高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的合作探究案例分析

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的合作探究案例分析

蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“人的內(nèi)心有一種根深蒂固的需要，人們總

想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者?！笨梢?jiàn)，學(xué)生都有著發(fā)現(xiàn)、

探究知識(shí)并獲得成功的強(qiáng)烈愿望。因此，一次高效的課堂探究活動(dòng)，

在激發(fā)學(xué)生的思維、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力方面，具有不可估量的作用。

那么，如何讓學(xué)生在課堂的有限時(shí)間內(nèi)完成對(duì)問(wèn)題的深入探究？如何

讓不同層面的學(xué)生都積極參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)？這就要求教師能夠

精心地設(shè)計(jì)問(wèn)題，充分考慮提出問(wèn)題的時(shí)機(jī)，讓各小組的學(xué)生之間能

有合作和分享，在學(xué)生交流、互動(dòng)的過(guò)程中教師能進(jìn)行必要的點(diǎn)撥，

把握好探究的方向和節(jié)奏，對(duì)于課堂生成教師能做到機(jī)智應(yīng)對(duì)。筆者

在2012年12月份參加了第八屆“名師之路”大型教研活動(dòng)暨南通市

高中高效課堂推進(jìn)會(huì)，對(duì)上課教師的課堂探究活動(dòng)進(jìn)行了認(rèn)真的觀察、

分析，收獲良多，在此，摘選幾個(gè)優(yōu)秀案例，供同行們參考。

一、精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，培養(yǎng)學(xué)生的探究欲望

【案例片段】蘇教版必修5的正弦定理一一對(duì)公式和定理的建構(gòu)

如圖1,RtABC中的邊角關(guān)系：（用邊a,b,c,角A,B,C,外

接圓半徑R表示）

sinA=；sinB=；sinC=.

a=；b=；c=.

如圖2、3,任意ABC中的邊角關(guān)系也可以如此表示嗎？如何證

明？（圖2、3中線段BD和CD是在探究過(guò)程中逐步加上去的）

教師先用投影儀給出第一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生解答，因?yàn)槭窃谑煜さ闹?/p>

角三角形中求解，學(xué)生們很快就得出結(jié)論：?=?=?=2R。接著，教

師給出第二個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生們分組合作探究，筆者觀察了身旁一個(gè)小組

的互動(dòng)情況。

學(xué)生顯得很好奇，探究欲望很強(qiáng)烈，躍躍欲試。

生1：這個(gè)結(jié)論應(yīng)該是成立的，在等邊三角形中顯然成立。

生2：是啊，可怎么證明呢？

師：看能不能把任意三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決。

學(xué)生抬頭看圖1。（沉思）

生3：圖1中有直徑的，這里也作一條直徑試試。

生4：對(duì)?。∵@樣就可以有直角三角形了。（興奮）

學(xué)生開(kāi)始各自動(dòng)手作圖、研究、討論，得出這個(gè)問(wèn)題的證明方法，

互相交流并完善，然后由小組代表交給教師，教師再用實(shí)物投影儀展

示其中寫(xiě)得較好的幾組作品并做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，最后用投影儀給出這個(gè)

問(wèn)題的證明過(guò)程如下：

證明：不妨設(shè)NA為最大角。

（1）若NA為直角（圖1）,我們已經(jīng)證得結(jié)論成立。

（2）若NA為銳角（圖2）,作ABC的外接圓圓0,作直徑BD交

圓0于D,連結(jié)CDo因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角，所以NBCD=90°,

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，所以ND=NA,所以?=?=BD（直徑）

=2RO同理可得?=2R,所以?=?=?=2R

(3)若NA為鈍角(圖3),作ABC的外接圓圓0,作直徑BD交

圓。于D,連結(jié)CD。因?yàn)镹D=180°-ZA,所以?=?=?=2R,同理可

得?=2R,所以?=?=?=2R。

由(1)(2)(3)知，結(jié)論成立。

狄更斯說(shuō)過(guò)：”教學(xué)的藝術(shù)全在于如何恰當(dāng)?shù)靥岢鰡?wèn)題和巧妙

地引導(dǎo)學(xué)生作答?！痹谠摪咐校處煕](méi)有照搬教材上的設(shè)計(jì)引入正

弦定理，也沒(méi)有按照教材上的兩種證法給出證明，而是在習(xí)題的基礎(chǔ)

上精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，體現(xiàn)了教師獨(dú)具匠心的

一面。首先，在直角三角形這個(gè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”上建構(gòu)新知,

能有效地激發(fā)學(xué)生的思維，自然地喚起學(xué)生的探究欲望。其次，教師

通過(guò)三角形的外接圓，引領(lǐng)學(xué)生把任意三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形

問(wèn)題，這不僅提高了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且讓學(xué)生從

一開(kāi)始就充分認(rèn)識(shí)到正弦定理中的比值是三角形外接圓的直徑，這樣

有助于學(xué)生更全面、更深刻地理解定理和公式。教材上的兩種證法因

為沒(méi)有引入外接圓，故沒(méi)有明確比值為直徑，雖然在后面的習(xí)題中有

所補(bǔ)充，但總有些“相見(jiàn)恨晚”的感覺(jué)。尤其是證法2利用了向量的

數(shù)量積公式，方法雖好但門(mén)檻較高，筆者認(rèn)為這種方法更適合課堂講

授或者課外探究。

二、設(shè)計(jì)課堂有效對(duì)話，引領(lǐng)學(xué)生深入探究

【案例片段】蘇教版選修2-1的空間角的計(jì)算一一對(duì)用向量法求

二面角的進(jìn)一步探究

如圖4,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大

小。

學(xué)生通過(guò)計(jì)算分別得到了平面A1BD的法向量nl和平面C1BD的

法向量n2的坐標(biāo)，由于選取法向量方向的不同，在求cos時(shí)出現(xiàn)了

兩個(gè)不同的結(jié)果■和-■,而二面角Al-BD-C1的余弦值是唯一的，應(yīng)

如何取舍呢？

師：根據(jù)圖形可知，二面角A1-BD-C1的余弦值為（書(shū)本上

的做法）

同學(xué)們開(kāi)始議論起來(lái)，表示有異議。

生1：為什么不是-■呢？圖形上不好確定該二面角的平面角是

鈍角還是銳角。

師：說(shuō)得好，你很有想法，那有什么好的方法可以解決這個(gè)問(wèn)

題呢？

學(xué)生沉思。

生2：先確定兩個(gè)法向量的方向。

師：好的，大家畫(huà)一下二面角半平面法向量的所有情況，先獨(dú)

立思考，再分組研究，尋找規(guī)律。

全體學(xué)生開(kāi)始動(dòng)手畫(huà)圖，獨(dú)立思考后把自己的想法和小組的同伴

交流、分享。

生3：當(dāng)兩個(gè)法向量的方向同時(shí)指向半平面或同時(shí)離開(kāi)半平面時(shí),

平面角和法向量的夾角互補(bǔ)；當(dāng)其中一個(gè)法向量指向半平面，另一個(gè)

法向量離開(kāi)半平面時(shí)，平面角和法向量的夾角相等。

師：分析得好，能否用更簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述這個(gè)規(guī)律呢?

生4：同進(jìn)同離則補(bǔ)，一進(jìn)一離則等。

生5：我有更簡(jiǎn)潔的：同則補(bǔ)，異則等。(學(xué)生熱列鼓掌)

德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)過(guò)：”教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在

于激勵(lì)、喚醒和鼓舞。”在該案例中，教師沒(méi)有把結(jié)論直接告訴學(xué)生，

而是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的師生對(duì)話，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，激起學(xué)生生動(dòng)、

活潑的思考，激勵(lì)學(xué)生通過(guò)自己的能力探究和解決問(wèn)題，學(xué)生最終突

破難點(diǎn)，獲得了成功。

三、引入科學(xué)評(píng)價(jià)，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課一一對(duì)高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是.

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：2x+y+6=xy,y=?，而y>0,■>(),即x>l,故xT>0,

xy=x-?=2(x-1)+?+10N18,當(dāng)且僅當(dāng)2(xT)=■即x=3時(shí)取

等號(hào).

xy的最小值為18.

方法二：x,y為正數(shù)，2x+y22,，又2x+y+6=xy,xy》2?+6,

即(■)2-2??-620xy218.xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t,則2x+y=t-6,2x,y是方程u2-(t-6)

u+2t=0的兩個(gè)正根.從而由=(t-6)■-8t202x+y=t-6>02xy=2t>0

同時(shí)成立得t118.xy的最小值為18.

師：請(qǐng)同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來(lái)源。

各小組同學(xué)展開(kāi)熱烈討論。

生1:這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來(lái)解決問(wèn)題。

生2：解決不等式問(wèn)題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問(wèn)題需要方程、

不等式的幫助。

師：說(shuō)得很不錯(cuò)，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟"，我

們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化難為易、化

繁為簡(jiǎn)。

師：同學(xué)們?cè)趧偛藕献鹘涣鞯倪^(guò)程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請(qǐng)

同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評(píng)一下對(duì)方。

生3：你在別人發(fā)言時(shí)能認(rèn)真傾聽(tīng)；在交流時(shí)，把自己的想法和

知道的信息都說(shuō)出來(lái)，而且在合作交流的過(guò)程中你都在積極思考問(wèn)題,

值得我們學(xué)習(xí)。

生4：你對(duì)問(wèn)題有獨(dú)到的見(jiàn)解，大家體會(huì)到了你豐厚的知識(shí)、

扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績(jī)，還有你執(zhí)著的精神。