分給8個(gè)小朋友，要使每個(gè)人都能拿到蘋果，而且每個(gè)人拿到蘋果個(gè)數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有幾個(gè)？8.下表是一個(gè)數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和.1，2，3，4，5，6…98，99，1002，3，4，5，6，7…99，100，1013，4，5，6，7，8…100，101，102100，101，102，103，104，105…197，198，199第五講倒推法的妙用在分析應(yīng)用題的過(guò)程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所表達(dá)應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.例1一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說(shuō)：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來(lái).如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的表達(dá)過(guò)程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？把一個(gè)數(shù)用□來(lái)表示，根據(jù)題目條件可得到這樣的等式：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56［〔□－8〕＋10〕÷7＝56÷4答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是96分.通過(guò)以上例題說(shuō)明，用倒推法解題時(shí)要注意：①?gòu)慕Y(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過(guò)程中，每一步運(yùn)算都是原來(lái)運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111－〔70—10〕＋〔7—1〕＝57答：正確的答案是57.例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來(lái)每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等〞入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16〔只〕.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來(lái)的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10〔只〕.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14〔只〕.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24〔只〕，使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16〔只〕②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24〔只〕③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6—8＝14〔只〕④—6＝10〔只〕答：第一、二、三棵樹上原來(lái)各落鳥24只、14只和10只.例4籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？分析依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個(gè)〕答：籃子里原有梨22個(gè).例5甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來(lái)，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？“〞.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油15×2－14＝16〔千克〕.又“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油〞及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍〞.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16〔千克〕②乙桶油剩多少千克？16÷〔3＋1〕＝4〔千克〕③甲桶油剩多少千克？4×3＝12〔千克〕用倒推法畫圖如下：④從甲桶賣出油多少千克？15-11＝4〔千克〕⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10〔千克〕答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.例6菜站原有冬貯大白菜假設(shè)干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運(yùn)進(jìn)200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？分析解題時(shí)用倒推法進(jìn)行分析.根據(jù)題目的條件畫線段圖〔見以下圖〕，使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來(lái).解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600〔千克〕②第二天運(yùn)進(jìn)200千克后的一半是多少千克？600＋30＝630〔千克〕③第二天運(yùn)進(jìn)200千克后有白菜多少千克？630×2＝1260〔千克〕④原來(lái)的一半是多少千克？1260—200＝1060〔千克〕⑤原有貯存多少千克？1060×2＝2120〔千克〕答：菜站原來(lái)貯存大白菜2120千克.綜合算式：［〔1800÷3＋30〕×2—200］×2＝2120〔千克〕答：菜站原有冬貯大白菜2120千克.習(xí)題五1.某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).2.生產(chǎn)一批零件共560個(gè)，師徒二人合作用4天做完.師傅每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個(gè)？3.有磚26塊，兄弟二人爭(zhēng)著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過(guò)一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時(shí)哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準(zhǔn)備挑幾塊磚？4.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說(shuō)：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。〞你知道阿凡提一共帶了多少錢？買魚用了多少錢？第六講行程問題〔一〕我們把研究路程、速度、時(shí)間以及這三者之間關(guān)系的一類問題，總稱為行程問題.在對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些簡(jiǎn)單的行程應(yīng)用題，并且已經(jīng)了解到：上述三個(gè)量之間存在這樣的根本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間.因此，在這一講中，我們將在前面學(xué)習(xí)的根底上，主要來(lái)研究行程問題中較為復(fù)雜的一類問題——反向運(yùn)動(dòng)問題，也即在同一道路上的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作方向相反的運(yùn)動(dòng)的問題.它又包括相遇問題和相背問題.所謂相遇問題，指的就是上述兩個(gè)物體以不同的點(diǎn)作為起點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)的問題；所謂相背問題，指的就是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體以同一點(diǎn)作為起點(diǎn)作背向運(yùn)動(dòng)的問題，下面，我們來(lái)具體看幾個(gè)例子.例1甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？分析出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮短6＋4＝10〔千米〕，即兩人的速度的和〔簡(jiǎn)稱速度和〕，所以30千米里有幾個(gè)10千米就是幾小時(shí)相遇.解：30÷〔6＋4〕＝30÷10＝3〔小時(shí)〕答：3小時(shí)后兩人相遇.例1是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)根本數(shù)量關(guān)系：路程＝速度和×?xí)r間.例2一列貨車早晨6時(shí)從甲地開往乙地，平均每小時(shí)行45千米，一列客車從乙地開往甲地，平均每小時(shí)比貨車快15千米，客車比貨車遲發(fā)2小時(shí)，中午12時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過(guò)途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？分析貨車每小時(shí)行45千米，客車每小時(shí)比貨車快15千米，所以，客車速度為每小時(shí)〔45＋15〕千米；中午12點(diǎn)兩車相遇時(shí)，貨車已行了〔12—6〕小時(shí)，而客車已行〔12—6－2〕小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來(lái)求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：①甲、乙兩地之間的距離是：45×〔12—6〕＋〔45＋15〕×〔12—6—2〕＝45×6＋60×4＝510〔千米〕.②客車行完全程所需的時(shí)間是：510÷〔45＋15〕＝510÷60＝8.5〔小時(shí)〕.③客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：510—45×〔8.5＋2〕＝37.5〔千米〕.答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米.例3兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36千米，乙車每小時(shí)行54千米.兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過(guò)他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過(guò)他的車窗共用了14秒，求乙車的車長(zhǎng).分析首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000÷3600＝10〔米〕，乙車的速度是每秒鐘54000÷3600＝15〔米〕.此題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看作是甲車乘客以每秒鐘10米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)那么可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)，因此，我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程即可：從乙車車頭經(jīng)過(guò)甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起，乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng)14秒，每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大〔10＋15〕米，因此，14秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為〔10＋15〕×14＝350〔米〕.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄玻?，乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長(zhǎng)度，即：乙車車長(zhǎng)就等于甲、乙兩車在14秒內(nèi)所走的路程之和.解：〔10＋15〕×14＝350〔米〕答：乙車的車長(zhǎng)為350米.我們也可以把例3稱為一個(gè)相背運(yùn)動(dòng)問題，對(duì)于相背問題而言，相遇問題中的根本關(guān)系仍然成立.例4甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少千米？分析甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了64千米，從上圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了3個(gè)AB全程，因此，我們可以理解為乙車共走了3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè)48千米后，正好等于一個(gè)AB全程.解：①AB間的距離是64×3－48＝192－48＝144〔千米〕.②兩次相遇點(diǎn)的距離為144—48－64＝32〔千米〕.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例5甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲騎車，乙步行，在行走過(guò)程中，甲的車發(fā)生故障，修車用了1小時(shí).在出發(fā)4小時(shí)后，甲、乙二人相遇，又甲的速度為乙的2倍，且相遇時(shí)甲的車已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？分析甲的速度為乙的2倍，因此，乙走4小時(shí)的路，甲只要2小時(shí)就可以了，因此，甲走100千米所需的時(shí)間為〔4—1＋4÷2〕＝5小時(shí).這樣就可求出甲的速度.解：甲的速度為：100÷〔4－1＋4÷2〕＝10O÷5＝20〔千米/小時(shí)〕.乙的速度為：20÷2＝10〔千米/小時(shí)〕.答：甲的速度為20千米/小時(shí)，乙的速度為10千米/小時(shí).例6某列車通過(guò)250米長(zhǎng)的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，假設(shè)該列車與另一列長(zhǎng)150米.時(shí)速為72千米的列車相遇，錯(cuò)車而過(guò)需要幾秒鐘？分析解這類應(yīng)用題，首先應(yīng)明確幾個(gè)概念：列車通過(guò)隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過(guò)程中列車所走的路程等于車長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)；兩車相遇，錯(cuò)車而過(guò)指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長(zhǎng)之和.因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長(zhǎng)之和除以速度之和.列車通過(guò)250米的隧道用25秒，通過(guò)210米長(zhǎng)的隧道用23秒，所以列車行駛的路程為〔250—210〕米時(shí)，所用的時(shí)間為〔25—23〕秒.由此可求得列車的車速為〔250—210〕÷〔25—23〕＝20〔米/秒〕.再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車長(zhǎng)，因此，這個(gè)列車的車長(zhǎng)為20×25—250＝250〔米〕，從而可求出錯(cuò)車時(shí)間.解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72千米，所以，它的速度為：72000÷3600＝20〔米/秒〕，某列車的速度為：〔25O－210〕÷〔25－23〕＝40÷2＝20〔米/秒〕某列車的車長(zhǎng)為：20×25-250＝500-250＝250〔米〕，兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：〔250＋150〕÷〔20＋20〕＝400÷40＝10〔秒〕.答：錯(cuò)車時(shí)間為10秒.例7甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來(lái)的卡車分別在它們出發(fā)后的5小時(shí).6小時(shí)，8小時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相遇，求丙車的速度.分析甲車每小時(shí)比乙車快60-48＝12〔千米〕.那么5小時(shí)后，甲比乙多走的路程為12×5＝60〔千米〕.也即在卡車與甲相遇時(shí)，卡車與乙的距離為60千米，又因?yàn)榭ㄜ嚺c乙在卡車與甲相遇的6-5＝1小時(shí)后相遇，所以，可求出卡車的速度為60÷1-48＝12〔千米/小時(shí)〕卡車在與甲相遇后，再走8-5＝3〔小時(shí)〕才能與丙相遇，而此時(shí)丙已走了8個(gè)小時(shí)，因此，卡車3小時(shí)所走的路程與丙8小時(shí)所走的路程之和就等于甲5小時(shí)所走的路程.由此，丙的速度也可求得，應(yīng)為：〔60×5-12×3〕÷8＝33〔千米/小時(shí)〕.解：卡車的速度：〔60-48〕×5÷〔6－5〕－48＝12〔千米/小時(shí)〕，丙車的速度：〔60×5－12×3〕÷8＝33〔千米/小時(shí)〕，答：丙車的速度為每小時(shí)33千米.注：在本講中出現(xiàn)的“米/秒〞、“千米/小時(shí)〞等都是速度單位，如5米/秒表示為每秒鐘走5米.習(xí)題六1.甲、乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需6小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相遇？2.東、西鎮(zhèn)相距45千米，甲、乙二人分別從兩鎮(zhèn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲比乙每小時(shí)多行1千米，5小時(shí)后兩人相遇，問兩人的速度各是多少？3.甲、乙二人以均勻的速度分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們第一次相遇地點(diǎn)離A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離.4.甲、乙二人從相距100千米的A、B兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)1小時(shí).他們二人在乙出后的4小時(shí)相遇，又甲比乙每小時(shí)快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長(zhǎng)是280米，慢車的車長(zhǎng)為385米，坐在快車上的人看見慢車駛過(guò)的時(shí)間是11秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過(guò)的時(shí)間是多少？6.前進(jìn)鋼鐵廠用兩輛汽車從距工廠90千米的礦山運(yùn)礦石，現(xiàn)有甲、乙兩輛汽車，甲車自礦山，乙車自鋼鐵廠同時(shí)出發(fā)相向而行，速度分別為每小時(shí)40千米和50千米，到達(dá)目的地后立即返回，如此反復(fù)運(yùn)行屢次，如果不計(jì)裝卸時(shí)間，且兩車不作任何停留，那么兩車在第三次相遇時(shí)，距礦山多少千米？第七講幾何中的計(jì)數(shù)問題〔一〕幾何中的計(jì)數(shù)問題包括：數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長(zhǎng)方形、數(shù)正方形、數(shù)三角形、數(shù)綜合圖形等.通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)，可以幫助我們養(yǎng)成按照一定順序去觀察、思考問題的良好習(xí)慣，逐步學(xué)會(huì)通過(guò)觀察、思考探尋事物規(guī)律的能力.一、數(shù)線段我們把直線上兩點(diǎn)間的局部稱為線段，這兩個(gè)點(diǎn)稱為線段的端點(diǎn).線段是組成三角形、正方形、長(zhǎng)方形、多邊形等最根本的元素.因此，觀察圖形中的線段，探尋線段與線段之間、線段與其他圖形之間的聯(lián)系，對(duì)于了解圖形、分析圖形是很重要的.例1數(shù)一數(shù)以下圖形中各有多少條線段.分析要想使數(shù)出的每一個(gè)圖形中線段的總條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無(wú)章、毫無(wú)頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：按照線段的端點(diǎn)順序去數(shù)，如上圖〔1〕中，線段最左邊的端點(diǎn)是A，即以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC兩條以B為左端點(diǎn)的線段有BC一條，所以上圖〔1〕中共有線段2＋1＝3條.同樣按照從左至右的順序觀察圖〔2〕中，以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點(diǎn)的線段有BC、BD兩條，以C為左端點(diǎn)的線段有CD一條.所以上頁(yè)圖〔2〕中共有線段為3＋2＋1＝6條.第二種：按照根本線段多少的順序去數(shù).所謂根本線段是指一條大線段中假設(shè)有n個(gè)分點(diǎn)，那么這條大線段就被這n個(gè)分點(diǎn)分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為根本線段.如上頁(yè)圖〔2〕中，線段AD上有兩個(gè)分點(diǎn)B、C，這時(shí)分點(diǎn)B、C把AD分成AB、BC、CD三條根本線段，那么線段AD總共有多少條線段？首先有三條根本線段，其次是包含有二條根本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條根本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁(yè)圖〔3〕中線段AE上有三個(gè)分點(diǎn)B、C、D，這樣分點(diǎn)B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條根本線段，那么線段AE上總共有多少條線段？按照根本線段多少的順序是：首先有4條根本線段，其次是包含有二條根本線段的有3條，然后是包含有三條根本線段的有2條，最后是包含有4條根本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.解：①2＋1＝3〔條〕.②3＋2＋1＝6〔條〕.③4＋3＋2＋1＝10〔條〕.小結(jié)：上述三例說(shuō)明：要想不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個(gè)規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開始的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和，這個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點(diǎn)數(shù)加1或者是線段所有點(diǎn)數(shù)〔包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)〕減1.也就是根本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點(diǎn)數(shù)〔包括兩個(gè)端點(diǎn)A、F〕共有6個(gè)，所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是6—1＝5，或者線段AF上的分點(diǎn)有4個(gè)〔B、C、D、E〕.所以從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是4＋1＝5.也就是線段AF上根本線段〔AB、BC、CD、DE、EF〕的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5＋4＋3＋2＋1＝15〔條〕.二、數(shù)角例2數(shù)出右圖中總共有多少個(gè)角.分析在∠AOB內(nèi)有三條角分線OC1、OC2、OC3，∠AOB被這三條角分線分成4個(gè)根本角，那么∠AOB內(nèi)總共有多少個(gè)角呢？首先有這4個(gè)根本角，其次是包含有2個(gè)根本角組成的角有3個(gè)〔即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB〕，然后是包含有3個(gè)根本角組成的角有2個(gè)〔即∠AOC3、∠C1OB〕，最后是包含有4個(gè)根本角組成的角有1個(gè)〔即∠AOB〕，所以∠AOB內(nèi)總共有角：4＋3＋2＋1＝10〔個(gè)〕.解：4＋3＋2＋1＝10〔個(gè)〕.小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來(lái)數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，這個(gè)和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加1，也就是根本角的個(gè)數(shù).例3數(shù)一數(shù)右圖中總共有多少個(gè)角？解：因?yàn)椤螦OB內(nèi)角分線OC1、OC2…OC9共有9條，即9+1=10個(gè)根本角.所以總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55〔個(gè)〕.三、數(shù)三角形例4如右圖中，各個(gè)圖形內(nèi)各有多少個(gè)三角形？分析可以采用類似例1數(shù)線段的兩種方法來(lái)數(shù)，如圖〔2〕：第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四個(gè)三角形.再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三個(gè)三角形.以AE為一條邊的三角形共有：△AEF、△AEC二個(gè)三角形.最后以AF為一條邊的三角形共有△AFC一個(gè)三角形.所以三角形的個(gè)數(shù)總共有4+3+2+1=10.第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四個(gè)三角形.再數(shù)由兩個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三個(gè)三角形，以三個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二個(gè)三角形，最后數(shù)以四個(gè)小三角形組合在一起的只有△ABC一個(gè).所以圖中三角形的個(gè)數(shù)總共有：4+3+2+1=10〔個(gè)〕.解：①3+2+1=6〔個(gè)〕②4+3+2+1=10〔個(gè)〕.答：圖〔1〕及圖〔2〕中各有三角形分別是6個(gè)和10個(gè).小結(jié)：計(jì)算三角形的總數(shù)也等于從1開始的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點(diǎn)數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的根本線段的條數(shù).例5如右圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個(gè)三角形？分析在數(shù)的過(guò)程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？怎么數(shù)？這樣兩個(gè)問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中根本線段〔根本三角形〕的條數(shù)，算：就是以根本線段〔根本三角形〕條數(shù)為最大加數(shù)的從1開始的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和.①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個(gè)分點(diǎn)，各分成3條根本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個(gè)分點(diǎn)，各分成4條根本線段.所以圖中總共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕.②要數(shù)有多少個(gè)三角形，先看在△△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔個(gè)〕.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在△ABC中三角形個(gè)數(shù)總共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個(gè)〕.解：①在△ABC中共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個(gè)〕.例6如右圖中，共有多少個(gè)角？分析此題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決.∠1、∠2、∠3、∠4我們可視為4個(gè)根本角，由2個(gè)根本角組成的有：∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠4與∠1，共4個(gè)角.由3個(gè)根本角組成的角有：∠1、∠2與∠3；∠2、∠3與∠4；∠3、∠4與∠1；∠4、∠1與∠2，共4個(gè)角，由4個(gè)根本角組成的角只有一個(gè).所以圖中總共有角是：4×3+1=13〔個(gè)〕.解：所以圖中共有角是：4×3+1=13〔個(gè)〕.小結(jié)：由此題可以推出一般情況：假設(shè)周角中含有n個(gè)根本角，那么它上面角的總數(shù)是n〔n-1〕+1.習(xí)題七1.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段？2.數(shù)一數(shù)以下圖中各有多少角？3.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段？4.數(shù)一數(shù)以下圖中，各有多少條線段，各有多少個(gè)三角形？第八講幾何中的計(jì)數(shù)問題〔二〕我們?cè)谝呀?jīng)學(xué)會(huì)數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的根底上，通過(guò)本講學(xué)習(xí)數(shù)長(zhǎng)方形，正方形及數(shù)綜合圖形來(lái)進(jìn)一步提高觀察和思考問題的能力，學(xué)會(huì)在觀察、思考、分析中總結(jié)歸納出解決問題的規(guī)律和方法.一、數(shù)長(zhǎng)方形例1如以下圖，數(shù)一數(shù)以下各圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)？分析圖〔Ⅰ〕中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)與AB邊上所分成的線段的條數(shù)有關(guān)，每一條線段對(duì)應(yīng)一個(gè)長(zhǎng)方形，所以長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)等于AB邊上線段的條數(shù)，即長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：4+3+2+1=10〔個(gè)〕.圖〔Ⅱ〕中AB邊上共有線段4+3+2+1=10條.BC邊上共有線段：2+1=3〔條〕，把AB上的每一條線段作為長(zhǎng)，BC邊上每一條線段作為寬，每一個(gè)長(zhǎng)配一個(gè)寬，就組成一個(gè)長(zhǎng)方形，所以圖〔Ⅱ〕中共有長(zhǎng)方形為：〔4+3+2+1〕×〔2+1〕=10×3=30〔個(gè)〕.圖〔Ⅲ〕中，依據(jù)計(jì)算圖〔Ⅱ〕中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的方法：可得長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=60〔個(gè)〕.解：圖〔Ⅰ〕中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為4+3+2+1=10〔個(gè)〕.圖〔Ⅱ〕中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔2+1〕=10×3=30〔個(gè)〕.圖〔Ⅲ〕中長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為：〔4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=10×6=60〔個(gè)〕.小結(jié)：一般情況下，如果有類似圖Ⅲ的任一個(gè)長(zhǎng)方形一邊上有n-1個(gè)分點(diǎn)〔不包括這條邊的兩個(gè)端點(diǎn)〕，另一邊上有m-1個(gè)分點(diǎn)〔不包括這條邊上的兩個(gè)端點(diǎn)〕，通過(guò)這些點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線且與另一邊相交，這兩組平行線將長(zhǎng)方形分為許多長(zhǎng)方形，這時(shí)長(zhǎng)方形的總數(shù)為：〔1+2+3+…+m〕×〔1+2+3+…+n〕.例2如右圖數(shù)一數(shù)圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù).解：AB邊上分成的線段有：5+4+3+2+1=15.BC邊上分成的線段有：3+2+1=6.所以共有長(zhǎng)方形：〔5+4+3+2+1〕×〔3+2+1〕=15×6=90〔個(gè)〕.二、數(shù)正方形例3數(shù)一數(shù)下頁(yè)各個(gè)圖中所有正方形的個(gè)數(shù).〔每個(gè)小方格為邊長(zhǎng)為1的正方形〕分析圖Ⅰ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4〔個(gè)〕，邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：1×1=1〔個(gè)〕.所以，正方形總數(shù)為1×1+2×2=1+4=5〔個(gè)〕.圖Ⅱ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有3×3=9〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有1×1=1〔個(gè)〕.所以，正方形的總數(shù)為：1×1+2×2+3×3=14〔個(gè)〕.圖Ⅲ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：4×4=16〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：3×3=9〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為4個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：1×1=1〔個(gè)〕；所以，正方形的總數(shù)為：1×1+2×2+3×3+4×4=30〔個(gè)〕.圖Ⅳ中，邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：5×5=25〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：4×4=16〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為3個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：3×3=9〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為4個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：2×2=4〔個(gè)〕；邊長(zhǎng)為5個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有：1×1=1〔個(gè)〕.所有正方形個(gè)數(shù)為：1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55〔個(gè)〕.小結(jié)：一般地，如果類似圖Ⅳ中，一個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是n個(gè)長(zhǎng)度單位，那么其中邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：n×n=n2〔個(gè)〕，邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：〔n-1〕×〔n-1〕=〔n-1〕2〔個(gè)〕…；邊長(zhǎng)為〔n-1〕個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：2×2=22〔個(gè)〕，邊長(zhǎng)為n個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形個(gè)數(shù)有：1×1=1〔個(gè)〕.所以，這個(gè)大正方形內(nèi)所有正方形總數(shù)為：12+22+32+…+n2〔個(gè)〕.例4如右圖，數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)正方形〔其中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形〕.分析為表達(dá)方便，我們規(guī)定最小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位，又稱為根本線段，圖中共有五類正方形.①以一條根本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：6×5=30〔個(gè)〕.②以二條根本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：5×4=20〔個(gè)〕.③以三條根本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：4×3=12〔個(gè)〕.④以四條根本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：3×2=6〔個(gè)〕.⑤以五條根本線段為邊的正方形個(gè)數(shù)共有：2×1=2〔個(gè)〕.所以，正方形總數(shù)為：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70〔個(gè)〕.小結(jié)：一般情況下，假設(shè)一長(zhǎng)方形的長(zhǎng)被分成m等份，寬被分成n等份，〔長(zhǎng)和寬上的每一份是相等的〕那么正方形的總數(shù)為〔n＜m〕：mn+〔m-1〕〔n-1〕+〔m-2〕〔n-2〕+…+〔m-n+1〕·1顯然例4是結(jié)論的特殊情況.例5如以下圖，平面上有16個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)上都釘上釘子，形成4×4的正方形釘陣，現(xiàn)有許多皮筋，問能套出多少個(gè)正方形.分析這個(gè)問題與前面數(shù)正方形的個(gè)數(shù)是不同的，因?yàn)檎叫蔚倪叢皇窍犬嫼玫?，而是要我們?nèi)ゴ_定的，所以如何確定正方形的邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)，這是我們首先要思考的問題.很明顯，我們能圍成上圖Ⅰ那樣正向正方形14個(gè)，除此之外我們還能圍出圖Ⅱ那樣斜向正方形4個(gè)，圖Ⅲ那樣斜向正方形2個(gè).但我們不可能再圍出比它們更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6個(gè)，總共可以圍出正方形有：14+6=20〔個(gè)〕.我們把上述結(jié)果列表分析可知，對(duì)于n×n個(gè)頂點(diǎn)，三、數(shù)三角形例6如右圖，數(shù)一數(shù)圖中三角形的個(gè)數(shù).分析這樣的圖形只能分類數(shù)，可以采用類似數(shù)正方形的方法，從邊長(zhǎng)為一條根本線段的最小三角形開始.Ⅰ.以一條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有四層，它們的總數(shù)為：W①上=1+2+3+4=10〔個(gè)〕.②尖朝下的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W①下=1+2+3=6〔個(gè)〕.Ⅱ.以兩條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有三層，它們的總數(shù)為：W②上=1+2+3=6〔個(gè)〕.②尖朝下的三角形只有一個(gè)，記為W②下=1〔個(gè)〕.Ⅲ.以三條根本線段為邊的三角形：①尖朝上的三角形共有二層，它們的總數(shù)為：W③上=1+2=3〔個(gè)〕.②尖朝下的三角形零個(gè)，記為W③下=0〔個(gè)〕.Ⅳ.以四條根本線段為邊的三角形，只有一個(gè)，記為：W④上=1〔個(gè)〕.所以三角形的總數(shù)是10+6+6+1+3+1=27〔個(gè)〕.我們還可以按另一種分類情況計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)，即按尖朝上與尖朝下的三角形的兩種分類情況計(jì)算三角形個(gè)數(shù).Ⅰ.尖朝上的三角形共有四種：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20〔個(gè)〕.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二種：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0那么尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7〔個(gè)〕所以，尖朝上與尖朝下的三角形一共有：20+7=27〔個(gè)〕.小結(jié)：尖朝上的三角形共有四種.每一種尖朝上的三角形個(gè)數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的根本線段的條數(shù)，依次各個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個(gè)最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個(gè)數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個(gè)和恰是尖朝上的第二個(gè)和，依次各個(gè)和都比上一個(gè)和少最大的兩個(gè)加數(shù)，以此類推直到零為止.例7頁(yè)圖數(shù)一數(shù)圖中有多少個(gè)三角形.解：參考例6所總結(jié)的規(guī)律把圖中三角形分成尖朝上和尖朝下的兩類：Ⅰ.尖朝上的三角形有五種：〔1〕W①上=8+7+6+5+4=30〔2〕W②上=7+6+5+4=22〔3〕W③上=6+5+4=15〔4〕W④上=5+4=9〔5〕W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80〔個(gè)〕.Ⅱ.尖朝下的三角形有四種：〔1〕W①下=3+4+5+6+7=25〔2〕W②下=2+3+4+5=14〔3〕W③下=1+2+3=6〔4〕W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46〔個(gè)〕.∴所以尖朝上與尖朝下的三角形總共有80+46=126〔個(gè)〕.四、數(shù)綜合圖形前面我們已對(duì)較根本、簡(jiǎn)單的圖形的數(shù)法作了較系統(tǒng)的研究，尋找到了一般規(guī)律.而對(duì)于較復(fù)雜的圖形即綜合圖形的數(shù)法，我們?nèi)孕枳裱恢貜?fù)、不遺漏的原那么，采用能按規(guī)律數(shù)的，按規(guī)律數(shù)，能按分類數(shù)的就按分類數(shù)，或者兩者結(jié)合起來(lái)就一定能把圖形數(shù)清楚了.例7頁(yè)圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形.分析圖中有假設(shè)干個(gè)大小不同、形狀各異但有規(guī)律的三角形.因此適合分類來(lái)數(shù).首先要找出三角形的不同的種類？每種相同的三角形各有多少個(gè)？解：根據(jù)圖中三角形的形狀和大小分為六類：Ⅰ.與△ABE相同的三角形共有5個(gè)；Ⅱ.與△ABP相同的三角形共有10個(gè)；Ⅲ.與△ABF相同的三角形共有5個(gè)；Ⅳ.與△AFP相同的三角形共有5個(gè)；Ⅴ.與△ACD相同的三角形共有5個(gè)；Ⅵ.與△AGD相同的三角形共有5個(gè).所以圖中共有三角形為5+10+5+5+5+5=35〔個(gè)〕.例8圖，數(shù)一數(shù)圖中一共有多少個(gè)三角形？分析這是個(gè)對(duì)稱圖形，我們可按如下三步順序來(lái)數(shù)：第一步：大矩形ABCD可分為四個(gè)相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每個(gè)小矩形內(nèi)所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第二步：每?jī)蓚€(gè)小矩形組合成的圖形共有四個(gè)，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.第三步：每三個(gè)小矩形占據(jù)的局部圖形共有四個(gè)：如△ABD、△ADC、△ABC、△DBC，每一個(gè)這樣的圖形中所包含的三角形個(gè)數(shù)是相同的.最后把每一步中每個(gè)圖形所包含三角形個(gè)數(shù)求出相加再乘以4就是整個(gè)圖形中所包含的三角形的個(gè)數(shù).解：Ⅰ.在小矩形AEOH中：①由一個(gè)三角形構(gòu)成的有8個(gè).②由兩個(gè)三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).③由三個(gè)或三個(gè)以上三角形構(gòu)成的三角形有5個(gè).這樣在一個(gè)小矩形內(nèi)有17個(gè)三角形.Ⅱ.在由兩個(gè)小矩形組合成的圖形中，如矩形AEGD，共有5個(gè)三角形.Ⅲ.由三個(gè)小矩形占據(jù)的局部圖形中，如△ABC，共有2個(gè)三角形.所以整個(gè)圖形共有三角形個(gè)數(shù)是：〔8+5+5+5+2〕×=25×4=100〔個(gè)〕.習(xí)題八1.以下圖中有多少個(gè)正方形？2.以下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？3.以下圖中有多少個(gè)三角形？4.以下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？5.以下圖〔1〕、〔2〕中各有多少個(gè)三角形？6.以下圖中有多少個(gè)三角形？7.以下圖中有多少個(gè)三角形？8.以下圖中有多少個(gè)正方形？9.以下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方體？第九講圖形的剪拼〔一〕把一個(gè)幾何圖形剪成幾塊形狀相同的圖形，或是把一個(gè)幾何圖形剪開后拼成另一種滿足某種條件的圖形，完成這樣的圖形剪拼，需要考慮圖形剪開后各局部的形狀、大小以及它們之間的位置關(guān)系.例1如右圖所示是由三個(gè)正方形組成的圖形，請(qǐng)把它分成大小、形狀都相同的四個(gè)圖形？圖形，于是我們就有了如圖〔2〕的分法.仿照例1的分法我們把如右圖這樣由五個(gè)正方形組成的圖形，分成四塊正方形，那么可把每個(gè)正方形分成四個(gè)面積相等的小正方形，每塊圖形應(yīng)有五個(gè)這樣的小正方形，如右圖所示.例2把一個(gè)等邊三角形分別分成8塊和9塊形狀、大小都一樣的三角形.分析分成8塊的方法是：先取各邊的中點(diǎn)并把它們連接起來(lái)，得到4個(gè)大小、形狀相同的三角形，然后再把每一個(gè)三角形分成一半，得到如下左圖所示的圖形.分成9塊的方法是：先把每邊三等分，然后再把分點(diǎn)彼此連接起來(lái)，得到加上右圖所示的符合條件的圖形.例3長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形狀都相同的兩塊，并使它們拼成一個(gè)正方形.分析長(zhǎng)方形面積9×4=36〔平方厘米〕，所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為6厘米，因此可以把長(zhǎng)方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的兩塊，合起來(lái)正好拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為6厘米的正方形，如下右圖.例4把一個(gè)正方形分成8塊，再把它們拼成一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形，使這個(gè)正方形和長(zhǎng)方形的面積相等.分析連接正方形的對(duì)角線，把正方形分成了4個(gè)相等的等腰直角三角形，再連接各腰中點(diǎn)，又把它們分成4個(gè)小等腰直角三角形和4個(gè)等腰梯形.〔如下頁(yè)圖〔1〕所示〕出于分成正方形、長(zhǎng)方形面積相等的要求考慮：分別取出兩個(gè)小等腰直角三角形和兩個(gè)梯形，就能一一拼出所要求的正方形和長(zhǎng)方形了〔如圖〔2〕、〔3〕所示〕.除這種方法外，還有多種拼接方法.例5在下左圖中畫5條線，把小圓圈分開，并使每塊大小、形狀都相等.分析因?yàn)閳D中有8個(gè)小圓圈，畫5條線把圖形應(yīng)分成8塊，根據(jù)小圓圈的分布特點(diǎn)，分法如以下圖〔右〕所示.例6把以下圖中兩個(gè)圖形中的某一個(gè)分成三塊，最后都拼在一起，使它們成為一個(gè)正方形.分析不管分其中的哪一塊，最后拼得正方形的面積與圖中兩塊面積和相等，甲面積=10×5=50平方厘米；乙面積=10×7-〔7-2〕×4=70-20=50平方厘米.所以甲面積+乙面積=50+50=100平方厘米，也就是最后拼得正方形的邊長(zhǎng)為10厘米.甲、乙兩圖形各有一邊是10厘米，可視為正方形的一條邊，然后把乙剪成三塊〔如以下圖所示〕拼成的正方形，即可.當(dāng)然，除這種拼湊的方法之外，還有其他多種方法，同學(xué)們可自行構(gòu)思、設(shè)計(jì).例7如下左圖將其切成3塊，使之拼成一個(gè)正方形.分析原圖形面積是32，所以拼成正方形的面積也應(yīng)是32，即正方形邊長(zhǎng)，如下右圖所示，切成甲、乙、丙3塊，甲拼到甲′位置，乙拼到乙′位置，這樣甲′、乙′、丙便構(gòu)成一個(gè)正方形.例8如下左圖所示，這是一張十字形紙片，它是由五個(gè)全等正方形組成，試沿一直線將它剪成兩片，然后再沿另一直線將其中一片剪成