高中數(shù)學(xué)人教版（A版）選擇性必修 第三冊(cè)(2019)-新課標(biāo)數(shù)學(xué)資料 公開(kāi)課教案課件教學(xué)設(shè)計(jì)資料

8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（2課時(shí)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版《普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)》選擇性必修第三

冊(cè)P93頁(yè)"成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性”，通過(guò)研究成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，按照

“先定性，后定量”的邏輯順序，研究?jī)蓚€(gè)變量之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性。

2.內(nèi)容解析

在必修課程中，學(xué)習(xí)了關(guān)于單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)

計(jì)特征的刻畫(huà)等知識(shí)與方法，但是在現(xiàn)實(shí)中，還需要了解兩個(gè)或兩個(gè)

以上變量之間的關(guān)系.通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)研究?jī)蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)

系按照先直觀描述后定量刻畫(huà)的原則.先學(xué)習(xí)通過(guò)散點(diǎn)圖的分布規(guī)律

直觀推斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，借助散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否具有相

關(guān)性，若具有相關(guān)性時(shí)，觀察一個(gè)變量的值增加，另一個(gè)變量的相應(yīng)

值是增加的還是減少的，即能夠分辨兩個(gè)變量之間是正相關(guān)還是負(fù)相

關(guān)，再觀察當(dāng)散點(diǎn)散落在一條直線附近時(shí)兩個(gè)變量成線性相關(guān).最后

通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)定量得刻畫(huà)兩個(gè)變量相關(guān)相關(guān)性的程度.通過(guò)詳細(xì)

呈現(xiàn)樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)建過(guò)程，能夠使學(xué)生更好的理解樣本相關(guān)系數(shù)

的統(tǒng)計(jì)含義.主要蘊(yùn)含了統(tǒng)計(jì)中以樣本估計(jì)總體的思想.

通過(guò)必修中的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了對(duì)單變量的統(tǒng)計(jì)描述、統(tǒng)計(jì)推

斷能力，已經(jīng)初步建立了用樣本估計(jì)總體的思想，同時(shí)具有一定的數(shù)

據(jù)分析能力，能讀懂一些簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)圖表，為后面學(xué)習(xí)如何通過(guò)成對(duì)

樣數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖得到兩變量之間的相關(guān)性奠定了基礎(chǔ).學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)

了函數(shù)、三角函數(shù)和向量，熟悉一元線性函數(shù)的圖像、三角函數(shù)的夾

角以及向量的數(shù)量積，為后續(xù)將樣本相關(guān)系數(shù)改成n維向量的數(shù)量積

的學(xué)習(xí)做了知識(shí)的鋪墊.最后，學(xué)生已完成一定難度的信息技術(shù)的課

程，具有一定的編程的能力，經(jīng)過(guò)老師的示范和指導(dǎo)，能夠理解并快

速上手一些簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)軟件的操作.

3.教學(xué)重點(diǎn)

理解成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系概念，了解相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的

不同.通過(guò)散點(diǎn)圖對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的進(jìn)行定性分析.理解樣本相關(guān)系

數(shù)的相關(guān)概念，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

(1)理解相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)含義，了解相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的不

同，會(huì)通過(guò)散點(diǎn)圖比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系.

(2)結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)

系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，能夠利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)

變量的相關(guān)關(guān)系的程度.

(3)結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)分析多組成對(duì)樣本數(shù)

據(jù)的相關(guān)性情況.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)(1)的標(biāo)志：能例舉身邊的具體事例分析兩變量之間

的相關(guān)關(guān)系，并且根據(jù)實(shí)例說(shuō)出相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)實(shí)含義.通過(guò)對(duì)比相關(guān)

關(guān)系與因果關(guān)系，分辨出相關(guān)關(guān)系不是因果關(guān)系，有相關(guān)關(guān)系不一定

有因果關(guān)系.能通過(guò)觀察成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，正確判斷兩個(gè)變量之間

的是否存在相關(guān)關(guān)系、如有相關(guān)性的話，是線性相關(guān)還是非線性，是

正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：能通過(guò)具體的實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)

的構(gòu)建過(guò)程，能夠正確闡述樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)造思路以及樣本相關(guān)系

數(shù)的公式，理解中心化和標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)處理的意義.能夠?qū)⑾蛄康臄?shù)

量積計(jì)算從二維推廣到〃維，掌握將“標(biāo)準(zhǔn)化”的成對(duì)數(shù)據(jù)拆成兩個(gè)

“維向量，將樣本相關(guān)系數(shù)廠改寫(xiě)成兩個(gè)“維的數(shù)量積，從而通過(guò)運(yùn)算

得到r=cos。，能根據(jù)「的數(shù)值對(duì)兩個(gè)變量的相關(guān)性程度進(jìn)行判斷.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：結(jié)合實(shí)例，先進(jìn)行軟件繪圖散點(diǎn)圖，通過(guò)

散點(diǎn)圖先進(jìn)行定性的兩變量的相關(guān)性分析.對(duì)于樣本量比較少的成對(duì)

樣本數(shù)據(jù)，能正確利用樣本相關(guān)系數(shù)公式對(duì)多組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)

算，獲得樣本相關(guān)系數(shù)，對(duì)于樣本量比較大的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)能夠運(yùn)用

統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算.最后結(jié)合散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)

對(duì)兩變量的相關(guān)性做出分析.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1.問(wèn)題診斷

首先，在相關(guān)關(guān)系的認(rèn)識(shí)中，學(xué)生容易把相關(guān)關(guān)系錯(cuò)誤理解成一

種因果關(guān)系，即一個(gè)變量的變化是由另一個(gè)變量的變化導(dǎo)致的.其實(shí),

相關(guān)關(guān)系只是表明兩個(gè)變量在取值上表現(xiàn)出某種規(guī)律性，并不意味著

兩個(gè)變量之間存在相互影響.

其次，學(xué)生以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，都是從定義出發(fā)使用演繹推理

的方法證明結(jié)論.演繹推理是從一般到特殊的推理，只要前提正確、推

理形式正確，得到的結(jié)論必然正確，具有確定性.而統(tǒng)計(jì)是從樣本數(shù)據(jù)

出發(fā)，是從部分到總體、特殊到一般的推理，即使前提正確并不意味

著得到的結(jié)論一定正確，統(tǒng)計(jì)推斷具有不確定性.學(xué)生難以理解統(tǒng)計(jì)

學(xué)科此特性.

再次，學(xué)生對(duì)樣本相關(guān)系數(shù)的理解容易只停留在公式層面，而不

能理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

最后，在以往的學(xué)習(xí)中由于比較強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)運(yùn)算，導(dǎo)致學(xué)生還未形

成借助信息技術(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的思維和能力.

2.教學(xué)難點(diǎn)

(1)相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的區(qū)別

(2)了解統(tǒng)計(jì)的不完全歸納的不確定性與數(shù)學(xué)的演繹推理的確

定性的不同

(3)樣本相關(guān)系數(shù)的構(gòu)建過(guò)程

(4)借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)計(jì)算

四、教學(xué)支持條件分析

為了幫助學(xué)生更好的體會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是依靠數(shù)據(jù)說(shuō)話的學(xué)科特性，教

師另外又準(zhǔn)備了幾個(gè)實(shí)例,這幾個(gè)實(shí)例的兩變量之間的相關(guān)關(guān)系的正

負(fù)性與學(xué)生憑借經(jīng)驗(yàn)做出的預(yù)判是相反的，可利用信息技術(shù)軟件(如

R語(yǔ)言、Excel等)快捷地發(fā)現(xiàn)憑借經(jīng)驗(yàn)判斷相關(guān)關(guān)系的不足之處.進(jìn)

而自然的引出為了客觀、理性地研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，需要借助

數(shù)據(jù)說(shuō)話，顯示出通過(guò)數(shù)據(jù)研究相關(guān)關(guān)系的必要性.同時(shí)通過(guò)這幾個(gè)實(shí)

例,辨析了相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的不同.整個(gè)過(guò)程突出了統(tǒng)計(jì)通過(guò)數(shù)據(jù)

研究問(wèn)題的學(xué)科特點(diǎn)同時(shí)給學(xué)生滲透了理性思維和科學(xué)精神.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

5.1第一課時(shí)（變量的相關(guān)關(guān)系）

環(huán)節(jié)1:統(tǒng)計(jì)眼光，看待生活

教師先通過(guò)幾個(gè)生活中常見(jiàn)的例子進(jìn)入課堂，例如，根據(jù)學(xué)生以

往的學(xué)習(xí)情況，統(tǒng)計(jì)學(xué)能幫學(xué)生分析是否能考上清華或浙大；抖音會(huì)

通過(guò)分析用戶的瀏覽習(xí)慣分析出用戶的喜好，再推送用戶感興趣的小

視頻；淘寶會(huì)通過(guò)用戶的搜索的關(guān)鍵字和瀏覽路徑，以及停留的時(shí)長(zhǎng)

等用戶習(xí)慣，精準(zhǔn)定位用戶的需求，給用戶推送想要買的商品；負(fù)責(zé)

疫情管控的政府決策者可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)來(lái)判斷疫情的情況，做出是否

需要加大疫情管控力度的決策等.

問(wèn)題1：必修中都學(xué)習(xí)了哪些統(tǒng)計(jì)知識(shí)？

教師通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，幫助學(xué)生快速回憶和梳理必修中學(xué)習(xí)過(guò)得統(tǒng)

計(jì)知識(shí)，主要包括抽取數(shù)據(jù)的基本途徑、隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)圖表、用樣

本估計(jì)總體四大知識(shí)單元。

追問(wèn)1：在你心中，統(tǒng)計(jì)是什么？

教師帶領(lǐng)著學(xué)生自由發(fā)揮，讓大家談?wù)劯髯孕哪恐袑?duì)統(tǒng)計(jì)的理解,

最后給出統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)的學(xué)術(shù)定義，即統(tǒng)計(jì)是收集、處理、分析、解釋

數(shù)據(jù)并且從數(shù)據(jù)中心得到結(jié)論的科學(xué)。帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)據(jù)對(duì)于統(tǒng)計(jì)的

重要性。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)貼近生活有趣的例子，幫助學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)是無(wú)處

不在的，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的積極性。通過(guò)教師的提問(wèn)，學(xué)生能快速

回憶起必修中統(tǒng)計(jì)涉及的知識(shí)內(nèi)容，解決學(xué)生因時(shí)間間隔太久，遺忘

統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題，為接下來(lái)的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)做好鋪墊。教師引導(dǎo)學(xué)生談?wù)?/p>

自己對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解，有助于教師了解學(xué)情，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)是基于

數(shù)據(jù)的學(xué)科，統(tǒng)計(jì)的根基在于數(shù)據(jù)。

環(huán)節(jié)2：多變量問(wèn)題，從成對(duì)數(shù)據(jù)開(kāi)始

問(wèn)題2:8班總分是否比其他班優(yōu)秀？8班成績(jī)優(yōu)秀與班主任管

理水平、分班前學(xué)生自身水平、常規(guī)表現(xiàn)、上課睡覺(jué)人數(shù)、交作業(yè)情

況、跑操狀況這些因素中的哪些因素有關(guān)？

教師通過(guò)第一個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要研究8班是否比其他班

優(yōu)秀只需要知道各班的總分成績(jī)的數(shù)據(jù)，即研究單一變量——各班的

總分成績(jī)，可以用必修中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決，教師從而引出必修中統(tǒng)計(jì)

學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)：都是針對(duì)單一變量。而第二個(gè)問(wèn)題，不僅需要知道8

班的成績(jī)這個(gè)變量的數(shù)據(jù)，還需要知道其他6個(gè)變量的數(shù)據(jù)，因此研

究的是多個(gè)變量的問(wèn)題。從而引出生活中更多涉及的是多個(gè)變量之間

的問(wèn)題，現(xiàn)在從最簡(jiǎn)單的雙變量開(kāi)始，對(duì)應(yīng)的是成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，為第

八章的學(xué)習(xí)起了頭。

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)單變量問(wèn)題和多變量問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)必修

中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)只使用單變?nèi)R尼，進(jìn)而自然的開(kāi)啟了成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相

關(guān)性研究。

問(wèn)題3兩個(gè)變量的關(guān)系有哪些，你能舉個(gè)例子嗎？

學(xué)生思考回答兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，師生共同回憶函

數(shù)關(guān)系的嚴(yán)格定義，學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)定義是個(gè)對(duì)應(yīng)的、確定的關(guān)系。

追問(wèn)1結(jié)合生活中4個(gè)實(shí)例，思考y隨x變化如何變化？x是決

定y的唯一因素嗎，如果不是還有哪些影響因素？x確定的時(shí)候y的

值確定嗎，即x和y之間是函數(shù)關(guān)系嗎？

學(xué)生按照這個(gè)思路，分析課本中4個(gè)生活的事例，體會(huì)到生活中

兩變量關(guān)系除了函數(shù)關(guān)系，還有一種關(guān)系不確定的關(guān)系，教師自然的

引入相關(guān)關(guān)系的定義.

追問(wèn)2辨析相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？相關(guān)關(guān)系是因果關(guān)系嗎？

根據(jù)統(tǒng)計(jì)的學(xué)科特性，教師應(yīng)用了“夏天時(shí)，冷飲的銷量和溺水

率會(huì)同步增高或減少"，幫助學(xué)生體會(huì)相關(guān)關(guān)系不是因果關(guān)系。再通

過(guò)更離譜的例子，即尼古拉斯凱奇主演的電影和美國(guó)泳池溺水人數(shù),

學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)尼古拉斯凱奇和美國(guó)泳池溺水人數(shù)有很強(qiáng)的相關(guān)性，但是

這個(gè)用因果關(guān)系是解釋不通，帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)相關(guān)關(guān)系與因果關(guān)系的不

同.

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?NicholasCageSwimmingpooldrownings

追問(wèn)3憑借個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)對(duì)兩變量之間的關(guān)系做出判斷可靠嗎？

如果不可靠，判斷兩個(gè)變量的相關(guān)系的依據(jù)是什么？

教師依舊通過(guò)大量的實(shí)例幫助學(xué)生體會(huì)不能憑借個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)對(duì)

兩個(gè)變量之間的相關(guān)性做出判斷，因?yàn)橐揽拷?jīng)驗(yàn)做出判斷非常有局限

性，如果這個(gè)人在這個(gè)領(lǐng)域很有經(jīng)驗(yàn)，可能做出判斷是正確的，如果

這個(gè)人在這個(gè)領(lǐng)域沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)甚至是毫不了解的時(shí)候，則很難做出正確

的判斷，根據(jù)統(tǒng)計(jì)是立足于數(shù)據(jù)的學(xué)科，學(xué)生會(huì)輕易得到要依賴數(shù)據(jù)

進(jìn)行分析才是王道。

設(shè)計(jì)意圖：幫助回憶函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)關(guān)系是確定性的

關(guān)系。緊接著讓學(xué)生分析4個(gè)生活事例，發(fā)現(xiàn)生活中兩個(gè)變量可能有

關(guān)系但是不能明確到由其中一個(gè)決定另一個(gè)，即相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)關(guān)

系更常見(jiàn)。從而自然引出相關(guān)關(guān)系的定義。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的特性，通過(guò)

大量的例子，生動(dòng)形象得幫助學(xué)生理解相關(guān)關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系也不

是因果，幫助學(xué)生體會(huì)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系不能憑借經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷,

應(yīng)該依靠數(shù)據(jù)，增強(qiáng)了學(xué)生統(tǒng)計(jì)的素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)3：繪散點(diǎn)圖，看相關(guān)性

問(wèn)題4表1中是一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，觀察

此樣本數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎么樣的關(guān)系

嗎？

追問(wèn)1表1中的數(shù)據(jù)是什么類型呢？為了更加直觀地描述上述成

對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，結(jié)合必修中學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)知

識(shí),有沒(méi)有更好的呈現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的方法？

表1

編號(hào)1234567

年齡/歲23273941454959

脂肪含9.517.821.225.927.526.328.2

量%

編號(hào)891011121314

年齡/歲53545657586061

脂肪含29.30.231.430.833.535.234.6

量%6

追問(wèn)2繪制散點(diǎn)圖，除了人工外，還有更好的方法嗎？你知道哪

些軟件可以繪制散點(diǎn)圖的嗎？

追問(wèn)3從圖2的散點(diǎn)圖中，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有什么特征？你能讀

出兩變量之間的什么信息嗎？請(qǐng)你講一講.

追問(wèn)4如果成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中有一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為P點(diǎn)所示位置，

這個(gè)點(diǎn)是與其他的樣本點(diǎn)有什么不同呢？為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的點(diǎn)？

圖2

師生活動(dòng)：對(duì)于人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的實(shí)例，師生結(jié)

合其樣本數(shù)據(jù)，通過(guò)觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)人體的脂肪含量隨著年齡的增長(zhǎng)而

增大，兩者是有相關(guān)關(guān)系的。師生共同觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)此樣本的成對(duì)

數(shù)據(jù)是數(shù)值型數(shù)據(jù)，為了更加直觀地描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與

年齡之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生思考用統(tǒng)計(jì)圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù).

用橫坐標(biāo)表示年齡，縱坐標(biāo)表示脂肪含量，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角

坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái),從而引出了散點(diǎn)圖.觀察發(fā)現(xiàn),這些散點(diǎn)大致

落在一條從左下角到額直線附近,師生得出隨著年齡的增加，脂肪含

量有呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).在此基礎(chǔ)上，教師從整體角度給出了兩個(gè)變量正

相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義似及線性相關(guān)的定義.最后教師展示用統(tǒng)計(jì)軟件

R軟件繪制散點(diǎn)圖，讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)軟件處理數(shù)據(jù)的便捷性和必要性.

最后探討奇異值，概括出散點(diǎn)圖能發(fā)現(xiàn)奇異值的特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合教科書(shū)探究欄中的“人體的脂肪含量和年齡”案

例，通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)人體的脂肪含量隨著年齡的增大而增大.通過(guò)教師

的提問(wèn)，引發(fā)學(xué)生思考數(shù)據(jù)類型，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的敏感度，使學(xué)生

知道對(duì)于不同的數(shù)據(jù)類型要使用不同的統(tǒng)計(jì)方法.針對(duì)成對(duì)數(shù)值型的

數(shù)據(jù)，掌握用散點(diǎn)圖這一統(tǒng)計(jì)圖形對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀化表示，并從中初

步了解數(shù)據(jù)的特征或蘊(yùn)含的規(guī)律，體會(huì)散點(diǎn)圖的優(yōu)勢(shì).在學(xué)生描述完

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的特征以及其規(guī)律后，順著學(xué)生的邏輯更好、更自然地

引出了兩變量正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)的定義，使得學(xué)生能更深層

地理解散點(diǎn)圖的的成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)含義.最后突出了散點(diǎn)

圖較表格能更容易發(fā)現(xiàn)奇異值的特點(diǎn).

問(wèn)題5觀察圖3中的散點(diǎn)圖，分析兩變量之間的相關(guān)性。

圖3

1212-12

io??????10-

????10

8-?8-?■?8????????

6-/6-e*.*

6????

4-

;4-???

2-?2,2.?

■

，?，，，?，.

°02468101214.f002468101214.r

02468101214.r

(1)(2)(3)

師生活動(dòng)：師生共同分析3張散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)（1）中的散點(diǎn)落在

某條曲線附近，而不是直線附近，說(shuō)明搞兩個(gè)變量具有相關(guān)性但不是

線性的。（2）中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個(gè)變量也具有一定的

相關(guān)性。（3）中的散點(diǎn)雜亂無(wú)章毫無(wú)規(guī)律，因此兩變量沒(méi)有相關(guān)性。

設(shè)計(jì)意圖：前面學(xué)生通過(guò)圖1已經(jīng)知道了數(shù)據(jù)成線性相關(guān)時(shí)的散

點(diǎn)圖的特性?，F(xiàn)通過(guò)3張具體的散點(diǎn)圖，讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)散點(diǎn)圖

的理解，更深入的了解散點(diǎn)圖所包含的樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，同時(shí)

讓學(xué)生了解非線性相關(guān)的散點(diǎn)圖的樣子，以及線性不相關(guān)的散點(diǎn)圖又

是如何的。通過(guò)展示各類散點(diǎn)圖，生動(dòng)形象地引入了非線性相關(guān)概念。

環(huán)節(jié)4：歸納小結(jié)，凝練所學(xué)

問(wèn)題6回顧一下兩變量的相關(guān)關(guān)系，我們主要都學(xué)習(xí)了什么呢？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生自己總結(jié)，再進(jìn)行互動(dòng)交流，最后教師進(jìn)行

總結(jié)，強(qiáng)調(diào)本課的重點(diǎn)和難點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：回顧兩變量之間的關(guān)系除了函數(shù)關(guān)系還有相關(guān)關(guān)系，

回顧相關(guān)關(guān)系的概念，辨別相關(guān)關(guān)系不同于函數(shù)關(guān)系和因果關(guān)系。相

關(guān)關(guān)系中分為正相關(guān)、負(fù)相關(guān)，線性相關(guān)和非線性相關(guān)。最后，利用

相關(guān)關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)能通過(guò)成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖讀懂兩個(gè)變量的相關(guān)性。

通過(guò)知識(shí)點(diǎn)梳理總結(jié)，能夠加強(qiáng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思維和統(tǒng)計(jì)素養(yǎng)，幫助學(xué)生

抓住成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的重難點(diǎn)，為下節(jié)課的樣本相關(guān)系數(shù)奠定了

基礎(chǔ).

5.2第二課時(shí)（樣本相關(guān)系數(shù)）

環(huán)節(jié)1：定性不夠，定量來(lái)湊

上節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)樣本的相關(guān)性，并且學(xué)習(xí)了通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)

的散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量之間的相關(guān)性。

問(wèn)題1回憶一下，你能從散點(diǎn)圖中讀出兩變量之間相關(guān)關(guān)系的

哪些信息呢？

追問(wèn)2現(xiàn)有兩個(gè)樣本總體，你能分析兩個(gè)總體中哪個(gè)總體的兩

個(gè)變量之間的相關(guān)性更強(qiáng)呢？強(qiáng)多少？能通過(guò)散點(diǎn)圖判斷兩變量之

間相關(guān)程度的強(qiáng)弱嗎？

追問(wèn)3能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行

分析那樣，對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)程度也引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”？

師生活動(dòng)：師生共同回顧上節(jié)課兩變量之間的相關(guān)關(guān)系內(nèi)容，可

以發(fā)現(xiàn)成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖雖然非常直觀，但是對(duì)兩變量的相關(guān)關(guān)系的

分析只能局限在定性的分析.結(jié)合具體的例子，學(xué)生更好得體會(huì)到這

個(gè)問(wèn)題，如果想進(jìn)行定量的分析，即需要對(duì)兩個(gè)總體的兩變量之間相

關(guān)關(guān)系程度的大小進(jìn)行判斷，散點(diǎn)圖就做不到，為這節(jié)課做好鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧舊知加深學(xué)生對(duì)兩變量的相關(guān)關(guān)系的理解,

增強(qiáng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)素養(yǎng).跟著教師的提問(wèn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖對(duì)兩變量之

間的關(guān)系只能進(jìn)行定性的判斷和分析，但不能進(jìn)行定量的判斷，具有

局限性，進(jìn)而讓學(xué)生體會(huì)到了學(xué)習(xí)一個(gè)具有定量分析功能的統(tǒng)計(jì)量的

必要性.

環(huán)節(jié)2：先中心化，初構(gòu)統(tǒng)計(jì)量

對(duì)于變量X和變量y,經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)數(shù)據(jù)為

（X],y）,（馬，丁2），（工3，為），…，（X"，"）.其中%,%2，…，X"和X，必，…，%的均值分別為元和父

以課本表8.1-1中人體脂肪與年齡這組成對(duì)數(shù)據(jù)為例對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心

化.

問(wèn)題1數(shù)據(jù)的中心在哪里？成對(duì)樣本數(shù)據(jù)各個(gè)分量減去各自對(duì)

應(yīng)的均值后，數(shù)據(jù)中心發(fā)生了什么變化？

追問(wèn)1觀察“中心化”后的人體脂肪與年齡這組成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)

圖，有何特征？為何會(huì)呈現(xiàn)這樣的特征趨勢(shì)？

統(tǒng)計(jì)學(xué)家利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后

呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字

特征Lxy.

追問(wèn)2觀察4的表達(dá)式蘊(yùn)含了什么邏輯？如何通過(guò)4對(duì)兩個(gè)

變量的相關(guān)性進(jìn)行判斷？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)人體脂肪含量與年齡這組成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)

行中心化處理，即成對(duì)

數(shù)據(jù)（玉,M）,（程％）,“3,%），…，（x",笫）減去各自的均值，將數(shù)據(jù)的中心移到零點(diǎn)，得到平

移后的成對(duì)數(shù)據(jù)（西-五,y-歹）,（乙-元月-2，…，（x,-X,y?-9）并繪制散點(diǎn)留學(xué)生觀察散點(diǎn)

圖可以發(fā)現(xiàn)中心化以后的數(shù)據(jù)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，這

是形的角度，從數(shù)據(jù)的角度描述這件事，即散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào)通

過(guò)類比歸納學(xué)生可以得到，變量x與y負(fù)相關(guān)時(shí)，中心化后的大多數(shù)散

點(diǎn)會(huì)在二、四象限，（玉-￡）和（y7虜號(hào).教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合中心化后

數(shù)據(jù)的特性，構(gòu)建一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的統(tǒng)計(jì)

量%,其中

4-刃+（電8此9）+…+@-砌券-陽(yáng)

師生一起探究％是如何表示兩變量的相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱,

可以發(fā)現(xiàn)一般情形下

4?V,>0表明成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)，4<0表明成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

追問(wèn)3%可以作為描述非線性相關(guān)的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)性強(qiáng)弱

的數(shù)字特征嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

師生活動(dòng)：教師通過(guò)例舉二次函數(shù)上的樣本點(diǎn)作為例子，發(fā)現(xiàn)

%>o

表明成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)，4,<o表明成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)這個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)在此時(shí)失效了。使

學(xué)生體會(huì)到%不能作為非線性相關(guān)的相關(guān)性強(qiáng)度度量得數(shù)字特征。

追問(wèn)44除了適用范圍，還有其他局限性嗎？

師生活動(dòng)：為了幫助學(xué)生更好的理解4V會(huì)受量綱影響這件事，對(duì)

例3中身高和臂展這同一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，教師改變樣本數(shù)據(jù)的度量

單位，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)%的值會(huì)發(fā)生變化，即兩變量間相關(guān)關(guān)系程度也

發(fā)生了變化，得出變量的度量單位會(huì)影響&這個(gè)統(tǒng)計(jì)量，因此用統(tǒng)

計(jì)量具有瑕疵，需要進(jìn)一步改進(jìn).同時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生觀察此時(shí)的臂展數(shù)據(jù)

的量級(jí)在1上下，而身高數(shù)據(jù)的量級(jí)在160上下，因此4.的數(shù)據(jù)的

大小主要受數(shù)值較大的變量影響，這也是不合理的，因此度量?jī)勺兞?/p>

的相關(guān)性強(qiáng)弱的數(shù)字特征需要消除量綱，把兩個(gè)變量都?jí)嚎s在同一個(gè)

范圍內(nèi)，變成無(wú)量綱的兩個(gè)變量.

設(shè)計(jì)意圖：教師通過(guò)提問(wèn)的方式，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行“中心化”的操作

是超越學(xué)生認(rèn)知范圍的，因此此處設(shè)計(jì)以教師引導(dǎo)為主.中心化又叫

零均值化，實(shí)質(zhì)就是平移，使平移后所有數(shù)據(jù)的中心是（0。），且中心

化以后的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的正負(fù)相關(guān)性與中心化后的橫、縱坐標(biāo)同、異

號(hào)之間的關(guān)系，利用這個(gè)特性構(gòu)造出了一個(gè)統(tǒng)計(jì)量%.統(tǒng)計(jì)量的4的

正負(fù)性與成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性相同.再通過(guò)具體的例子讓學(xué)生

體會(huì)/只能用來(lái)度量線性相關(guān)的強(qiáng)弱.再通過(guò)改變成對(duì)數(shù)據(jù)中變量的

度量單位使得表示同一組樣本成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的《會(huì)出現(xiàn)不同的

值，繼而自然的引導(dǎo)學(xué)生思考統(tǒng)計(jì)量4的設(shè)計(jì)缺陷，為下面的成對(duì)數(shù)

據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化做好鋪墊洞時(shí)讓學(xué)生體會(huì)構(gòu)建樣本相關(guān)系數(shù)過(guò)程的合理性.

環(huán)節(jié)3：再標(biāo)準(zhǔn)化，構(gòu)建樣本相關(guān)系數(shù)

問(wèn)題1如何能夠消除單位量級(jí)對(duì)統(tǒng)計(jì)量%的影響？

追問(wèn)1能仿造/>,的構(gòu)造邏輯，構(gòu)建一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量嗎？

追問(wèn)2觀察樣本相關(guān)系數(shù)，?的書(shū)寫(xiě)表達(dá)式，有沒(méi)有似曾相識(shí)的

感覺(jué)？

追問(wèn)3樣本相關(guān)系數(shù)廠的取值范圍是？

追問(wèn)4當(dāng)|小1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？當(dāng)

加=0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？

追問(wèn)5你能總結(jié)一下，如何通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)廠判斷成對(duì)樣本數(shù)

據(jù)的相關(guān)性的強(qiáng)弱嗎？

師生互動(dòng)：教師介紹幾種標(biāo)準(zhǔn)化的方法，最后引出對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)除

以各自的方差可以消除度量單位的影響.為了幫助學(xué)生理解，教師還

通過(guò)R軟件示范了一下中心化標(biāo)準(zhǔn)化，學(xué)生從數(shù)據(jù)中體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)化。仿

照/統(tǒng)計(jì)量構(gòu)建的邏輯，構(gòu)建出了樣本相關(guān)系數(shù)，

應(yīng)七一守點(diǎn)（—A

V/=1V/=）

類比4統(tǒng)計(jì)量學(xué)生容易得到樣本相關(guān)系數(shù)—>0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)

據(jù)正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).在運(yùn)用樣本相

關(guān)系數(shù)廠判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性的強(qiáng)弱之前，需要知道樣本相關(guān)

系數(shù)/?的取值范圍.

教師通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)況+…+%%）的書(shū)寫(xiě)形式

n

很像向量的數(shù)量積。因此教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表

示，進(jìn)而推廣到〃維空間，可以類比

三維空間定義出禰向量不曲的數(shù)量積，其中。=（4，%,…石=（4也,…包），其中

。為一和潮夾角，則

a*h=。也+七4+…+凡/?”.

對(duì)于“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)（與總底網(wǎng)），…，（七”），教師引導(dǎo)學(xué)

生將第一分量構(gòu)成一^"b”維向量￡=（斗々,…毛）,第二分量構(gòu)成一^"b”維

向量》=（必,必，???、"）.學(xué)生觀察r的結(jié)構(gòu)，可以得到歹忻|cos6.

nn1111

又因?yàn)閼Q=回=?,所以學(xué)生可以快速證明樣本相關(guān)系數(shù)-cos"因?yàn)?/p>

8為向量x和y的夾角，由TMcos”l,學(xué)生探究得到變量x和變量），的樣本

相關(guān)系數(shù)的取值范圍.

結(jié)合教師的提問(wèn)，學(xué)生思考得當(dāng)卜1=1時(shí)，。=0或內(nèi)心根據(jù)向量的知識(shí)^和爐

共線.由向量的共線性可知，存在實(shí)數(shù)4使得爐=/U；即上二￡=丸上二三,i=l,2,3,

SyS，

…,〃?教師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(七,》)都落在了直線y-歹=2士亙

S,

上.即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)分量之間存在一種線性關(guān)系.由此，學(xué)生得到樣本相

關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性關(guān)系的程度:當(dāng)M越接近

1時(shí)，兩個(gè)向量越接近平行，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)GI越接近。時(shí)，

兩個(gè)向量越接近垂直，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

學(xué)生總結(jié)出兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行

分析，，?的符號(hào)反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性；卜I的大小反映了兩個(gè)變量

線性關(guān)系的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度.學(xué)生結(jié)合本課堂所

有知識(shí)8.1-5的四幅圖進(jìn)行實(shí)操，分別對(duì)每組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)

系和相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱進(jìn)行分析.

設(shè)計(jì)意圖：為了消除度量單位的影響，對(duì)成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了“標(biāo)準(zhǔn)

化”的操作，即減去平均數(shù)除以方差.標(biāo)準(zhǔn)化又叫歸一化，使有量綱的

數(shù)據(jù)全部變成在(0,1)內(nèi)無(wú)量綱的數(shù)據(jù),仿照4的構(gòu)造，構(gòu)造出樣本

相關(guān)系數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生闡述樣本相關(guān)系數(shù)，?的正負(fù)性與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相

關(guān)關(guān)系的正負(fù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

為了探究樣本相關(guān)系數(shù)的大小與成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度之間的

關(guān)系，教師首先引導(dǎo)學(xué)生探究樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍，通過(guò)觀察樣

本相關(guān)系數(shù)，?的書(shū)寫(xiě)結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)很像向量的數(shù)量積作為切入點(diǎn).回憶三

維向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，并推廣到“維向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再

引導(dǎo)學(xué)生將成對(duì)樣本數(shù)據(jù)拆分成兩個(gè)”維向量，將樣本相關(guān)系數(shù)，.寫(xiě)

成〃維向量數(shù)量積的形式，通過(guò)多維向量的數(shù)量積，證明了樣本相關(guān)

系數(shù)廠就是標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)夾角的余弦值，得到樣本相關(guān)系數(shù)，?的取值范

圍為[-1,1],自然而然的通過(guò)向量夾角來(lái)理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義,

探究樣本相關(guān)系數(shù)